(iii) 介紹無限數列的典型例子。
(iv) 介紹一些無限數列的性質 。 數列定義
定義 11.1.1. 數列 (sequence) 是一個定義在正整數 N 上之函數。 若此函數為 f, 我們常將 f(n) 記為 an 。 數列可記為 {a1, a2, a3, . . .}、{an} 或 {an}∞n=1。 其中 a1 稱為首項(first term), an 稱為 第 n 項。
[註] 一個數列可以由函數圖形來瞭解其性質。
數列的例子
例 11.1.2. (1) an =√
n, {an} = {1,√ 2,√
3, . . . ,√
n, . . .}。
(2) bn = (−1)n+1 1n, {bn} = {1, −12,13,−14, . . .}。
(3) cn= n−1n , {cn} = {0,12,23,34, . . . ,n−1n , . . .}。
(4) dn = (−1)n+1, {dn} = {1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n+1, . . .}。
例 11.1.3. 一個數列不一定須要從 n = 1 開始定義。
(1)
n(−1)n(n+1) 3n
o。
(2) ©√
n− 3ª∞
n=3。 (3) ©
cosnπ6 ª∞
n=0。
例 11.1.4. 求一般項 an 的公式: 其前幾項是 ©3
5,−254 ,1255 ,−6256 ,31257 , . . .ª
。
[註] 這不是一個正確的 “數學題目”。 例如: 前幾項是 {1, 2, 3, 4, . . . }, 但 an= n4−10n3+35n2− 49n + 24 滿足此條件。
例 11.1.5. 有一些數列並沒簡單的定義公式:
(1) 數列 {an}2016n=1900,其中 an 是西元 n 年元旦的人口數。
(2) 數列 {7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .}, 其中 an 是 e 的小數展開式中, 小數點後第 n 位。
(3) 數列 {an}, 其中 an 是第 n 個質數。 質數定理 (Prime Number Theorem): 令 π(x) 為小 於 x 的質數個數, 則 π(x) ∼ ln xx 。
例 11.1.6. 以遞迴公式定義的數列, 是給定頭幾項, 再利用前幾項, 由遞迴公式 (recursion for-mula) 求出下一項。
(1) a1 = 1, an= an−1+ 1 。 (2) a1 = 1, an= nan−1 。
(3) 牛頓法: x0 = 1, xn+1 = xn− (cos xsin xnn−2x−x2nn) 。 此數收斂到 sin x − x2 = 0 的根。
(4) Fibonacci 數列: a1 = 1, a2 = 1, an+1= an+ an−1 。
第 11 章 無限級數 11.1 數列
數列的極限
定義 11.1.7. (1) 一個數列 {an} 若滿足 ∀ ² > 0, ∃N 使得若 n > N 則 |an− L| < ², 則稱 {an} 的極限 (limit) 為 L。 可記為 lim
n→∞an= L或 “當 n → ∞, an→ L”。
(2) 若極限存在, 我們稱該數列收斂 (converge), 否則稱為發散 (diverge)。
(3) 令 {an} 為一數列。 若對任一數 M, 均存在 N, 使得 ∀n > N ⇒ an > M , 則稱 {an} 發散 到無限大 (diverges to infinity)。 記為 lim
n→∞an =∞, 或 an→ ∞。
(4) 若對任一數 m, 均存在 N, 使得 ∀n > N ⇒ an< m, 則稱 {an} 發散到負無限大 (diverges to negative infinite)。 記為 lim
n→∞an =−∞, 或 an→ −∞。
例 11.1.8. (1) lim
n→∞k = k。 (2) lim
n→∞
1 n = 0。 (3) 若 r > 0, lim
n→∞
1 nr = 0。 (4) lim
n→∞
√n =∞。
例 11.1.9. 討論數列 {rn} 的斂散性。
例 11.1.10. 數列 {1, −1, 1, −1, . . . (−1)n+1, . . .} 為發散。
[註] 一個發散數列不見得發散到正或負無限大, 如 {1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . } 及 {1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . . }。
數列極限的基本性質
性質 11.1.11. 若 {an} 及 {bn} 為兩收斂數列, c 為常數。 則 (1) lim
n→∞(an+ bn) = lim
n→∞an+ lim
n→∞bn。 (2) lim
n→∞(an− bn) = lim
n→∞an− lim
n→∞bn。 (3) lim
n→∞c· an= c· lim
n→∞an。 (4) lim
n→∞anbn= lim
n→∞an· lim
n→∞bn。 (5) 若 lim
n→∞bn6= 0, lim
n→∞
an
bn = nlimlim→∞an
n→∞bn。 (6) 若 p ∈ R 且 an> 0, lim
n→∞apn=
³
nlim→∞an
´p
。(若 p < 0, 則要求 lim
n→∞an 6= 0。) 例 11.1.12. 求以下各極限:
(1) lim
n→∞(−n52)。 (2) lim
n→∞(n−1n )。
第 11 章 無限級數 11.1 數列 (3) lim
n→∞
4−7n6 n6+3。 (4) lim
n→∞(n−√
n + 1√
n + 3)。
例 11.1.13. 若 a0+ a1+ a2+· · · + ak = 0, 求 lim
n→∞(a0√
n + a1√
n + 1 + a2√
n + 2 +· · · + ak
√n + k)。
例 11.1.14. (1) 若 a, b 為相異正數, 求 lim
n→∞
an+1+bn+1 an+bn 。
(2) 若 {an} 為正項數列, 且 logn+1an= 1 + (n+1) ln(n+1)1 , 求 lim
n→∞
an
n 。
定理 11.1.15. (1) 令 {an}, {bn} 為實數數列。 若對大於某數 N 的所有 n, an≤ bn 均成立, 則
nlim→∞an ≤ lim
n→∞bn.
