第 11 章 無限級數 (Infinite Series)

第 11 章

無限級數 (Infinite Series)

目錄

11.1 數列 . . . . 108

11.2 無窮級數 . . . . 114

11.3 積分審歛法 . . . . 117

11.4 比較審歛法 . . . . 118

11.5 比例審斂法 . . . . 120

11.6 根式審斂法 . . . . 121

11.7 交錯級數 . . . . 122

11.8 絕對收斂與條件收斂 . . . . 123

11.9 冪級數 . . . . 130

11.10冪級數的運算 . . . . 132

11.11函數的冪級數表現 . . . . 133

11.12Taylor 級數及 Taylor 多項式 . . . . 134

11.13冪級數之應用 . . . . 137

(1) 無論就人或機械而言多項式是最自然的。 線性逼近定裡是用一次式來逼近; Simpson 法是用二 次式估計積分。

(2) 介紹無限數列與級數的概念。

(3) 介紹無限級數的各種審斂法。

(4) 介紹 Taylor 級數的概念。

(5) 介紹冪級數之各種應用。

11.1 數列 (Sequences)

(i) 介紹無限數列的斂散性。

(ii) 介紹無限數列極限的計算。

第 11 章 無限級數 11.1 數列

(iii) 介紹無限數列的典型例子。

(iv) 介紹一些無限數列的性質 。 數列定義

定義 11.1.1. 數列 (sequence) 是一個定義在正整數 N 上之函數。 若此函數為 f, 我們常將 f(n) 記為 an 。 數列可記為 {a1, a₂, a₃, . . .}、{an} 或 {an}^∞_n=1。 其中 a1 稱為首項(first term), an 稱為 第 n 項。

[註] 一個數列可以由函數圖形來瞭解其性質。

數列的例子

例 11.1.2. (1) a_n =√

n, {an} = {1,√ 2,√

3, . . . ,√

n, . . .}。

(2) b_n = (−1)^{n+1 1}_n, {bn} = {1, −¹₂,¹₃,−¹₄, . . .}。

(3) c_n= ⁿ⁻¹_n , {cn} = {0,₂¹,²₃,³₄, . . . ,ⁿ⁻¹_n , . . .}。

(4) d_n = (−1)ⁿ⁺¹, {dn} = {1, −1, 1, −1, . . . , (−1)ⁿ⁺¹, . . .}。

例 11.1.3. 一個數列不一定須要從 n = 1 開始定義。

(1)

n(−1)ⁿ(n+1) 3ⁿ

o。

(2) ©√

n− 3ª_∞

n=3。 (3) ©

cos^nπ₆ ª_∞

n=0。

例 11.1.4. 求一般項 an 的公式: 其前幾項是 ©₃

5,−₂₅⁴ ,₁₂₅⁵ ,−₆₂₅⁶ ,₃₁₂₅⁷ , . . .ª

。

[註] 這不是一個正確的 “數學題目”。 例如: 前幾項是 {1, 2, 3, 4, . . . }, 但 an= n⁴−10n³+35n²− 49n + 24 滿足此條件。

例 11.1.5. 有一些數列並沒簡單的定義公式:

(1) 數列 {an}²⁰¹⁶_n=1900,其中 an 是西元 n 年元旦的人口數。

(2) 數列 {7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .}, 其中 an 是 e 的小數展開式中, 小數點後第 n 位。

(3) 數列 {an}, 其中 an 是第 n 個質數。 質數定理 (Prime Number Theorem): 令 π(x) 為小 於 x 的質數個數, 則 π(x) ∼ _{ln x}^x 。

例 11.1.6. 以遞迴公式定義的數列, 是給定頭幾項, 再利用前幾項, 由遞迴公式 (recursion for- mula) 求出下一項。

(1) a1 = 1, an= an−1+ 1 。 (2) a₁ = 1, a_n= na_n−1 。

(3) 牛頓法: x0 = 1, x_n+1 = x_n− (_{cos x}^{sin x}_nⁿ_−2x^−x2n_n) 。 此數收斂到 sin x − x² = 0 的根。

