行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

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流體飽合多孔介質內之熱-生物對流研究(第 3 年) 研究成果報告(完整版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 96-2221-E-216-026-MY3

執 行 期 間 ： 98 年 08 月 01 日至 99 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 中華大學機械工程學系

計 畫 主 持 人 ： 許隆結

計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：李安城 碩士班研究生-兼任助理人員：黃俊嘉

處 理 方 式 ： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 99 年 10 月 29 日

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行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 █ █ 成 果 報 告 █ █ 成 果 報 告 成 果 報 告 成 果 報 告

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□期中進度報告 期中進度報告 期中進度報告 期中進度報告 流體飽合多孔性介質內之熱-生物對流研究

計畫類別：■個別型計畫 □整合型計畫

計畫編號：NSC 96－2221－E－216－026－MY3

執行期間： 96 年 8 月 1 日至 99 年 7 月 31 日 執行機構及系所：中華大學機械系

計畫主持人：許隆結 共同主持人：

計畫參與人員：李安城、黃俊嘉、王志豪、尤信凱、趙亦琦、黃宏業

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■完整報告

本計畫除繳交成果報告外，另須繳交以下出國心得報告：

□赴國外出差或研習心得報告

□赴大陸地區出差或研習心得報告

□出席國際學術會議心得報告

□國際合作研究計畫國外研究報告

處理方式：除列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

中 華 民 國 99 年 10 月 28 日

中文 中文

中文 中文摘要 摘要 摘要 摘要

本計畫將分成三年執行，分別針對趨地性、嗜氧性與趨光性微生物飽合多孔 性介質內進行熱-生物對流研究，將採用局部熱不平衡的模式來考慮多孔性介質內的 固體與流體溫度分布。對於游動微生物可分成趨地性、嗜氧性與趨光性三種，對趨地 性游動微生物，其游動速度與重力場有關，統計量而言此游動速度通常可假設成一常 數，而影響熱-生物對流只需考慮微生物的濃度分布；對於嗜氧性微生物，微生物的 游動速度與氧濃度的分布梯度有關，因此除了考慮微生物的濃度分布外，還須加入氧 濃度的分布以及氧濃度因嗜氧性微生物消耗量的影響；而對趨光性微生物而言，游動 速度與光源強度有關，因此微生物濃度分布除了與流場有關外，還與流場內光源強度 的分布有關，必須將光源的強度被微生物吸收的輻射效應加以考慮。

Abstract

This project investigates the thermo-bioconvection of motile microorganisms in fluid-saturated porous media within a period of three years. The local non-equilibrium model is applied by using two equations to separately describe the temperature distributions of solid and liquid phases in the porous media. The Darcy law is used to simulate the momentum equation of the fluids. The motile velocity is assumed to be constant, proportional to the gradient of oxygen concentrations and a function of light intensity for the gravitaxis, oxytaxis and phototaxis microorganisms, respectively. The consumption rate of oxygen by oxytaxis microorganisms are taken into account for the concentrations of oxygen. The light intensity received by phototaxis microorganisms is given by the Lambert-Beer law. The stability and 2D convection of the thermo-bioconvective flow are discussed in terms of dimensioinless parameters such as thermal Darcy-Rayleigh number, bioconvection Rayleigh number, Lewis number, Thermal Rayleigh number, Pelect number and the interface heat transfer coefficient.

目 目

目 目 錄 錄 錄 錄

中文摘要 i

英文摘要 ii

目 錄 iii

第一章 緒論 1

第二章 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱-生物對流穩定性分析 5 第三章 嗜氧性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱-生物對流穩定性分析 10 第四章 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱-生物對流流場分析 16 第五章 流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物之熱–生物對流流場分析 21 第六章 流體飽合多孔性介質內趨光性微生物之熱-生物對流流場分析 26

第七章 結果與討論 32

第八章 結論 101

參考文獻 105

計畫成果自評 110

第一章 第一章 第一章

第一章 緒論 緒論 緒論 緒論

研究目的 研究目的 研究目的 研究目的

近 年 來 ， 有 關 懸 浮 液 中 游 動 微 生 物 (motile micro-organisms) 造 成 生 物 對 流 (bioconvection) 之 研 究 引 起 學 者 廣 範 的 興 趣 。 某 些 細 菌 及 微 生 物 具 有 自 我 推 進 (self-propelled)的能力，通常這些微生物統計量而言會向某個特定方向游動，造成他 們往特定方向游動的趨動力依不同的菌種可分成：1. 趨光性(phototaxis)，某些細菌有 對光線反應的運動，一 般 是 指 朝 向 光 源 的 地 方 運 動，但 是，後 來 又 以 正 趨 光 性 來 表 示 朝 向 光 源 方 向 的 運 動，以 負 趨 光 性 來 表 示 遠 離 光 源 方 向 的 運 動。例 如 許 多 單 細 胞 藻 類 具 有 敏 感 的 眼 點，使 細 胞 藻 具 有 趨 光 性；2.趨地性(gravitaxis)，

往地心引力方向或反地心引力方向游動之能力，某些菌類因為比身結構造成會反地心 引力的方向運動；3. 嗜氧性(oxytaxis)，細菌在獲取能量時會消耗氧氣的微生物稱為 嗜氧性，此類細菌會往氧濃度高的方向游動；4. 化學驅向性(chemotaxis)，細菌會受 一些營養物質如糖類和胺基酸的吸引，及遠離有害物質和細菌代謝廢棄物，這種趨向 化學引誘劑和遠離驅除劑的運動即稱為化學趨向性。當實驗培養皿中含有游動的微生 物懸浮液，微生物因上述四種動力而聚集在培養皿上層時，若微生物較培養液稍重，

