最大穩定度 PID 控制器設計

3-1 前言

設計最大穩定度的 PID 控制器，這個方法的觀念簡單易懂，先簡述如下：令

d i

p k k

k

k  , , 為 PID 控 制 器 的 三 個 參 數 ， 參 數 空 間 的 集 合 0}

} Re{

0, ) ,

; ( : {

)

(σ  kR³ q s k σ  s 

K_s 稱為穩定區域（stability domain），若K_s(σ)為 空集合，表示沒有一組控制器參數，使得多項式q(s;k,σ)為 Hurwitz 多項式，若

)

K_s(σ 不為空集合，則表示存在至少一組控制器參數k使得q(s;k,σ)為 Hurwitz 多 項式，因此可以增加σ直到σ σ^*，K_s(σ)逐漸退化到一點k^*，如此相對應的k^*和

σ*就找到了。

在實際計算上，我們採σ值的二分法，使得σ逐漸逼近σ^*而找到k^*的近似值。

σ值的二分法(bisection)的作法是先找出σ_u和σ_s 使得K(σ_u)而K(σ_s)，若



  2 ) ( ^{u s}

s

σ

K σ ，則令

2

s

u σ

σ 

取代原σ_u，否則令 2

s

u σ

σ 

取代原σ_s。

從以上的說明可知，本文的方法之計算負担在於判斷K_s(σ)是否為空集合，

然而根據 Ackermann and Kaesbauer 等人[19]的分析，PID 控制器的穩定域在固定 的k_p值下，k -_d k_i平面上之穩定域的邊界為直線構成的。因此，k -_d k_i平面上的穩 定域為多邊形，根據這樣的特性，判斷K_s(σ)是否為空集合可以計算機程式來自 動判斷。

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3-2 建構最大穩定度之方法

圖 3.1 A typical feedback control system

圖 3.1 所示的單一輸入單一輸出控制系統，圖中G_P(s)代表受控制的轉移函

首先，圖 3.1 所示閉環路控制系統之特徵方程式為

將式(3-1)和式(3-2)代入式(3-3)整理後得系統的特徵函數如下 )

satisfy : satisfy

18

若要用計算機自動判斷穩定域K_s是否為空集合，我們由式(3-10)求得k_p的局部最

20

3-3 建構最大穩定度之程序

程序（一）：判斷K_s(σ)是否為空集合 (i) 解滿足

ω K_P



 之所有正實數的ω，記為ω_,1,2,ν

(ii) 對 於 ωω_ ， 從 式 (3-17) 計 算 相 對 應 的 K_P 值 ， 記 為 K_P,i ， 再 令 ν

i ε K

K_P  _P,i  , 1,2, ， 其 中ε 為 選 定 的 一 小 正 實 數 ， 將 K_P 代 入 式 (3-18)，解出μ個ω(singular frequency)，記為ωˆ_i,i1,2,μ

(1) 令1

(2) 令ωω，從式(3-17)計算相對應的K_P值，並令K_P^ K_P ε，再將K_P^代入式 (3-18)解出μ個正的ω，記為ωˆ_i,i1,2,,μ

(3) 將μ個ωˆ_i代入式(3-19)得μ條直線方程式，連同穩定域邊界K_s的方程式式 (3-20)，共有μ1條線

(4) 計算步驟(3)所有線的交點，及所分割的多邊形P₁,P₂,，並求各個多邊形的 頂點

(5) 對每一個多邊形，求其頂點的平均值，記為(Kˆ_D,Kˆ_I)，再由式(3-14)得相對應 的控制器參數(kˆ_p,kˆ_i,kˆ_d)

(6) 判斷q(s;kˆ_p,kˆ_i,kˆ_d) p(s-σ;kˆ_p,kˆ_i,kˆ_d)是否為穩定，若測出某一多邊形為穩定 域，則K_s(σ)，結束程序（一）

(7) 若無一P_i為穩定域，令 1，回到步驟(2) (8) 若ν，設定K_s(σ)，結束程序（一）

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程序（二）：計算最大穩定度σ^*及 PID 控制器參數k^* (k^*_p,k^*_i,k^*_d) (1) 選定σ 0和最大二分法次數N_B

(2) 令σ_s 0，若K_s(σ_s)，設計問題無解 (3) 令σ_u σ_s σ

(4) 若K_s(σ_u)，跳到步驟(7)

(5) 若K_s(σ_u)，則σ_u取代σ_s、2σ取代 、σ σ_u σ_u σ 取代σ_u (6) 跳到步驟(4)

