根據第二章的公式推導，我們可以將這些公式寫成軟體加 以計算；本章將以這種方法去分析步階型光纖(step-index fiber) 以及漸變型結構光纖(graded-index fiber )。
3-2 單模光纖及單模的條件
在分析光纖模態當中，如何判定光纖的模態及計算光纖能 容納多少種模態是一個重要的課題；所謂模態，就是指滿足方 程式中的某一個特別解，而模態又分為傳導模態(guided
mode)、輻射模態(radiation mode)以及漏失模態(leaky mode)，
在光纖通訊當中，訊號都是透過傳導模態在傳送；所以如何去 判斷以及計算光纖的模態變成為分析光纖中的一們重要課題。
在判定單模條件中，大部分是使用參數 V[7]，即截止頻 率來判斷。而 V 的數學式為 2)12
2 2 ( 1
0a n n
k −
=
V ，並且可以近似
成為 2π /λ)an1 2∆ λ
( ，其中 ， 分別代表光纖中蕊層及包層的折
射率， 為入射到光纖中的波長，
n1 n2
1 2 1 2
2 1 2 2 2 1
n n n n
n
n −
− ≈
=
HE
∆ 。在單模光
纖中只能容許 [5][6]模存在，而單模光纖中的 模即是我
們所熟悉的基模(fundamental mode)；在單模光纖中只容許一
種模態 模的原因是其他的高階模態在某一種操作波長下
HE11 11
HE11
被截止掉， 模並未被截止；所以在單模光纖中只有 模 能存在。
HE11 HE11
0 )= V
前面所提到的參數 V 就是單模條件，根據計算貝索函數 (Bessel’s function) 就可以知道 V 在小於 2.405 的情況下會達到
單模的條件。即在 的情形下，V 若小於滿足 中
V 之最小值，即可使光纖達到單模條件。V 本身除了可以用來 判斷單模條件外，在 V 很大的情形下可以用 V 大略估計有多 少個模態；在一個多模光纖中，且 V 很大的情形下，此多模
光纖所存在之模態大略與V 接近。
0 )
0(V =
J J0(
2
2/
3-3 磁場之邊界條件
本節所推導圓心處之邊界條件是根據 step-index 的光 波導解析理論，乃利用貝索函數來分析。由第二章的第三節得 知 , 分別滿足 Helmholtz 方程式，其他分量則可以藉由
, 的組合來求得；根據[6]Amon Yariv,“Optical electronics in moderncommunications”,vol.3 pp.81-82,1996 得知 , 在 圓柱座標下的解為如下的型式：
根據以上之數學式可以求得在圓附近之邊界條件分別如下
計算可求得Hφ(r,m=2,3,4...∞)=0
由以上之推導並整理，得到圓心附近磁場之邊界條件如表 (3.3-1)
m=0 m=1 m= 2,3,4...∞
圓心附近磁場 Hr,φ =0 , =0 dr dHrφ
,φ =0 Hr
表(3.3-1) 圓心附近磁場邊界條件之整理
3-4 步階型光纖(step-index fiber)在 m=0 時之計算
根據 2.3-24 之矩陣方程式可得知，在 m=0 的時候，H 與 為不耦合的情形，故需分別討論二種磁場之場量與模態，即矩 陣方程式中之β值。在第二章之所以把所有的方程式都化為矩 陣的形式，是因為使用 Matlab 軟體做計算的時候只要使用求 特徵值之指令即可求得矩陣方程式中的模態，即β值，求出β值之後也就知道磁場之場型如何；在此先列出 m=0 時 之方
程式。
r
H Hφ
r
r r
r w H H
r
2 2
2
2 1 )
(∇ − + µε = β (3.4-1) 其中 2 1 ( )
dr r d dr
d
r = r
∇ ，所以改寫方程式(3.4-1)為
r
r H
H r w
dr d dr
d r
2 2
2 2 2
1 )
(1 + − + µε = β (3.4-2) 在計算的方式上，是把方程式 3.4-2 等號左邊之式子全數化為 矩陣，並將蕊層(core)內之圓心到包層(cladding)最尾端處分成 適當數量的小區間Δr 做運算。方程式 3.4-2 等號左邊全部化 為矩陣之形式後可以將原方程式寫成
r r
4 3 2
1 A A A H H
A ) 2
( + − + =β (3.4-3) 在本章節之解法當中是要先在光纖之圓心處與包層最末端分 成適當之小區間Δr 做運算，在此先畫出光纖半徑 r 與磁場間 關係之示意圖。
