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Q2 問第一組乘積相同中最大的數，它的倍數相乘。例如：在(2：3：4：6：8)中，有第一組 乘積相同 2×8=4×4，在(2：4：8)中，問含有 8 的那張牌的倍數相乘。
Q3 問第二組乘積相同中最大的數，它的倍數相乘，如果這個數和 Q2 問的是同一個，那就要 問第二大的數，它的倍數相乘。例如：在(2：3：4：6：8)中，有第二組乘積相同 4×6=3×
8，在(3：4：6：8)中，因為 8 問過了，就改問含有 6 的那張牌的倍數相乘。因為到這裡已 經確定了每一種牌各有幾張，所以就不再問第三組乘積相同的最大數了。
在乘積相同的情況下，確定了最大的牌有幾張，同時就確定了最小的牌有幾張，剩下的 張數就是中間的牌，於是由此可以推論出，每一種牌各有幾張。
(2：4：8：16：32) 是最複雜的組合，都是 2 的次方組成的牌組，共有六組乘積相同的 情況：2×8=4×4； 2×16=4×8； 2×32=4×16； 4×16=8×8； 4×32=8×16； 8×32=16×16。
這時要使用的問題為 Q1 問五張相乘
Q2 問最大的數 32 的倍數相乘，看此題答案的質因數分解中 2 出現的次數除以 5，就知道有 幾張 32，如果 32 的數量沒超過四張則需問 Q3
Q3 問第二大的數 16 的倍數相乘，看此題答案的質因數分解中 2 出現幾次，先扣除 32 的，
再把 2 剩餘的出現次數除以 4，就知道有幾張 16，如果 32 和 16 的數量加起來沒超過 4 張 則需問 Q4
Q4 問第三大的數 8 的倍數相乘，看此題答案的質因數分解中 2 出現幾次，先扣除 32 和 16 的，再把 2 剩餘的出現次數除以 3 就知道有幾張 8，問完就可以知道整個牌組
這個問法也吻合上面(2：3：4：6：8)直接問每一組重複中最大的數的倍數相乘，因為 32、16 和 8 三題的倍數相乘即可概括。
所以，發生「乘積相同、張數恰好也相同」的情況，提問的順序會是 Q1：五張相乘
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Q2：乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
Q3：第二組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘 Q4：第三組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
(三) 特殊質因數法
從討論(一)比對法中，我發現可以觀察題目約定的五種數字，如果有哪一種數字，出現 了別種數字沒有的質因數，而且這個質因數，在 Q1 問五張相乘的結果中出現，就會很明顯 可以判斷出那種牌的張數，我把符合這種情況的質因數稱為特殊質因數，特殊質因數不一定 是像 47、31 這種較大的質數，如果是在「一個偶數，搭配四個奇數」的牌組中，2 就會是特 殊質因數。
用特殊質因數的觀點來思考，我決定 Q1 一律問五張相乘，做質因數分解之後，出現的 特殊質因數種類越多，提問次數就越少：
五種特殊質因數：五種牌都有特殊質因數，問 Q1，就知道每種牌各出現幾次。
四種特殊質因數：五種牌共有四種特殊質因數，觀察次方就可以知道它們出現的次數。
扣掉知道的，就會知道剩下幾張牌，張數和剩餘的乘積搭配，就會知道答案。
所以只要問一題五張相乘，就可以知曉最終牌組。
三種特殊質因數：三種特殊質因數有(P甲、P乙、P丙、P丙、P丙)和(P甲、P乙、P丙、P乙、P丙)兩 種類型，如果 Q1 尚無法完全解題，加問 Q2：「乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘」，就 可以確認是哪一種配對。
兩種特殊質因數：兩種特殊質因數有(P甲、P甲、P乙、P乙、P乙)和(P甲、P乙、P乙、P乙、P乙)兩 種類型，如果 Q1 尚無法完全解題，加問 Q2：「乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘」
但有些牌組中有兩組乘積相同的配對，這時候 Q2 只能問出其中一組，因此需要問 Q3：「第 二種乘積相同組合中，最大數的倍數相乘。」就能確認每張牌的數字。
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一種特殊質因數：只有一種特殊質因數是最複雜的一種情況，如果 Q1 尚無法完全解題，問 Q2：「乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘」
