中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書
排版\080410-封面
國小組 數學科
080410-封面
因「材」施計 -觀察倍數關係，推理原始密碼
學校名稱：高雄市三民區十全國民小學
作者： 指導老師：
小六 古晴文 黎懿瑩 邱怡瑛
關鍵詞：因數、倍數、質數
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摘要
在數字2~100 之間，約定取哪五個數字，每個數字有五張牌。
每次遊戲，提問者從這二十五張牌中抽五張作牌組。
答題者用乘法提問，以較少提問次數答出牌組數字者，獲勝！
(一) 解題步驟
(1) 問五張牌相乘，找出具有特殊質因數的牌；
(2) 找出牌組中，會造成乘積相同的組合，問其中最大數字的倍數相乘。
如果執行步驟(1)，尚未完全解題，就執行步驟(2)；
如果執行步驟(2)，尚未完全解題，再次執行步驟(2)。
在這個規則之下，可以依序確定五張牌。
(二) 提問次數
第一題問五張牌相乘的質因數分解，出現 (1) 四種以上的質數，直接得知五張牌數字；
(2) 三種質數，最多加問一題；
(3) 兩種質數，最多加問兩題；
(4) 一種質數，最多加問三題。
在這個提問上限之內，一定可以成功解題！
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壹、研究動機
去年我們剛開始玩這個推理數字的遊戲時，大家都只用兩張牌的加、減、乘、除來提問，
每次都要問很多題，每次遊戲的提問和結果都不一樣，但似乎問「乘法」是最有效的提問，
而且「質數」好像很有用！令我們感到十分有趣，於是進行了去年的研究。
在 2~11 之間，約定取哪五個數字，每個數字有五張牌。遊戲的時候，就從這二十五張牌 中，任意抽五張出來，玩家透過乘法提問，猜出這五張牌分別是哪些數字，使用較少的問題 數量得知答案的人就贏了！
舉例說明：
在 2~11 之間，約定取 2、3、4、6、8 這五個 數字，每個數字有五張，共有二十五張牌。
從左邊的二十五張牌中，任意抽五張出來，
玩家透過「乘法」提問，猜出這五張牌分別 是哪些數字。
約定的數字由全部都是質數開始，一次換來一個合數，直到牌組全部都是合數。後來，
我們發現遊戲的秘密，是觀察一個牌組中選用的五個數字：
相乘會產生相同乘積的稱為「相關數字」，例如：在 2、4、6、8、9 這五個數字的牌組 中，4×9=6×6，等式的左邊和右邊各用了兩張牌，而且乘積都是 36，如果知道兩張牌的乘積是 36 的時候，並不能確定這兩張牌是(4，9)或是(6，6)，所以 4 和 9 和 6 就是相關數字。
相乘不會產生相同乘積的稱為「無關數字」，例如：在 2、3、4、5、7 這五個數字的牌組 中，雖然 2×2=4，但是等式左邊是兩張牌、右邊只有一張，如果知道兩張牌的乘積是 4 的時 候，可以確定這兩張牌是(2，2)，不會是 4，所以 2、3、4、5、7 都是無關數字。
提問數學問題的時候，多選無關數字來提問，能夠猜中的牌會比較多。
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在去年有限的時間之內，我們只做了 2~11 之間的六個特例，是很小的數字範圍，今年接 續研究，調整數字在 2~100 之間，任意選五個數字，希望找到共通性，可以處理更大的數字 範圍。
2~100 的數字牌 共五副牌混合，使 2~100 之間，
每個數字各有五張。
約定取哪五個數字，每個數字有五張牌。從這二十五張牌中，任意抽五張出來。
提問乘法問題，來判斷這五張牌分別是哪些數字。
如何使用最少的提問次數，得知五張牌的數字呢？
在去年遊戲中，我們發現「全部質數相乘」這個提問，只要用少數幾題就能解出全部的 答案，於是我就推測質數仍然可能是一個解題關鍵。
這次的研究範圍是 2~100，質數出現的比率比較少，所以我一開始使用的第二個提問是
「(某質數平方)的倍數相乘」，但做了幾個牌組後發現，不一定每個牌組都會有平方數，就放 寬條件修改為「(某數)的倍數相乘」，但每個牌組要提問的「某數」都不大相同……
於是，就開始了現在的研究！
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貳、研究目的與問題
將 2~100 之間的數字，全部寫成質數相乘，可分六個類型：質數、兩質數相乘的合數、
三質數相乘的合數、四質數相乘的合數、五質數相乘的合數、六質數相乘的合數。
從每個類型中，約定取哪五個數字，每個數字有五張牌，從這二十五張牌中，任意抽五 張出來做推測。
其中，質數類型只要提問五張相乘，就能確認那五張牌分別是什麼數字，這部份去年已 完成，不列入討論。四個以上質數相乘的合數，在 100 以內較少，所以合併成一個範圍。
範圍一：兩個質數相乘的合數 範圍二：三個質數相乘的合數
範圍三：四個、五個、六個質數相乘的合數
怎麼提問，能以最少次數推測出五張數字呢？
參、名詞定義
Q1：提問第一次、Q2：提問第二次、Q3：提問第三次、Q4：提問第四次
肆、研究設備及器材 紙筆、電腦
伍、研究方法與過程
將 2~100 之間的數字，全部寫成質數相乘，依據分解出來的質數個數，分成六個類型，
