1-1 研究動機
對 於 一 連 續 時 間 (continuous-time) 線 性 系 統 而 言 ， 可 令 其 特 徵 方 程 式 為 0
)
; (s k
p ，其中s為 Laplace transform 的變數而k為一參數向量。若系統穩定，
則系統所有的極點，即p(s;k)0所有的根si ,i1,2，全落在s平面虛軸的左半 平面，此時系統的穩定度定義為
) Re(
max
- i
i s
σ (1-1)
其中符號Re{}表示大括號內複數之實部。依照式(1-1)的定義，系統的穩定度為其 最右邊的極點位於複數平面的左半平面與虛軸之距離，如圖 1.1 所示。
圖 1.1 Degree of stability
2
若 p( ks; )中的k為可調諧的控制器參數，則最大穩定度控制器設計在於求下列 min-max 問題的解
-maxRe{ ( )}
min ) (
maxσ k s k
σ i
i k k
* (1-2)
其中si(k)表示si為k的連續函數。由於σ為參數向量k的連續函數但其導數σ k 並不連續，使得式(1-2)的 min-max 問題無法有效地用一般的梯度搜尋法來得，因 此本文提出之方法來設計最大穩定度的 PID 控制器參數。
1-2 文獻回顧
設計控制器使系統達到最大穩定度的問題，早已獲得重視[1-16]，Niskihara and Matsuhisa[3]只考慮 4 階的特徵多項式，並假設系統達到穩定時，恰有一對共 軛複數根，其重根次數為 2，據此得到最適化的參數。Luus and Mutharasan[2]利 用隨機搜尋來找控制器的參數使得閉環路的極點往複數平面的左方向移動。
Chang and Sahinidis[4]將最大穩定度的控制器設計問題先表示成雙準位規劃問題 (bilevel programming problem)再利用 Hurwitz 穩定性條件，將 bilevel programming 問 題 轉 換 成 等 效 的 single-level nonconvex optimization programs ， 最 後 利 用 branch-and-reduce 的全域最適化法解之。Bruke 等人[5-7]利用 Variational analysis 來解多項式之根的橫軸最小化問題。以上所提的方法，其所依據的學理不易理 解，或者計算困難，因此甚少引起迴響。
在俄羅斯或前蘇聯，設計控制器使系統達到最大的穩定度之研究，佔有舉足 輕重之地位，最早係由著名的控制學者 Cypkin[8]提出穩定度的定義，從 1980 年 代起，A.M.Shubladze 開始發表一系列近二十篇(代表作[9-15])的論文，探討有關 達最大穩定度控制系統的條件和系統極點的結構和性質。
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表 1.1 Fraction-Free Routh array
若q(s;k*,σ*)有m個根在虛軸上而其他n-m個根在虛軸的左邊的條件為 (i) 當m ν2 1為奇數
ν
m- s
s 1 2 列的元素均為 0，即n-2ν1,0 n-2ν1,1 0
sm列的元素所構成的ν階多項式h
x n-2ν-1,0 xν n-2ν-1,1xν-1 所有根均在實數區間(-,0]內。(ii) 當m 2 ν為偶數
1 -2
1 ν
m- s
s 列的元素均為 0，即n-2ν1,0 n-2ν1,1 0
sm列的元素所構成的ν階多項式h(x)n-2ν,0 xν n-2ν,1xν-1 所有根均在實數區間(-,0]內。
根據以上的條件，Shubladze 把q(s;k*,σ*)的根落在虛軸上的各種組合加以列出，
再依相對應的條件解出k*和σ* 。例如m3的情形有以下兩種可能，第一，
) ,
; (s k* σ*
q 有三個s0的根，沒有共軛虛根，第二種情形是q(s;k*,σ*)有一s0的 根和一對共軛虛根s j ω, j -1。當m4時，又需考慮到共軛虛根是否重根。
所以根據 Shubladze 的理論和方法，要解一系列的多項式聯立方程式，才能確定 最適解k*和σ*，這些問題使得甚少人跟隨或利用 Shubladze 的方法來設計最大穩 定度的控制器。在處理含時延系統的最大穩定度控制器設計，Shubladze 利用 Pad’e 近似法把時延項e-s用有理式近似，然後再以未含時延的方法設計之。
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本文所提出設計對大穩定度 PID 控制器有以下的優點：
(i) 可以適用於時延系統 (ii) 容易程式化
(iii) 二分法的σ*搜尋收斂甚快 (iv) 計算負荷不大
1-3 論文章節概要
本論文的章節概述如下：在第二章中介紹系統之穩定性分析的方法，如 Routh 直接法、Hurwitz 直接法，之後再介紹一數值演算法來測試時延系統的穩定性。
第三章則探討最大穩定度 PID 控制器設計，且以無時延和時延系統兩範例來說明 所提出的方法，第四章就本論文之結論。