向上游動聚集的結果產生懸浮液不穩定的密度分布，而導致對流的發生，此過程類似 熱對流，故名之為生物對流。實驗人員在不同的微生物體培養皿中常觀察到因生物對 流造成的一些複雜的對流圖案(convection patterns such as hexagons, rolls, eddy, jets, etc.)。生物對流會造成培養皿內的不穩定性進而影響實驗的進行，但也可能影響微生 物的分布並可再活化(reactivate) 位於底部因缺氧而處於休眠狀態(inactive)的微生 物，因此瞭解其相關力學機制對基礎生物技術將有重要的應用與貢獻。

文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

有關不同游動生物造成生物對流的理論模型建立可參考文獻[2-4]，針對生物對流 的問題Pedley 及Kessler[1]還有Hill與Pedley[5]並著有專文進行文獻回顧。目前研究生 物對流一般視懸浮液為連續體模型(continuum models of the suspension)，微生物則以

濃度變數形式出現，配合傳統的流體力學模型來描述整體懸浮液之不穩定流動特性。

Childress等人[6]基於Navier-Stokes方程式配合Boussinesq近似考慮推導出連續體模 型，探討趨地性的微細胞生物引發之生物對流問題。Fujita與Watanabe[7]以Childress 的模型方程式計算生物對流問題，並發現隨著生物對流雷里數(Rayleigh number of bioconvection)增加，流場經由一連串的分歧(bifurcation)進入渾沌行為。Harashima 等 人[8]分析矩形空穴內趨地性生物對流所形成之流場圖形。Ghorai與Hill[9-12]在一系列 的文章中利用stream-vorticity方法來解流場分布，探討趨地性生物造成之二維噴流 (plume)的穩定性與發展，並比較不同起始條件與高寬比之影響。

除了游動生物的本身濃度分布造成之對流效應外，近年來研究學者也開始將流體 的溫度分布與游動生物濃度分布偶合造成之對流現象進行探討，此一現象通常稱為熱 -生物對流(thermo-bioconvection)，常在熱流體內有嗜熱性(thermophilic)微生物存在時 發生[13]。對這類問題，Kuznetsov [13-15]進行一系列的分析，包括趨地性與嗜氧性 微生物造成之熱-生物對流現象(thermo-bioconvection)。研究中發現溫度場不均勻分布 下的微生物懸浮液比等溫懸浮液更不穩定。Nield與Kuznetsov [16]研究培養皿由底部 冷卻之情況之熱-生物對流穩定性，並發現由底部冷卻會穩定懸浮液但在某些情況下 會有振盪對流(oscillatory convection)產生。Alloui等人[17]也考慮熱-生物對流的穩定 問題，結果顯示熱溫度分布的效應可以使懸浮液穩定或不穩定，同時也會影響生物對 流之流場型態。Alloui等人[18]更利用數值方法解熱-生物對流之流場分布，並發現當 熱雷里數增加時，流場會由次臨界分歧(subcritical bifurcation)過渡到超臨界分歧 (supercritical bifurcation)。

文獻中也發現在單細胞水藻(single-celled algae)懸浮液產生之生物對流中，流場 的型態會受到照明的影響[19-21]。強光的照射會破壞懸浮液穩定的對流型態並防止均 勻攪拌的培養皿中懸浮液產生對流型態。光線照射對生物對流的對流型態造成影響，

其原因在於微生物本身具有趨光性游動能力，造成微生物濃度的不均勻，而由於這些 微生物也會吸收或散射光源，因此造成光強度分布的不均勻，更進一步影響微生物的 游動，這個效應稱為遮敝(shading)[22]。有關趨光性微生物造成之生物對流現象的理

論分析，文獻上較少見。Vincent 與Hill[22]針對趨光性微生物造成之生物對流穩定性 進行研究，結果顯示振盪對流存在此系統。Ghorai與Hill[23]更進一步以數值方法分析 此問題之流場方布，當雷里數增加時，計算結果顯示流場由穩態進入周期振盪，再由 週期振盪回到穩態，然後再經歷週期振盪。

除了上述針對各種不同單純微生物懸浮液造成之生物對流做分析外，在流體飽合 多孔性介質中之生物對流現象亦吸引研究學者的注意。多孔性介質中的生物對流現象 其實在自然界中常發生，例如地底下砂層中含微生物的飽合水層。同時此一問題也有 實際應用的研究價值，例如微生物強化油回收系統[24,25]中會注入微生物與營養品，

以調整多孔性介質的滲透率。Kessler[26]建議使用具有足夠讓微生物游動的滲透性，

但同時具有減輕流體對流效應的多孔性介質來抑制生物對流的發生，以穩定培養皿的 懸浮液。另外，在醫學上生物組織內的因浮力引發之質傳與對流對於核磁共振造影的 影響與應用也漸漸受到重視[27,28]。有關流體飽合多孔性介質中之生物對流的理論研 究，Kuznetsov與Jiang [29]推導在液體飽合多孔介質中連續體模型的生物對流方程 式，他們利用達西模型(Darcy model)描述多孔介質中之流動行為，結果發現多孔性介 質有一個臨界滲透率，當滲透率低於臨界滲透率時，不會有生物對流發生而造成微生 物聚集在上表層。之後Kuznetsov的研究團隊更針對多孔性介質內包括趨地性微生 物、嗜氧性微生物所造成之生物對流以及熱-生物對流進行一系列的探討[30-37]。這 些研究中利用穩定性分析得到多孔性介質內各種生物對流的穩定條件，並分析微生物 游動速度、培養液黏滯性等參數對臨界滲透率的影響。Nguyen-Quang等人[38]探討多 孔性材質內趨地性生物對流的穩定性，將微生物游動速度的影響做更詳細的探討，結 果發現當游動速度很小時，流場為平行流(parallel flow)，而當游動速度增加時，則對 應的較窄的流場圖型(flow pattern)。

