2.4 數值積分方法
貝氏分析除了少部分的型態外, 大部分在計算上會遭遇複雜難解的積分, 一般我們利 用電腦近似其值; 這裡介紹上一節中 Gewekw (1993) 採用的 Gibbs Sampling 蒙 地卡羅積分方法。 Gibbs Sampling 使用條件分配產生隨機變數, 可以不必透過計算 密度函數而得到邊際密度函數。 Geman and Geman (1984) 介紹這個方法, 使其受 到重視, 而較早的 Hastings (1970) 一文也發展相同的概念, 並建議將其使用在統計 的數值問題上, 至於運用至經濟領域則為 Gelfand and Smith (1990), 而這個方法 主要被應用於隨機模型中處理大量的隨機變數, 諸如: 神經網路、 影像重建、 專家系統 等。
Gibbs Sampling 在處理一組隨機變數 [X1, X2, . . . , Xk] 的程序中, 給定一組任 意起始值 [X1(0), X2(0), . . . , Xk(0)], 我們抽出 X1(1) ∼ f (X1 | X2(0), . . . , Xk(0)), X2(1) ∼ f (X2 | X1(1), X3(0). . . , Xk(0)), X3(1) ∼ f (X3 | X1(1), X2(1), X4(0). . . , Xk(0)), ..., 到 Xk(1) ∼ f (Xk | X1(1), . . . , Xk−1(1) ), 我們就有一組 [X1(1), X2(1), . . . , Xk(1)]; 疊代 i 次, 我們可以得到一組 [X1(i), X2(i), . . . , Xk(i)], 以上的方法有下列重要的結果, 其一為
[X1(i), X2(i), . . . , Xk(i)]−→ f (Xd 1, X2, . . . , Xk), 且當 i → ∞ 時,
Xj(i) −→ f (Xd p) , p = (1, 2, . . . , k)
其二, 對任何期望值存在的 X1, X2, . . . , Xk 之可測度函數 T, 期望值為
i→∞lim 1 i
i
X
p=1
T (X1(p), . . . , Xk(p))−→ E(T (Xa.s. 1, . . . , Xk))
根據以上的結論, 我們也能推得 [ ˆXs]i −→ E(Xa.s. s), 其中 [ ˆXs]i = m1 Pm
j=1f (Xs | Xt= Xtj; t 6= s).
為了要處理 2.3節的積分問題, 我們要抽出一個非獨立也非同一分配, 但是分配收 斂到式 (18) 的數列 θ(j)0 = (β(j)0, σ(j)0, ω(j)0, ν(j)0)∆ 給定一任意起始值, Gewekw 建議起始值 β(0) = b = (X0X)−1X0y, [σ(0)]2 = (y − Xb)0(y − Xb)/(n − k) , ωi = 1(i = 1, . . . , n), ν 則利用事前分配的平均值為起始值。 給定 θ(p)
貝氏單根檢定-在外匯市場上的應用 2.4 數值積分方法
• 利用式 (24), 在 β(p), σ(p), 和 ν(p) 的條件下抽出ω(p+1);
• 利用式 (23), 在 β(p), ω(p), 和 ν(p) 的條件下抽出σ(p+1);
• 利用式 (22), 在 σ(p), ω(p), 和 ν(p) 的條件下抽出β(p+1);
• 如果 ν 並非固定值, 而事前分配如同式 (25), 則在 β(p), σ(p), 和 ω(p) 條件下, 我們利用式 (26) 抽出 ν(p+1).
上面的四個步驟組成 Gibbs Sampler 的一次過程, 重複 m 次相同的過程之後, 能去計算一個可測度函數 g(θ(p)), 且根據本節一開始時所述, m−1Pm
p=1g(θ(p)) 為 g(θ) 事後期望值的一個數值上的近似值。
理論上以上面所提及的方法就足夠我們去計算及解決問題, 然而當我們利用以上 的方法去實際運作我們的程式時, 尚且會發現一個計算效率上的問題, 因為我們的疊 代次數 p 必須停於某一合理點, 並且當要求重複次數 i 時, 理論上當 p 與 i 足夠大時, 我們的抽樣分配便會接近母體分配, 但這個方式實際上以電腦運算時因為過大的矩陣 處理, 以及隨著疊代值和重複值增加的程式迴圈, 造成我們計算上將浪費大量的時間, 也因此 Zeger and Karim (1991) 提出僅需執行一次的方法; 利用 p 足夠大時, 其後 的有限點所形成的數列當成我們的樣本, 並以之計算所欲計算的問題, 從而只需執行 程式一次, 這個方式改善 Gibbs Sampler 需要在某合理點後僅抽出 1 組樣本, 並浪費 時間在重複上述動作,11因此這個方式既可得到我們欲求解的問題解答, 使增進計算的 效率, 在接下來的分析中, 本文亦將採用此一方式。
11Zeger and Karim (1991), Generalized Linear Models with Rondom Effects:A Gibbs Sanpling Approach.
貝氏單根檢定-在外匯市場上的應用 3 計量方法與模型介紹
3 計量方法與模型介紹
在時間序列中, 存在定態 (stationary) 和非定態 (nonstationary) 序列的情形, 而當 資料為非定態時, 較早的漸近理論不能適用, 因此 Dickey and Fuller (1979) 解釋單 根存在時, 模型係數的漸近分配與以前的統計所認知的有所不同; 隨後因為 DF(Dickey-Fuller test) 檢定的檢定力偏低的問題, Phillips and Perron 又提出 PP(Phillips-Perron test) 檢定; 此外, 傳統的單根檢定還有 KPSS(Kwiatkowski,Phillips,Schmidt, and Shin test) 等檢定。
Sim (1988) 以不同的方式, 把焦點放在貝氏分析上; 並如同第二章所介紹, Schot-man and Van Dijk (1991) 延伸 Sim (1988) 的貝氏單根檢定, 並加以應用在外匯 市場時間序列上。 雖然 Hikaru 等說明即使是貝氏單根檢定, 在非常態分配的假定下 可能仍會偏向單根, 但是這樣的說法只是說明在 Schotman and Van Dijk (1991) 中做的事前分配下可能違背, 並非在所有不同的事前分配假定下都成立。
然而這裡不打算著重於是否任何的干擾項改變都會影響這樣的結論, 而想要更精 確的了解經濟資料中那些可能比常態尾部更加厚實的資料, 因為在研究總體時間序列 問題上, 也有文獻指出資料分配的確不符合一般我們所假設的常態, 而本文採 Geweke 設定的方式來放寬這個假設; Geweke (1993) 以干擾項服從獨立的 student-t 分配的 線性模型來處理這個問題, 配合 Gibbs sampler 解決貝氏問題中複雜的積分問題, 本 文利用這樣的概念和方法來探討 Schotman and Van Dijk (1991) 的模型, 並利用這 些特性重新檢視原先的問題, 驗證他們原先的假設是否使用了不合理的分配, 因為不同 分配的假設所為的結論如產生不同的影響, 那麼如果他們的原先的資料並非常態, 所做 的結論便有可議之處。 為了重新探討他們的結論, 這裡修改前章所介紹原論文的模型, 以及他們的單根檢定方法; 接著開始利用 Geweke (1993) 的方式修改 Schotman 等 的模型。
貝氏單根檢定-在外匯市場上的應用 3.1 資料分配的檢定