混合策略均衡

第三章、理論模型

第二節、混合策略均衡

( ( ) ) ^{( )}

較高的效用，使得U_{L x}^T ₌₀ >U_{H x}^T ₌₀，所以

( ) ( )

¹⁰ ^> ⁸ ，老師在學生選擇不作弊時會傾

作弊時，老師在付出高努力和付出低努力之間效用上的差距，因為

( ) ( )

¹⁰ ^> ⁸ ^的

【命題一】：

以處罰為手段阻止學生採取作弊的策略不一定有效果，當處罰介於上述的範圍之內時，處罰是不會影響到學生選擇作弊的行為，只會影響到老師對於均衡時選擇高努力的機率；若處罰大於此範圍，則不會有混合策略均衡，此時對學生而言，不作弊是優勢策略(dominant strategy)，會有純粹策略均衡出現，那許均衡 (Nash equilibrium)為，學生會選擇不作弊，老師選擇低努力；若處罰小於此範圍，

也不會有混合策略均衡，此時對學生而言，作弊是優勢策略，會有純粹策略均衡出現，那許均衡為，學生選擇作弊，老師選擇高努力，證明詳見附錄四。

在上述的範圍內，額外的處罰

( )

^f 只有進入老師的在均衡時採取高努力策略的機率，也就是加重額外的處罰以防止學生作弊，在此範圍內，只會降低老師選取高努力的機率，並不會使學生改變策略的選擇。

因為額外的處罰只有進入老師的混合策略均衡之中，所以處罰的增減影響到老師均衡時選擇高低努力的機率，比較靜態的部分見附錄三。

額外的處罰的增減只會降低學生的期望效用，並不會改變學生均衡時選擇 作弊的機率 x^∗， y 0

∂ <f

∂ ，加重額外的處罰會降低老師均衡時選取高努力的機率，

也就是說，在額外的處罰和付出高努力的機率之間有抵換關係，老師可以加重處罰以降低付出高努力的機率，但是額外的處罰在這個區間之內並沒有嚇阻作弊的功用。

如果額外的處罰是大於此範圍，則表一只會存在純粹策略均衡，也就是說，

額外的處罰太重，純粹策略均衡就是，老師選擇低努力，學生選擇不作弊，當處罰在範圍之外，會違背原先假設

( ) ( )

⁶ ^< ¹² ^，變為

( ) ( )

⁶ ^> ¹² ^{，若此條件改變，不}

作弊變為優勢策略，此時那許均衡為，老師選擇低努力，學生選擇不作弊。

如果額外的處罰是小於此範圍，則表一也只會存在純粹策略均衡，處罰太輕，會使得原先假設的

( ) ( )

⁶ ^> ¹¹ ^變為

( ) ( )

⁶ ^< ¹¹ ，若此條件成立，對學生而言，

作弊變為優勢策略，此時那許均衡為，老師選擇高努力，學生選擇作弊。

把額外的處罰定很高是不合理的，站在現在教育的觀點，家長們保護自己的孩子，不准老師對學生的懲罰太嚴厲；而站在老師的觀點，若是把額外的處罰定的太低，則純粹策略均衡變為老師選擇高努力，但學生還是選擇作弊，樣對老師帶來更大的成本，所以把

( )

^f ^{設定在此區間內。}

一般來說，額外的處罰對於作弊是具有嚇阻的效果，但在混合策略之下並沒有存在嚇阻的效果，就 Becker 犯罪的文章中討論到，犯罪帶來社會成本，對罪犯的處罰也是一種社會成本，但是這些成本並不是由社會上其他人負擔，而是由犯罪者本身負擔，如此一來，在犯罪的同時會把犯罪時自己要付出的成本考慮進去，所以會有嚇阻的效果，但若角色換成是老師和學生，老師無法讓學生負擔額外處罰帶來的成本，也就是說處罰無法在老師的效用中產生一個回饋的效果，

