4.1 核函數特性與波數積分
4.1.1頻散曲線
波數積分的困難在於波數之指數函數為高度振盪(oscillating)的函數，且 當計算的核函數落在極點(poles)附近，位移響應顯出奇異性(singularity)，因 此數值積分之精確度及效率的要求極為重要。從導波的頻散曲線可以知道 極點的分布位置，有助於判斷波數積分的適當範圍。所謂頻散效應指導波 的波速會隨著波長、操作頻率而變化，頻散方程式k( ,)0的根所對應之 波數為核函數之極點，將極點畫在以頻率作為橫軸，波數為縱軸的座標圖 上，即為頻散曲線(如圖4-1)。假設工作頻率為1 MHz，摩擦層厚度為1 mm，
得到核函數響應值如圖4-2所示，圖中尖突部分分別出現在k = 2, 4, 7 (rad/mm)附近，參考頻散曲線，頻率與厚度之乘積為1 MHz×mm，在波數為 k = 2, 4, 7 (rad/mm)附近，各有一條頻散曲線通過，藉此可以驗證數值程式 無誤。
由頻散曲線得知，若摩擦層的厚度為1mm，工作頻率越高，在同一頻率 下核函數積分路徑經過的極點越多，積分時需要更大的積分範圍來包含所 有的極點，且核函數在極點附近具有奇異性，數值積分的計算量也要增加，
才能找出符合收斂條件的結果。當有極點存在時，負載所造成的位移場會 以導波(guided waves)的形式朝兩側傳遞出去。倘若沒有極點存在，表示在 滑座底部受力後產生的位移場不會以導波形式向外傳遞出去，只會影響作 用點附近的局部位移，很快的會消散掉。
4.1.2 波數積分
求解負載所造成的位移場需以數值積分方法作波數積分。摩擦層表面位
移之頻域響應的通式如下： 斂較快。本文採用Lih與Mal [26]發展的波數積分方法，進行數值運算。將(4.1) 式改為
隨著增大。將波數積分的上下限、1 以線性轉換映射至2 1至1，則波數k
error n
p m
n m n
p
J J J
) (
2
1 ) 1 ( )
(
(4.10)
其中，積分值J之上標代表分割次數，下標代表在某次分割中所佔之區域。
此適應性積分(adaptive integration)之優點在於當覺得分割次數不夠而需繼 續分割時，原來分割點計算之數值均予保留，僅需計算新的分割點即可。
適當選擇收斂誤差 ，即可收斂至精確的積分值。error 4.2 外加負載造成之位移結果
令摩擦層厚度為5m，IDT激發頻率為9.765MHz，利用前一節提到的波 數積分方法配合(3.14)與(3.15)式，可以計算外加負載所造成的位移。當有一 組集中負載px 1MPa，pz 1MPa，作用於原點座標x0，經數值積分後，
分別得到摩擦層下表面位移ul( x,0)、wl(x,0)，結果如圖4-5(a)、(b)所示。令 x+ul為橫軸，wl為縱軸，當場點位置x 0.15 ~ 0.15 mm，集中負載所造成 摩擦層表面之位移場數值結果如圖4-6(a)所示，圖中顯示負載作用點以外的 地方也會有變形發生。將場點位置範圍拉長到x 2.5 ~ 2.5 mm，位移場的 數值計算結果如圖4-6(b)所示，圖中顯示離負載作用點越遠，位移衰減的越 快。
嘗試改變摩擦層厚度，令厚度分別為10m和25m，在相同的IDT激發 頻率與集中負載作用下，摩擦層下表面的位移場如圖4-7(a)、(b)所示，圖中 可知隨著摩擦層厚度增加，位移場的影響範圍也越大；厚度越小，離作用 點越遠的地方位移場的衰減越快。若以頻率與厚度相乘的乘積為橫軸坐標 觀察圖4-1所示的頻散曲線，發現當厚度為10m時，在積分範圍內沒有包 含任何極點，摩擦層受力所產生的位移場只會影響作用點附近的位移結 果，距離作用點越遠，位移場的影響越小。當厚度為25m時，積分範圍內
包含了一個極點，位移以導波的形式向兩邊傳遞，因此位移場呈現波傳函 數eikx的振盪圖形。
當基板波形與摩擦層接觸時，接觸面上的接觸應力並非只有一組，考慮 兩 組 負 載 分 別 作 用 在 摩 擦 層 下 表 面 對 稱 的 兩 點 x10.005 mm ，
005 .
