假設流體為牛頓流體且流場滿足 Boussinesq 假設，流體考慮以達西(Darcy)模型
來描述，則動量方程式可以表示成：
(
∇ −ɶ ɶP (ρf −ρ0)g)
+Kµuɶ=0, (143)0 0 ( )
f Tf Tu n
ρ =ρ −ρ β ɶ − ɶ + ∆ρθɶ, (144)
其中
u
ɶ
為速度分布、 Pɶ 為壓力。µ、 K 、ρ分別為流體的黏滯性(viscosity)、滲透率 (permeability)及密度(density)；β為流體的體膨脹係數；∆ =ρ ρcell−ρf為游動微生物 與流體的密度差；θ與 nɶ 為游動微生物的平均體積與濃度。而流體的連續方程式為：
0
∇ ⋅ =u
ɶ ɶ (145) 假設不考慮微生物的生成與死亡，則微生物的濃度滿足
n q
ε ∂t
= −∇ ⋅
∂ ɶ
ɶ ɶ
ɶ (146) 其中ε為孔隙度
V n
q =nu+n j−D∇n
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ, (147) q
ɶ為微生物的流動通量。方程式(147)等號的右邊三項分別代表流體對流、微生物游動 速度與微生物濃度擴散造成之流動通量。其中D 為擴散係數，n Vɶ 為微生物的游動速 度。
本計畫為了將溫度以熱不平衡的方式表達出來，因此以兩個方程式模型(two temperature model) 來 考 慮 多 孔 性 介 質 固 體 與 液 體 並 非 處 在 熱 平 衡 狀 態 (thermal
non-equilibrium)，因此以兩個方程式模型(two temperature model)來描述液體與固體
的溫度分布分別如下：
( )f Tf ( )f f f 2 f ( s f)
c c u T k T h T T
ε ρ ∂t + ρ ⋅∇ =ε ∇ + −
∂
ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ (148) (1 )( )s Ts (1 ) s 2 s ( s f)
c k T h T T
ε ρ ∂t ε
− = − ∇ − −
∂
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ (149) 其中Tɶ 為溫度、 c 為比熱(specific heat)、 k 為熱傳導係數、 h 為固體與液體的熱傳系 數(interphase heat transfer coefficient)、下標 s 以及 f 分別代表固體與液體的物理性 質。
再將方程式(143)-(149)配合下面邊界條件：
0 :
x= u= =v 0, T 0, x
∂ =
∂ q j⋅ = 0 (150) :
x=L u= =v 0, T 0, x
∂ =
∂ q j⋅ = 0 (151) 0 :
y= u= =v 0, T =Tl, q i⋅ = 0
(152) :
y=d u= =v 0, T =Tu, q i⋅ = 0
(153) 再將方程式(143)–(153)配合下面參數來無因次化：
( )
ɶ ɶx y, =d x y(
,)
，(
,) ( )
f(
,)
f
u v k u v
c d ε
= ρ
ɶ ɶ ，
( )
f f
P k P
c K ɶ= µ
ρ (154)
( )
= − + ɶ ɶ ɶ ɶ
f l u f u
T T T T T ，Tɶs =
(
Tɶl−T Tɶu)
s+T ，ɶu( )
f 2f
c
t d t
= k ɶ ρ
(155)
並得到無因次化方程式為 1 P T jf nj u 0
ε ∇ + − + =
Ra Rb (156) 0
∇ ⋅ =u
(157)
n q
t
∂ = −∇ ⋅
∂
(158)
2 H( )
f
f f s f
T u T T T T
t
∂ + ⋅∇ = ∇ + −
∂
(159)
2 H( )
s
s s f
T T T T
α∂t
= ∇ − −
∂ ηηηη (160) 而無因次的邊界條件可改寫成
x=0 :u= =v 0, T 0, x
∂ =
∂ q j⋅ =0
(161)
L:
x=d u= =v 0, T 0, x
∂ =
∂ q j⋅ = 0 (162)
0 :
y= u= =v 0, T =1, q i⋅ = 0 (163)
1:
y= u= =v 0, T =0, q i⋅ = 0
(164)