Δr 2Δr (N-1)Δr
目前光纖所用的波長為 850nm、1310nm 及 1550nm；由常用 的波長作為參數，再根據以上之矩陣加以計算即可求得如下之 場型與傳播常數β。
圖(3.4-3)光波長λ =850nm，9/125 光纖Hr對 r 之基模場量
圖(3.4-4)光波長λ =1310nm，9/125 光纖Hr對 r 之基模場量
圖(3.4-5)光波長λ =1550nm，9/125 光纖Hr對 r 之基模場量
圖(3.4-6)光波長λ =850nm，8/125 光纖Hr對 r 之基模場量
圖(3.4-7)光波長λ =1310nm，8/125 光纖Hr對 r 之基模場量
r
圖(3.4-8)光波長λ =1550nm，8/125 光纖Hr對 r 之基模場量
850nm 1310nm 1550nm
9/125 11.065M 7.1588M 6.0398M
8/125 11.058M 7.1502M 6.0305M
表 (3.4-1)9/125，8/125 光纖在三種波長下Hr之基模傳播常數
根據方程式 2.3-24 可以知道Hφ在=0 之數學式子為
φ φ
ε
ε δ µε β
δ w H H
dr r d r r
r m
r
2 2
2 2
2 1 1 ( ) ( ) )
( + − − + =
−
∇
其中 ln ( ) dr r
d
δε
ε = ， 2 1 ( )
dr r d dr
d
r = r
∇
在 m=0 時可寫成
⇒
φ
圖(3.4-9)光波長λ =850nm，9/125 光纖Hφ對 r 之基模場量
r
圖(3.4-10)光波長λ =1310nm，9/125 光纖Hφ對 r 之基模場量
圖(3.4-11)光波長λ=1550nm，9/125 光纖Hφ對 r 之基模場量
圖(3.4-12)光波長λ=850nm，8/125 光纖Hφ對 r 之基模場量
r
圖(3.4-13)光波長λ =1310nm，8/125 光纖Hφ對 r 之基模場量
圖(3.4-14)光波長λ =1550nm，8/125 光纖Hφ對 r 之基模場量
850nm 1310nm 1550nm
9/125 11.065M 7.1588M 6.0397M
8/125 11.058M 7.1502M 6.0305M
表(3.4-2) 9/125，8/125 光纖在三種波長下Hφ之基模傳播常數
3-5 步階型光纖(step-index fiber)在 m=1 時之計算
n
n 1 蕊層
n2 包層
R r
r=0， , =0 dr dHrφ
r=R， =0, φ =0
φ H
d dHr
磁牆
圖(3.5-1)步階型光纖折射率對光纖半徑之關係示意圖
在本節中將討論步階型光纖在 m=1,即磁場 、 耦合之情
形。在 m=1 時，因為邊界條件不同於 m=0；根據貝索函數得 知在 m=1 時，圓心處之磁場並不等於零而是某一常數，而這 個常數值之大小並無從得知，只能利用常數微分為零的特性當 成一個邊界條件。
Hr Hφ
也因為 m=1 時，在圓心處磁場不為零的關係，即 使
得方程式 2.3-24 中對 r 微分部分之矩陣必須有所調整。在使用
軟體計算時，是從 開始運算至 ，並非從 開始運算，所
以必須找出 與矩陣中 至 之關係並替代 。
0 ≠0 H
H1 HN H0
0 1 N H0
1 N
H H H
為了解決 的問題，在本節使用了類似圖 3.4-1 之方 法；但不同於圖 3.4-1 的地方是，圖 3.4-1 中 至 之位置皆
0 ≠0 H
H H
是位於整數倍之Δr 上，而本節採用之方法是用如圖 3.5-2 之
其中
1 2
dr
)
圖(3.5-3) 光波長λ =850nm，9/125 光纖 H 之基模場量
圖(3.5-4) 光波長λ =1310nm，9/125 光纖 H 之基模場量
圖(3.5-5) 光波長λ =1550nm，9/125 光纖 H 之基模場量
圖(3.5-6) 光波長λ =850nm，8/125 光纖 H 之基模場量
圖(3.5-7) 光波長λ =1310nm，8/125 光纖 H 之基模場量
圖(3.5-8) 光波長λ =1550nm，8/125 光纖 H 之基模場量
850nm 1310nm 1550nm
9/125 11.082M 7.1813M 6.0666M
8/125 11.080M 7.1796M 6.0630M
表(3.5-1)m=1 時，9/125，8/125 光纖在三種波長下之基模傳播常數