(4) Fibonacci 數列: a1 = 1, a₂ = 1, a_n+1= a_n+ a_n−1 。

第 11 章 無限級數 11.1 數列

數列的極限

定義 11.1.7. (1) 一個數列 {an} 若滿足 ∀ ² > 0, ∃N 使得若 n > N 則 |an− L| < ², 則稱 {an} 的極限 (limit) 為 L。 可記為 lim

n→∞an= L或 “當 n → ∞, an→ L”。

(2) 若極限存在, 我們稱該數列收斂 (converge), 否則稱為發散 (diverge)。

(3) 令 {an} 為一數列。 若對任一數 M, 均存在 N, 使得 ∀n > N ⇒ an > M , 則稱 {an} 發散 到無限大 (diverges to infinity)。 記為 lim

n→∞a_n =∞, 或 an→ ∞。

(4) 若對任一數 m, 均存在 N, 使得 ∀n > N ⇒ an< m, 則稱 {an} 發散到負無限大 (diverges to negative infinite)。 記為 lim

n→∞a_n =−∞, 或 an→ −∞。

例 11.1.8. (1) lim

n→∞k = k。 (2) lim

n→∞

1 n = 0。 (3) 若 r > 0, lim

n→∞

1 n^r = 0。 (4) lim

n→∞

√n =∞。

例 11.1.9. 討論數列 {rⁿ} 的斂散性。

例 11.1.10. 數列 {1, −1, 1, −1, . . . (−1)ⁿ⁺¹, . . .} 為發散。

[註] 一個發散數列不見得發散到正或負無限大, 如 {1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . } 及 {1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . . }。

數列極限的基本性質

性質 11.1.11. 若 {an} 及 {bn} 為兩收斂數列, c 為常數。 則 (1) lim

n→∞(a_n+ b_n) = lim

n→∞a_n+ lim

n→∞b_n。 (2) lim

n→∞(a_n− bn) = lim

n→∞a_n− lim

n→∞b_n。 (3) lim

n→∞c· an= c· lim

n→∞an。 (4) lim

n→∞a_nb_n= lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n。 (5) 若 lim

n→∞b_n6= 0, lim

n→∞

an

bn = ^nlim_lim^→∞an

n→∞bn。 (6) 若 p ∈ R 且 an> 0, lim

n→∞a^p_n=

³

nlim→∞a_n

´p

。(若 p < 0, 則要求 lim

n→∞a_n 6= 0。) 例 11.1.12. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞(−_n⁵²)。 (2) lim

n→∞(ⁿ⁻¹_n )。

第 11 章 無限級數 11.1 數列 (3) lim

n→∞

4−7n⁶ n⁶+3。 (4) lim

n→∞(n−√

n + 1√

n + 3)。

例 11.1.13. 若 a0+ a₁+ a₂+· · · + ak = 0, 求 lim

n→∞(a₀√

n + a₁√

n + 1 + a₂√

n + 2 +· · · + ak

√n + k)。

例 11.1.14. (1) 若 a, b 為相異正數, 求 lim

n→∞

aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹ aⁿ+bⁿ 。

(2) 若 {an} 為正項數列, 且 logn+1a_n= 1 + (n+1) ln(n+1)¹ , 求 lim

n→∞

an

n 。

定理 11.1.15. (1) 令 {an}, {bn} 為實數數列。 若對大於某數 N 的所有 n, an≤ bn 均成立, 則

nlim→∞a_n ≤ lim

n→∞b_n.

(2) (三明治定理, 夾擊定理, Sandwich Theorem, Squeeze Theorem) 令 {an}, {bn}, {cn} 為 實數數列。 若對大於某數 N 的所有 n, an ≤ bn ≤ cn 均成立。 假設 lim

n→∞an = lim

n→∞cn = L, 則 lim

n→∞b_n= L。 例 11.1.16. (1) 若 lim

n→∞|an| = 0, 則 lim

n→∞a_n= 0。 (2) 若 |bn| ≤ cn, 且 cn → 0, 則 bn → 0。

(3) 若 lim

n→∞a_n= 0, 且 {bn} 為有界, 則 lim

n→∞a_nb_n= 0。 [註] 若 lim

n→∞|an| 6= 0, 則 (1) 不見得成立。

例 11.1.17. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞

cos n n

(2) lim

n→∞(−1)^{n 1}_n

定理 11.1.18 (數列的連續函數定理, The continuous function theorem for sequences). 令 {an} 為一實數列, 且 an→ L。 若 f(x) 是一個函數, 在 an 上均有定義, 且在 L 連續, 則 f(an)→ f (L)。

[註] 連續的條件是必要的。 例: 令 f(x) = bxc, an = ⁿ⁻¹_n , 則 lim

n→∞a_n = 1, 但 lim

n→∞f (a_n) = 06=

f (1).