由上面的文獻回顧可知道多孔性介質內的生物對流與熱-生物對流不僅有廣泛的 應用性[24-28]，具有研究的價值。上面文獻中，皆考慮多孔性材質內流體與固體達到 熱平衡而以一個方程式來表示流體與固體的平均溫度。然而，在很多實際應用上，多 孔性介質內固體和流體並不處於熱平衡，此時必需將固體和流體的溫度分開處理。

Nield和Bejan[39]及Pop與Ingham[40]利用兩個方程式來分別模擬多孔性材質內液體與 固體的溫度分布，透過一對流項來模擬液體與固體間的熱傳遞，此模型一般稱為局部 熱不平衡模型(Local thermal non-equilibrium model)。Rees等人[41-43]在一系列的報告 中研究液體與固體局部熱不平衡對於多孔性材質內熱對流的影響。Banu與Rees[44]

提出局部熱不平衡對於流體臨界雷里數的影響。

本計畫將分成三年執行，分別針對趨地性、嗜氧性與趨光性微生物飽合多孔性介 質內進行熱-生物對流研究，將採用局部熱不平衡的模式來考慮多孔性介質內的固體 與流體溫度分布。對於游動微生物可分成趨地性、嗜氧性與趨光性三種，對趨地性游 動微生物，其游動速度與重力場有關，統計量而言此游動速度通常可假設成一常數，

而影響熱-生物對流只需考慮微生物的濃度分布；對於嗜氧性微生物，微生物的游動 速度與氧濃度的分布梯度有關，因此除了考慮微生物的濃度分布外，還須加入氧濃度 的分布以及氧濃度因嗜氧性微生物消耗量的影響；而對趨光性微生物而言，游動速度 與光源強度有關，因此微生物濃度分布除了與流場有關外，還與流場內光源強度的分 布有關，必須將光源的強度被微生物吸收的輻射效應加以考慮。

第 第 第

第二 二 二章 二 章 章 章 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱- -- -生物對 生物對 生物對 生物對 流穩定性分析

流穩定性分析 流穩定性分析 流穩定性分析

2.1 物理模型 物理模型 物理模型 物理模型

【圖一】多孔性材質物理模型

考慮如圖一所示之流體飽合多孔性介質層的厚度為 d，飽合層下端邊界保持在T 而上_l 端溫度保持在TU

(

Tl>TU

)

，在飽和層內有反趨地性的游動微生物而有聚集在飽合層的 上端傾向，同時微生物的密度高於多孔性介質內的流體密度，因此會發生生物對流。

2.2數學方程式推導 數學方程式推導 數學方程式推導 數學方程式推導

此問題動量方程式可表示成：

ɶ   ɶ

0

( _f 0) 0

P K

t

ρ µ

ρ ρ ε

 ∂ 

+ ∇ − − + =

 

 ∂ 

uɶ u (1)

  ɶ

0 0 ( f u)

f T T n

ρ =ρ −ρ β − + ∆ρθ (2) 其中ɶ

u為速度分佈、 P 為壓力、

ε

為孔隙度(porosity)；µ、K、ρ為流體的黏滯性 (viscosity)、滲透率(permability)及密度(density)；β 為流體膨脹係數；∆ =

ρ ρ

_cell−

ρ

_f為

浮動微生物與流體的密度差；

θ

與nɶ為浮動微生物的平均體積與濃度。

而流體連續方程式為

 ɶ 0

∇iu= (3)

假設不考慮微生物的生存與死亡，則微生物濃度滿足 ɶ  ɶ

n

ε ^∂t = −∇ξ

∂ i

ɶ (4) 其中

ɶ ɶ ɶ ɶ    ɶ n nV Dn n

ξ

= u+ − ∇ (5) 為微生物的流動通量。方程式(5)等號的右邊三項分別代表流體對流、微生物游動與 微生物擴散之流動通量。其中^Dn為擴散係數，此處擴散係數已將多孔性介質的孔隙 度效應加入考慮，方程式(5)中的V^為微生物的游動速度，對於反趨地性微生物可表示 成常數。多孔性材質固體與流體並非處在熱平衡狀態(thermal equilibrium)因此以兩個 方程式模型(two temperature model)[20,21]來描述液體與固體的溫度分布分別如下：

 ɶ   ²   ( )f ^f ( )f f f ( s f)

c T c T k h T T

ε ρ ^∂ t + ρ ∇ =ε ∇ + −

∂ ui

ɶ (6)

 ²   (1 )( )s ^s (1 ) s ( s f)

c T k h T T

ε ρ ^∂ t ε

− = − ∇ − −

∂ɶ (7) 其中T^為溫度、c為比熱(specific heat)、 k 為熱傳導係數、h為固體與液體的熱傳導係 數(interphase heat transfer coefficient)、下標s及f為固體與液體物理性質。對於趨地性 微生物，上述方程式即已足夠描述引發之熱-生物對流問題。方程式(1)-(7)配合下面 邊界條件：

At zɶ=0_{︰ w= ﹐0}   

f s l

T =T =T ﹐ ɶ ɶξik=0 (8) At zɶ =d︰ w= ﹐0   

f s u

T =T =T ﹐ ɶ ɶξik=0 (9) 將方程式(1)–(9)以下面參數來無因次化：

(

ɶ ɶ^{x y z, ,ɶ}

)

^=d

⁽

^{x y z, ,}

⁾

^{﹐ ɶ}

( )

^,

_{( )}

^f _d

⁽

^,

⁾

f

u v k u v

c ε

= ρ

ɶ ﹐ 

( )

f f

P k P

c K µ

= ρ (10)

^f

(

^l ^u

)

^{f u}

T = T −T T +T ﹐ ^{Ts =}

(

^T^{l−T T}^u

)

^s+Tu﹐

^{( )}

^{f d2}

f

c

t t

k

= ρ

ɶ (11)

並得到無因次化方程式為 1 1

f 0

u P T n u

t ε

∂ + ∇ − + + =

∂ ^{D D}

D

Ra Rb

Pr (12)

