雙射函數的建立

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N a tio na

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第二章 雙射函數的建立

一、『長度為 n 的四元數列中，「0」出現偶數次的個數』。

1.方法一：分為四類(0 為首，1 為首，2 為首，3 為首)

設長度為 n 的四元數列中，「0」出現偶數次的個數為A ， _n

可寫出遞迴關係式：A_n (4^n1 A_n1)A_n1 A_n1 A_n1 2A_n14^n1，nN,n1,A₀ 1

可解出 2

2 4^{n n} An 



2.方法二：由指數型生成函數可知

 

2 ) 2 ( ) 4 ) (

2 ( ) ( ) (

!

3

0

x e x x e

x e e x x e

n A _n

n

n 



 

 





 

















0 0

0

! 2

2 4 2

) 2

!( ) 1

4

!( 1

n

n n n n

n n

n x

n n x

n x

，可解出 , , 0

2 2

4   

 n N n

A

n n n

3.方法三：可想成n 個座位中選2i個位置給「0」，其他位置給「1」或「2」或「3」的方法數，

即為 ^





 























     





^{2 2}

2 2 4

4 2 2 0

2

0

2

2 3 3 3 3 ... 3

n n n

n n

n n n n n n

i

i n n

i

n C C C C C

A

已知(x1)ⁿ C₀ⁿxⁿ C₁ⁿx^n1C₂ⁿx^n2 ...C_nⁿ_1xC_nⁿ

n n n

n n

n n n n

n C C C

C₀3  ₁3 ¹ ₂3 ² ... (31) 4

 ^{ }

C₀ⁿ3ⁿC₁ⁿ3^n1C₂ⁿ3^n2 ...(1)ⁿC_nⁿ (31)ⁿ 2ⁿ

2 2 3 4

...

3 3

3

3 ²

2

2 2 4

4 2 2 0

2

0

2 2

n n n

n n n n

n n

n n n n

i

i n n

i

n C C C C C

A 















 ^





 



























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4.方法四：

若a₁a₂...a_i...a_n為此長度為 n 的四元數列的表示法；

令集合 A：偶數個 0，集合 B：奇數個 0；令C:只有2或3的集合，則C  A，B C 。

明顯的 A B 4ⁿ

 A  B 2ⁿ

設一函數 f :ABC，其中











1 0

~ , ...

...

) ...

...

(

1 0 ,

)...

1 ...(

) ...

...

(

1 2

1 2

1

2 1 2

1

或 皆不為

或 為第一個

n n

i n

i

i n i n

i

a a a a a a a a a a f

a a a a

a a a a a

f ，

則函數 f 為 1 對 1 且映成。

證明：

「1 1」：

(1)a_i為第一個0或1

若 f(a₁a₂...a_i...a_n) f(a₁'a₂'...a_i'...a_n')，則a₁a₂...(1a_i)...a_n a₁'a₂'...(1a_i')...a_n' ' ,...

' ,...

' ,

' '

,...

' 1 1

,...

' ,

' _{2 2 1 1 2 2}

1

1 a a a ai ai an an a a a a ai ai an an

a           



(2)a₁~a_n皆不為0或1

若 f(a₁a₂...a_i...a_n) f(a₁'a₂'...a_i'...a_n')，則a₁a₂...a_i...a_n a₁'a₂'...a_i'...a_n' '

,...

' ,...

' ,

' _{2 2}

1

1 a a a ai ai an an

a    



由(1)(2)，則 f 為 1 對 1。

「映成」：

(1)b_i為第一個0或1

任意b₁b₂...b_i...b_nBb₁b₂...(1b_i)...b_n A 若b_i為第一個0，則1b_i 1 少一個 0

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若b_i為第一個1，則1b_i 0 多一個 0 (2)b₁ ~b_n皆不為0或1

任意b₁b₂...b_i...b_nC b₁b₂...b_i...b_n A

0 不多不少

由(1)(2)，則 f 為映成。

由上述二式可得二元一次方程組















n n

B A

B A

2

4 ，解出

2 2 , 4

2 2

4^{n n n n} B

A 

 



即找到一個雙射函數 f :ABC，其中











1 0

~ , ...

...

) ...

...

(

1 0 ,

)...

1 ...(

) ...

...

(

1 2

1 2

1

2 1 2

1

或 皆不為

或 為第一個

n n

i n

i

i n i n

i

a a a a a a a a a a f

a a a a

a a a a a f

發現「0」出現偶數次的個數=「0」出現奇數次的個數2ⁿ。

實例：長度為 2 的四元數列中，「0」出現偶數次的整數對應如下：

集合 A(偶數個 0)：00,11,12,13,21,22,23,31,32,33 集合 B(奇數個 0)：01,02,03,10,20,30

集合 C(只有 2 或 3)：22,23,32,33

30 ) 31 ( , 20 ) 21 ( , 03 ) 13 ( , 02 ) 12 ( , 01 ) 11 ( , 10 ) 00

(  f  f  f  f  f 

f

33 ) 33 ( , 32 ) 32 ( , 23 ) 23 ( , 22 ) 22

(  f  f  f 

f  f : ABC為 1 對 1 且映成。













 