但有些牌組中有三組以上乘積相同的配對，這時候 Q2 只能問出其中一組，因此需要 Q3 甚 至 Q4，用同樣的提問規則，繼續分割乘積相同的組合。
只要觀察題目五種數字牌的特殊質因數，是否出現在五張相乘的質因數分解中，可以很 快的解出牌組的答案。
(四) 「次方」乘以「張數」法
經過上述討論，激發了靈感，我把原研究問題用新的角度看待：
每個牌組有五種數字，我們想要知道每種數字分別有幾張。假設第一種數到第五種數，
依序有 A、B、C、D、E 張，而每個數都可以寫成質因數分解 第一種數 = 2 a2 × 3 a3 × 5 a5 ×……× 47 a47
第二種數 = 2 b2 × 3 b3 × 5 b5 ×……× 47 b47 第三種數 = 2 c2 × 3 c3 × 5 c5 ×……× 47 c47 第四種數 = 2 d2 × 3 d3 × 5 d5 ×……× 47 d47 第五種數 = 2 e2 × 3 e3 × 5 e5 ×……× 47 e47
a n ≥ 0 有 A 張 b n ≥ 0 有 B 張 c n ≥ 0 有 C 張 d n ≥ 0 有 D 張 e n ≥ 0 有 E 張
Q1 五張相乘的結果，就是 (2 a2 × 3 a3 × 5 a5 ×……× 47 a47)A×(2 b2 × 3 b3 × 5 b5 ×……× 47 b47)B× (2 c2 × 3 c3 × 5 c5 ×……× 47 c47)C×(2 d2 × 3 d3 × 5 d5 ×……× 47 d47)D×(2 e2 × 3 e3 × 5 e5 ×……× 47 e47)E
= 2 T 2 × 3 T 3 × 5 T 5 ×……× 47 T 47
Tn ≥ 0
這麼一來，質數 2 的次方 T2，就會是上面每種牌的質數 2 的次方，乘以那種牌的張數：
質數 2 的次方 T 2 = A × a 2 + B × b 2 + C × c 2 + D × d 2 + E × e 2
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而且
質數 3 的次方 T3 = A × a 3 + B × b 3 + C × c 3 + D × d 3 + E × e 3 質數 5 的次方 T5 = A × a 5 + B × b 5 + C × c 5 + D × d 5 + E × e5
……
質數 47 的次方 T47 = A × a 47 + B × b 47 + C × c 47 + D × d 47 + E × e 47
五張相乘的質因數分解中，每出現一種質數，就會有一個「▲A+▼B+●C+★D+▇E =某數」
的算式。
我們想要知道每個數字分別出現幾次，就是要知道 A、B、C、D、E 分別是多少？
每一種牌組都有的條件，是總張數 A+B+C+D+E=5
「▲A+▼B+●C+★D+▇E =某數」就是我們得到的額外的條件，每個牌組至少有其中一 個算式，而有些牌組能得到很多個算式。
例如：
牌組抽出的五張牌都是由 12 和 18 組成，12=22×3，18= 2×32，但是不知道 12 和 18 各 有幾張。於是假設 12 有 A 張、18 有 B 張，我們想要知道 A 和 B 各是多少。
然後我們開始提問，提問 Q1 五張相乘，得到 2 8 × 3 7，這裡有 2 和 3 兩種質數，就可 以寫出兩個算式，於是我們擁有以下三個條件
條件 ○1 A+B=5
條件 ○2 質數 2 有 A × a2 + B × b2 = A × 2 + B × 1 = 8 條件 ○3 質數 3 有 A × a3 + B × b3 = A × 1 + B × 2 = 7
這裡我們可以看見，只使用條件 ○1 和 ○2，就能算出 A=3，B=2，得知牌組為 12、
12、12、18、18。
這個方法跟我之前解題，只剩兩張的時候，把剩餘的質數 2，依照牌組每個數字有幾個 2，來分配進去，結果只會有一種可能性，於是就確定了答案，是一樣的道理！
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這個道理就是：張數是條件、配對也是條件。
也就是說，2 個條件就足夠解出 A 和 B 兩個未知數，但是我們只問一題就總共得到 3 個 條件，所以只要提問 Q1 五張相乘，一題就可以解題成功。
用條件的觀點，回顧討論(三)特殊質因數法，如果要知道 A、B、C、D、E 五個未知 數，我發現