方程式（158）以及邊界條件中的 q 是微生物流動通量，考慮一飽合多孔性介質 層，其上方有均勻平行光源照射，將光源效應考慮進來後，則無因次通量
q
在考慮光 強度效應下可表示成：( )
q=nu+nPeT I j−Le∇n
(165) 上面無因次方程式中
Ra 0
f
g TKd ρ β
εµκ
= ∆ 為 達 西 熱 雷 里 數 (Darcy Thermal Rayleigh
N0umber);Rb 0
f
gθ ρn Kd εµκ
= ∆ 為 達 西 生物 對 流 雷 里 數(bioconvection Darcy Rayleigh
number)； Le n
f
D
=εκ 為修正的路易斯數(modified Lewis number)； Pe
f
Vd
=εκ ɶ
為修正的
培萊克特數(modified Pelect number)；
2
H
f
hd εk
= 為無因次兩相熱傳係數(inter-phase heat
transfer coefficient)； f
s
α κ
= κ 為液體與固體熱擴散係數比(diffusivity ratio)；
(1 )
η f
s
k k ε
= ε
− 為孔隙度修正熱傳導係數比(porosity-modified conductivity ratio)。
計畫中針對趨光性微生物的熱-生物對流問題，對此問題來說，除了要考慮微生 物的濃度分布外，還需考慮液體內光強度的分布對微生物游動速度造成之影響。
當懸浮液有趨光性微生物時，根據Häder[36]的實驗結果，當光強度小於一臨界 值Ic時，微生物會分布在光源與臨界值之間，且微生物會游向臨界值的位置；反之，
當光強度大於Ic時，微生物會分布在光源反方向與臨界值之間，而游向臨界值。因
此趨光性微生物會聚集在所處環境的光源強度為I =Ic處。趨光性微生物的游動速度 將以下面方程式表示[36]：
c ( )
Vɶ=V T I p (166) 其中V 是一常數、c p
為光源對微生物的相對位置向量。 ( )T I 代表趨光性函數，根據
Häder[36]的實驗結果應滿足下面條件
( ) 0 0
c c
if I I T I if I I
≥ ≤
< >
(167) 假設微生物對光源的二次散射效應微弱可乎略不計，則在懸浮液中的光源強度可以 Lambert-Beer Law 表示成
( )
( , ) sexp
I x y I nds
σ γ
= −
∫
(168)其中Is為光源強度、
σ
為消散係數(extinction coefficient)、γ為光源到 (x,y) 的直線 區段。而光強度
I
無因次化後則可表示成(
1)
( , ) sexp ( , )
I x y =I −λ
∫
yn x y dy (169) 其中λ σ =
nd為趨光性微生物對光的吸收能力。本論文將考慮Vincent與Hill[15]所提 之以下的趨光性函數T I( )
( ) ( c)
T I = −Λ I−I (170) 其中Ic為臨界光強度
方程式(146)(147)和(169)(170)配合動量方程式及能量方程式及可統御趨光性微生物
在流體飽合多孔介質內的熱-生物對流系統。有關二維流場分析如下：
二維流場分布 二維流場分布 二維流場分布 二維流場分布
針對趨光性微生物在流體飽合多孔介質中的熱-生物對流的二維流場分布，引入
stream 函數，則可將系統方程式改寫成
2 ( )
f f f
f s f
T T T
T T T
t y x x y
ψ ψ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∇ + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H (171)
2 H( )
s
s s f
T T T T
α∂t η
= ∇ − −
∂ (172) 趨光性微生物的濃度分布方程式為
( ) 2
Pe Le
n n n
T I n
t y x x y
ψ ψ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + − = ∇
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (173) 動量方程式為
2 Tf n
x x
ψ ∂ ∂
∇ = −
∂ ∂
Ra Rb (174) 起始條件與邊界條件：