例 11.1.19. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞

qn+1 n

(2) lim

n→∞2¹ⁿ (3) lim

n→∞sin¡_π

n

¢

第 11 章 無限級數 11.1 數列

定理 11.1.20. 若 f(x) 定義在區間 [n0,∞)上, 且 {an} 為一數列滿足 an = f (n), ∀n ≥ n0, 則

xlim→∞f (x) = L⇒ lim

n→∞a_n = L.

[註] 此定理逆敘述不見得成立。 例如 lim

n→∞sin nπ = 0,但 lim

x→∞sin xπ 不存在。

例 11.1.21. 以任意方法求以下各極限:

(1) lim

n→∞

ln n n 。 (2) lim

n→∞

ln n² 5n² 。 (3) lim

n→∞

2ⁿ 5n。 (4) lim

n→∞(1 + ^x_n)ⁿ。 (5) lim

n→∞(ⁿ⁺¹_n−1)ⁿ 。 (6) lim

n→∞xⁿ¹ , (x > 0)。 (7) lim

n→∞xⁿ , (|x| < 1) 。 (8) lim

n→∞

√n

n。 (9) lim

n→∞

√n

n²。 (10) lim

n→∞

√n

3n。 (11) lim

n→∞

xⁿ n!。 (12) lim

n→∞

n!

nⁿ。

例 11.1.22. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞

tan⁻¹n n 。 (2) lim

n→∞n sin_n¹。 (3) lim

n→∞

ln n ln 2n。 (4) lim

n→∞(ln(n + 1)− ln n)。

例 11.1.23. 對那些 r 值, 數列 {nrⁿ} 為收斂 ? 升降性與有界性

定義 11.1.24. (1) 若 an< an+1 ∀n ≥ 1, 則 {an} 稱為上升數列。

(2) 若 an≤ an+1,∀n, 則稱 {an} 為非下降數列 (nondecreasing sequence)。

第 11 章 無限級數 11.1 數列

(3) 若 an> a_n+1 ∀n ≥ 1, 則 {an} 稱為下降數列。

(4) 若 an≥ an+1,∀n, 則稱 {an} 為非上升數列 (nondecreasing sequence)。

(5) {an} 為上升或下降數列, 則統稱為單調 (monotonic)。

(6) 若存在 M, 使得 an < a_n+1,∀ n > N, 則稱 {an} 為終極上升 (ultimately increasing) 數 列 。

定義 11.1.25. (1) 若 存在 M, 使得 an ≤ M, ∀n, 則稱 {an} 為有上界 (bounded above), 且 M 稱為上界 (upper bound)。

(2) 存在 N, 使得 an ≥ N, ∀n, 則稱 {an} 為有下界 (bounded below), 且 M 稱為下界 (lower bound)。

(3) {an} 有上界且有下界, 則稱為有界數列 (bounded sequence)。

(4) 若 M 為上界, 且沒有任一個比 M 小之數為 {an} 之上界, 則 M 稱為最小上界 (least upper bound)。

(5) 若 N 為上界, 且沒有任一個比 N 大之數為 {an} 之下界, 則 N 稱為最大下界 (greatest lower bound)。

例 11.1.26. 以下為非下降數列:

(1) {1, 2, 3, . . . , n, . . . } (2) {¹₂,²₃,³₄, . . . ,_n+1ⁿ , . . .}, (3) {3, 3, 3, . . . }。

其中 (1) 有下界, 沒有上界, (2) 有界, 且 1 為最小上界。

例 11.1.27. © ₃

n+5

ª、© _n

n²+1

ª 為下降數列。

11.1.28. 實數完備性 (Completeness Axiom): 若 S 為 R 的非空子集, 且有一上界, 則必有最小 上界。

[註] 有理數 Q 不具完備性, 例如: S = {x ∈ Q|x² < 2} 有上界, 卻沒有最小上界。

定理 11.1.29. (單調數列定理 monotonic sequence theorem) (1) 一個非下降數列收斂的充要條件是它有上界。

(2) 若非下降數列收斂, 則它收斂到最小上界。

[註] 此定理之反例:

