2. 模糊集合
4.1 有向圖, 通路及其表示
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4. 模糊矩陣的圖學表示與分解定理
本節建立模糊矩陣的圖學表示與模糊矩陣冪序列的分解定理。分解定理是模 糊矩陣與布林矩陣之間的橋樑，有了這個橋樑，布林矩陣，甚至非負矩陣的許多 成果，都可以平行地移植到模糊矩陣上來。
4.1 有向圖，通路及其表示
一 般 情 形下 ， 我們 只關心 有 限 圖， 即 頂點 及邊集 都 是 有限 的 有向 圖。如果 ,
D= V E 有 n 個頂點，我們稱為 n 階圖，而稱D= V E, 為 n m 圖 是 指 D 有 n 個, 頂點並且有 m 個邊。如果m= ，即 E0 = ，我們稱為 D 為零圖。如果φ n=1, 0m= ， 即 D 只有一個頂點，且無邊，就稱 D 為平凡圖。
如果沒有特別的指定，我們可以用v 表示頂點，用i e 表示邊。當j D= V E, 給 定後，如V =
{
v v1, 2,⋅⋅⋅,vn}
，我們用下面的方式畫出它的圖形：首先， 在平面上任 意畫出 n 個點並分別標記為v v1, 2,⋅⋅⋅ 。其次，對 E 中的每一條邊,vn e ，設k ek = v vi, j 畫 出一條v 到i v 不經過其他頂點的有向邊。 j定義4.1 令D= V E, 為有向圖且V =
{
v v1, 2,⋅⋅⋅,vn}
。如果ek = 〈vi,vj〉 ∈ 是 D 的一條E 邊，則稱v ，i v 與j e 彼此關聯。k vi 是e 的始 點，k v 為j e 的終 點，k v 鄰接 到i v ，j vj 鄰接於v 。 i無邊關聯的頂點稱為孤立頂點。始點與終點重合的邊稱為自環。
如果兩條邊的始點相同，終點也相同，則稱它們為平行邊，一對頂點間平行邊 的條數稱為它們的重數。
例4.1 如圖4.1所示，如果e1= v v1, 2 ，則e 稱1 v 、1 v2與e 彼此關聯，即1 v 鄰接到1 v ，2 v 鄰接於2 v ；1 該圖中沒有孤立頂點，v 有自環；2 v 到5 v 的重數為 3。 3
圖4.1
定義4.2 令D= V E, 為有向圖。設 v V∈ 為有向圖是頂點。定義d+( )v 為以 v 為始 點 的 邊 數 ， 稱 為 頂 點 v 的 出 度 ;定 義d−( )v 為 以 為 終 點 的 邊 數 稱 為 頂 點 的 入 度 ；
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( ) ( ) ( )
d c =d+ v +d− v 稱為頂點 v 的度數。
例4.2 如圖4.1，d+( )v1 =3, d−( ) 1v1 = 。注意到 D 的每一條邊在計算頂點度數時都恰 好被計算了兩次，我們有以下的握手定理：
定理4.1 (握手定理)
如果 D 有 n 個頂點 m 條邊，則，
1
( ) 2 .
n k k
d v m
=
∑
=即所有頂點的度數之和等於邊數的兩倍。
在一個有向圖的頂點集和邊集都給定的情形下， 我們可以給出其多種畫法 。例如令 , ,
D= V E 其中V =
{
v v v v1, 2, ,3 4}
, E={
v v1, 2 , v v1, 3 , v v2, 3 , v v2, 4 , v v4, 1}
，圖4.2所示 的是其不同的畫法。圖4.2
另外，我們所關心的往往是圖的結構，而其頂點和邊可以用不同的記號來標記。
例如， 可以把一個圖的頂點標記為v v1, 2,⋅⋅⋅,vn也可以簡單地標記成 1, 2,, n。 兩個標記不同的圖完全可以有同一種畫法。例如，圖4.3即是兩種不同標記的 同一個圖。
圖4.3
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以上兩種情形的圖，稱為同構的。
定 義 4.3 D1= V E1, 1 ， D2= V E2, 2 設 為 有 向 圖 。 如 果 存 在V 到1 V 的 雙 射 函 數2
1 2
:
g V →V ，滿足e=〈Vi,Vj〉 ∈E1，e'= g v
( )
i ,g v( )
j ∈ 若且惟若並且 e 與 'E2 e 的重數 相同，則稱D 與1 D 同構。 2很明顯，如果兩個圖同構，則它們的頂點數相同，邊數相同，具有同樣度數 的頂點個數相同。但這些條件只是兩個圖同構的必要條件，而不是充分條件，因 此，即使這些條件都滿足，兩圖也不一定是同構的。
在圖4.4中，(b)中d， e， f 三點互不相鄰，而(a)中則找不到互不相鄰的3個 頂點，所以(a)和(b)圖不同構。
圖4.4
到目前為止，還沒有判定兩個圖是否同構的簡便方法，只能根據同構的定義進行 判定。
定義 4.4 設D= V E, 為有向圖，V =
{
v v1, 2,⋅⋅⋅,vn}
,其E={
e e1, 2,⋅⋅⋅,en}
,如果頂點和 邊的一個交替序列 vi0,ej1,v ei1, j2,vi2,⋅⋅⋅,ejk,vik 中，對 p=1, 2,...,k，每個jp
e 都以vjp−1
為始點，以
jp
v 為終點，其中i0 =i,ik = 則稱這個交替序列是一條由j v 到i v 的通路，j 記為L=L v( i0,ej1,v ei1, j2,vi2,⋅⋅⋅,ejk,vik)，通路中邊的數目稱為該通路的長度，記為 L‖‖ 。 當vi = 時，這條通路稱作回路。 vj
如果一條通路中的所有頂點互不相同，則稱其為初級通路或路徑。如果一條回路 的所有頂點，除起、終點外，均不相同，則稱此回路為初級回路或圈。
從定義可知，通路與回路都是圖的子圖，為了弄清楚通路、回路及其分類的概念，
在圖4.5中，給出了通路、回路的示意圖。(a)為
v 到0 v 長度為4的初級通路(路徑)，當然4 它也是簡單通路。(b)為
v 到0 v 的長度為5的初級回路(圈)，當然它也是簡單回路。在有0 向圖的通路或回路中，要注意邊上箭頭方向的一致性。
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圖4.5
如果有向圖 D 不含平行邊，那麼 D 的所有邊 A≤A2都由其起終點唯一確定。
因此，表示通路的頂點與邊的交替序列可以簡化為頂點序列
0, 1,..., ,
i i ik
v v v
其中 1, , ( 1, 2,..., )
p p
i i
v − v p k
〈 〉 = 是 D 的邊。我們約定每一條起、終點不同的邊都是長為1 的初級通路，而每個自環都是長為1的初級回路。我們稱無初級回路的有向圖為無 圈圖。