在t= 時，假設趨光性微生物的濃度是均勻分布，則 0
(
, , 0)
1n x y = (175)
f s 0
T T
ψ = = = (176)
假設邊界壁面為不滲透，則對於趨光性微生物，壁面的速度與溫度及微生物濃度分布 滿足
0 : 0, 0, Tf 0, Ts 0, n 0
x u v
x x x
ψ ∂ ∂ ∂
= = = = = = =
∂ ∂ ∂ , (177) / : 0, 0, Tf 0, Ts 0, n 0
x L d u v
x x x
ψ ∂ ∂ ∂
= = = = = = =
∂ ∂ ∂ , (178) 0 : 0, 0, f s 1,Pe ( )y 0 n
y u v T T T I n
ψ = ∂y
= = = = = = =
∂ , (179) 1: 0, 0, f s 0,Pe ( ) 1
y
y u v T T T I n n
ψ = ∂y
= = = = = = =
∂ . (180)
第 第 第
第七 七 七章 七 章 章 章 結果與討論 結果與討論 結果與討論 結果與討論
7.1 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱- 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 -- -生物對流穩定性分析 生物對流穩定性分析 生物對流穩定性分析 生物對流穩定性分析
在【圖七】中當臨界生物雷里數為零時H=0時RaD=40、H=1時RaD=42、H=10
時RaD=52、H=100時RaD=72以及H=1000時RaD=78。此結果與多孔性介質內的熱對
流研究一致[24]。由圖中可以看出臨界生物雷里數隨著熱雷里數之增加而減小。當熱 雷里數為負值，代表上表面為高溫下表面為低溫，此時溫度分布對流場有穩定作用，
因此需有較大之生物雷里數才能有對流發生。當熱雷里數為正時，代表上表面低溫下 表面高溫，此時溫度分布有助於對流的發生，因此較低之臨界生物雷里數就能發生對 流。【圖七】亦顯示不同H值下的影響。由圖中可以看出，當熱雷里數小於零時，H 值越大其臨界生物雷里數越小，顯示在此情況下，固體與液體間的熱傳會消減熱溫度 分布對於對流影響，因此在較低生物雷里數下就能產生對流。而相反地，當熱雷里數 大於零時，固體與液體間的熱交換有穩定流場的作用，在較高的臨界雷里數才能發生 對流，這是因為液體與固體進行熱交換的同時，會讓液體的溫度分布較均勻，因此消 減溫度梯度產生的浮力。
【圖八】為熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響，臨界波數隨著熱雷里數增加 而增加。當熱雷里數為負值時隨著H增加臨界波數也隨之遞增，當熱雷里數為正值後 則隨H遞減而增加。
【圖七】不同H值，熱雷里數對臨界生物雷里數的影響
【圖八】不同H值下，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數之影響
【圖九】顯示不同孔隙度修正熱傳導係數比(ηηηη)下，熱雷里數對熱-生物對流雷里數的 影響。圖中顯示孔隙度修正熱傳導係數比對臨界生物雷里數的影響與【圖七】中固體 與液體的熱傳係數H值的影響剛好相反。【圖十】顯示孔隙度修正熱傳導係數比對熱 -生物對流臨界波數的影響，可看出與【圖七】中H值的影響類似。【圖四】顯示在H=1
H=0 H=1
H=10
H=100
H=1000
H=0 H=1
H=10 H=100 H=1000
H=0 H=1
H=10 H=100 H=1000
時孔隙度修正熱傳導係數比對於流場的影響很小。【圖十一】為H=100時孔隙度修正 熱傳導係數比對臨界生物雷里數的影響，與【圖四】比較有明顯的變化，顯示隨著H 增加ηηηη對流場的影響會加大。【圖十一】中可看出熱雷里數為負值時孔隙度修正熱傳導 係數比越大其熱-生物對流雷里數也越大，顯示孔隙度修正熱傳導係數比越大時固體 熱傳係數較小需要比較大的熱-生物對流雷里數才能產生對流。熱雷里數為正值時，
熱-生物對流雷里數隨著孔隙度修正熱傳導係數比減少而增加。【圖十二】為H=100時 熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響，圖中顯示熱雷里數為負值時臨界波數隨著 孔隙度修正熱傳導係數比增加而降低，當熱雷里數為正值時則是相反。
【圖九】H=1時不同孔隙度修正熱傳導係數比(ηηηη)，熱雷里數對臨界生物雷里數之影響。
