任意軸對稱光纖波導理論與數值分析

全文

(1)國立中山大學光電工程研究所碩士論文. 指導教授：張弘文. 博士 (Dr. Hung-Wen Chang). 任意軸對稱光纖波導理論與數值分析 Theoretical and Numerical Study of Fiber Modes with Arbitrary Axially Symmetric Index Profiles. 研究生：房景威(Ching-Wei Fang) 撰. 中華民國九十一年六月誌. 謝.

(2) 本篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授張弘文博士，在他悉心的教導之下，使我可以在數值理論的基礎上紮根，並且對於論文理論以及程式方面給予多方的協助，並使我在對學習研究以及為人處事上獲益良多。另外還要感謝所上的老師在學業上所提供的協助，由於他們的教誨，使我獲得不少知識以及幫助。同時要感謝在實驗室中的二位博士班學長盛夢徽學長、吳祚倫學長，兩年來照顧我的學業以及生活的照顧，同時在作論文過程時更是提供了不少寶貴的建議。也感謝學弟林明崇、張永豐、周逸軒、廖惠民在口試期間的幫忙，讓我能安心準備口試。最後要感謝我父母辛苦的養育和栽培，有了他們在背後的大力支持，我才能夠完成碩士學業以及論文研究。. 房景威 2002,7,3 于高雄西子灣. 中文摘要.

(3) 光纖模態的問題，從 1970 年後就有許多相關的分析，近二十年來光纖的結構及波導參數(如載波波長、光纖色散特性) 經歷許多改變。而未來所採用的光纖結構也有可能會變化。本篇論文提供一種新的分析理論，推導出一個二階的橫向磁場聯立常微分方程式及其相關的邊界條件。接著我們使用有限差分近似的方式將其轉換成矩陣特徵值、特徵向量的問題，即可找出所分析光纖的傳播常數與場型分佈。本篇論文中，我們可以處理階梯變化或連續變化的折射率，不需使用特殊函數，計算量也不會因為折射率的複雜變化而增加。磁場的耦合方程式除了採用有限差分的近似外，也可以用基礎函數展開的方式去分析模擬。本篇論文計算目前市場上所採用的光纖，如 8/125、9/125、50/125、62.5/125；藉由本篇論文的分析並跟 step index 正解比較後除了可以清楚地看到光纖內磁場變化的情形，也可發現，在使用有限差分去分析時，取點愈密光纖間距Δx 愈小，所得到的模態解就愈逼近正解。最後從分析結果得知，傳播常數與正解的差距在Δx< λ 時 6. 可以小於 0.1%。. Abstract.

(4) There have been many studies on model characteristics of optical fibers since 1970. In the past twenty years we have seen changes in the index profiles and operating parameters (such as the carrier wavelength and fiber dispersion) of the fibers.. We shall expect some change in the future as. well. In this thesis we propose a 2nd-order coupled transverse magnetic field ordinary differential equations and associated boundary conditions for analyzing. fiber. modes. with. complex. index. profiles.. Using. finite-difference approximation, we convert the equations into matrix eigenvalue-eigenvector equations.. These are then numerical solved (suing. many commercial numerical softwares such as Matlab) to obtain propagation constants and field distribution inside the fibers.. We shall show that our method do not require the use of cylindrical functions nor will the computation increase due to the increase of complexity in the index profile.. In addition to finite-difference. approximation, we may expand the model solutions in terms of elementary functions.. In this thesis we computed many commercially available. optical fibers such as 8/125, 9/125 step index fibers and 50/125, 62.5/125 graded index fibers.. We compared our results against exact solution (the. step index case) and found that we have converging solutions as we reduce the fiber sampling grid size Δx.. The difference in propagation constant. is less than 0.1% when Δx is < λ/6 .. 目錄.

(5) 頁次誌謝. I. 中文摘要. II. 英文摘要. III. 目錄. IV. 圖目錄. VI. 表目錄. IX. 第一章、導論. 1. 1-1：簡介. 1. 1-2：研究動機. 1. 1-3：有限差分解法. 4. 第二章、理論與公式之推導. 5. 2-1：馬克思威爾方程式與向量基本公式. 5. 2-2：不均勻材料之電場磁場方程式. 7. 2-3：磁場之耦合方程式. 9. 第三章、數值分析與計算. 17. 3-1：前言. 17. 3-2：單模光纖及單模的條件. 17. 3-3：磁場之邊界條件. 19.

(6) 3-4：步階型光纖(step-index fiber)在 m=0 時之計算. 22. 3-5：步階型光纖(step-index fiber)在 m=1 時之計算. 35. 第四章、結果與討論. 47. 參考文獻. 53. 中英對照表. 54. 圖目錄.

(7) 頁次圖(1.2-1)多模步階光纖折射率曲線. 2. 圖(1.2-2)單模步階光纖折射率曲線. 2. 圖(1.2-3)多模漸變光纖折射率曲線. 2. 圖(3.4-1)步階光纖折射率對半徑之曲線. 23. 圖(3.4-2)蕊層與包層交界處並不在整數倍之Δr 處之示意圖 24 圖(3.4-3)m=0,step-index，光波長 λ = 850nm ，9/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 25. 圖(3.4-4)m=0,step-index，光波長 λ = 1310nm ，9/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 26. 圖(3.4-5)m=0,step-index，光波長 λ = 1550nm ，9/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 26. 圖(3.4-6)m=0,step-index，光波長 λ = 850nm ，8/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 27. 圖(3.4-7)m=0,step-index，光波長 λ = 1310nm ，8/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 27. 圖(3.4-8)m=0,step-index，光波長 λ = 1550nm ，8/125 光纖 H r 對 r.

(8) 之基模場量. 28. 圖(3.4-9)m=0,step-index，光波長 λ = 850nm ，9/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 31. 圖(3.4-10)m=0,step-index，光波長 λ = 1310nm ，9/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 31. 圖(3.4-11)m=0,step-index，光波長 λ = 1550nm ，9/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 32. 圖(3.4-12)m=0,step-index，光波長 λ = 850nm ，8/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 32. 圖(3.4-13)m=0,step-index，光波長 λ = 1310nm ，8/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 33. 圖(3.4-14)m=0,step-index，光波長 λ = 1550nm ，8/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 33. 圖(3.5-1)步階型光纖折射率對光纖半徑之關係示意圖. 35. 圖(3.5-2)解決 H 0 ≠ 0 之示意圖. 36. 圖(3.5-3)m=1,step-index，光波長 λ = 850nm ，9/125 光纖 H 對 r 之基模場量. 43. 圖(3.5-4)m=1,step-index，光波長 λ = 1310nm ，9/125 光纖 H 對 r.

(9) 之基模場量. 43. 圖(3.5-5)m=1,step-index，光波長 λ = 1550nm ，9/125 光纖 H 對 r 之基模場量. 44. 圖(3.5-6)m=1,step-index，光波長 λ = 850nm ，8/125 光纖 H 對 r 之基模場量. 44. 圖(3.5-7)m=1,step-index，光波長 λ = 1310nm ，8/125 光纖 H 對 r 之基模場量. 45. 圖(3.5-8)m=1,step-index，光波長 λ = 1550nm ，8/125 光纖 H 對 r 之基模場量. 45. 圖(4-1)m=1， n1 =3，9/25，Δ=10%， H r 場型之比較. 49. 圖(4-2)m=1， n1 =3，9/25，Δ=10%， H φ 場型之比較. 49. 圖(4-3)m=1， n1 =3，9/25，Δ=50%， H r 場型之比較. 50. 圖(4-4)m=1， n1 =3，9/25，Δ=50%， H φ 場型之比較. 50. 圖(4-5)m=1， n1 =3，10/125，Δ=10%， H r 場型之比較. 51. 圖(4-6)m=1， n1 =3，10/125，Δ=10%， H φ 場型之比較. 51. 圖(4-7)m=1， n1 =3，10/125，Δ=50%， H r 場型之比較. 52. 圖(4-8)m=1， n1 =3，10/125，Δ=50%， H φ 場型之比較. 52. 表目錄.