五種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○6 Q1 有五種特殊質因數，得知 5 個額外的條件
總共有 6 個條件，從討論(三)我們知道這種情況會解題成功 四種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○5 Q1 有四種特殊質因數，得知 4 個額外的條件
總共有 5 個條件，從討論(三)我們知道這種情況會解題成功 三種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○4 Q1 有三種特殊質因數，得知 3 個額外的條件
總共有 4 個條件，從討論(三)我們知道這種情況不一定解題成功 需問 Q2 來增加 1 個條件，增加後有 5 個條件，解題一定成功 二種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○3 Q1 有兩種特殊質因數，得知 2 個額外的條件
總共有 3 個條件，從討論(三)我們知道這種情況不一定解題成功 需問 Q2、Q3 來增加 2 個條件，共 5 個條件時解題一定成功 一種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 Q1 只有一種特殊質因數，得知 1 個額外的條件
總共有 2 個條件，從討論(三)我們知道這種情況不一定解題成功 需問 Q2、Q3、Q4 來增加 3 個條件，共 5 個條件時解題一定成功
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從以上五個特殊質因數到一個特殊質因數的條件對應，我發現其中的規律：五個條件可 以保證解出五個未知數，如果 Q1 得到的條件不夠，就要增加提問來補足五個條件。
條件的觀點印證了我前面所有嘗試的結果：
(1) 當五張相乘的質因數分解出現四種以上的質因數時，只要問一題 Q1 就保證解題成功。
(2) 每少出現一個質因數，就要增加一題，所以前面舉例過的
牌組(2，3，4，6，8)，有 2 和 3 兩種質因數，最多加問兩題一定解題成功；
牌組(2，4，8，16，32)，只有 2 一種質因數，最多加問三題一定解題成功。
(3) 「最多加問三題保證成功」的意思是，有可能不需要這麼多題。
例如：牌組(2，4，8，16，32)
如果五張相乘=32，因為有五張牌，所以我直接知道這五張都是 2。
如果五張相乘=32768，共有十二種組合可以達成這個乘積，其中四種組合需要加問兩 題、另外八種組合需要加問三題。
到這裡，我可以知道在問幾題的範圍之內，一定可以得出答案，確定五種牌各有幾張：
最少需要問一題，Q1 問五張相乘，做質因數分解
(1) 出現四種以上的質數，直接確定五種牌各有幾張；
(2) 出現三種質數，最多加問一題；
(3) 出現兩種質數，最多加問兩題；
(4) 出現一種質數，最多加問三題。
柒、結論
(一) 解題步驟 Q1：五張相乘
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Q2：乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
Q3：第二組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘 Q4：第三組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
依循這個規則，最少問一題，最多問四題，一定可以成功解題。
(二) 提問次數
第一題問五張相乘的質因數分解
(1) 出現四種以上的質數，直接確定五種牌各有幾張；
(2) 出現三種質數，最多加問一題；
(3) 出現兩種質數，最多加問兩題；
(4) 出現一種質數，最多加問三題。
在這個提問上限之內，一定可以成功解題。
捌、研究展望
我們在以上研究中，已經將逐步分析出有規律的解題步驟，未來希望可以將步驟寫成電 腦程式，不用每一個牌組都由人工從重新觀察數字關係開始，而可以由電腦直接依照我們的 研究結果執行解題。
玖、參考資料及其他
一、 黎懿瑩、林壽福(2018)。終極密碼。國立臺灣師範大學數學教育中心。
二、 王心禹、陳樂謙、古晴文(2020)。積少、乘多-分析數字關係，推理原始密碼。第 60 屆 高雄市中小學科學展覽會國小組數學。
三、 翰林版國小數學第 11 冊(2016)。最大公因數與最小公倍數。翰林出版社。