所以沒有辦法產生嚇阻的效果。

第三節同儕壓力

凡考試就會有成績高低就會有排名的問題，也就會有競爭的出現，學生追求成績有可能是家庭的因素，如父母的要求，抑或是同儕之間的比較，都會使得學生在意成績，所以在學生的效用函數中，把同儕壓力的部分再加入成績，當考 慮學生的名譽以及排名以後就會有同儕壓力， B 代表同儕壓力。

同儕壓力函數 B 的範圍和額外處罰 f 的範圍類似，若是在混合策略均衡成

並不突出也不落後，和平均的差距較小，壓力較小，所以假設^{E G}

( )

ⁱ ₁

同儕壓力，在 Scharfstein and Stein 中提及，當大家都採取一樣的行為時，

採取跟別人相異行為的人所受到的壓力比較大，除了成績上的落後會帶來壓力之

分數的平均靠近，會拉近作弊與不作弊的效用差距，所以 y^∗會減少，也就是說

加入同儕壓力時，同學之間會有成績上的競爭，成績離平均愈遠的人，感受到的同儕壓力愈大，所以老師有可能因為同儕壓力的影響之下，而改變選擇高努力的機率，可以解釋為，愈多人作弊，老師降低付出高努力的機率，愈少人作弊，老師付出高努力的機率將會提高。

但就實際的現象而言，第一種情況是班上超過一半的同學作弊，雖然不無可能，但是比較少發生，第二種情況比較常見，班上有少部分的人作弊，老師為了不讓作弊行為變成為多數，所以增加高努力的機率去壓抑作弊的行為。

第四節教學評鑑

師生互動理想的情況就是老師對學生投入高度的努力，而學生努力地學習，但是現實往往無法面面俱到，所以校方把教育評鑑加入使得這情況較容易達到，校方也就是在位者，會對教師作考績評分，例如，參考學生的意見，由學生把意見反映給在位者，或是從成績表現、班級表現等，其他方面觀察；再由考績的評分對老師做一個獎賞的制度。

在模型的一開始假設老師和學生都是自利的(self-interest)，追求的都是自身的利益；在此假設老師投入的努力和學生給的評分成正向關係，^{D e}

( )

^T ^就是評分

的結果，^{D e}^e

( )

^T > ，老師投入愈高的努力得到的分數愈高，⁰ ^{D e}

( ) ( )

^T^H ^>^{D e}^T^L ^，

而評分的結果對於老師的薪資也會有影響，所以令^K ⁼^{K D e}

( ( )

)

^{，帶入原先老}

師的效用函數。

混合策略均衡之下，原先假設

( ) ( )

⁸ ^< ¹⁰ ^成立，

( )

¹³ ^轉變為，

( ( ) ) ( ^{( )} ) ^{( ) ( )}

老師將在式

( )

⁸ ^和式

( )

⁹ ^{之間作選擇，選擇}

( )

⁸ 則學生不會想作弊，選擇

( )

⁹ ^則學

當^{V e}¹

( ) ( )

^T ⁼^{V e}² ^T ^{時，可推導出}

^{( )}

¹⁸ ^式，

由

( )

¹⁷ ^式和

( )

¹⁸ 式可知，老師可以藉由控制努力程度，降低學生採取作弊的期望效用，也就是說，老師可以控制學生，學生會選擇不作弊以獲得其最大的期望效用。

但是要如何從e^T =eˆ^T轉變為e^T > ，於是在此加入政策，使得老師付出的eˆ^T 努力會比原先付出的努力來的高，比較附錄一和

( )

²⁰ 式可知，加入努力程度後老師付出的努力程度會高於原先的努力程度。

^∂_∂^U_e^T^T ⁼^{K D}^D ^e⁻^{H p e}^p ^′

( ) ( )