(10) 頁次表(3.3-1)不同 m 值，圓心附近磁場之邊界條件. 21. 表(3.4-1)m=0，step-index 下 9/125，8/125 光纖在三種波長下 H r 之基模傳播常數. 28. 表(3.4-2)m=0，step-index 下 9/125，8/125 光纖在三種波長下 H φ 之基模傳播常數. 34. 表(3.5-1)m=1，step-index 下 9/125，8/125 光纖在三種波長下之基模傳播常數. 46. 表(4-1)m=1， n1 =3，9/25 光纖近似解法與正解法之基模傳播常數比較. 48. 表(4-2)m=1， n1 =3，10/125 光纖近似解法與正解法之基模傳播常數比較. 48. 第一章. 導論.

(11) 1-1 簡介隨著資訊的蓬勃發展以及網際網路應用的急速增長，人們對傳輸資料和訊號的通道頻寬需求愈來愈高。由於光纖物理性質穩定、不受電磁干擾、頻寬大、損耗低等絕對優點，將成為網路傳輸的主要媒介。目前區域網路已由乙太網路提昇至超高速乙太網路，即將推出 10Gigabit 的乙太網路。而隨著電信的自由化，通訊、網路、以及有線電視網路將結合在一起。為提供這些高速且有彈性的服務，利用光纖作為傳輸介質的光學網路將成未來發展的趨勢，而其市場潛值及商機非常可觀。. 1-2 研究動機一般在分析光纖的問題當中，會把光纖分為漸變型光纖（graded-index fiber）以及步階型光纖（step-index fiber），再分. 多模（multimode）與單模（single-mode）做分析。本論文提出一種新且實際的方法分析這兩種光纖，並且參考已經發表過的類似論文其中的結果，比較二者之間的差異以及精確度。此兩種光纖的結構與折射率曲線如圖 1，圖 2，圖 3 所示。.

(12) 圖(1.2-1)多模步階光纖. 圖(1.2-2)單模步階光纖. 圖(1.2-3)多模漸變光纖. 圖(1.2-1)~圖(1.2-3)：一般光纖折射率曲線. 在傳統分析光纖的方法中，以分區正解法與 WKB 法為主。分區正解法來分析光纖，先將光纖分為多區以階梯近似原來的折射率曲線，再將每一區以貝索(Bessel)函數展開，在介面上以滿足切面電場與磁場連續去分析。在折射率變化很大的情形下，因為分成許多區，增加了計算上的複雜度，其中花費在計算貝索函數的數值佔了大部分的時間。而 WKB 法是以連續變化的折射率曲線為基礎求出微分方程式的近似解。除了上述的特性之外，以此二種方法求解前必須先假設適合之傳播常數β值[9]，再判斷此值是否滿足一個矩陣方程式的非零解 (nontrivial solution)。再利用牛頓法等求下一更佳β值。這類非線性找根的方法，當初假設值很接近根時，收斂很快，在一些特殊情況下，若初值不夠接近，並不一定保證能找到所需要的模態解。本論文是利用基礎函數之線性組合來逼近已知軸對稱光.

(13) 纖的模態；採用的方法是先用垂直與切面的磁場分量均連續的特性推導出方程式(1.2-1)耦合的 Helmholtz 方程式，經由軸對稱的簡化，透過邊界條件與初值條件找出兩組適當的基礎函數對磁場的分量做展開。再藉由最小誤差法將微分方程組轉成一個矩陣特徵方程式，由數值找出矩陣的特徵函數與特徵值，即可求解傳播常數β及模態。本論文的優點是可以求解複雜的光纖結構；以目前個人電腦的記憶容量及速度，在分析複雜光纖時可以使用小於 500× 500 的矩陣得到所要的解。.  2 m2 +1 + w 2 µε ∇ r − 2 r   − 2m − m δ ( r ) ε  r r2. H r  H r       2     = β  d m2 + 1 1     2  − − δ ε (r ) − δ ε (r ) + w µε   2 H   H r dr r  φ   φ −. ∇r. 2. 2m r2. d d d ln ε (r ) ， = δ ε (r ) r dr dr dr. 其中 ∇ r 2 = 1. (1.2-1).

(14) 1-3 有限差分解法在數值分析中，將差分方法分為前向差分(forward difference)、後向差分(backward difference)以及中央差分 (central difference)；本篇論文採用誤差較小之中央差分方法為基礎分析光纖。使用前向差分或是後向差分誤差較大的原因是因為在求某一點 yk 之差分值時，是利用兩點作運算(即使用. yk ， yk −1 或是使用 yk ， yk +1 )；若函數急遽變化則會產生較大的誤差值。若是求 yk 之中央差分值，則需同時使用 yk −1 及. yk +1，在函數急遽變化時所求出的誤差值較使用前向差分或後向差分時較小。.

(15) 第二章. 理論與公式之推導. 2-1 馬克思威爾方程式與向量基本公式在本篇論文的分析中，如何描述光場是一項很基本的問題，本篇論文的做法是將光場用電磁波的波動方程式來加以描述，而使用電磁波來作描述時就一定會使用馬克思威爾方程式 (Maxwell’s equations)[3][4]與一些基本的向量公式，所以在此先將馬克思威爾方程式與一些向量基本公式作一次簡單的描述。當存在源點(source point)，即需考慮產生電磁波的區域時，馬克思威爾方程式可以寫成如下的型式： r r ∂B ∇× E + =0 ∂t r r ∂D r ∇× H − =J ∂t r ∇⋅D = ρ. (2.1-1) (2.1-2) (2.1-3). r ∇⋅B = 0. (2.1-4) r. r. 其中 E 為電場強度 (electric field intensity)， H 為磁場強度 (magnetic field intensity)，電場和磁場均為時間和諧函數以 e jwt r. r. 來表示， D 為電位移(electric displacement)， B 是磁通密度 r. (magnetic flux density)， J 是電流密度(electric current density)， ρ. 則是體電荷密度(volume charge density)。當傳播介質具有等.

(16) 方向性(isotropic)、均勻(homogeneous)及非色散(nondispersive) r. r. 的性質時，電場強度和電位移就會有 D = εE 的關係，磁場強度和磁通密度的關係則是. r r B = µH. ，其中 ε 稱為介電係數. (permittivity)， µ 稱為導磁係數(permeability)，由於通常在處理光纖問題中很少遇到磁性材料，所以介質的導磁係數等於自由空間中的導磁係數 µ 0 。.

