曲面擬合範圍分析方法

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圖 16 曲面方程式分析方法流程圖

第四節 曲面擬合範圍分析方法

一、 擬合的環域範圍選擇方法

適合的擬合環域範圍牽涉到地形的變化大小及已知點位的數量及分 布。小範圍的擬合精度會較大範圍的擬合精度為佳，但在地形起伏不大的 地區，如平原區，大範圍的環域，其擬合成果仍然可以達到一定的精度；

而在起伏變化大的區域，如山區，擬合精度會受到局部地形變化的影響。

已知點位數量及分布也會影響擬合的成果，以最小二乘法的觀點來看，點 位越多則多餘觀測量越多；點位分布方式佳，則內、外可靠度高，有利於 找到粗差點位並減少粗差的影響。因此，擬合的環域範圍與點位分布及密 度必須有所取捨，小範圍的環域不能保證有足夠的點，而需要大量的點進 行擬合則會擴大擬合的環域範圍。

台中市水準點位資料

以不同複雜度的曲面 方程式擬合大地起伏

一次曲面方 程式

二次曲面方 程式

三次曲面方 程式

四次曲面方 程式

五次曲面方 程式

計算內部精度

使用交叉驗證法評估模型 預測誤差

輸出成果

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於是本研究將比較不同的擬合環域範圍下，最小二乘法可以達到的最 佳精度。擬合的環域範圍即以已知水準點位做為中心，以給定的距離作為 半徑畫圓作為環域範圍，如圖 17。

圖 17 以環域方法選取待擬合點位之示意圖

實驗的詳細流程是先利用環域選取待擬合的點位，環域中心為各個已 知水準點，環域距離分別為：5、10、15、20、25 及 30 公里。而選擇 5 公 里開始的原因是根據內政部所公布之一等水準測量規範中，以平均每兩公 里設置一點作為原則進行選點（內政部，2001）。在此原則下，如果待測 點位鄰近水準路線，半徑 5 公里的擬合範圍，將可以有六個點位，基本上 點位數量足夠解算二次曲面方程式（先暫且不論所有點位可能共線）。 二、 環域中心點選擇方法

選定了擬合的環域範圍後，如何選擇環域的中心點則是本研究所要考 慮的一個重點。本研究目的在於建立一套全台灣大部分區域可以適用的曲 面擬合大地起伏程序，環域中心點應該是使用者依據其待測定地點而論；

但在本大地起伏擬合程序建立前，必須先以本研究的研究方法對全台灣進 行擬合精度評估，評估在多少擬合範圍下的擬合精度最佳。

最簡單的選擇方法是以已知水準點位作為環域中心點，這種方法的好 處在於：第一是容易進行實驗；第二是以已知水準點作為中心點位，可以 確保該環域範圍有水準路線經過，有足夠的點位進行曲面擬合；第三點，

從圖 8 本研究之一等一級及一等二級水準點分布圖中，可以發現除了山區 外，平地的水準點位相當密集，以已知水準點作為中心，幾乎可以涵蓋平 地所有區域。

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圖 18 是以已知水準點為中心，以 5 公里為擬合距離所能包含的範 圍；而圖 19 是以 10 公里為環域距離；圖 20 則是以 15 公里為環域距離。

從圖可以得知，以 5 公里為半徑進行環域並不能完全涵蓋台灣地區，部分 平原區域無法涵蓋；但從 10 公里開始到 15 公里，幾乎台灣平原區域都可 以被涵蓋。

圖 18 以環域 5 公里擬合台灣大地起伏所涵蓋的區域

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圖 19 以環域 10 公里擬合台灣大地起伏所涵蓋的區域

圖 20 以環域 15 公里擬合台灣大地起伏所涵蓋的區域

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上一小節的結論顯示，幾乎台灣所有地區都能夠進行曲面擬合，但基 本上還是需要考慮到地形的崎嶇程度。山區的部分不適合進行曲面擬合，

原因在於：第一個最關鍵的問題是台灣山區的水準點位並不足夠；第二 個，台灣山區地形起伏太大，曲面方程式並不容易擬合。於是某些區域在 擬合時，擬合範圍應該剃除山區。如圖 21 所示，台灣大部分山區僅只有 外圍少數水準路線經過，理論上，並無法合理擬合這些山區內部的大地起 伏值。

圖 21 台灣無水準點位之山區示意圖

四、 研究方法

本實驗的研究方法將所有已知水準點作為環域中心點，以給定的擬合 距離篩選鄰近水準點，進行曲面擬合並分析成果。本研究將所有已知的一 等水準點位作為各自的環域中心，並分別以 5 公里、10 公里、15 公里、20 公里、25 公里及 30 公里作為環域範圍篩選鄰近的水準點位，進行曲面擬 合，並計算內部精度。而本實驗的曲面方程式將會使用本章第三節在後續 實驗所分析出的最佳曲面方程式。除了計算內部精度之外，為了避免過度 擬合的情況，應該針對每一個環域擬合出的曲面方程式進行預測誤差評 估，評估的方法使用交叉驗證法中的留一驗證法。圖 22 是本研究方法的 流程圖。

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圖 22 曲面擬合範圍分析流程圖