文獻回顧

一般而言，識別時變系統之方法分為兩類：(I) 非參數法；(II) 參數法。

非參數法將反應訊號視為一非穩態(nonstationary)訊號，利用時間─頻率表示 法 來 識 別 頻 率 隨 時 間 改 變 之 特 性 ， 例 如 利 用 短 時 傅 利 葉 轉 換 法 (STFT)(Cohen, 1989)、Wigner-Ville distribution(WVD)(Cohen, 1989；Martin and Flandrin, 1985) 、 Choi-Williams distribution(CWD)(Choi and Williams,1989) 、 adaptive optimal kernel distribution(AOKD)(Jones and Baraniuk, 1995)、Huang-Hilbert transformation(Huang et al., 1998；Yang et al., 2003)以及小波轉換(Qian, 2002；Kijewski and Kareem, 2003)等，一般而言，

此類方法大部分只能適用於結構系統無外力之反應訊號(例如自由振動反應) 分析，識別結構系統隨時間改變之頻率或阻尼。但於識模態有其困難性。

另外此類方法如冋非時變系統於頻率域分析技巧，其識別頻率解析度不是 很高，對互相干擾嚴重之模態不易識別。

時變參數法提供了簡潔且高解析度之方法，並被廣泛地應用至工程問 題。識別時變系統有兩種方法普遍被採用，分別是遞迴最小平方差法以及

基底函數展開技巧。

(A)遞迴最小平方差法

假設一個非穩態過程，為局部穩態或者於一個有限之時間區間中變化 相當緩慢；如此，則有很多種迴歸估算之技巧可以應用。RLS(常數型遺忘 因 子)(Ljung,1987; Johansson, 1993; Parkumet al., 1992; Zh-ang, 1991;

Arunachalam and Chesmore, 1993; Campi, 1994; Wang et al., 1996;

Kadirkamanathan et al., 2000; Pang et al., 2005; Zhao and Chen 2008; Rene, 2008)、等。此法可以處理平緩變化之非穩態訊號；但是對於處理突然改變 之系統，此法將不再有效。為了改善這樣的缺點，變數型遺忘因子(variable forgetting factors) (Fortesceu et al., 1981; Toplis et al., 1988; Cho et al., 1990;

Wang and Reza,1996; Song, 2000; Song, 2002; Sugisaki and Ohmori, 2007;

Chen et al., 2008;)、梯度變數形遺忘因子(Gradient-Based variable forgetting factor)(Leung and So, 2005) 、 重 新 設 置 協 方 差 矩 陣 (covarianve matrix re-setting) (Jiang et al.,1992; Park et al., 1992) 、 常 數 跡 (constant trace)(Johansson,1993)、窗函數移動技巧(sliding window technique)(Choi and Bien, 1989; Belge and Miller, 2000)、選擇性遺忘(selective forgetting) (Parkum et al., 1992)、遞迴增量估測法(recursive incremental estimation) (Zhou et al., 1996)、遞迴性工具變數法(Ljung, 1987)、遞迴性誤差預測法(Lee, 1990)與卡 式濾波器(Kalman filter) (Loh et al., 2000; Ljung, 1987; Schoukens, 1991;

Soderstrom, 1988; Sinha, 1983; Chen, 1991; Cao et. al., 2001; Ma, 1996; Zhang et al, 2008; Costa and Astolfi, 2008; Enbin et al., 2008)、推廣性卡式濾波器 (Extended Kalman filter)(Roman, 1987; Seibold and Fritzen, 1991; 吳, 1997;

Atsuhiko and Hiroshi, 2007)等技巧被提出並與遞迴最小平方差法結合。然 而，遺忘因子之選擇對分析結果有決定性之影響，對此參數之決定目前尚 無 完 整 之 參 考 依 據 。 雖 然 以 狀 態 空 間 模 型 結 合 Kalman filtering algorithm(Ljung, 1987; Kalouptsidis and Theodoridis, 1993)可以追蹤突然變化 之過程。但是，這個方法常常高估參數值，而且參數估算值之變異性相當 大。

(B)基底函數展開技巧

基底數展開技巧是一種具有發展潛力及目前備受關切之方法。其基本 觀念為：對每一個時變系統參數，利用基底函數展開，再以取小平方差法，

計算每一基底函數係數。以此估算各基底函數對應之係數將不隨時間改 變。利用基底函數最主要之目地，乃是考慮減少所須之資料量以獲得必須 之時變係數。因此，識別快速變化之非穩態過程，以基底函數處理會比以 迴歸識別技巧處理更為恰當。但是，必須注意的是，基底函數展開之方式 對於波型變化過於劇烈（須大量之基底函數）且歷時過於短暫之資料（建 立之方程式少），仍然無法萃取其動力行為。有幾種基底函數常被使用，包 括富利葉序列(Marmarelis, 1987)、Legendre Polynomials (Zou et al., 2002)、

Walsh function (Zou et al., 2002)、以及小波 (Tsatsanis and Giannakis, 1993)。

此類方法之優劣與選擇基底函數之次空間延伸（使用之基底個數）有很大 的相關。Zou(2003)透過數值模擬發線 Legendre Polynomials 可準確模擬平滑 變化之時變曲線，Walsh function 則對片段穩態 (piece-wise stationary)之時 變係數有較好之模擬結果。一般而言，基底函數展開法須引入較多之基底 函數，而過多之基底函數易造成數值困難，特別是多項式基底。