4 16 B A

B

A  A 10, B 6。

在討論『長度為 n 的四元數列中，「0」與「1」出現偶數次的個數』前，

我們定義『長度為 n 的四元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現偶數次』的意思 為「0」與「1」與「2」與…與「m1」等連續 m 種整數出現的次數總和為偶數次。

同理『長度為 n 的四元數列中，「〝0〞+〝1〞+〝2〞+…+〝m1〞」出現奇數次』的意思為

「0」與「1」與「2」與…與「m1」等連續 m 種整數出現的次數總和為奇數次。

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其中明顯的 A B  C  D 4ⁿ

 A B  C  D 2ⁿ

令E:只有2或3的集合，則E  A，D E

如同「0」出現偶數次的求法中，「0」出現偶數次的個數=「0」出現奇數次的個數2ⁿ

設 f :ABCDE，其中











1 0

~ , ...

...

) ...

...

(

1 0 ,

)...

1 ...(

) ...

...

(

1 2

1 2

1

2 1 2

1

或 皆不為

或 為第一個

n n

i n

i

i n i n

i

a a a a a a a a a a f

a a a a

a a a a a

f ，

則 f 為 1 對 1 且映成。

證明：

「1 1」：

(1)a_i為第一個0或1

若 f(a₁a₂...a_i...a_n) f(a₁'a₂'...a_i'...a_n')，則a₁a₂...(1a_i)...a_n a₁'a₂'...(1a_i')...a_n' ' ,...

' ,...

' ,

' '

,...

' 1 1

,...

' ,

' _{2 2 1 1 2 2}

1

1 a a a ai ai an an a a a a ai ai an an

a           



(2)a₁~a_n皆不為0或1

若 f(a₁a₂...a_i...a_n) f(a₁'a₂'...a_i'...a_n')，則a₁a₂...a_i...a_n a₁'a₂'...a_i'...a_n' '

,...

' ,...

' ,

' _{2 2}

1

1 a a a ai ai an an

a    



由(1)(2)，則 f 為 1 對 1。

「映成」：

(1)b_i為第一個0或1

任意b₁b₂...b_i...b_nDb₁b₂...(1b_i)...b_nA

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若b_i為第一個0，則1b_i 1 少一個 0，多一個 1 若b_i為第一個1，則1b_i 0 多一個 0，少一個 1 (2)b₁ ~b_n皆不為0或1

任意b₁b₂...b_n Eb₁b₂...b_n A，0，1 皆不多不少 由(1)(2)，則 f 為映成。

D n

C B A E D C B

A         2



 B  C (很明顯的各數是彼此對稱的)

設g:BC，其中g(a₁a₂...a_j...a_n)a₁a₂...(1a_j)...a_n,a_j為第一個1，則g為 1 對 1 且映成。

證明：

「1 1」：

若g(a₁a₂...a_i...a_n)g(a₁'a₂'...a_i'...a_n')，則a₁a₂...(1a_i)...a_n a₁'a₂'...(1a_i')...a_n'

' ,...,

' ,...,

' ,

' '

,..., ' 1 1

,..., ' ,

'

_{2 2 1 1 2 2}

1

1

a a a a

i

a

i

a

n

a

n

a a a a a

i

a

i

a

n

a

n

a           



，則g為 1 對 1。

「映成」：

若b_i為第一個0，任意b₁b₂...b_i...b_n Cb₁b₂...(1b_i)...b_n B

b_i為第一個0，1b_i 1 少一個 0，多一個 1 ，則g為映成。

C B 



 A D  B  C

設h:ADBC，其中h(a₁a₂...a_n)(3a₁)a₂...a_n，則h為 1 對 1 且映成。

證明：

先證「well-defined」：

(1)若a₁0，則3 a₁3 (2)若a 1，則3 a 2

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(3)若a₁2，則3 a₁1 (4)若a₁3，則3 a₁0

「1 1」：

若h(a₁a₂...a_n)h(a₁'a₂'...a_n')(3a₁)a₂...a_n (3a₁')a₂'...a_n' ' ,...

' ,...

' ,

' '

,..., ' ,

' 3

3a₁  a₁ a₂ a₂ a_n a_n a₁ a₁ a₂ a₂ a_i a_i a_n a_n

 ，則h為 1 對 1。

「映成」：

任意b₁b₂...b_i...b_n BC (3b₁)b₂...b_n AD (1)若b₁ 0，則3 b₁3 少一個 0

(2)若b₁ 1，則3 b₁2  少一個 1 (3)若b₁ 2，則3 b₁1 多一個 1 (4)若b₁ 3，則3 b₁ 0 多一個 0

h((3b₁)b₂...b_n)(3(3b₁))b₂...b_n b₁b₂...b_n，則h為映成。

C B D

A   



由上述四式可得四元一次方程組









































0

0

2

4

D C B A

C B

D C B A

D C B A

n n

，

更進一步由B  C ，可更簡捷的列出三元一次方程組























0 2

2

4 2

D B A

D A

D B A

n n

可得 2

2 4 4^{n n} A   ，

4 4ⁿ C

B   ，

2 2 4 4^{n n} D   。

即找到三個雙射函數 f :ABC，其中











1 0

~ , ...