(1) 並非有界數列必收斂, 例如 {(−1)ⁿ}。

(2) 並非單調數列必收斂, 例如 {n}。

例 11.1.30. 定義數列 a1 = 1, a_n+1= 3−_a¹_n,求 lim

n→∞a_n 。 例 11.1.31. 討論數列 {an} 之斂散性, 其中

第 11 章 無限級數 11.2 無窮級數

(a) a₁ = 2, a_n+1= ¹₂(a_n+ 6)。 (b) a₁ = 10, a_n+1 = ¹₂(a_n+ 6)。

(c) a1 = 2, an+1= 2 (an+ 6)。

例 11.1.32. 令 a 及 b 為正數, 且 a > b。 定義算術平均數 (arithmetic mean) 為 a1 = ^a+b₂ , 幾 何平均數 (geometric mean) 為 b1 =√

ab。 同時, 定義 an+1 = ^an+b₂ ⁿ 及 bn+1 =√

anbn 。 證明:

(a) a_n > a_n+1> b_n+1 > b_n 。 (b) 證明 {an} 及 {bn} 為收斂。

(c) 證明 lim

n→∞a_n= lim

n→∞b_n,此數稱為算幾平均數。

例 11.1.33. 令 a1 = 1 及 an+1 = 1 +_1+a¹

n 。 證明 lim

n→∞a_n=√

2。 因此 √

2 = 1 +₂₊¹1 2+···,此 為連分數展開 (continued fraction expansion)。

11.2 無窮級數 (Infinite Series)

(i) 定義無窮級數如何求和。

(ii) 定義無窮級數的歛散性。

(iii) 介紹無窮級數的一些典型例子。

(iv) 介紹無窮級數的一些基本性質。

例 11.2.1. 如何求 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ?

[註] Guido Ubaldus 自認為證明了神的存在, 因為 “something has been created out of nothing

”。

定義 11.2.2. (1) 給定一數列 {an}, 則 a1+ a2+ a3+· · · + an+· · · 稱為一無窮級數 (infinite series), 其中 an 稱為級數的第 n 項。