∇ i

u

= 0

(13) n

t ξ

∂ = −∇

∂ (14)

2 ( )

f

f f s f

T u T T T T

t

∂ + ∇ = ∇ + −

∂ i H (15)

2 ( )

s

s s f

T T T T

t

∂ = ∇ − −

∂ ηηηηH ααα

α (16) 無因次邊界條件可改寫成

0

z= ：w= ﹐0 T_f =T_S = ﹐0 ξik =0 (17) 1

z= ：w= ﹐0 T_f =T_S = ﹐1 ξik=0 (18) 方程式(13)以及邊界條件中的ξ視為微生物流動通量，對趨地性微生物可表示成

= un + n n

ξ Pe_ε −Le_ε∇ (19) 上面無因次方程式中，

=ε

D

Pr Da

Pr為達西普蘭特數(Dracy-Prandtl number)；

d2

= K

Da 為達

西 數 (Darcy number) ； ^{0 d}

f

g TK ρ β

εµα

= ∆

RaD 為 熱 雷 里 數 (thermal Rayleigh number) ；

0 d

f

gθ ρn K εµα

= ∆

RbD 為生物對流雷里數(bioconvection Rayleigh number)；

0 f

µ

=

ρ α

Pr 為普

蘭特數(Prandtl number)； ⁿ

f

D Le

ε εα

= =

Leε 為路易斯數(Lewis number)；

α α α α

=

α

_f /

α

_s為流體 與固體熱擴散係數比(diffusivity ratio)； ^d

f

V

=εα

Peε 為培萊克特數(Pelect number)；

(1 )

f s

k k ε

= ε η − ηη

η 為孔隙度修正熱傳導係數比(porosity-modified conductivity ratio)； ^d2

f

h εk

= H

為無因次兩相熱傳係數(non-dimensional inter-phase heat transfer coffeicient)。方程式 (1)-(18)統合牛頓流體飽合多孔性介質內趨地性微生物的熱-生物對流問題，以下將針 對流體的穩定性做分析，說明穩定性分析步驟。

2.3穩定性分析穩定性分析穩定性分析穩定性分析

穩定性分析將先求出問題之基態解(basic state solution)，亦即流體速度為零時，系 統固體溫度、液體溫度、微生物濃度以及氧濃度隨z變化的解。再針對基態解給予一 微小的擾動量(perturbation)，並探討擾動量的成長，以判定流體的線性穩定性(linear stability)。對於趨地性微生物此問題的基態解可表示成：

0

u= =v w= ﹐T_fb=T_sb= − ﹐1 z exp( )

exp( ) 1

b

n = z

−

ε ε

ε

Pe Pe

Pe (20) 微擾項(Perturbed state)

為求系統的穩定性，研究中將給基態解一極微小擾動量如下形式：

(

^{u v w, ,}

) (

^{= 0, 0, 0}

) (

^{+ u v w′ ′, , ′}

)

^﹐Tf =Tfb+T ′f (21)

s sb s

T =T +T ′﹐n=n_b+n′ (22)

將方程式(21)、(22)代入(12)-(16)中，並將之線性化，然後消去u′與v′則可得到以下的

微擾項方程式：

2 2 '

1 1

( 1 1) ' ( _D ' _{D f}) 0

rD

w n T

t

∂ + ∇ + ∇ − ∇ =

∂ Rb Ra

P (23)

2 ' ' '

' ( )

f s f

T w T T

t

 ∂ 

− ∇ = + −

 

∂  H (24)

2 ' ' '

( )

s f s

T T T

t

 ∂ 

− ∇ = −

 

αααα∂  ηηηηH (25) 對於趨地性微生物，其濃度分布擾動量方程式為

' ' ' 2

' '

n n n

w n

t z z

∂ ∂ ∂

+ + = ∇

∂ ∂ Pe^ε ∂ Le^ε (26) 本文將尋求常規模態解(normal mode solutions)，則方程式(23)-(26)的解可寫成

( )

{ }

( ) ( ) exp ( ) ( )

f s

w W z

n N z

i lx my t T z

T z

σ

 ′   

 ′   

  =  + +

 ′ Θ 

   

 ′  Φ 

 

(27)

其中l與m為x與y方向的波數(wave number)、σ為擾動成長率。

將方程式(27)代入(23)-(26)中加以整理可得到

(

^{2 2}

)

^{2 2}

1 D a W a a N 0

 σ 

+ − + Θ − =

 

  Ra^D Rb^D

D DD

PrD

PrPr

Pr (28)

(

^D2−a2−σ

)

^{Θ +W +H}

⁽

^{Φ − Θ =}

⁾

⁰ (29)

(

^{D2−a2−αααασ}

)

^{Φ +ηηηηH}

(

^{Θ − Φ =}

)

⁰ (30)

對於趨地性微生物，其濃度擾動量常規模態N(z)滿足

(

^{D2 a2}

)

^D

^σ

^{N dn}_dz^{bW 0}

 − − −  − =

Le^ε Pe^ε  (31) 其中_D ^d

=dz，a²=l²+m²

對於趨地性微生物，方程式(28)-(31)的邊界條件可寫成：

At z=0：W=0﹐Θ =0﹐Φ =0﹐ dN N = dz

Peε (32) At z=1：W=0﹐Θ =0﹐Φ =0﹐ dN

N = dz

Peε (33)

第 第 第

第三 三 三章 三 章 章 章 嗜氧性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 嗜氧性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 嗜氧性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 嗜氧性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱- -- -生物對 生物對 生物對 生物對 流穩