(17) 2-2 不均勻材料之電場磁場方程式由文獻中得知，在不均勻材料中直角座標下一階聯立的馬克思威爾方程式組可以寫成二階單純磁場或單純電場的向量偏微分方程式，如方程式(2.2-1)及(2.2-2)[3] r r r r ∂2E ∇ E − µε 2 + (∇ ln µ ) × (∇ × E ) + ∇( E ⋅ ∇ ln ε ) = 0 ∂t r r r r ∂2H 2 ∇ H − µε 2 + (∇ ln ε ) × (∇ × H ) + ∇( H ⋅ ∇ ln µ ) = 0 ∂t. (2.2-1). 2. (2.2-2). (2.2-1)以及(2.2-2)式為不均勻材料直角座標下，電場與磁場之方程式。方程式(2.2-1)與(2.2-2)可以單獨計算，所得到的解可再經由馬克思威爾方程式組求得另外的物理量；例如由方程式 r r r ∂D (2.2-2)所求得之磁場 H 可藉由馬克思威爾方程式 ∇ × H = ，求 ∂t r r r 得單一頻率下之電場為 E = 1 ∇ × H ；由於 ∇ ⋅ D = 0, Dn1 = Dn 2，在不 jwε r. 均勻電介質下 ε 並不是常數，因此造成了電場 E 在光纖中只有切線方向連續( Et1 = Et 2 )，法線方向卻不連續( E n1 ≠ E n 2 )的情況，這種情形使得電場介面條件比使用磁場的介面條件更為複雜。在分析光纖問題時，很少遇到磁性材料，所以介質的導磁係數等於自由空間中的導磁係數 µ 0 ，因為 µ 0 本身為常數， r r r ∇ ⋅ B = 0, ∇ ⋅ H = 0 ，因此使得磁場 H 在光纖結構中，切線方向以及. 法線方向的分量在跨介面時皆為連續。因此我們需使用類似於 (2.2-2)的磁場方程式；而方程式(2.2-2)僅適用於直角座標，且.

(18) 在推導方程式 (2.2-2) 時所用到的數學等式 r r r ∇ × ∇ × A = −∇ 2 A + ∇(∇ ⋅ A) 只能在直角座標下使用，所以我們必須在. 柱座標下推導類似於(2.2-2)的方程式來分析光纖的問題。.

(19) 2-3 磁場之耦合方程式在推導耦合方程式之前必須利用某些基本的向量公式，在此先列舉一些會用到的向量公式。 r r r ∇( fA) = f∇ ⋅ A + A ⋅ ∇f. (2.3-1). r r r r r r ∇( A × B) = B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B. (2.3-2). r r r ∇ × ( fA) = ∇f × A + f∇ × A. (2.3-3). r. r. 其中 f 為純量函數， A 、 B 為向量函數，光纖本身以圓柱波導為 r. 主，在此將向量 A 設為圓柱座標的型式帶入計算；在圓柱座標 r. 下令 A = rÂr + φÂφ + zÂz ∇f = (. 1 ∂ ˆ ∂ ∂ rˆ + φ + zˆ ) f ∂r r ∂φ ∂z. (2.3-4). r 1 ∂ 1 ∂ ∂ (rAr ) + ∇⋅ A = Aφ + Az r ∂r r ∂φ ∂z = ∇2 f = [. ∂A 1 ∂Aφ ∂Az 1 Ar + r + + r ∂r r ∂φ ∂z. 1 ∂ 1 ∂2 ∂ ∂2 (r ) + 2 ]f + r ∂r ∂r r ∂φ 2 ∂z 2 =(. 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 ∂2 )f + + 2 + 2 r ∂r ∂r r ∂φ 2 ∂z 2. rˆ r 1 ∂ ∇× A = r ∂r Ar. = rˆ(. (2.3-5). rφˆ ∂ ∂φ rAφ. (2.3-6). zˆ ∂ ∂z Az. ∂Aφ 1 ∂Ar ∂A ∂A 1 ∂Az ∂Aφ 1 − ) + φˆ( r − z ) + zˆ ( Aφ + − ) r ∂φ ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂φ. (2.3-7).

(20) 由方程式(2.3-7) rφˆ ∂ ∂φ. rˆ ∂ ∂r. r 1 ⇒ ∇×∇× A = r (. zˆ ∂ ∂z ∂Aφ. ∂A ∂A 1 ∂Az ∂Aφ 1 1 ∂Ar ) r ( r − z ) ( Aφ + ) − − r ∂φ r ∂z ∂z ∂r ∂r r ∂φ. ∂Aφ 1 ∂Ar ∂ ∂Ar ∂Az 1 ∂ 1 )] = {rˆ[ ( Aφ + − − r( − r ∂φ r ∂r r ∂φ ∂z ∂z ∂r ∂Aφ 1 ∂Ar ∂ 1 ∂ 1 ∂Az ∂Aφ - rφˆ[ ( Aφ + )− ( )] − − ∂r r ∂r r ∂φ ∂z r ∂φ ∂z ∂ ∂A ∂A ∂ 1 ∂Az ∂Aφ ( )]} + zˆ[ r ( r − z ) − − ∂r ∂z ∂r ∂φ r ∂φ ∂z 2 ∂ 2 Ar ∂ 2 Az 1 1 ∂Aφ ∂ Aφ 1 ∂ 2 Ar ˆ ) = [r ( + − −r +r r r ∂φ ∂r∂φ r ∂φ 2 ∂r∂z ∂z 2 2 2 1 1 ∂Aφ ∂ Aφ 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar 1 ∂ 2 Az ∂ Aφ - rφˆ(− 2 Aφ + ) + + − − + r ∂r r r 2 ∂φ r ∂r∂φ r ∂φ∂z ∂r 2 ∂z 2 2 ∂Ar ∂ 2 Ar ∂Az ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Az ∂ Aφ )] + zˆ ( +r − −r − + r ∂φ 2 ∂z ∂r∂z ∂r ∂φ∂z ∂r 2. = rˆ(. 2 1 ∂Aφ 1 ∂ Aφ 1 ∂ 2 Ar ∂ 2 Ar ∂ 2 Az ) + − − + ∂r∂z r 2 ∂φ r ∂r∂φ r 2 ∂φ 2 ∂z 2. 2 2 1 1 ∂Aφ ∂ Aφ 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar 1 ∂ 2 Az ∂ Aφ ˆ ) + φ ( 2 Aφ − − − 2 + + − r ∂r r ∂r 2 r ∂φ r ∂r∂φ r ∂φ∂z ∂z 2. 2 1 ∂Ar ∂ 2 Ar 1 ∂Az ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Az 1 ∂ Aφ + zˆ ( + − − − 2 + ) r ∂z ∂r∂z r ∂r ∂r 2 r ∂φ 2 r ∂φ∂z. (2.3-8). 由於 Az 本身並不滿足 Helmholtz 方程式，跟我們常見的文獻並不相同，因此簡化方程式(2.3-8)必須使用額外條件，也就是利 r. r. r. 用 ∇ ⋅ A =0 才能化簡；若 ∇ ⋅ A =0 則 ∇(∇ ⋅ A) =0。.