(2) 令 sn = Pn k=1

a_k, 則數列 {sn} 稱為部份和數列 (sequence of partial sums), 其中 sn 稱為第 n 個部份和。

(3) 若數列 {sn} 收斂, 且 lim

n→∞s_n = s,則稱 P^∞

n=1

a_n 收斂 (converges), 且 s 稱為此級數的和, 記 為 P^∞

n=1

a_n= s。 若數列 {sn} 發散, 則稱此級數為 發散 (diverges)。

註 11.2.3. (1) 將一級數加入有限項或去掉有限項, 可能影響其和, 但並不會影響其歛散性。

(2) 只要保持級數各項的順序, 重新設定各項的指標並不會影響其歛散性。

例 11.2.4. 級數 P^∞

n=1

a_n 的部份和為 sn= 3− n2⁻ⁿ, 求 an 及和 P^∞

n=1

a_n。

第 11 章 無限級數 11.2 無窮級數

級數之例

例 11.2.5. 幾何級數 (geometric series) P^∞

n=1

arⁿ⁻¹, 其中 r 為公比, a 6= 0。 若 |r| < 1, 則此級 數收斂到 _1−r^a ;若 |r| ≥ 1, 則此級數發散。

例 11.2.6. 求下列各級數的和。

(1) P^∞

n=1 1 9

¡₁

3

¢n−1

,

(2) P^∞

n=1

(−1)ⁿ5ⁿ 4ⁿ ,

(3) 5− ¹⁰₃ +²⁰₉ − ⁴⁰₂₇+· · · , (4) P^∞

n=1

2²ⁿ3¹⁻ⁿ ,

(5) 將一球從高 a 公尺處擲下。 每當球落地後, 反彈的高度為落下高度的 r 倍 (0 < r < 1)。 求球 往返的總距離。

(6) 循環小數 5.23232323 · · · 。 例 11.2.7. 求 c 值, 使得 P^∞

n=2

(1 + c)⁻ⁿ = 2 。

例 11.2.8. 曲線 y = e^−10x sin x, x ≥ 0, 繞 x-軸旋轉成一串珠子。

(a) 求每顆珠子的體積。

(b) 求整串珠子的體積。

定理 11.2.9. (瞭望法, telescoping) 給定數列 {an}, 則級數 P^∞

n=1

(a_n− an+1) 收斂的充要條件是

nlim→∞a_n 存在。 且收斂時, 其和為 a1− lim

n→∞a_n 。 例 11.2.10. 求下列各級數的和。

(1) P^∞

n=1 1 n(n+1) , (2) P^∞

n=1

lnⁿ⁺¹_n ,

(3) P^∞

n=1

3n²+3n+1 (n²+n)³ , (4) P^∞

n=1 1 n⁵−5n³+4n 。

例 11.2.11. 給定 a1, a2, 定義 an = ¹₂(an−1+ an−2), 求 lim

n→∞an 。 例 11.2.12. 求下列各級數的和。

第 11 章 無限級數 11.2 無窮級數

(1) P^∞

n=1

n² ,

(2) P^∞

n=1 n+1

n ,

(3) 1 + ¹₂ + ¹₂ +¹₄ + ¹₄ +¹₄ +¹₄ + ¹₈ +· · · + ₂¹ⁿ +· · · , 其中 ₂¹ⁿ 有 2ⁿ 項。

例 11.2.13. (a) 證明 tan¹₂x = cot¹₂x− 2 cot x 。 (b) 求級數 P^∞

n=1 1

2ⁿ tan₂^xn 之和。

例 11.2.14. (a) 證明: 對 xy 6= 1, tan⁻¹x− tan⁻¹y = tan^{−1 x−y}_1+xy, 若左側介於 −^π₂ 與 ^π₂ 之 間。

(b) 證明一個對應於 cot⁻¹x的等式 。 (c) 求 P^∞

n=0

cot⁻¹(n²+ n + 1) 之和。

例 11.2.15. 調和級數 (harmonic series) P^∞

n=1 1

n 為發散。

例 11.2.16. 證明, 若 n > 1, 調和級數的第 n 個部份和不為整數。

定理 11.2.17. (1) 若 P^∞

n=1

a_n 收斂, 則 lim

n→∞a_n = 0。 (2) (發散判斷法) 若 lim

n→∞an 不存在或不為 0, 則 P^∞

n=1

an 發散。

[註] (1) 此定理之逆敘述不見得成立, 例如 P^∞

n=1 1 n。

(2) 此推論只能用來判斷級數之發散性, 對於級數之收斂性毫無助益。

例 11.2.18. 判斷下列各級數的歛散性。

(1) P^∞

n=1

n² ,

(2) P^∞

n=1 n+1

n , (3) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ,

(4) P^∞

n=1 n² 5n²+4 。

例 11.2.19. 若級數 P^∞

n=1

a_n(a_n6= 0) 收斂, 則 P^∞

n=1

1/a_n 如何?

級數運算

第 11 章 無限級數 11.3 積分審歛法

定理 11.2.20. 若 P^∞

n=1

a_n, P^∞

n=1

b_n 為收斂級數, 則

(1) P^∞

n=1

ca_n= c P^∞

n=1

a_n。

(2) P^∞

n=1

(a_n+ b_n) = P^∞

n=1

a_n+ P^∞

n=1

b_n。

(3) P^∞

n=1

(a_n− bn) = P^∞

n=1

a_n− P^∞

n=1

b_n。

註 11.2.21. (1) P^∞

n=1

(a_nb_n) = P^∞

n=1

a_n P^∞

n=1

b_n 不見得成立。 例如: an= b_n=¡₁

2

¢n

。

(2) 發散級數的非零倍仍為發散級數。

(3) 若 P^∞

n=1

a_n 收斂, P^∞

n=1

b_n 發散, 則 P^∞

n=1

(a_n± bn) 必為發散。

(4) 即使 P^∞

n=1

an, P^∞

n=1

bn 均為發散, P^∞

n=1

(an± bn)仍可能收斂。 例如 an= 1, bn=−1, ∀n。

例 11.2.22. 判斷下列各級數的歛散性。

(1) P^∞

n=1 3ⁿ⁻¹−1

6ⁿ⁻¹ , (2) P^∞

n=1 4 2ⁿ , (3) P^∞

n=1

h 3

n(n+1) + ₂¹n

i 。

正項級數

定義 11.2.23. 若一級數的各項均為非負實數, 則稱之為正項級數 (series with positive terms)。

定理 11.2.24. 一個正項級數 P^∞

n=1

a_n 收斂的充要條件是它的部份和數列有上界。

11.3 積分審歛法 (Integral Test)

(i) 我們先考慮所有項均為非負的正項級數。

(ii) 以下將介紹一連串的審斂法, 首先是積分審斂法。

定理 11.3.1. (積分審歛法, integral test) 令 {an} 為一正項級數。 若 f(x) 為定義在區間 [N, ∞) 上的連續、 正值、 遞減函數, 且 f(n) = an, ∀n ≥ N, 則 P^∞

n=1

a_n 與瑕積分 R_∞

N f (x)dx 同歛散。

第 11 章 無限級數 11.4 比較審歛法

定理 11.3.2. (積分審歛法之餘項估計) 設 f(x) 在 x ≥ 1 上為連續、 遞減、 正值函數, 且 an = f (n), P^∞

n=1

a_n 收斂。 令 sn 為此數列的部份和, s 為級數和, 且 Rn= s− sn, 則 Z _∞

n+1

f (x)dx≤ Rn ≤ Z _∞

n

f (x)dx, 即

s_n+ Z _∞

n+1

f (x)dx≤ s ≤ sn+ Z _∞

n

f (x)dx.