流穩 流穩

流穩定性分析 定性分析 定性分析 定性分析

3.1 物理模型 物理模型 物理模型 物理模型

【圖二】多孔性材質物理模型

考慮一牛頓流體飽合多孔性材質層之對流問題，如【圖二】所示，材料兩側為絕 熱，厚度為d，飽合層下端邊界保持在

T

_l，而上端溫度保持在

T

_u(

T

_l>

T

_u)，在飽和層 內有嗜氧性的游動微生物而有聚集在飽合層的上端傾向，同時微生物的密度高於多孔 性介質內的流體密度，因此會發生生物對流。

3.2 統御方程式推導 統御方程式推導 統御方程式推導 統御方程式推導

對於此模型流體的動量方程式，考慮以修正的達西(Modified Darcy)模型來描述，

並假設流體為牛頓流體且流場滿足Boussinesq假設，則我們將動量方程式[28]表示成:

0 ( )

t K

ρ

∂

µ

 

+∇ − +

 

 ∂ 

u g u = 0

εεεε

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ

P

ρ -ρ_{f 0} (34)

0 0 ( )

f Tf Tu n

ρ

=

ρ

−

ρ ϑ

ɶ −ɶ + ∆

ρθ

ɶ (35)

其中

u ɶ

_{為速度分佈、}

P ɶ

_{為壓力。ε為孔隙度}(Porosity)；µ、K、ρ為流體的黏滯性

(Viscosity)、 滲 透 率(Permeability)及 密 度(Density)；ϑ 為 流 體 的 體 膨 脹 係 數 ；

cell f

ρ ρ ρ

∆ = − 為游動微生物與流體的密度差; θ與

n ɶ

為游動微生物的平均體積與 濃度。

不可壓縮流流體的連續方程式為:

∇ u = 0ɶ ɶi (36) 假設不考慮微生物的生成與死亡，則微生物濃度滿足

n

ε ∂t ζ

∂ = −∇

ɶ ɶ iɶ

ɶ (37) 其中

n nV - Dn n

ζɶ=ɶɶu +ɶɶ ∇ɶɶ (38) ζɶ 為微生物的流動通量。方程式(38)等號的右邊三項分別代表流體對流、微生物游動 速度與微生物濃度擴散造成之流動通量。其中D_n為擴散係數，此處的擴散係數已經 將多孔性介質的孔隙度效應加入考慮。方程式(38)中的Vɶ 為微生物的游動速度，對嗜 氧性微生物而言，微生物的游動速度通常與懸浮液內的氧濃度梯度成正比，根據 Metcalfe與Pedley的實驗結果[34]可表示成:

ˆ ( )

V^ɶ=bW H Cc ∇C (39) 其中b為一化學趨向常數，其因次是長度，W_c為細胞最大游動速度，bW_c的乘積假設 為一常數。C為無因次氧濃度可定義為：

min

0 min

C C C C C

= −

− ɶ ɶ

ɶ ɶ (40) 其中Cɶ為有因次氧濃度、Cɶ₀為上表面氧濃度、Cɶ_min為微生物維持活化的最低氧濃度，

方程式(39)中的H Cˆ ( )為Heaviside函數。

溫 度 分 佈 將 考 慮 多 孔 性 材 質 固 體 與 液 體 並 非 處 在 熱 平 衡 狀 態(Thermal

equilibrium)，因此以兩個方程式模型[28,29]來描述液體與固體的溫度分佈分別如下：

( )_f T^f ( )_{f f f} 2 _f ( _{s f})

c c T k T h T T

ε ρ ∂t ρ

+ ∇ = ∇ + −

∂ u εεεε

ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶi (41) (1 )( )_s T^s (1 )_s 2 _s (_{s f})

c k T h T T

ρ ^∂t

− = − ∇ − −

ε ∂ ε

ε ε

ε ε

ε ^ɶ ε ^{ɶ ɶ ɶ ɶ}

ɶ (42)

其中Tɶ為溫度、c為比熱(Specific Heat)、k為熱傳導係數、

h

為固體與液體的熱傳係數

(Inter-phase Heat Transfer Coefficient)、下標s及f分別代表固體與液體的物理性質。

對於嗜氧性微生物，尚須考慮氧濃度分佈如下：

2 c

C n

C D C

t C

ε^∂ + ∇ = ∇ −γ

∂ uɶiɶ ɶ ∆ɶ

ɶ ɶ (43) 其中D_c為氧的擴散係數，−

γ

nɶ/∆ ɶC為嗜氧性微生物的氧消耗率，∆ =C^ɶ C^ɶ₀−C^ɶ_min。

方程式(34)-(43)配合下面邊界條件為：

At z=ɶ 0: w=ɶ 0，T^ɶ_f = =T^ɶ_s Tɶ，_l ζɶikɶ=0， C 0 z

∂ =

∂^ɶ (44) At zɶ=d_{: w=}ɶ ₀，T^ɶ_f = =T^ɶ_s Tɶ ，_u ζ^ɶik^ɶ=0，C= 1 (45)

將方程式(34)到(45)以下面參數[33]來無因次化：

( , , )x y zɶ ɶ ɶ =d(x,y,z ) ( , , ) ( ) ( ) d

f f

u v w k c ε

= ρ

ɶ ɶ ɶ u,v,w

( )

f f

P k P

c K µ

= ρ ɶ

( )

f l u f u

Tɶ = Tɶ−T Tɶ +Tɶ Tɶ_s =(Tɶ_l−T Tɶ_u) +Tɶ_u

s ( ) ²

f d

f

t c t

k

= ρ ɶ

nɶ=n n₀

並得到無因次化方程式為:

1 1

f 0

u P T n u

t

∂ + ∇ − + + =

∂ ^{a b}

rD

R R

p εεεε (46) 0

∇iu= (47) n

t ζ

∂ = −∇

∂ (48)

2 ( )

f

f f s f

T u T T T T

t

∂ + ∇ = ∇ + −

∂ ^{i H} (49)

2 ( )

s

s s f

T T T T

α^∂t = ∇ − −

∂ ηH (50)

2 n

C u C C

t

∂ + ∇ = ∇ −

∂ i Leδδδδ Leδβδβδβδβ (51) 而無因次的邊界條件可改寫成:

At z= : 0 w= ，0 T_f = =T_s 1，

ζ

ik=0， C 0 z

∂ =

∂ (52) At z=1: w= ，0 T_f = =T_s 0，

ζ

ik=0_，C= ₁ (53) 其中方程式(48)及邊界條件(52)、(53)中的

ζ

是微生物流動通量，對嗜氧性微生物 可表示成:

= un + n C n

ζ

Pe ∇ −Le∇ (54) 上述無因次方程式中， _rD

=

Pr

P

ε ε ε ε Da Da

Da Da

為達西-普朗多數(Darcy-Prandtl Number)，

0 f

µ

= ρ α

Pr 為 普 朗 多 數 (Prandtl Number) ， ₂ d

= K

Da 為 達 西 數 (Darcy Number) ，

0 d

f

g TK ρ ϑ

εµα

= ∆

Ra 為熱雷里數(Thermal Rayleigh Number)， ⁰ d

f

gθ ρn K εµα

= ∆

Rb 為生物雷里

數(Bio-Rayleigh Number)， d

f

V

= α

Pe εεεε 為培克萊特數(Pelect Number)， ⁿ

f

D

= α

Le εεεε 為路易 斯數(Lewis Number)，

d2 f

h

= k

H εεεε 為無因次兩相熱傳 係數(Inter-phase Heat Transfer

Coefficient)， ^f

s

α

=α α αα

α 為流體與固體熱擴散係數比(Diffusivity Ratio)，

(1 )

f s

k

ε

k

= −

η εεεε η η

η

為孔

隙度修正熱傳導係數比(Porosity-modified Conductivity Ratio)， ^c

n

D

= D

δδδδ 為濃度擴散係

數比(Concentration Diffusivity Ratio)， 

2 0d

c

n D C

=

γ β

∆

β β

β

為氧的消耗率與擴散率的比值。

上述方程式為牛頓流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物的熱-生物對流問題，論 文中將針對流體的穩定性做分析，以下將說明穩定性分析之步驟。

穩定性分析

穩定性分析必須先求出問題之基態(Basic State)解，亦即流體速度為零時，系統 固體溫度、液體溫度、微生物濃度以及氧濃度隨z變化的解。再針對求得之基態解給

予一微小的擾動量(Perturbation)，並探討擾動量的成長，以判定流體的線性穩定性

(Linear Stability)。對於嗜氧性微生物，此問題基態解可寫成：

u= =v w= 0 T_fb( )z =T_sb( ) 1z = −z

2

1 2 1

( ) sec

2 2

b

A A

n z = ^_ z^_

 

ϖ ϖ

ϖ ϖ

1 1

cos( / 2) ( ) 1 2 ln

cos( / 2)

b

C z A z

A

 

= − _{ }

 

Pe (55) 其中

A

₁滿足以下方程式

1 1

tan 2 A

A

 

 =

 

ϖ ϖ ϖ ϖ

(56)

其中

ϖ ϖ ϖ ϖ

= Peβ ，為培萊克特數(Pe)與氧消耗率及擴散率的比值(β)之乘積。

微擾項(Perturbed State)

為求系統的穩定性，論文中給基態解一極微小的擾動量如下形式：

' ' '

( , , )u v w =(0, 0, 0) ( , ,+ u v w) T_f =T_fb+T_f^'

'

s sb s

T =T +T n=n_b+n^' C =C_b+C^' (57) 將方程式(24)代入方程式(13)-(18)中，並將之線性化，然後消去

u '

與

v '

則可得到 微擾項方程式如下：

2 ' 2 ' 2 '

1 1

1 1 w T_f n 0

t

 ∂ 

+ ∇ − ∇ + ∇ =

 

 rD ∂  ^{a b}

R R

P (58)

2 T_f' w' (T_s' T_f') t

 ∂ 

− ∇ = + −

 

∂

  H (59)

2 ' ' '

( )

s f s

T T T

t

 ∂ 

− ∇ = −

 

αααα∂  ηH (60)

2

' ' '

' b b b ' b 2 ' 2 '

2 b

n n C C

n C n

+ w + + + n + n C = n

t z z z z z z

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∇ ∇

∂ ∂ Pe ∂ ∂ Pe ∂ ∂ Pe ∂ Pe Le (61)

'

' Cb 2 ' '

C w C n

t z

∂

∂ + = ∇ −

∂ ∂ Leδ Leδβ (62) 尋求常規模態解(Normal Mode Solutions)，則上述微擾項方程式(58)-(62)的解可寫 成:

{ }

' '

' ' '

( ) ( )

( ) exp ( ) ( )

( )

f s

w W z

n N z

T z i lx my t

T z C C z

σ

   

   

   

  = Θ  + +

   

  Φ 

   

   

 

(63)

其中l與m為X與Y方向的波數(Wave Number)、

σ

為擾動成長率。

將常規模態解方程式(63)代入方程式(58)-(62)中，加以整理則可得到:

(

^{2 2}

)

^{2 2}

1 D a W a a N 0

 

+ − + Θ − =

 

 rD  ^{a b}

σ R R

P (64)

(

^D2−a2−σ

)

^{Θ +W+H(Φ − Θ =) 0} (65)

(

^{D2−a2−ασ}

)

^{Φ +ηH(Θ − Φ =) 0} (66)

2

2 2 2 2

( ) C^b C2^b _b( ) n^b n^b 0

D a D N n D a D C W

z z σ z z

 ∂ ∂   ∂  ∂

− − − − − − + − =

   

∂ ∂  ∂  ∂

Le Pe Pe  Pe Pe (67)

2 2

( ) C^b 0

D a C W N

σ ^∂z

 − −  − − =

 

Leδ ∂ βLeδ (68) 其中_D ^d

=dz，a² =l²+m²。

則方程式(64)-(68)的邊界條件可寫成:

At z= : 0 W = ，0 Θ = ，0 Φ = ，0

0

0 b b z

z

dC

dC dN

n N

dz dz dz

=

=

 

+ =

 

 

Pe Le ，dC 0

dz = (69) At z= : 1 W = ，0 Θ = ，0 Φ = ，0

1

1 b b z

z

dC

dC dN

n N

dz dz dz

=

=

 

+ =

 

 

Pe Le ，C=0 (70)

由方程式(64)-(68)配合邊界條件(69)-(70)則可解出此問題的線性穩定性。

第 第 第

第四 四 四 四章 章 章 章 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱 趨地性微生物在牛頓流體飽合多孔性介質內熱- -- -生物對 生物對 生物對 生物對 流流

流流 流流

流流場分析 場分析 場分析 場分析

4.1 物理模型 物理模型 物理模型 物理模型

【圖三】多孔性材質物理模型

考慮如圖三所示之流體飽合多孔性介質層的厚度為 d，微生物流動通量為q，i 為 x 邊界單位法向量， j

為 y 邊界單位法向量，q i=0

i 與q j=0

i 表示邊界無微生物穿 透，飽合層下端邊界溫度保持在T_l，而上端邊界溫度保持在T Tu

(

l >Tu

)

，在飽和層內 有反趨地性的游動微生物而有聚集在飽合層的上端傾向，同時微生物的密度高於多孔 性介質內的流體密度，因此會發生熱-生物對流。

4.2數學方程式推導 數學方程式推導 數學方程式推導 數學方程式推導

對於此模型流體的動量方程式，考慮以達西(Darcy)模型來描述，並假設流體為牛 頓流體且流場滿足Boussinesq假設，則我們將動量方程式[23]表示成:

(

( _f 0)

)

u 0

∇ − − g +K

µ

=

ρ ρ

ɶ ɶ

P

ɶ (71)

0 0 ( )

f = − Tf −Tu + ∆ n

ρ ρ ρ β

^{ɶ ɶ}

ρθ

^ɶ (72)

其中uɶ為流體速度、

P ɶ

_{為壓力。µ、K、ρ為流體的黏滯性}(Viscosity)、滲透率

(Permeability)及密度(Density)；β為流體的體膨脹係數；∆ρ = ρ_cell −ρ_f 為游動微生

物與流體的密度差; θ與

n ɶ

為游動微生物的平均體積與濃度。

不可壓縮流流體的連續方程式為:

0

∇ɶ ɶiu= (73) 假設不考慮微生物的生成與死亡，則微生物濃度滿足

n q

t

∂ = −∇

ε ∂^{ɶ ɶ ɶi}

ɶ (74) 其中

q=nu+nV - Dɶ n∇ɶn

ɶ ɶɶ ɶ ɶ (75) qɶ 為微生物的流動通量、ε 為孔隙度(Porosity)。方程式(75)等號的右邊三項分別 代表流體對流、微生物游動速度與微生物濃度擴散造成之流動通量。其D_n為擴散係 數，此擴散係數已經將多孔性介質的孔隙度效應加入考慮。

溫 度 分 佈 將 考 慮 多 孔 性 材 質 固 體 與 液 體 處 在 熱 不 平 衡 狀 態(Thermal

Non-equilibrium)，因此以兩個方程式模型[21,22]來描述液體與固體的溫度分佈分別如

下：

( )_f T^f ( )_{f f f} 2 _f ( _{s f})

c c u T k T h T T

ε ρ

^∂t +

ρ

∇ =

ε

∇ + −

∂ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶi (76)

(1 )( )_s T^s (1 ) _s 2 _s (_{s f})

c k T h T T

t

− ∂ = − ∇ − −

ε ρ ∂^ɶ ε ^{ɶ ɶ ɶ ɶ}

ɶ (77) 其中Tɶ為溫度、c為比熱(Specific Heat)、k為熱傳導係數(Thermal Conductivity)、

h

為固體與液體的熱傳係數(Interphase Heat Transfer Coefficient)、下標s及f分別代表固體 與液體的物理性質。

上述方程式即已足夠描述引發之熱-生物對流問題。方程式(71)-(77)配合下面邊界 條件：

0 :

x= u= =v 0, T =T_l, q j =0

i (78)

:

x=L u= =v 0, T =T₀, q j^i=0 (79)

0 :

y= u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q i^i=0 (8 0) :

y=d u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ ^{q i =0}

 

i (81)

將方程式(71)–(81)以下面參數來無因次化：

(

ɶ ɶ^{x y z, ,ɶ}

)

^{=d x y z}

⁽

^{, ,}

⁾

^，

⁽

^{, ,}

⁾ _{( )}

^f

⁽

^{, ,}

⁾

f

u v w k u v w c d

= ɶ ɶ ɶ

ε

ρ

^，

( )

f f

P k P

c K ɶ=

µ

ρ

(82)

( )

= − + ɶ ɶ ɶ ɶ

f l u f u

T T T T T ，T^ɶs ⁼

(

T^ɶl⁻T T^ɶu

)

s⁺T ，^ɶu

( )

_{f 2}

f

c

t d t

= k ɶ ρ

(83)

此問題得到無因次方程式為：

f 0

K ∇ +P T + n u+ =

ε

^{Ra Rb} (84 ) u 0

∇i = (85 )

n q

t

∂ = −∇

∂ i (86 )

2 ( )

f

f f s f

T u T T T T

t

∂ + ∇ = ∇ + −

∂ i H (87 )

2 ( )

s

s s f

T T T T

t

∂ = ∇ − −

∂ ^H

α

ηηηη (88) 而無因次的邊界條件可改寫成

0 :

x= u= =v 0, T =T_l, q j^i=0 (89)

:

x=L u= =v 0, T =T₀, q j =0

i (90)

0 :

y= u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q i^i=0 (91)