(21) r ∂A 1 ∂Aφ ∂Az ∂ 1 ⇒ ∇(∇ ⋅ A) = rˆ ( Ar + r + + ) ∂r r ∂r r ∂φ ∂z ∂A 1 ∂Aφ ∂Az 1 ∂ 1 + φˆ ( Ar + r + + ) r ∂φ r ∂r r ∂φ ∂z ∂A 1 ∂Aφ ∂Az ∂ 1 + zˆ ( Ar + r + + ) ∂z r ∂r r ∂φ ∂z 2 r 1 1 ∂Ar ∂ 2 Ar 1 ∂Aφ 1 ∂ Aφ ∂ 2 Az ⇒ ∇(∇ ⋅ A) = rˆ(− 2 Ar + + − + + ) r ∂r r ∂r 2 r 2 ∂φ r ∂r∂φ ∂r∂z 2 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar 1 ∂ Aφ 1 ∂ 2 Az ˆ + φ( 2 + + + ) r ∂φ∂z r ∂φ r ∂r∂φ r 2 ∂φ 2. + zˆ (. 2 1 ∂Ar ∂ 2 Ar 1 ∂ Aφ ∂ 2 Az + + + ) r ∂z ∂r∂z r ∂φ∂z ∂z 2. (2.3-9). 2 ∂ 2 Az 1 1 ∂Ar ∂ 2 Ar 1 ∂Aφ 1 ∂ Aφ = 2 Ar − − + − ∂r∂z r r ∂r ∂r 2 r 2 ∂φ r ∂r∂φ 2 1 ∂ 2 Az 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar 1 ∂ Aφ =− 2 − − r ∂φ∂z r ∂φ r ∂r∂φ r 2 ∂φ 2 2 ∂ 2 Az 1 ∂Ar ∂ 2 Ar 1 ∂ Aφ + + =− r ∂z ∂r∂z r ∂φ∂z ∂z 2. 帶入方程式(2.3-8) r ⇒ ∇×∇× A = 2 2 1 ∂Aφ 1 ∂ Aφ 1 ∂ 2 Ar ∂ 2 Ar 1 1 ∂Ar ∂ 2 Ar 1 ∂Aφ 1 ∂ Aφ ) rˆ( 2 + − − + 2 Ar − − + 2 − r ∂r r ∂φ r ∂r∂φ r ∂φ r ∂r∂φ r 2 ∂φ 2 r ∂z 2 ∂r 2 2 2 2 1 1 ∂Aφ ∂ Aφ 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar ∂ Aφ 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar 1 ∂ Aφ ) − − + − − − − + φˆ( 2 Aφ − r ∂r r r 2 ∂φ r ∂r∂φ r 2 ∂φ r ∂r∂φ r 2 ∂φ 2 ∂r 2 ∂z 2. 1 ∂Az ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Az ∂ 2 Az − − − ) r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂r 2 ∂z 2 1 2 ∂Aφ 1 2 ∂A ) + φˆ(−∇ 2 Aφ + 2 Aφ − 2 r ) + zˆ (−∇ 2 Az ) = rˆ(−∇ 2 Ar + 2 Ar + 2 r r ∂φ r r ∂φ. + zˆ (−. (2.3-10).

(22) r. 由以上的推導過程得知，要簡化方程式(2.3-8)必須令 ∇ ⋅ A =0； r. 在 source free 的情形下， J = ρ = 0 ；分析光纖模態的問題是在 source free 的情形下進行 r r r ∂B r ∂H 由 (2.1-1) ⇒ ∇ × E + = ∇ × E + µ = 0 ∂t ∂t r r r ∂D r ∂E 由 (2.1-2) ⇒ ∇ × H − = ∇ × H − ε = 0 ∂t ∂t r r 1 (2.3-12) ⇒ 1 ∇ × H − ∂E = 0 ∂t ε ε r r 1 ∂ ∇ × (2.3 -13) ⇒ ∇ × ( ∇ × H ) − (∇ × E ) = 0 ε ∂t. (2.3-11) (2.3-12) (2.3-13) (2.3-14). 利用方程式(2.3-3) r r r 1 1 1 ⇒ ∇ × ( ∇ × H ) = ∇ × (∇ × H ) + ∇ × (∇ × H ). ε. ε. ε r r ∂H 並利用方程式(2.3-11) ∇ × E = − µ ∂t r r r r r 1 1 1 ∂ ∂2H ⇒ ∇ × ( ∇ × H ) − (∇ × E ) = (∇ ) × (∇ × H ) + ∇ × (∇ × H ) + µ 2 = 0 ε ε ε ∂t ∂t. (2.3-15) ∇ ln ε =. 1. ε. ∇ε ， ε ⋅ ∇. 1. ε. = ε (−. 1. ε. 2. 1 ∇ε ) = − ∇ε = −∇ ln ε. ε. 藉由 ε × (2.3 -15) 可以得到 r r r ∂2H (ε∇ ) × (∇ × H ) + ∇ × (∇ × H ) + µε 2 ε ∂t r r r ∂2H = ∇ × (∇ × H ) − (∇ ln ε ) × (∇ × H ) + µε 2 = 0 ∂t 1. 在單一頻率下(time harmonic) r r r ⇒ ∇ × (∇ × H ) − (∇ ln ε ) × (∇ × H ) − w 2 µεH = 0 Q在. (2.3-16) r. r. source free 的情形下及 µ = µ r ， ∇ ⋅ H = µ 0 ∇ ⋅ B = 0.

(23) r. ∴∇(∇ ⋅ H ) = 0 ，可以使用(2.3-10)的結果 r 1 2 ∂H φ ⇒ ∇ × ∇ × H = rˆ(−∇ 2 H r + 2 H r + 2 ) r r ∂φ 1 2 ∂H r + φˆ(−∇ 2 H φ + 2 H φ − 2 ) r r ∂φ + zˆ (−∇ 2 H z ). (2.3-17). 在圓柱座標下假設 ∇ ln ε 中 ∂ ln ε ∂φ. ⇒ ∇ ln ε = rˆ. =. ∂ ln ε =0 ∂z. ∂ ln ε ∂r. (2.3-18). 利用(2.3-7)之結果 rˆ r ∂ ln ε ⇒ ∇ ln ε × (∇ × H ) = ∂r 1 ∂H z ∂H φ − ∂z r ∂φ. φˆ. zˆ. 0. 0. ∂H r ∂H z − ∂z ∂r. ∂H φ 1 ∂H r 1 Hφ + − ∂r r r ∂φ. ∂ ln ε ∂H φ 1 ∂ ln ε ∂H r 1 ∂ ln ε = −φˆ( Hφ + − ) r ∂r ∂r ∂r r ∂r ∂φ ∂ ln ε ∂H r ∂ ln ε ∂H z + zˆ ( − ) ∂r ∂z ∂r ∂r ∂ ln ε ∂H r ∂ ln ε ∂H z ∂ ln ε ∂H φ 1 ∂ ln ε ∂H r 1 ∂ ln ε − − = φˆ( Hφ − ) + zˆ ( ) r ∂r ∂φ r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂z ∂r ∂r. (2.3-19) 令 ∂ ln ε ∂r. = δ ε (r ). r r r ∇ × (∇ × H ) − (∇ ln ε ) × (∇ × H ) − w 2 µεH. = rˆ(−∇ 2 H r +. 1 2 ∂H φ Hφ + 2 − w 2 µεH r ) 2 r r ∂φ. ∂H φ 1 2 ∂H r δ ε (r ) ∂H r δ ε (r ) − + H φ + δ ε (r ) − w 2 µεH φ ) φˆ(−∇ 2 H φ + 2 H φ − 2 r ∂φ r ∂r r r ∂φ + zˆ (−∇ 2 H z − δ ε (r ). ∂H r ∂H z + δ ε (r ) − w 2 µεH z ) = 0 ∂z ∂r. (2.3-20).