^T ⁻^{C e}^′ ^T ⁼⁰

^{( )}

²⁰

但是由表一可知，如果沒有人作弊，老師會趨向付出較低的努力，但是加入政策面的考量之後，即使學生選取不作弊的策略，老師依然有動機選則付出較高努力的努力程度。

【命題三】：

當老師努力程度變為連續型的函數，且此賽局變為動態賽局時，老師先決定e ，學生再選擇作弊與否，若老師付出努力超過一定的水準，使得^T

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

( )

1 1 1 2 2 2

1 1

S S S S

G e v e G e v e

p e n

f G e R N

− − −

> ⎛⎜⎝ + + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠⎞⎟⎠

則學生將選擇不作弊，且再加入政策

考量之下，老師也不會有往較低努力偏離的動機，證明見附錄六。

第四章結論與建議

第一節結論

本文綜合 Becker 關於犯罪的文章，以及許多篇實證教育類的文獻的結果，

再以賽局理論為分析的方法，進行學生和老師之間的賽局，以及探討如何有效地防範作弊行為的發生，最後加入教學評鑑的考量，探討是否能達到效果。

起先是以靜態賽局的方式表現，老師和學生同時選擇策略，出現的那許均衡有兩種，一種是混合策略均衡另一種是純粹策略均衡，老師可以訂定作弊被抓到的處罰，若處罰超過一定的範圍，則會出現純粹策略均衡，即老師選擇低努力，

學生選擇不作弊，但以現在教學的方向，過重的處罰是不被允許的，若處罰在一定的範圍內，則會出現混合策略均衡，此時會同時存在作弊與不作弊的學生。

若效用中包含同儕壓力，且混合策略均衡存在時，老師相對付出高努力的機率要比原先來的高，而在混合策略均衡的假設不成立時，會有純粹策略均衡，但是卻都不是最理想的狀況，而依據此靜態賽局進行的方向，改變學生的效用是不會達到最理想的狀況。

再來是討論如何有效地減少作弊的機率，在混合策略均衡之下，對老師進行考績獎勵的政策，鼓勵老師付出高努力，因為老師付出高努力的期望效用增加，

所以會有效地減少學生選擇作弊的機率，若是混合策略均衡的條件不成立的情況下，純粹策略均衡變是在位者要達到的目標，老師付出高努力，學生選擇不作弊，

也就是師生之間最好的互動關係。

在放寬兩個假設的情況下，函數變為連續型，且由靜態賽局變為動態賽局，

老師先選擇努力的程度，是先行動者，學生接收到老師的訊息後採取行動，是後行動者，解此動態賽局時採取逆推法，在老師付出努力高於某個水準時，學生便不會採取作弊的策略，而老師也會因為獎勵政策的關係，有付出更高努力的動機，所以在動態賽局的情況之下，較容易達到，老師付出高努力且學生不作弊的理想狀況。

第二節未來研究建議

對於未來的研究建議，一開始假設老師和學生都是自利的，但是或許老師追求的是班級的公平，用功讀書拿到比較好的分數、防範投機取巧的心態才是老師心中的目標，加諸自利的假設在老師身上，有時候並不符合老師面對教育的精神，未來研究的方向可將老師假設為在位者，追求的是班級的公平，而不是關心自己的效用，或許會是另一個新的氣象。

在本文中提到，額外處罰在混合策略均衡中，是不具有嚇阻的作用，原因在於處罰沒有對老師的效用產生回饋的作用，在其他探討社會犯罪文章中，犯罪者都會因為被抓到付出代價，可能是剝奪自由，也有可能是面對罰金，就像污染一樣，污染的製造者要付費或是被課稅，警察在抓違規時，有業績的壓力，但是這

在文檔中教室裡的犯罪-老師和學生之間的賽局 (頁 16-0)

第三章、 理論模型

第二節、 混合策略均衡

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第四章 結論與建議

第三章、理論模型

第二節、混合策略均衡

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^{( )}

^{( )}

第四章結論與建議