2 0
x mm摩擦層厚度設為5m，IDT激發頻率為9.765 MHz，若兩組負 載都是正向力，(pz)x1 (pz)x2 1MPa，引致的水平位移u與鉛垂位移w分佈 如圖4-8所示，在作用點處具有較大的鉛垂位移，水平位移成反對稱分佈。
當兩組負載都是切線作用的摩擦力(px)x1 1MPa，(px)x2 1MPa，摩 擦層下表面位移分佈u與w如圖4-9所示，在兩作用點之間的鉛垂位移，受剪 力作用向上移動，水平位移則會向兩邊擴張。當兩組負載為向中間擠壓的 摩擦力，(px)x1 1MPa，(px)x2 1MPa，摩擦層下表面位移如圖4-10所示，
位移u與w的變化恰與圖4-9恰好相反。
當兩組負載以26.6 度斜角 ，作用在摩擦層下表面 ，(pz)x1 1MPa ， 5
. 0 )
(px x1 MPa，(pz)x2 1MPa，(px)x2 0.5MPa，摩擦層下表面位移如 圖4-11所示，圖中顯示負載作用點上具有峰值，u受到切線力的影響往兩邊 擠壓。比較圖4-8~4-11的結果可以發現，鉛垂位移受到正向力的影響較大，
水平位移以摩擦力的影響為主。
4.3 接觸壓力與位移場之數值結果與討論
本文在計算分佈負載所造成的位移場時，先數值計算數個單一負載所造 成的位移場，再予以累加。摩擦層下表面每個負載的大小與預壓力、分割 數量有關。首先考慮受到均佈負載的情形，令每一組負載的大小為
length contact
preload Δx p
px z ,
xcontactnlength
若接觸區介於0.045 mm與0.055 mm之間，預壓力平均分佈在接觸區內，圖
4-12所示結果為預壓應力等於10 MPa時，將接觸區分割成20段與100段，所 求得的位移場，場點位置範圍為0.15 ~ 0.15 mm，當分割數量越多，會使位 移場曲線越平滑。
若預壓力大小及接觸區範圍相同，當切線力為零，正向力分別設為弦波 分佈pz(x)p0cos(kx)與線性分佈pz(x)p0(10x0.45)，其中，
length contact
Δ preload
0
p x
單位為N/mm2。正向負載所造成的位移場計算結果如圖4-13(b)、(d)所示。
若給定摩擦層下表面位移如圖4-14(a)、(b)所示，利用(3.13)式計算接觸應 力，切線力與正向力分布如圖4-14(c)(d)所示。
根據3.3節中所推導的(3.20)式得到摩擦層下表面的位移場，令相對速度 為
) 0
, 0 , ( )
(x u x t v vrel s
代入如圖4-15(a)所示的摩擦係數函數，摩擦係數函數之各項參數如表二所 示列，給定基板表面波形，令鉛垂位移w如圖4-15(b)所示，代入(3.20)式得 到滑座與基板間的正向壓力與摩擦力，結果如圖4-15(c)、(d)所示，圖中顯 示摩擦係數在接觸區兩側會由正值轉為負值，接觸區兩側的正向力也會突 然下降，摩擦力也具有相同的變化，將摩擦力與圖2-14相比較，所得到摩擦 力的合力確實可以將滑座往反方向推動，採用不同的摩擦係數函數，亦可 以得到類似的接觸壓力結果。綜合以上分析，本文所使用的方法可以適當 的模擬滑座所受到之摩擦力大小，前提是需給定適當的位移條件，在計算 相對速度時，將摩擦層的速度納入考慮，才可以得到正確的解。