(24) Q. ∂ = − jβ ∂z. ∴∇ 2 = ∇ t 2 − β 2. ⇒ (2.3-20)中， rˆ, φˆ, zˆ 的三個分量分別如下 1 2 ∂H φ H + − w 2 µεH r ) r 2 2 r r ∂φ ∂H r 1 1 2 ∂H r 1 2 + φˆ(−∇ t H φ + β 2 H φ + 2 H φ − 2 − δ ε (r ) + δ ε (r ) H φ r ∂φ r r r ∂φ ∂H φ + δ ε (r ) − w 2 µεH φ ) ∂r ∂H r ∂H z 2 + zˆ (−∇ t H z + β 2 H z − δ ε (r ) + δ ε (r ) − w 2 µεH z ) = 0 ∂z ∂r 2 rˆ(−∇ t H r + β 2 H r +. (2.3-21) 由(2.3-21)可以看出 z 方向之磁場分量並未與 r ,φ 之分量耦合，故本篇論文僅探討 r ,φ 分量。 ⇒  2 2 1 2 − ∇ t + β + 2 − w µε r  2 1 ∂ ∂  − − δ ε (r )  ∂φ r 2 ∂φ r. 2 ∂  H r     =0 r 2 ∂φ    1 1 ∂ 2 2 2 − ∇t + β + + δ ε (r ) + δ ε (r ) − w µε    H  ∂r r2 r  φ . (2.3-22) ⇒ 1  2 2  ∇ t − r 2 + w µε   2 ∂ + 1 δ ε (r ) ∂ 2 ∂φ  r ∂φ r. H r  H r       2   =β    ∂ 1 1 2 2     ∇ t − 2 − δ ε (r ) − δ ε (r ) + w µε    H  ∂r r r   H φ   φ −. 2 ∂ r 2 ∂φ. (2.3-23) ∇t = ∇r + 2. 2. 1 ∂2 1 d d 1 d d2 2 ∇ = = + ，其中 ( r ) r r dr dr r dr dr 2 r 2 ∂φ 2.  H r = H r (r ) cos mφ ，(2.3-23)可改寫為  H φ = H φ (r ) sin mφ. 若.

(25)  2 m2 +1 + w 2 µε ∇ r − 2 r   − 2m − m δ ( r ) ε  r r2. H r  H r       2     = β  d m2 + 1 1     2  − − δ ε (r ) − δ ε (r ) + w µε   2 H   H r dr r  φ   φ −. ∇r. 2. 2m r2. (2.3-24)  H r = H r (r ) sin mφ  H φ = H φ (r ) cos mφ. 若.  2 m2 +1 + w 2 µε ∇ r − 2 r  2 m m  + δ ε (r ) 2 r r . ，(2.3-23)可改寫為 H r  H r       2   =β    d m2 + 1 1     2 − − δ ε (r ) − δ ε (r ) + w µε    2 H  dr r r   H φ   φ 2m r2. ∇r. 2. (2.3-25) 其中. H r  2  H  ， β 分別為矩陣方程式(2.3-24)的特徵向量  φ  Hr  2 ，β 為 − H φ . (eigenvector)及特徵值(eigenvalue)；我們可以證明 . 矩陣方程式(2.3-25)的特徵向量及特徵值，其證明如下：. H r   A B  H r  2 C D   H  = β  H   φ    φ. (2.3-26). AH r + BH φ = β 2 H r. (2.3-27). CH r + DH φ = β 2 H φ. (2.3-28). AH r + (− B)(− H φ ) = β 2 H r. (2.3-29). ⇒. ⇒ (−C ) H r + D(− H φ ) = β 2 (− H φ ). (2.3-30).

(26)  A ⇒ − C.  Hr  − B  H r  2 − H  = β − H   D  φ φ . 所以矩陣方程式(2.3-25)與(2.3-24)的差異僅在於當(2.3-24)之 H r   H  ，則(2.3-25)之特徵向量為  r  ；因此本篇論  Hφ  − H φ . 特徵向量為 . 文僅需求解矩陣方程式(2.3-24)即可。.

(27) 第三章. 數值分析. 3-1 前言根據第二章的公式推導，我們可以將這些公式寫成軟體加以計算；本章將以這種方法去分析步階型光纖(step-index fiber) 以及漸變型結構光纖(graded-index fiber )。. 3-2 單模光纖及單模的條件在分析光纖模態當中，如何判定光纖的模態及計算光纖能容納多少種模態是一個重要的課題；所謂模態，就是指滿足方程式中的某一個特別解，而模態又分為傳導模態(guided mode)、輻射模態(radiation mode)以及漏失模態(leaky mode)，在光纖通訊當中，訊號都是透過傳導模態在傳送；所以如何去判斷以及計算光纖的模態變成為分析光纖中的一們重要課題。在判定單模條件中，大部分是使用參數 V[7]，即截止頻率來判斷。而 V 的數學式為 V 成為 (2π / λ )an1. 2 2 1 = k 0 a ( n1 − n 2 ) 2 ，並且可以近似. 2∆ ，其中 n1 ， n2 分別代表光纖中蕊層及包層的折 2. 射率， λ 為入射到光纖中的波長， ∆ = n1. − n2 2 2n1. 2. n −n 2 。在單模光 ≈ 1 n 1. 纖中只能容許 HE11 [5][6]模存在，而單模光纖中的 HE11 模即是我們所熟悉的基模(fundamental mode)；在單模光纖中只容許一種模態 HE11 模的原因是其他的高階模態在某一種操作波長下.

(28) 被截止掉， HE11 模並未被截止；所以在單模光纖中只有 HE11 模能存在。前面所提到的參數 V 就是單模條件，根據計算貝索函數 (Bessel’s function) 就可以知道 V 在小於 2.405 的情況下會達到單模的條件。即在 J 0 (V ) = 0 的情形下，V 若小於滿足 J 0 (V ) = 0 中 V 之最小值，即可使光纖達到單模條件。V 本身除了可以用來判斷單模條件外，在 V 很大的情形下可以用 V 大略估計有多少個模態；在一個多模光纖中，且 V 很大的情形下，此多模光纖所存在之模態大略與 V 2 / 2 接近。.

(29) 3-3 磁場之邊界條件本節所推導圓心處之邊界條件是根據 step-index 的光波導解析理論，乃利用貝索函數來分析。由第二章的第三節得知 E z , H z 分別滿足 Helmholtz 方程式，其他分量則可以藉由 E z , H z 的組合來求得；根據[6]Amon. Yariv,“Optical electronics. in modern communications”,vol.3 pp.81-82,1996 得知 E z , H z 在圓柱座標下的解為如下的型式： E z = AJ m (hr )e i ( wt + mφ − βz ). (3.3-1). H z = BJ m (hr )e i ( wt + mφ − βz ). (3.3-2). 因為 E z , H z 中的指數部分 e i ( wt + mφ − βz ) 也會出現在 E r , Eφ , H r , H φ 之中，但 e i ( wt + mφ − βz ) 不為 0 也並非無窮大，所以從方程式(3.3-3)開始，只探討與 r 分量相關的部分，e i ( wt + mφ − βz ) 部分就省略不再表示出來。在蕊層中 r , φ 分量的磁場型式為 Hr =. iwε 1 m − iβ [ BhJ ' m (hr ) − AJ m (hr )] 2 βr h. (3.3-3). Hφ =. wε − iβ im [ BJ m (hr ) + 1 AJ ' m (hr )] 2 r βr h. (3.3-4). 其中 h =. n1 k 0 − β 2 , ε 1 = ε 0 n1 2. 2. 2. , J ' m (hr ) = dJ m (hr ) d (hr ). 在 m≧0, r <<1 的情形下，貝索函數之漸近式為 J 0 (hr ) ≈ 1 − ( J m (hr ) ≈. hr 2 hr ) ⇒ J ' 0 (hr ) ≈ − 2 2. 1 hr 1 hr m ( ) m −1 , m = 1,2,3...∞ ( ) ⇒ J ' m (hr ) ≈ m! 2 2(m − 1)! 2. (3.3-5) (3.3-6).