例 11.3.3. (1) 判斷 P^∞

n=1 1

n²+1 之歛散。

(2) 判斷 P^∞

n=1 ln n

n 之歛散性。

定理 11.3.4. (p-級數) P^∞

n=1 1

n^p 收斂的充要條件為 p > 1。

例 11.3.5. 分別求 p 值, 使以下級數收斂:

(1) P^∞

n=3 1

n ln n(ln ln n))^p 。 (2) P^∞

n=1

p^{ln n} 。

(3) P^∞

n=1

¡_p

n− _n+1¹ ¢

。

例 11.3.6. (a) 利用前 10 項的和估計 P^∞

n=1 1

n³, 並估計誤差。

(b) 若要誤差小於 0.0005, 則要估計到第幾項?

例 11.3.7. Leonhard Euler求出 P^∞

n=1 1

n² = ^π₆², 試利用此結果求 P^∞

n=1 1 2(n+1)² 。 [註] P^∞

n=1 1

n⁴ = ^π₉₀⁴ 。

例 11.3.8. 令 tn= 1 + ¹₂ + ¹₃ +· · · +_n¹ 。 證明數列 tn 的極限存在。

[註] 此極限 γ 稱為 Euler 常數, 其值約為 0.57716 。

11.4 比較審歛法 (Comparison Test)

比較審歛法

定理 11.4.1. (比較審歛法) 令 P^∞

n=1

a_n 為一正項級數, 則:

第 11 章 無限級數 11.4 比較審歛法

(1) 若存在收斂的級數 P^∞

n=1

c_n 使得 an ≤ cn, ∀n ≥ N, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(2) 若存在發散的正項級數 P^∞

n=1

d_n 使得 an≥ dn, ∀n ≥ N, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

例 11.4.2. 判斷下列各級數的歛散性:

(1) P^∞

n=1 5 5n−1 。 (2) P^∞

n=1 ln n

n 。 (3) P^∞

n=1 1 2n²+4n+3 。 (4) P^∞

n=1 1 n! 。

(5) 5 + ²₃ + ¹₇ + 1 + ₂₊^1√₁ +₄₊^1√₂ +· · · +₂n+¹√

n+· · · 。 例 11.4.3. 利用前 100 項的和來估計 P^∞

n=1 1

n³+1,並估計其誤差。

極限比較審歛法

定理 11.4.4. (極限比較審歛法, Limit Comparison Test) 設 an, b_n > 0, ∀n > N。

(1) 若 lim

n→∞

an

b_n = c > 0, 則 P^∞

n=1

an 與 P^∞

n=1

b_n 同歛散。

(2) 若 lim

n→∞

a_n

b_n = 0, 且 P^∞

n=1

b_n 收斂, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(3) 若 lim

n→∞

a_n

b_n =∞, 且 P^∞

n=1

bn 發散, 則 P^∞

n=1

an 發散。

例 11.4.5. 判斷下列各級數的歛散性:

(1) P^∞

n=1 2n+1 n²+2n+1 。 (2) P^∞

n=1 2n√²+3n

5+n⁵ 。 (3) P^∞

n=1 ln n n³² 。 (4) P^∞

n=1

1+n ln n n²+5 。 (5) P^∞

n=1 1 2ⁿ−1 。

第 11 章 無限級數 11.5 比例審斂法

例 11.4.6. (1) 若正項級數 P^∞

n=1

a_n收斂, 則級數 P^∞

n=1

ln(1 + a_n) 如何?

(2) 若正項級數 P^∞

n=1

an收斂, 則級數 P^∞

n=1

sin(an)如何?

(3) 若正項級數 P^∞

n=1

a_n 及 P^∞

n=1

b_n 均收斂, 則級數 P^∞

n=1

a_nb_n 如何?

