方程組的建立

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立 政 治 大 學

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N a tio na

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第三章 方程組的建立

由 1 對 1 且映成的對應方法已無法面對較多限制條件的情況，因此在針對「長度為 n 的k元 數列」前，可由前一章方程式的常數項係數中，觀察得出一個性質，

即『長度為 n 的k元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現偶數次的個數』與

『長度為 n 的k元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現奇數次的個數』

有一規則性關係，如下所述。

性質：『長度為 n 的k元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現偶數次的個數』等 於『長度為 n 的k元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現奇數次的個數』( k 2m)ⁿ。 證明：

「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現偶數次的個數等於

















     







2

0

2 2

2 4

4 4 2 2

2

0( ) ( ) ( ) ... ( )

n

i

i n i

n i n

n n n

n

n k m C m k m C m k m C m k m

C

「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現奇數次的個數等於

























       



2

0

) 1 2 ( 1

2 1 2 5

5 5 3 3

3 1 1

1 ( ) ( ) ( ) ... ( )

n

i

i n i

n i n

n n n

n

nm k m C m k m C m k m C m k m

C

   

2 ) 2 ( 2

) ( 2

) ) (

(

2

0

2 2

2

n n n

n n

i

i n i

n i

m k k m m k m

m m k

k m

C  

 

 



 

















   

2 ) 2 ( 2

) ( 2

) ) (

(

2

0

) 1 2 ( 1

2 1 2

n n n

n n

i

i n i

n i

m k k m m k m

m m k

k m

C  

 

 



 























由此可知：

『長度為 n 的k元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現偶數次的個數』等於

『長度為 n 的k元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現奇數次的個數』( k 2m)ⁿ。

以下便針對「長度為 n 的k元數列」探討「控制 t 種數字(0,1,2,...,(t1))出現偶數次的個數」

方法及通式。

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一、『長度為 n 的k元數列中，「0」出現偶數次的個數』。

同理，令集合 A：偶數個 0，集合 B：奇數個 0。

則滿足

 A B kⁿ

 A B ( k 2)ⁿ

由性質可知，「0」出現偶數次的個數「0」出現奇數次的個數( k 2)ⁿ

由上述二式可得二元一次方程組

















n n

k B A

k B A

) 2

( ，解出

2 ) 2 , (

2 ) 2

( ⁿ kⁿ k ⁿ k B

A k  

 

  。

二、『長度為 n 的k元數列中，「0」與「1」出現偶數次的個數』。

同理，令集合A:偶數個 0 且偶數個 1，集合B 偶數個 0 且奇數個 1， ₁: 集合B 奇數個 0 且偶數個 1，集合₂: C:奇數個 0 且奇數個 1。

則滿足

 A 2B₁  C kⁿ

 A C ( k 2)ⁿ

由性質可知，「0」出現偶數次的個數「0」出現奇數次的個數( k 2)ⁿ

 A 2B₁  C (k4)ⁿ

由性質可知，「〝0〞+〝1〞」出現偶數次的個數「〝0〞+〝1〞」出現奇數次的個數( k 4)ⁿ

由上述三式可得三元一次方程組



























n n n

k C B A

k C A

k C

B A

) 4 ( 2

) 2 (

2

1 1

，可得

4

) 4 ( ) 2 (

2 ^{n n}

n k k

A k    

 ，

4 ) 4 (

2 1

n

n k

B k

B  



 ，

4

) 4 ( ) 2 (

2 ^{n n}

n k k

C k    

 。

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三、『長度為 n 的k元數列中，「0」與「1」與「2」出現偶數次的個數』。

同理，令集合A:偶數個 0 且偶數個 1 且偶數個 2，集合B 奇數個 0 且偶數個 1 且偶數個 2， ₁: 集合B₂ :偶數個 0 且奇數個 1 且偶數個 2，集合B₃ :偶數個 0 且偶數個 1 且奇數個 2，

集合C₁:偶數個 0 且奇數個 1 且奇數個 2，集合C₂ :奇數個 0 且偶數個 1 且奇數個 2，

集合C₃:奇數個 0 且奇數個 1 且偶數個 2，集合D:奇數個 0 且奇數個 1 且奇數個 2。

則滿足

 A3B₁ 3C₁  D kⁿ

 A B₁ C₁  D (k2)ⁿ

由性質可知，「0」出現偶數次的個數「0」出現奇數次的個數( k 2)ⁿ

 A B₁ C₁  D (k4)ⁿ

由性質可知，「〝0〞+〝1〞」出現偶數次的個數「〝0〞+〝1〞」出現奇數次的個數( k 4)ⁿ

 A3B₁ 3C₁  D (k 6)ⁿ 由性質可知，

「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現偶數次的個數「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現奇數次的個數( k 6)ⁿ