(30) 根據以上之數學式可以求得在圓附近之邊界條件分別如下. m=0,圓心附近之磁場為 Hr =. − iβ hr iwε 1 m h2r 2 − − − [ ( ) ( 1 )] Bh A 2 βr 4 h2 =. iwε 1 m(4 − h 2 r 2 ) − iβ hr [ Bh ( − ) − A ] 2 4 βr h2. (3.3-7). ⇒ H r (r , m = 0) 在圓心附近為零， H r 與 H φ 的形式類似，根據相同. 的計算可求得 H φ (r , m = 0) 亦為零 m=1,圓心附近之磁場為 Hr =. iwε 1 m 1 hr m hr − iβ 1 A ( ) ] ( ) m −1 − [ Bh 2 m! 2 βr 2(m − 1)! 2 h. (3.3-8). iwε 1 h − iβ 1 [ Bh − A ] 2 2β h 2. (3.3-9). ⇒ H r (r , m = 1) =. ⇒ H r (r , m = 1) 為一常數，H r 與 H φ 的形式類似，根據相同的計算可. 求得 H φ (r , m = 1) 也是一常數雖然在 m=1 的情形下圓心附近之磁場並不為零，但我們可以用常數微分等於零的特性當成一組邊界條件，所以在 m=1 的情形下邊界條件為. dH r ,φ dr. =0. m=2,3,4…∞, 圓心附近之磁場為 Hr =. iwε 1 m 1 hr m hr − iβ 1 A ( ) ] ( ) m −1 − [ Bh 2 m! 2 βr 2(m − 1)! 2 h. (3.3-10). ⇒ H r (r , m = 2,3,4...∞) = 0 ， H r 與 H φ 的形式類似，根據相同的.

(31) 計算可求得 H φ (r , m = 2,3,4...∞) = 0 由以上之推導並整理，得到圓心附近磁場之邊界條件如表 (3.3-1) m=0 圓心附近磁場. H r ,φ = 0. m=1 dH r ,φ. m = 2,3,4...∞. =0 dr 表(3.3-1) 圓心附近磁場邊界條件之整理. H r ,φ = 0.

(32) 3-4 步階型光纖(step-index fiber)在 m=0 時之計算根據 2.3-24 之矩陣方程式可得知，在 m=0 的時候，H r 與 H φ 為不耦合的情形，故需分別討論二種磁場之場量與模態，即矩陣方程式中之β值。在第二章之所以把所有的方程式都化為矩陣的形式，是因為使用 Matlab 軟體做計算的時候只要使用求特徵值之指令即可求得矩陣方程式中的模態，即β值，求出β 值之後也就知道磁場之場型如何；在此先列出 m=0 時 H r 之方程式。 (∇ r − 2. 1 + w 2 µε ) H r = β 2 H r r2. (3.4-1). 其中 ∇ r 2 = 1. d d (r ) ，所以改寫方程式(3.4-1)為 r dr dr. (. 1 d 1 d2 + 2 − 2 + w 2 µε ) H r = β 2 H r r dr dr r. (3.4-2). 在計算的方式上，是把方程式 3.4-2 等號左邊之式子全數化為矩陣，並將蕊層(core)內之圓心到包層(cladding)最尾端處分成適當數量的小區間Δr 做運算。方程式 3.4-2 等號左邊全部化為矩陣之形式後可以將原方程式寫成 ( A1 + A2 − A3 + A4 ) H r = β 2 H r. (3.4-3). 在本章節之解法當中是要先在光纖之圓心處與包層最末端分成適當之小區間Δr 做運算，在此先畫出光纖半徑 r 與磁場間關係之示意圖。.

(33) n. Δr 2Δr. (N-1)Δr r. H0. H1. H2. H N −1 H N. 圖(3.4-1)步階光纖折射率對半徑之曲線. 由上圖得知 r=kΔr，其中 k=1、2、3…N；並根據有限差分之中差分得知在第 k 點之一次差分值為 H k +1 − H k −1 ，因此可以得 2∆r. 到矩陣 A1 之形式如下 A1 =. 1 d r dr.   0  1 − 1  2 ⇒ A1 =  2∆r 2     . 1 1 0 −. 1 3. 1 2 1 3 O O 1 − N 0.        O  0 . ∵在 k 點之二次差分值為 H k +1 − 2 H2k + H k −1 ∆r. d2 之形式為 dr 2 − 2 1   1 −2 1    1  A2 = 2  1 −2 O ∆r   O O 1    1 − 2. ∴ A2 =.

(34) A3 =. 1 r2.  1  ∆r 2 12   ⇒ A3 =     . 1 ∆r 2 2 2.      O  1   ∆r 2 N 2 . 因為 A4 = w 2 µε ，但蕊層與包層間之 ε 並不一樣，分別為 ε 1 與 ε 2 ，所以在處理交界處的時候必須特別注意，在本章節之中採用算數平均之方式來處理邊界上 ε 之問題。先假設光纖之蕊層與包層之交界處並不在整數倍之Δr 處,如圖 3.4-2；因此產生了 ∆r1 、 ∆r2 ，根據算數平均之方式求出交界處之 ε 。. 圖(3.4-2)蕊層與包層交界處並不在整數倍之Δr 處之示意圖  w 2 µε 1     ⇒ A4 =      . 其中 ε k. =. w µε 1 2. ∆r1 ∆r ε1 + 2 ε 2 ∆r ∆r. O. w 2 µε k w 2 µε 2.         O  2 w µε 2 .

(35) 目前光纖所用的波長為 850nm、1310nm 及 1550nm；由常用的波長作為參數，再根據以上之矩陣加以計算即可求得如下之場型與傳播常數β。. 圖(3.4-3)光波長 λ = 850nm ，9/125 光纖 H r 對 r 之基模場量.

(36) 圖(3.4-4)光波長 λ = 1310nm ，9/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 圖(3.4-5)光波長 λ = 1550nm ，9/125 光纖 H r 對 r 之基模場量.

(37) 圖(3.4-6)光波長 λ = 850nm ，8/125 光纖 H r 對 r 之基模場量. 圖(3.4-7)光波長 λ = 1310nm ，8/125 光纖 H r 對 r 之基模場量.

(38) r. 圖(3.4-8)光波長 λ = 1550nm ，8/125 光纖 H r 對 r 之基模場量 850nm. 1310nm. 1550nm. 9/125. 11.065M. 7.1588M. 6.0398M. 8/125. 11.058M. 7.1502M. 6.0305M. 表 (3.4-1)9/125，8/125 光纖在三種波長下 H r 之基模傳播常數. 根據方程式 2.3-24 可以知道 H φ 在=0 之數學式子為 d m2 +1 1 (∇ r − − δ ε (r ) − δ ε (r ) + w 2 µε ) H φ = β 2 H φ 2 dr r r 其中 d ln ε = δ ε (r ) ， ∇ r 2 = 1 d (r d ) r dr dr dr 2. ⇒在. m=0 時可寫成.