11.5 比例審斂法 (Ratio Test)

定理 11.5.1. (比例審斂法, d’Almbert) 令 P^∞

n=1

a_n 為一正項級數, 且設 lim

n→∞

an+1

an = ρ, 則:

(1) 若 ρ < 1, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(2) 若 ρ > 1 或 ρ 為無限大, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

(3) 若 ρ = 1, 則無法下結論。

例 11.5.2. 判斷以下級數之斂散:

(1) P^∞

n=1

n⁴+3n³+2n²+4n+5

3ⁿ 。

(2) P^∞

n=1

(n⁵²−2007n²⁴+100n−90) ln n

n³² 。

(3) P^∞

n=1

√n³+3n−1 n²+5 。 (4) P^∞

n=1 πⁿ+5

eⁿ 。 (5) P^∞

n=1 (2n)!

n!n! 。 (6) P^∞

n=1 nⁿ

n! 。 (7) P^∞

n=1 4ⁿn!n!

(2n)! 。 (8) an =

½ _n

2ⁿ n 為奇數

1

2ⁿ n 為偶數 。 例 11.5.3. 級數 P^∞

n=1

a_n 定義為 a1 = 1, a_n+1 = ^{2+cos n}√

n a_n, 判斷 P^∞

n=1

a_n 的斂散 。

例 11.5.4. 求正數 k 及 ` 之值, 使得級數 P^∞

n=1 (n!)^`

(kn)! 收斂 。

第 11 章 無限級數 11.6 根式審斂法

例 11.5.5. 證明 P^∞

n=1 nⁿ

(2n)! 收斂, 並導出 lim

n→∞

nⁿ (2n)! = 0。 例 11.5.6. 令 P^∞

n=1

a_n 為正項級數, 且 rn = ^an+1_a

n 。 假設 lim

n→∞r_n= L < 1。 令 Rn 為 n 次餘項 。 (a) 若 {rn} 為下降數列, 且 rn+1 < 1, 證明 Rn ≤ _1−r^an+1_n+1 。

(b) 若 {rn} 為上升數列, 證明 Rn ≤ ^a₁ⁿ⁺¹_−L 。 例 11.5.7. (1) 考慮級數 P^∞

n=1 1

n2ⁿ, 利用 s5估計此級數和, 並求其誤差 。 (2) 求 n 值, 使 sn 的誤差小於0.00005 。

11.6 根式審斂法 (Root Test)

定理 11.6.1. (根式審斂法) 令 P^∞

n=1

a_n 為正項級數, 且設 lim

n→∞

√n

a_n = ρ,則:

(a) 若 ρ < 1, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(b) 若 ρ > 1 或 ρ 為無限大, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

(c) 若 ρ = 1, 則無法下結論。

例 11.6.2. 判斷以下級數之斂散:

(1) P^∞

n=1

¡ ₁

1+n

¢n

。

(2) P^∞

n=1

¡_2n+3

3n+2

¢n

。

(3) P^∞

n=1 n² 2ⁿ 。 (4) P^∞

n=1 2ⁿ n² 。 (5) a_n =

½ _n

2ⁿ n 為奇數

1

2ⁿ n 為偶數 。

第 11 章 無限級數 11.7 交錯級數

11.7 交錯級數 (Alternating Series)

定義 11.7.1. 若 bn ≥ 0, ∀n, 則 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹bn 或 P^∞

n=1

(−1)ⁿbn 稱為交錯級數 (alternating series)。

定理 11.7.2. (交錯級數審斂法, Leibniz 定理) 若一交錯級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹b_n, b_n≥ 0 滿足以下兩 條件, 則為收斂。

(a) {bn} 為下降數列。

(b) lim

n→∞bn= 0。

定理 11.7.3. (交錯級數估計定理) 若交錯級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹bn 滿足上定理的二條件, 且其值為 L, 則以 sn 為估計值所造成的誤差 Rn 滿足 |Rn| = |sn− L| ≤ bn+1。

例 11.7.4. 判斷下列級數的歛散:

(1) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n 。

(2) P^∞

n=1

(−1)ⁿ_4n³ⁿ₋₁ 。

(3) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹_n³ⁿ₊₁² 。

(4) P^∞

n=1 n cos nπ

2ⁿ 。

例 11.7.5. 若 n 為奇數, bn = _n¹; 若 n 為偶數, bn= _n¹2 。 判斷級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹b_n 的斂散性 。