(2) (三明治定理, 夾擊定理, Sandwich Theorem, Squeeze Theorem) 令 {an}, {bn}, {cn} 為 實數數列。 若對大於某數 N 的所有 n, an ≤ bn ≤ cn 均成立。 假設 lim
n→∞an = lim
n→∞cn = L, 則 lim
n→∞bn= L。 例 11.1.16. (1) 若 lim
n→∞|an| = 0, 則 lim
n→∞an= 0。 (2) 若 |bn| ≤ cn, 且 cn → 0, 則 bn → 0。
(3) 若 lim
n→∞an= 0, 且 {bn} 為有界, 則 lim
n→∞anbn= 0。 [註] 若 lim
n→∞|an| 6= 0, 則 (1) 不見得成立。
例 11.1.17. 求以下各極限:
(1) lim
n→∞
cos n n
(2) lim
n→∞(−1)n 1n
定理 11.1.18 (數列的連續函數定理, The continuous function theorem for sequences). 令 {an} 為一實數列, 且 an→ L。 若 f(x) 是一個函數, 在 an 上均有定義, 且在 L 連續, 則 f(an)→ f (L)。
[註] 連續的條件是必要的。 例: 令 f(x) = bxc, an = n−1n , 則 lim
n→∞an = 1, 但 lim
n→∞f (an) = 06=
f (1).
例 11.1.19. 求以下各極限:
(1) lim
n→∞
qn+1 n
(2) lim
n→∞21n (3) lim
n→∞sin¡π
n
¢
第 11 章 無限級數 11.1 數列
定理 11.1.20. 若 f(x) 定義在區間 [n0,∞)上, 且 {an} 為一數列滿足 an = f (n), ∀n ≥ n0, 則
xlim→∞f (x) = L⇒ lim
n→∞an = L.
[註] 此定理逆敘述不見得成立。 例如 lim
n→∞sin nπ = 0,但 lim
x→∞sin xπ 不存在。
例 11.1.21. 以任意方法求以下各極限:
(1) lim
n→∞
ln n n 。 (2) lim
n→∞
ln n2 5n2 。 (3) lim
n→∞
2n 5n。 (4) lim
n→∞(1 + xn)n。 (5) lim
n→∞(n+1n−1)n 。 (6) lim
n→∞xn1 , (x > 0)。 (7) lim
n→∞xn , (|x| < 1) 。 (8) lim
n→∞
√n
n。 (9) lim
n→∞
√n
n2。 (10) lim
n→∞
√n
3n。 (11) lim
n→∞
xn n!。 (12) lim
n→∞
n!
nn。
例 11.1.22. 求以下各極限:
(1) lim
n→∞
tan−1n n 。 (2) lim
n→∞n sinn1。 (3) lim
n→∞
ln n ln 2n。 (4) lim
n→∞(ln(n + 1)− ln n)。
例 11.1.23. 對那些 r 值, 數列 {nrn} 為收斂 ? 升降性與有界性
定義 11.1.24. (1) 若 an< an+1 ∀n ≥ 1, 則 {an} 稱為上升數列。
(2) 若 an≤ an+1,∀n, 則稱 {an} 為非下降數列 (nondecreasing sequence)。
第 11 章 無限級數 11.1 數列
(3) 若 an> an+1 ∀n ≥ 1, 則 {an} 稱為下降數列。
(4) 若 an≥ an+1,∀n, 則稱 {an} 為非上升數列 (nondecreasing sequence)。
(5) {an} 為上升或下降數列, 則統稱為單調 (monotonic)。
(6) 若存在 M, 使得 an < an+1,∀ n > N, 則稱 {an} 為終極上升 (ultimately increasing) 數 列 。
定義 11.1.25. (1) 若 存在 M, 使得 an ≤ M, ∀n, 則稱 {an} 為有上界 (bounded above), 且 M 稱為上界 (upper bound)。
(2) 存在 N, 使得 an ≥ N, ∀n, 則稱 {an} 為有下界 (bounded below), 且 M 稱為下界 (lower bound)。
(3) {an} 有上界且有下界, 則稱為有界數列 (bounded sequence)。
(4) 若 M 為上界, 且沒有任一個比 M 小之數為 {an} 之上界, 則 M 稱為最小上界 (least upper bound)。
(5) 若 N 為上界, 且沒有任一個比 N 大之數為 {an} 之下界, 則 N 稱為最大下界 (greatest lower bound)。
例 11.1.26. 以下為非下降數列:
(1) {1, 2, 3, . . . , n, . . . } (2) {12,23,34, . . . ,n+1n , . . .}, (3) {3, 3, 3, . . . }。
其中 (1) 有下界, 沒有上界, (2) 有界, 且 1 為最小上界。
例 11.1.27. © 3
n+5
ª、© n
n2+1
ª 為下降數列。
11.1.28. 實數完備性 (Completeness Axiom): 若 S 為 R 的非空子集, 且有一上界, 則必有最小 上界。
[註] 有理數 Q 不具完備性, 例如: S = {x ∈ Q|x2 < 2} 有上界, 卻沒有最小上界。
定理 11.1.29. (單調數列定理 monotonic sequence theorem) (1) 一個非下降數列收斂的充要條件是它有上界。
(2) 若非下降數列收斂, 則它收斂到最小上界。
[註] 此定理之反例:
(1) 並非有界數列必收斂, 例如 {(−1)n}。
(2) 並非單調數列必收斂, 例如 {n}。
例 11.1.30. 定義數列 a1 = 1, an+1= 3−a1n,求 lim
n→∞an 。 例 11.1.31. 討論數列 {an} 之斂散性, 其中