(39) (. 1 d 1 1 d ln ε d ln ε d d2 + 2 − 2 − − + w 2 µε ) H φ = β 2 H φ r dr dr dr r dr dr r. (3.4-4). 同理，將 3.4-4 化為類似 3.4-3 之方程式 ⇒ ( D1 + D2 − D3 − D4 − D5 + D6 ) H φ = β 2 H φ D1 =. 1 d r dr.   0  1 − 1  2 ⇒ D1 =  2∆r 2     . D2 =. 1 1 0 −. 1 3. 1 2 1 3 O O 1 − N 0.        O  0 . d2 dr 2. − 2 1   1 −2 1    1  ⇒ D2 = 2  1 −2 O ∆r   O O 1    1 − 2 D3 =. 1 r2.  1  ∆r 2 12   ⇒ D3 =     . 1 ∆r 2 2 2.      O  1   ∆r 2 N 2 . (3.4-5).

(40) 1 d ln ε r dr 0  O  ln ε 2 − ln ε 1 ⇒ D4 =   ∆r 2 k x    D4 =.      O   0. 其中 ln ε 1 −2 ln ε 2 在 D4 ( x, x), k x ∆r k x. = x ， ε 1 為蕊層之 ε ， ε 2 為包層之 ε ，. x 為包層與蕊層之交界處 D5 =. d ln ε d dr dr. 0   ⇒ D5 =     . 0 O ln ε 1 − ln ε 2 2∆r 2. O 0. ln ε 2 − ln ε 1 2∆r 2 O. ε 1 為蕊層之 ε ， ε 2 為包層之 ε ，x.        0. 第x列. 為包層與蕊層之交界處. D6 = w 2 µε  w 2 µε 1     ⇒ D6 =      . 其中 ε k. =. w µε 1 2. O. w 2 µε k w 2 µε 2.         O  2 w µε 2 . ∆r1 ∆r ε1 + 2 ε 2 ∆r ∆r. 根據以上之矩陣加以計算即可求得如下之場型與傳播常數β.

(41) 圖(3.4-9)光波長 λ = 850nm ，9/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. r 圖(3.4-10)光波長 λ = 1310nm ，9/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量.

(42) 圖(3.4-11)光波長 λ = 1550nm ，9/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 圖(3.4-12)光波長 λ = 850nm ，8/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量.

(43) r 圖(3.4-13)光波長 λ = 1310nm ，8/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量. 圖(3.4-14)光波長 λ = 1550nm ，8/125 光纖 H φ 對 r 之基模場量.

(44) 850nm. 1310nm. 1550nm. 9/125. 11.065M. 7.1588M. 6.0397M. 8/125. 11.058M. 7.1502M. 6.0305M. 表(3.4-2) 9/125，8/125 光纖在三種波長下 H φ 之基模傳播常數.

(45) 3-5 步階型光纖(step-index fiber)在 m=1 時之計算 n n1. 磁牆. 蕊層 n2. 包層 R dH r ,φ. r. dH r = 0, H φ = 0 dφ dr 圖(3.5-1)步階型光纖折射率對光纖半徑之關係示意圖. r=0，. =0. r=R，. 在本節中將討論步階型光纖在 m=1,即磁場 H r 、 H φ 耦合之情形。在 m=1 時，因為邊界條件不同於 m=0；根據貝索函數得知在 m=1 時，圓心處之磁場並不等於零而是某一常數，而這個常數值之大小並無從得知，只能利用常數微分為零的特性當成一個邊界條件。也因為 m=1 時，在圓心處磁場不為零的關係，即 H 0 ≠ 0 使得方程式 2.3-24 中對 r 微分部分之矩陣必須有所調整。在使用軟體計算時，是從 H 1 開始運算至 H N ，並非從 H 0 開始運算，所以必須找出 H 0 與矩陣中 H 1 至 H N 之關係並替代 H 0 。為了解決 H 0 ≠ 0 的問題，在本節使用了類似圖 3.4-1 之方法；但不同於圖 3.4-1 的地方是，圖 3.4-1 中 H 1 至 H N 之位置皆.

(46) 是位於整數倍之Δr 上，而本節採用之方法是用如圖 3.5-2 之方法，令 H 1 至 H N 之位置在 kΔr/2 上來解決 H 0 ≠ 0 的問題。. Δr/2. 圓心. Δr/2. …………….. H −1. H 2 …………… H N. H 0 H1 Δr. 圖(3.5-2)解決 H 0 ≠ 0 之示意圖. 根據圖 3.5-2 可以得知 H 0 = H 1 ，因此將方程式 2.3-24 中每一個元素轉換成為矩陣時，可以藉由這個關係式來簡化某些元素處理的複雜度；由於 m=1，所以需考慮方程式 2.3-24 中的每一項。  2 m2 +1 + w 2 µε ∇ r − 2 r   − 2m − m δ ( r ) ε  r r2. H r  H r       2     = β  d m2 + 1 1     2  − − δ ε (r ) − δ ε (r ) + w µε   2 H   H r dr r  φ   φ −. ∇r. 2. 2m r2. d d2 d ln ε + 2 ， δ ε (r ) = r dr dr dr. 其中 ∇ r 2 = 1. (2.3-24). 將上述之矩陣改寫成如方程式 3.5-1 之型式 Hr   A B H r  2 C D   H  = β  H   φ    φ. (3.5-1).

(47) A = A + A − A + A 1 2 3 4  其中 C = −C1 − C 2   D = D1 + D2 − D3 − D4 − D5 + D6. 各矩陣之型式如下： A1 =. 1 d r dr. ，第 k 點之一次差分值為 H k +1 − H k −1 且 H 0 = H 1 2∆r.  1  − 1/ 2  1 − 1  3/ 2 ⇒ A1 =  2∆r 2     . d2 A2 = 2 dr. 1 1/ 2 0 −. 1 5/ 2. 1 3/ 2 0 O.      1   5/ 2 O O  1 − 0 (2 N − 1) / 2 . ，第 k 點之二次差分值為 H k +1 − 2 H2k + H k −1 且 H 0 = H 1 ∆r. − 1 1   1 −2 1    1  ⇒ A2 = 2  1 −2 O ∆r   O O 1    1 − 2. A3 =. 1 r2. 1   ∆r 2 (1 / 2) 2   ⇒ A3 =     . 1 ∆r (3 / 2) 2 2.       O  1  ∆r 2 ((2 N − 1) / 2) 2 .

(48) A4 = w 2 µε  w 2 µε 1     ⇒ A4 =      . 其中 ε k. B=−. =. w µε 1 2. O. w 2 µε k w 2 µε 2.         O  2 w µε 2 . ∆r1 ∆r ε1 + 2 ε 2 ∆r ∆r. 2m 2 ，m =1⇒ B = − 2 2 r r. −2   ∆r 2 (1 / 2) 2   ⇒B=    . −2 ∆r (3 / 2) 2 2.       O  −2  ∆r 2 ((2 N − 1) / 2) 2 .