例 11.7.6. 以 s8 估計 P^∞

n=0

(−1)^{n 1}₂n 之和, 並估計其誤差。

例 11.7.7. 估計 P^∞

n=1 (−1)ⁿ

n! 精確到小數第三位。

例 11.7.8. 令 hn 及 sn 分別為調和級數及交錯調和級數的部份和數列。

(a) 證明 s2n= h_2n− hn 。 (b) 利用 Euler 常數證明 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = ln 2 。

第 11 章 無限級數 11.8 絕對收斂與條件收斂

11.8 絕對收斂與條件收斂 (Absolute Convergence and Conditional Convergence)

定義 11.8.1. 給定一級數 P^∞

n=1

a_n (不一定是正項或交錯), 則

(1) 若 P^∞

n=1

|an| 收斂, 則稱 P^∞

n=1

a_n 為絕對收斂 (absolutely convergent)。

(2) 若 P^∞

n=1

a_n 收斂, 但非絕對收斂, 則稱 P^∞

n=1

a_n 為條件收斂 (conditionally convergent)。

定理 11.8.2. (絕對收斂審斂法) 若 P^∞

n=1

|an| 收斂, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

例 11.8.3. 判斷以下級數為絕對收斂, 條件收斂或發散:

(1) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n^p , p > 0 。 (2) P^∞

n=1

(−1)^{n+1 (ln n)}_n ^p 。

(3) P^∞

n=1

(−1)^{n n}₃ⁿ³ 。

(4) P^∞

n=1 sin n n^1.1 。

例 11.8.4. 令 bn 為正項數列, 且收斂到 ¹₂, 判斷級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿn!

nⁿb1b2···bn 的絕對收斂性 。 例 11.8.5. (a) 若級數 P^∞

n=1

a_n 為條件收斂, 則級數 P^∞

n=1

n²a_n 為發散。

(b) 若級數 P^∞

n=1

an 為條件收斂, 則級數 P^∞

n=1

nan 如何?

重組定理

定義 11.8.6. 一個級數的重組 (rearrangement), 就是將級數的各項改變次序。

定理 11.8.7. 若 P^∞

n=1

a_n 為絕對收斂, 而 {bn} 為 {an} 的重組, 則 P^∞

n=1

b_n 也是絕對收斂, 且 P∞

n=1

an= P^∞

n=1

bn。

例 11.8.8. 判斷 1 − ¹₄ − ₁₆¹ + ¹₉ +₂₅¹ +₄₉¹ −₃₆¹ − ₆₄¹ − ₁₀₀¹ −₁₄₄¹ +· · · 之歛散。

定理 11.8.9. (重組定理, Riemann rearrangement theorem) 若 P^∞

n=1

a_n 為條件收斂, 則必有一 個 P^∞

n=1

a_n 的重組, 使其和為任意給定的實數或發散。

第 11 章 無限級數 11.8 絕對收斂與條件收斂

例 11.8.10. 已知 1 − ¹₂ + ¹₃ −¹₄ + ¹₅ − · · · +⁽⁻¹⁾_nⁿ⁺¹ +· · · = ln 2。

(1) 證明 1 + ¹₃ −¹₂ +¹₅ + ¹₇ −¹₄ +· · · = ³₂ln 2。 (2) 將級數重組使其收斂到 1。

(3) 將級數重組使其發散到 ∞。

綜合例題. 判斷下列級數為絕對收斂、 條件收斂或發散:

(1) P^∞

n=1 n−1 2n+1

(2) P^∞

n=1 n² n³+1

(3) P^∞

n=1 n+n² 1+n+n⁴

(4) P^∞

n=1

(−1)ⁿ(n²+2n+4) (n+1)(n+2)(n+3)

(5) P^∞

n=1

1+(−1)ⁿ n²

(6) P^∞

n=1 1 1+2+3+···+n

(7) P^∞

n=1

¡ ₁

n² −_n¹³¢ (8) P^∞

n=1

¡ ₄

3n−5 − _6n+1⁸ ¢ (9) P^∞

n=1

(−1)ⁿ¡ ₁

3n−5 − _4n+1¹ ¢ (10) P^∞

n=1

√n³+1 3n³+4n²+2

(11) P^∞

n=1

√5

n¹⁸+2n¹⁵√−3n¹¹+4n⁹−6n⁷+11n⁵+4n²−1 n⁹−n⁵+23n²+n+17

(12) P^∞

n=1 (−1)ⁿ

√4n

(13) P^∞

n=1

√n+1−√ n−1 n

(14) P^∞

n=1

¡n−√

n²+ 1¢

(15) P^∞

n=1

(−1)ⁿ¡√

n + 1−√ n¢