...

) ...

...

(

1 0 ,

)...

1 ...(

) ...

...

(

1 2

1 2

1

2 1 2

1

或 皆不為

或 為第一個

n n

i n

i

i n i n

i

a a a a a a a a a a f

a a a a

a a a a a f

C B

g:  ，其中g(a₁a₂...a_j...a_n)a₁a₂...(1a_j)...a_n,a_j為第一個1 C

B D A

h:    ，其中h(a₁a₂...a_n)(3a₁)a₂...a_n

發現「0」出現偶數次的個數=「0」出現奇數次的個數2ⁿ

及「〝0〞+〝1〞」出現偶數次的個數=「〝0〞+〝1〞」出現奇數次的個數。

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實例：長度為 2 的四元數列中，「0」與「1」出現偶數次的整數對應如下：

集合 A(偶數個 0 且偶數個 1)：00,11,22,23,32,33 集合 B(偶數個 0 且奇數個 1)：12,13,21,31 集合 C(奇數個 0 且偶數個 1)：02,03,20,30 集合 D(奇數個 0 且奇數個 1)：01,10 集合 E(只有 2 或 3)：22,23,32,33

33 ) 33 ( , 32 ) 32 ( , 23 ) 23 ( , 22 ) 22 ( , 01 ) 11 ( , 10 ) 00

(  f  f  f  f  f 

f

30 ) 31 ( , 20 ) 21 ( , 03 ) 13 ( , 02 ) 12

(  f  f  f 

f  f :ABCDE為 1 對 1 且映成。

30 ) 31 ( , 20 ) 21 ( , 03 ) 13 ( , 02 ) 12

(  g  g  g 

g g:BC為 1 對 1 且映成。

20 ) 10 ( , 31 ) 01 ( , 03 ) 33 ( , 02 ) 32 ( , 13 ) 23 ( , 12 ) 22 ( , 21 ) 11 ( , 30 ) 00

(  h  h  h  h  h  h  h 

h

C B D A

h   

 : 為 1 對 1 且映成。

























0 2

2

4 2

2 2

D B A

D A

D B A

2 , 4 , 4 ,

6   



 A B C D

三、『長度為 n 的四元數列中，「0」與「1」與「2」出現偶數次的個數』。

我們省略上述一、二、中的其他種方法，以本文的重點方法為主 可由「0」與「1」與「2」的個數奇偶性分類為以下 8 個集合

令集合A:偶數個 0 且偶數個 1 且偶數個 2，集合B 奇數個 0 且偶數個 1 且偶數個 2， ₁: 集合B₂ :偶數個 0 且奇數個 1 且偶數個 2，集合B₃ :偶數個 0 且偶數個 1 且奇數個 2，

集合C₁:偶數個 0 且奇數個 1 且奇數個 2，集合C₂ :奇數個 0 且偶數個 1 且奇數個 2，

集合C₃:奇數個 0 且奇數個 1 且偶數個 2，集合D:奇數個 0 且奇數個 1 且奇數個 2。

8 個未知數需要 8 個方程式來解聯立，但明顯的 B₁  B₂  B₃ ，C₁  C₂  C₃ 可由前例看出，只需 4 個未知數，解 4 個方程式即可。

其中明顯的 A  B₁  B₂  B₃  C₁  C₂  C₃  D 4ⁿ

  A 3B₁ 3C₁  D 4ⁿ

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 A B₁ C₁  D 2ⁿ

由「0」出現偶數次的個數=「0」出現奇數次的個數2ⁿ

n

n A B C D

D C C B C B B

A ₂  ₃  ₁  ₁  ₂  ₃  2   ₁  ₁  2



 A B₁ C₁  D 0

由「〝0〞+〝1〞」出現偶數次的個數=「〝0〞+〝1〞」出現奇數次的個數

1 0

1 2

1 2 1 3

3           



 A B C D B B C C A B C D

 A3B₁ 3C₁  D (2)ⁿ

由「3」出現偶數次的個數=「3」出現奇數次的個數2ⁿ，可知 (1)n2k

「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現偶數次的個數=「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現奇數次的個數2ⁿ (2)n k2 1

「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現偶數次的個數=「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現奇數次的個數2ⁿ

 「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現偶數次的個數=「〝0〞+〝1〞+〝2〞」出現奇數次的個數(2)ⁿ

n

n A B C D

D B B B C C C

A  ₁  ₂  ₃  ₁  ₂  ₃  (2)  3 ₁ 3 ₁  (2)



由上述四式可得四元一次方程組















































n 1

1 1 1

1 1

1 1

2) ( 3

3

0

2

4 3 3

D C B A

D C

B A

D C

B A

D C B A

n n

可得 8

) 2 ( 2 3

4^{n n n} A    

 ，

8 ) 2 ( 2 4

3 2 1

n n

n

B B

B   





 ，

8 ) 2 ( 2 4

3 2 1

n n

n

C C

C   





 ，

8

) 2 ( 2 3

4^{n n n} D    

 。

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在文檔中 以雙射函數探討四元數列 - 政大學術集成 (頁 8-17)