(49) C1 =. 2m 2 ， m = 1 ⇒ C1 = 2 2 r r. 2  2  ∆r (1 / 2) 2   ⇒ C1 =     . C2 =. 2 ∆r (3 / 2) 2 2.       O  2  ∆r 2 ((2 N − 1) / 2) 2 . m δ ε (r ) r. m = 1 ， δ ε (r ) =. d ln ε m d ln ε ⇒ C2 = dr r dr. d ln ε ln ε 2 − ln ε 1 = ∆r dr 0   O    m(ln ε 2 − ln ε 1 )   ⇒ C2 =   ∆r 2 x  O    0 . 其中 ln ε 1 −2 ln ε 2 在 C 2 ( x, x) ， ε 1 為蕊層之 ε ， ε 2 為包層之 ε ，x 為包層 ∆r k x. 與蕊層之交界處.

(50) D1 =. 1 d r dr.  1 − 1/ 2  1 − 1  3/ 2 ⇒ D1 =  2∆r 2     . D2 =. 1 1/ 2 0 −. 1 5/ 2. 1 3/ 2 0 O.      1   5/ 2 O O  1 0 − (2 N − 1) / 2 . d2 dr 2. − 1 1   1 −2 1    1  ⇒ D2 = 2  1 −2 O ∆r   O O 1    1 − 2 D3 =. m +1 2 ， m = 1 ⇒ D3 = 2 2 r r. 2   ∆r 2 (1 / 2) 2   ⇒ D3 =     . 2 ∆r (3 / 2) 2 2.       O  2  ∆r 2 ((2 N − 1) / 2) 2 .

(51) 1 D4 = δ ε ( r ) r. δ ε (r ) =. 1 d ln ε d ln ε ⇒ D4 = dr r dr. d ln ε ln ε 2 − ln ε 1 = ∆r dr 0  O  ln ε 2 − ln ε 1 ⇒ D4 =   ∆r 2 k x   .      O   0. 其中 ln ε 1 −2 ln ε 2 在 D4 ( x, x), k x ∆r k x. ε ，x. D5 =. = (2 x − 1) / 2 ， ε 1 為蕊層之 ε ， ε 2 為包層之. 為包層與蕊層之交界處. d ln ε d dr dr. ln ε 1 − ln ε 2 d ln ε = ∆r dr. 0   ⇒ D5 =     . 0 O ln ε 1 − ln ε 2 2∆r 2. O 0. ln ε 2 − ln ε 1 2∆r 2 O. ε 1 為蕊層之 ε ， ε 2 為包層之 ε ，x.        0. 第x列. 為包層與蕊層之交界處.

(52) D6 = w 2 µε  w 2 µε 1     ⇒ D6 =      . 其中 ε k. =.         O  2 w µε 2 . w µε 1 2. O. w 2 µε k w 2 µε 2. ∆r1 ∆r ε1 + 2 ε 2 ∆r ∆r. 根據上述這一些矩陣的型式，利用軟體計算，可得到如圖 3.5-3 至 3.5-8 之場型；在本節的記算中，所使用的參數如下：入射光波長： λ = 850nm λ = 1310nm λ = 1550nm. 共三種波長. 蕊層折射率： n1 = 1.5 蕊層包層折射率差異： ∆ =. n1 − n 2 2. 2n1. 2. 2. ≈. n1 − n 2 = 2% n1. 蕊層包層直徑比率：8/125 9/125. 單位為 µ m. 共二種比率. 圖(3.5-3)到圖(3.5-8)實線部分為 H r ，虛線部分為 H φ ，x 部分為 50× ( H r - H φ ).

(53) 圖(3.5-3) 光波長 λ = 850nm ，9/125 光纖 H 之基模場量. 圖(3.5-4) 光波長 λ = 1310nm ，9/125 光纖 H 之基模場量.



(56) 850nm. 1310nm. 1550nm. 9/125. 11.082M. 7.1813M. 6.0666M. 8/125. 11.080M. 7.1796M. 6.0630M. 表(3.5-1)m=1 時，9/125，8/125 光纖在三種波長下之基模傳播常數.

(57) 第四章. 結果與討論. 光纖在傳送訊號的時候，一般而言，必須盡量使光集中在蕊層，並不希望包層之中有光存在；在前面的章節中計算目前最常使用的光纖結構，8/125、9/125、62.5/125 以及 50/125；在計算這些光纖結構的過程當中，發現處理包層與蕊層交界處折射率改變時，並不會因為折射率改變不連續而造成場型不連續。即使在 m=1 的情形下，分析光纖時只要採用適當的方法解決圓心處磁場不為零的問題，也可以找到正確的模態解。本篇論文已推導出磁場耦合方程式，並計算出目前常用的光纖之場型及傳播常數，有這些結果，以此作為未來研究的方向，相信還可以有更多的收穫。表 4-1 與 4-2 是以本篇論文的數值方法分析 9/25 及 10/125 的光纖，並與正解比較所整理出來的結果；由表 4-1，4-2 可以觀察出，取點如果愈密，所計算出來的基模態就愈接近正解。圖 4-1 到 4-8 則是根據表 4-1 及 4-2 中誤差最小與誤差最大的兩種情形所做的場型比較；圖中實線為正解磁場，虛線為近似解磁場，”x”部分為場型的誤差。. V. 正解. 500×500. 誤差.

(58) Δ＝10% 23.85386 12.15009M 12.15782M. 0.047%. Δ＝20% 32.83471 12.14981M 12.15768M. 0.047%. Δ＝50% 47.39282 12.14955M 12.15757M. 0.048%. 表(4-1) m=1， n1 =3，9/25 光纖近似解法與正解法之比較. V. 正解. 500×500. 誤差. Δ＝10% 26.50429 12.15210M 12.15782M. 0.047%. Δ＝20% 36.48301 12.15190M 12.15768M. 0.048%. Δ＝50% 52.65869 12.15170M 12.15757M. 0.048%. 表(4-2) m=1， n1 =3，10/125 光纖近似解法與正解法之比較.

(59) 圖(4-1) 9/25，Δ=10%， H r 場型之比較(誤差× 10). 圖(4-2) 9/25，Δ=10%， H φ 場型之比較(誤差× 10).




(63) 參考文獻 [1]Gloge D,“Weakly guiding fibers”,Appl.Opt.10:2252,1971 [2]Li T,“Structures,parameters,and transmission properties of optical fibers”,Proc.IEEE 68:1175,1980 [3]Pochi Yeh,“Optical waves in layered media”,vol.1 pp. 8-9, 1988 [4]Akira Ishimaru,“Electromagnetic wave propagation, radiation,and scattering”,vol.4 pp.91-97,1991 [5]Bahaa E.A.Saleh,and Malvin Carl Teich,“Fundamentals of photonics”,vol.8 pp.273-305,1991 [6]Amon Yariv,“Optical electronics in modern communications”,vol.3 pp.77-83,1996 [7]Govind P.Agrawal,“Fiber-optic communication systems”, vol.2 pp.34-35,1997 [8]Hung-Wen Chang,Shun-Tien Lee,“Investigation of coupling between laser diodes and tapered fibers,2-D case”,國立中山大學光電工程研究所碩士畢業論文,2000 [9]孫迺翔,張銘仁,“Numerical analysis for optical fibers”,義守大學電機工程研究所碩士畢業論文,2001.

(64) 中英對照表 Bessel’s functions. 貝索函數. boundary condition. 邊界條件. cladding. 包層. core. 蕊層. dispersion. 色散. finite difference. 有限差分. fundemental mode. 基模. graded-index fiber Helmholtz equation index Maxwell’s equations nontrivial solution propagation constant. 漸變光纖漢姆侯茲方程式折射率馬克斯威爾方程式非零解傳播常數.

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