由上述四式可得四元一次方程組



















































n 1

1 1 1

1 1

1 1

6) (k 3

3

) 4 (

) 2 (

3

3

D C B A

k D C B A

k D C B A

k D C B A

n n n

，可得

8

) 6 ( ) 4 ( 3 ) 2 (

3 ^{n n n}

n k k k

A k      

 ，

8

) 6 ( ) 4 ( ) 2 (

3 2 1

n n

n

n k k k

B k B

B      





 ，

8

) 6 ( ) 4 ( ) 2 (

3 2 1

n n

n

n k k k

C k C

C      





 ，

8

) 6 ( ) 4 ( 3 ) 2 (

3 ^{n n n}

n k k k

D k      

 。

以此類推，……

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四、『長度為 n 的k元數列中，「0」與「1」與「2」與……「t1」(t k)出現偶數次的個數』。 可分成t1類集合，如下：

令集合A 「0」與「1」與「2」與……與「_t : t1」等 t 種數皆為偶數個，

集合A_t1:某t1種數有偶數個，其餘一種數有奇數個，

集合A_t2:某t2種數有偶數個，其餘二種數有奇數個，

集合A_t3:某t3種數有偶數個，其餘三種數有奇數個，



集合A_j:某 j 種數有偶數個，其餘t  種數有奇數個， j



集合A 某兩種數有偶數個，其餘₂: t2種數有奇數個，

集合A 某一種數有偶數個，其餘₁: t1種數有奇數個，

集合A 「0」與「1」與「2」與……與「₀: t1」等 t 種數皆為奇數個。

則滿足

C_t^t A_t C_t^t_1 A_t1 C_t^t_2 A_t2 ...C^t_j A_j ...C₀^t A₀ kⁿ

C_t^t_^₁¹ A_t (C_t^t_^₂¹C_t^t_^₁¹)A_t1 (C_t^t_^₃¹C_t^t_^1₂)A_t2 ...(C^t_j^_¹₁C^t_j^1)A_j ...C₀^t1 A₀ (k2)ⁿ

由「0」出現偶數次的個數=「0」出現奇數次的個數( k 2)ⁿ















(C_t^t_^₁¹ A_t C_t^t_^₂¹A_t1 C_t^t_^1₃ A_t2 ... C^t_j^_¹₁ A_j ... C₀^t1 A₁)

n t

t j

t j t

t t t t

t A C A C A C A C A k

C ... ... ) ( 2)

( _^₁¹ _1  _^1_{2 2}   ^1   ₁^1 ₁  ₀^1 ₀  

C_t^t_^₂² A_t (C_t^t_^₃² C₁²C_t^t_^₂²)A_t1 (C_t^t_^₄² C_t^t_^₂² C₁²C_t^t_^₃²)A_t2 ...(C^t_j^_²₂ C^t_j^2 C₁²C^t_j^_²₁)A_j ...

n

t A k

C₀ ² ₀ ( 4)

 ^

由「〝0〞+〝1〞」出現偶數次的個數=「〝0〞+〝1〞」出現奇數次的個數( k 4)ⁿ





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為了符號便利且敘述簡便，可針對各種數字出現奇數個的狀況而言，而改令 集合B ₀ A_t:「0」與「1」與「2」與……與「t1」等 t 種數皆為偶數個，

集合B₁ A_t1:某t1種數有偶數個，其餘一種數有奇數個，

集合B₂ A_t2:某t2種數有偶數個，其餘二種數有奇數個，

集合B₃ A_t3:某t3種數有偶數個，其餘三種數有奇數個，



集合B_j A_tj:某t  種數有偶數個，其餘 j 種數有奇數個， j



集合B_t2 A₂:某兩種數有偶數個，其餘t2種數有奇數個，

集合B_t1 A₁:某一種數有偶數個，其餘t1種數有奇數個，

集合B_t  A₀:「0」與「1」與「2」與……與「t1」等 t 種數皆為奇數個。

則滿足

C₀^t B₀ C₁^t B₁ C₂^t B₂ ...C^t_j B_j ...C_t^t B_t kⁿ

C₀^t1B₀ (C₁^t1C₀^t1)B₁ (C₂^t1C₁^t1)B₂ ...(C^t_j^1C^t_j^_¹₁)B_j ...C_t^t_^₁¹B_t (k2)ⁿ

C₀^t2 B₀ (C₁^t2 C₁²C₀^t2)B₁ (C₂^t2 C₀^t2 C₁²C₁^t2)B₂ ...(C^t_j^2 C^t_j^_²₂ C₁²C^t_j^_1²)B_j ...

n t

t

t B k

C ₂² ( 4)

 _^



ⓘC₀^ti B₀ (C₁^ti C₁ⁱC₀^ti)B₁ (C₂^ti C₂ⁱC₀^ti C₁ⁱC₁^ti)B₂ ...

n t

i i i j

i t j i i t j i i t j i i

t j i i t j i i t j

iC C C C C C C C C CC B C B k i

C ...) ( ...)] ... ( 1) ( 2 )

[( ₀  _{2 2}  _{4 4}   _{1 1} _{3 3}  _{5 5}      

 ^{ }_ ^_ ^_ ^_ ^_



ⓣC₀^t B₀ C₁^t B₁ C₂^t B₂ ...(1)^jC^t_j B_j...(1)^tC_t^t B_t (k2t)ⁿ

由上述t1式可得t1元一次方程組如下：

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在文檔中 以雙射函數探討四元數列 - 政大學術集成 (頁 17-24)