η = 0.1
η = 1
η = 10
η = 100
【圖十】H=1時不同孔隙度修正熱傳導係數比(ηηη)η，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數 之影響。
【圖十一】H=100時不同孔隙度修正熱傳導係數比(ηηηη)，熱雷里數對臨界生物雷里數之 影響。
η = 0.01 η = 0.1
η = 1
η = 10
η = 0.1
η = 1
η = 10
η = 100
【圖十二】H=100時不同孔隙度修正熱傳導係數比(ηηη)η，熱雷里數對熱-生物對流臨界 波數之影響。
【圖十三】中顯示不同培克萊特數下，熱雷里數對臨界生物雷里數之影響。顯示臨界 生物雷里數在隨著培克萊特數增加而遞減。圖中也顯示熱雷里數在不同的培克萊特數 下對臨界生物雷里數的影響為單調遞減(monotonically decrease)，顯示增加上表面與 下表面溫差有助於生物對流的發生。
【圖十四】顯示不同培萊克特數下，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響。圖 中顯示，培萊克特數大於 3 時，臨界熱-生物對流波數(critical wave number of
thermo-bioconvection)隨熱雷里數增加而遞減，而當培萊克特數小於 3 時情形剛好相
反，熱-生物對流臨界波數隨熱雷里數增加而遞增。不過在單純流體層下，區格此兩 趨勢的臨界培克萊特數為5，本文為多孔性材質內之熱-生物對流，在 H=1時此臨界 培克萊特數為3。在臨界培萊克特數3時，圖中顯示趨於一水平線，代表熱雷里數對 於臨界熱-生物對流波數幾乎沒有影響。
【圖十五】為小於臨界培萊克特數(Peε=3)，Peε=2時臨界生物雷里數隨著熱雷里數 增加而遞減。熱雷里數為負值時H值越大其臨界生物雷里數越小，熱雷里數為正值時 H值越大則臨界生物雷里數越大。【圖十六】顯示Peε=2時，隨熱雷里數增加H值越大 熱-生物對流臨界波數也越大，但H=100時其值反而減少。【圖十七】為大於臨界培萊 克特數(Peε=3)，Peε=5時臨界生物雷里數也同樣隨著熱雷里數增加，但是整體的臨 界生物雷里數比【圖十五】來的低，顯示培萊克特數大於臨界值時的確較容易產生對
η = 0.1
η = 1
η = 10
η = 100
流。【圖十八】臨界波數隨著熱雷里數增加而減少，在H=100時接近一水平線顯示當 H越大時固體與液體溫度幾乎相近。
【圖十四】H=1時不同培萊克特數Pe ，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響。 ε
【圖十五】H=1、Peε=2時，熱雷里數對臨界生物雷里數的影響。
ε= 10 Pe
ε=5 Pe
ε= 3 Pe
ε= 1 Pe
【圖十六】H=1、Peε=2時，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響。
【圖十七】H=1、Peε=5時，熱雷里數對臨界生物雷里數的影響。
H=100
H=1
H=10
H=0.1
H=0
H=0.1
H=0 H=10
H=100
【圖十八】H=1、Peε=5時，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響。
【圖十九】中顯示當Le 小於或等於1時流體擴散係數較大，相對密度差較大則較易ε 產生對流現象，Le 大於ε 10後因流體擴散係數變小生物對流情況較不易產生。【圖二 十】為H=1時不同Le 下，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響，在路易斯數較小ε 時(Leε=0.1)臨界波數隨熱雷里數增加而遞減，Leε=1、Leε=10、Leε=100時臨界波數 則隨熱雷里數增加而遞增。【圖二十一】為H=100時，熱雷里數對臨界生物雷里數的 影響，同樣可看出當Le =ε 0.1，Le =ε 1時只需要較低的臨界生物雷里數就能產生對流，
而隨著Lewis number越大時需要較大的臨界生物雷里數才能產生對流。【圖二十二】
為H=100時，熱雷里數對熱-生物對流臨界波數的影響，隨著熱雷里數的增加臨界波 數也隨之遞增，顯示當H越大時對流場的穩定性確實有影響。
H=0
H=0.1 H=1
H=10
H=100