(7) i1

(8) 2

u

s σ

σ σ 



(9) 若K_s(σ)，則σ取代σ_u，否則σ取代σ_s (10) i就改成i1

(11) 若iN_B，步驟跳到(8)

(12) 結果σ^* σ_s，並由穩定域K_s(σ_s)找到控制器參數k^* (k^*_p,k_i^*,k^*_d)

3-4 範例

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由以上 5 條線所構成的多邊形示於圖 3.3

圖 3.3 Stability region for k_p -4.4

其中黑影的多邊形為穩定域，為了得到最穩定度的 PID 控制器，利用虛軸左移量 的σ二分法(N_B 21次，從σ_s 0,σ_u 5開始)得到σ^* 0.3284，在此σ值下，ω對K_P 的關係示於圖 3.4，K_P的局部極值有 4 個如下：

3.43552

001 . 0

ω₁  K_P,1 

7.09637

0.4437

ω₂  K_P,2 

-3.06342

0.7455

ω₃  K_P,3 

3.43553

1.7068 _,4

4  K_P 

ω

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圖 3.4 K_P vsω for σ0.3284

當K_P [K_P,1,K_P,4]之中穩定域K_s(σ^*)存在，取Kˆ_P 3.435525代入式(3-18)，解出奇 異頻率(ω0,ω0.001,ω0.58057,ω1.7066,ω1.7069)，再將奇異頻率代入式 (3-19)得到K_D-K_I平面上的直線，所構成的多邊形如圖 3.5 所示

圖 3.5 Stability region inK_D-K_Iplane forK_P 3.435525

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圖 3.6 k_p vs ω for σ 0(ω:0~4π h)

0

σ 時 ， 運 算 得 出 k_p 8.8267 代 入 式 (3-11) 求 得 奇 異 頻 率 93.408)

64.362, 28.633,

10.645,

(ω ω ω ω ， 再 將 奇 異 頻 率 代 入 式 (3-12) 得 到

i

d k

k - 平面上的直線，再加上式(3-23)(3-24)的直線，如圖 3.7

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圖 3.7 Stability region for k_p 8.8267

其中黑影的多邊形為穩定域，為了得到最穩定度的 PID 控制器，利用虛軸左移量 的σ二分法(N_B 17次，從σ_s 0,σ_u 5開始)得到σ^* 1.475696，在此σ值，ω對K_P 的關係示於圖 3.8，K_P的局部極值有 5 個如下：

2.9289

001 . 0

ω₁  K_P,1 

27.029

19.648 _,2

2  K_P 

ω

-74.3845

48.796

ω₃  K_P,3 

122.9019

79.53 _,4

4  K_P 

ω

-171.6383

110.715

ω₅  K_P,5 

圖 3.8 K_P vs ω for σ 1.475696(ω:0~4π h)

取 Kˆ_P 14.97874 代 入 式 (3-18) ， 解 出 奇 異 頻 率

(ω0,ω19.555,ω19.655,ω65.226,ω92.14,ω126.882)，再將奇異頻率代入 式(3-19)得到K_D-K_I 平面上的直線，所構成的多邊形如圖 3.9 所示

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圖 3.9 Stability region inK_D-K_Iplane forK_P 14.97874

在K -_D K_I 平面上，多邊形穩定域的頂點平均值為Kˆ_I 11.6666、Kˆ_D 0.437333， 437333)

11.6666,0.

(14.97874, ˆ )

ˆ , ˆ ,

(K_P K_I K_D  透 過 式 (3-14) 所 得 到 的 PID 控 制 器 為 .43733)

34.72305,0 (16.26948,

) , ,

(k^*_p k_i^* k_d^*  ，p(s;k^*)的根如圖 3.10 所示

圖 3.10 The root distributions(Kˆ_I,Kˆ_D)(11.6666,0.437333) 根據圖 3.9 再多取兩個點做判斷

(1) (Kˆ_P,Kˆ_I,Kˆ_D)(14.97874,173.133,0.85733)透過式(3-14)所得到的 PID 控制器為 0.85733)

197.10439, (17.50907,

) , ,

(k^*_p k_i^* k^*_d  ，p(s;k^*)的根如圖 3.11 所示

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圖 3.11 The root distributions(Kˆ_I,Kˆ_D) (173.13333,0.85733)

(2) (Kˆ_P,Kˆ_I,Kˆ_D)(14.97874,87,0.633) 透 過 式 (3-14) 所 得 到 的 PID 控 制 器 為 0.62067)

105.72235, (16.81057,

) , ,

(k^*_p k_i^* k^*_d  ，p(s;k^*)的根如圖 3.12 所示

圖 3.12 The root distributions(Kˆ_I,Kˆ_D)(87,0.633)

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