:

y=d u= =v 0, T 0, x

∂ =

∂ q i^i^=0 (92) 方程式（84）以及邊界條件中的q是微生物流動通量，對趨地性微生物可表示成：

q=un+Pen−Le∇n (93 ) 上面無因次方程式中：

0 f

g ∆TKd

= ρ β

Ra εµκ 為熱雷里數（Thermal Rayleigh Number）； ⁰

f

g ∆ n Kd

= θ ρ

Rb εµκ 為生物對流

雷里數（Bioconvection Rayleigh Number）； ⁿ

f

= D

Le

εκ

為路易斯數(Lewis Number)；

n

Vd

=D

Pe 為培萊克特數（Pelect Number）。α =κ_f /κ_s為流體與固體熱擴散係數比

（Diffusivity Ratio）；

(1 )

f s

k

= k η −ε

ε 為孔隙度修正熱傳導係數比（Porosity-modified Conductivity Ratio）； ²

f

hd

= k

H ε 為無因次兩相熱傳係數(Non-dimensional Interphase Heat Transfer Coefficient）。

統合牛頓流體飽合多孔性介質內趨地性微生物的熱-生物對流問題，將方程式（84）

-（88）引入Vorticity（ξ）與Dimensionless Stream（

ψ

）函數，可得到下列新的方

程式：

ξ

= −∇2

ψ

(94 )

2 Tf n

x x

∂ ∂

∇ = −

∂ ∂

ψ Ra Rb (95 )

2 ( )

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + = ∇ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f f

f s f

T T T

T T T

t y x x y

ψ ψ

H (96 )

2 ( )

s

s s f

T T T T

t

∂ = ∇ − −

∂ ηH

α (97 ) 趨地性微生物濃度分佈方程式

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2

+ + +  = ∇

∂ ∂ ∂  ∂ ∂

n n n

t y x x y n

ψ ψ

Pe （98） 起始條件與邊界條件：

在t= 時，假設趨地性微生物的濃度是均勻分佈，則 0

(

^{, , 0}

)

¹

n x y = （99）

f s 0

T T

ψ = = = （100）

假設邊界壁面為不滲透，則對趨地性微生物，流體在邊界的速度與溫度及微生物 濃度分佈滿足：

0 :

x= 0, 0, T^f 0, T^s 0, n 0

u x x x

ψ = = ^∂ = ^∂ = ^∂ =

∂ ∂ ∂ （101） / :

x=L d 0, 0, T^f 0, T^s 0, n 0

u x x x

ψ ∂ ∂ ∂

= = = = =

∂ ∂ ∂ （102） 0 :

y= 0, 0, 1, 1, ∂

= = = = =

f s ∂

u T T n n

ψ Pe y （103） 1:

y= 0, 0, _f 0, _s 0, n

u T T n

ψ ∂y

= = = = =

Pe ∂ （104）

第 第 第

第五 五 五 五章 章 章 章 流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物之熱 流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物之熱 流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物之熱 流體飽合多孔性介質內嗜氧性微生物之熱– – –生物對流流 – 生物對流流 生物對流流 生物對流流 場分析

場分析 場分析 場分析

5.1 物理模型 物理模型 物理模型 物理模型

圖四 二維流場物理模型圖

考慮如圖四所示之流體飽合多孔性介質層的厚度為d寬度為L，飽合層下端邊界保持在

Tɶ 而上端溫度保持在l Tɶ_u (Tɶ_l >Tɶ_u)，微生物流動通量為q



，i



為x邊界單位法向量，j

 為

y邊界單位法向量，q i=0

 

i 與q j=0

 

i 表示邊界無微生物穿透， C=C 為上表面氧濃度^0

為一常數，^∂ =

∂ T 0

x 代表左右兩邊壁面絕熱，同時微生物的密度高於多孔性介質內的流 體密度，因此會發生生物對流。

5.2 數學方程式推導 數學方程式推導 數學方程式推導 數學方程式推導

以達西(Darcy)模型來描述流體的動量方程式且流場假設滿足Boussinesq近似，則動量

方程式可以表示成：

(

^{∇ −ɶ}^{P (ρf −ρ0)g}

)

⁺_K^µuɶ=0 (105)

0 0 ( )

= − ɶ − ɶ + ∆ ɶ

f Tf Tu n

ρ ρ ρ β ρθ (106)

其中uɶ為流體速度、Pɶ 為壓力。µ、K、ρ為流體的黏滯性(viscosity)、滲透率(permeability)

及密度(density)；β為流體的體膨漲係數；∆ =ρ ρcell−ρf為游動微生物與流體的密度差;θ

與nɶ為游動微生物的平均體積與濃度。

流體的連續方程式為：

ɶ 0

∇u=



ɶ i (107)

假設不考慮微生物的生成與死亡，則微生物濃度滿足：

n q

ε ∂t

∂ = −∇

ɶ 

ɶ ɶ i (108)

其中

q=nu+nV−Dn∇n

 ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ (109)

ε為孔隙度， q

為微生物的流動通量。其中D_n為擴散係數。方程式(109)中的Vɶ 為微生 物的游動速度，對嗜氧性微生物而言，微生物的游動速度通常與懸浮液內的氧濃度梯 度成正比，參考Metcalfe與Pedly的實驗結果[27]並且修正改寫成：

c

V^ɶ=bW^ɶ ∇C (110)

其中 bɶ 為化學趨向常數其因次是長度，W 為細胞最大游動速度其因次是速度， c bWɶ c的 乘積為一常數。C為無因次氧濃度可定義為：

0

C C

=C ɶ

ɶ (111)

其中 Cɶ 為有因次氧濃度、Cɶ 為上表面氧濃度。₀

考慮多孔性介質固體與流體處在熱不平衡狀態(thermal non-equilibrium)，因此以兩個 方程式模型(two temperature model)[19, 20]來描述液體與固體的溫度分布分別如下：