再依據研究目的分為三個範圍：
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質數
範圍一 範圍二 範圍三
兩個質數 相乘的合數
三個質數 相乘的合數
四個質數 相乘的合數
五個質數 相乘的合數
六個質數 相乘的合數 2 41 4=2x2 51=3x17 8=2x2x2 16=2x2x2x2 32=2x2x2x2x2 64=2x2x2x2x2x2 3 43 6=2x3 55=5x11 12=2x2x3 24=2x2x2x3 48=2x2x2x2x3 96=2x2x2x2x2x3 5 47 9=3x3 57=3x19 18=2x3x3 36=2x2x3x3 72=2x2x2x3x3
7 53 10=2x5 58=2x29 20=2x2x5 40=2x2x2x5 80=2x2x2x2x5 11 59 14=2x7 62=2x31 27=3x3x3 54=2x3x3x3
13 61 15=3x5 65=5x13 28=2x2x7 56=2x2x2x7 17 67 21=3x7 69=3x23 30=2x3x5 60=2x2x3x5 19 71 22=2x11 74=2x37 42=2x3x7 81=3x3x3x3 23 73 25=5x5 77=7x11 44=2x2x11 84=2x2x3x7 29 79 26=2x13 82=2x41 45=3x3x5 88=2x2x2x11 31 83 33=3x11 85=5x17 50=2x5x5 90=2x3x3x5 37 89 34=2x17 86=2x43 52=2x2x13 100=2x2x5x5
97 35=5x7 87=3x29 63=3x3x7 38=2x19 91=7x13 66=2x3x11 39=3x13 93=3x31 68=2x2x17 46=2x23 94=2x47 70=2x5x7 49=7x7 95=5x19 75=3x5x5 76=2x2x19 78=2x3x13 92=2x2x23 98=2x7x7 99=3x3x11
範圍一：兩個質數相乘的合數
觀察兩個質數相乘的合數，先進行再分類：
2×質 3×質 5×質 7×質
6 2×3 6 3×2 10 5×2 14 7×2 10 2×5 15 3×5 15 5×3 21 7×3 14 2×7 21 3×7 35 5×7 35 7×5 22 2×11 33 3×11 55 5×11 77 7×11 26 2×13 39 3×13 65 5×13 91 7×13 34 2×17 51 3×17 85 5×17
38 2×19 57 3×19 95 5×19
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46 2×23 69 3×23 58 2×29 87 3×29 62 2×31 93 3×31 74 2×37
82 2×41 86 2×43 94 2×47 平方數
4 2×2 9 3×3 25 5×5 49 7×7
依上述分類用代號表示，這樣能方便辨識，並且可以一次把同一種類型的牌組一起討論，分 別以X、Y、Z、W 代表分解後較小的質數，以甲、乙、丙、丁代表分解後較大的質數。代號的 說明如下：
X 2、3、5 或 7 其中一個 Y 除 X 以外的 2、3、5 或 7 其中一個 Z X、Y 以外的 2、3、5 或 7 其中一個 W 除 X、Y、Z 以外的那個
甲 除了正在當 X、Y、Z 和 W 的質數以外，
與 X、Y、Z、W 配對的質數 乙 除了正在當 X、Y、Z 和 W 的質數以外，
與 X、Y、Z、W 配對的質數 丙 除了正在當 X、Y、Z 和 W 的質數以外，
與 X、Y、Z、W 配對的質數 丁 除了正在當 X、Y、Z 和 W 的質數以外，
與 X、Y、Z、W 配對的質數 戊 除了正在當 X、Y、Z 和 W 的質數以外，
與 X、Y、Z、W 配對的質數
在範圍一之中，抽取五張的所有可能性分為六大類 第一類：五張都有一個相同的質因數 X
第二類：其中四張有一個相同的質因數 X
第三類：其中三張有相同的質因數 X，另外兩張有相同的質因數 Y 第四類：一張有質因數 X、一張有質因數 Y，剩下三張有相同的質因數 Z
第五類：一張有質因數 X，兩張有相同的質因數 Y，剩下兩張有相同的質因數 Z
第六類：一張有質因數 X、一張有質因數 Y、一張有質因數 Z，剩下兩張有相同的質因數 W
第一類：五張都有相同的質因數 X
X×甲 X×乙 X×丙 X×丁 X×戊
特質：牌組中的五個數，都有一個相同的質因數 X
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攻略：因為他們都有一個相同的質因數 X，所以只要用「五張相乘」來提問，獲得的答案除 以 X 的 5 次方，再把剩餘的數做質因數分解，把得到的五個質數分別和 X 相乘，就能 知道最終牌組。
結果：問「五張相乘」即可解出。
第二類：其中四張有一個相同的質因數 X
四張和X 配對 一張和Y 配對
X×甲 X×乙 X×丙 X×丁 Y x 戊 X×甲 X×乙 X×丙 X x 丁 Y×甲 X×甲 X×乙 X×丙 X× Y Y×戊 X×甲 X×乙 X×丙 X× Y Y×甲 特質：這種組合當中有四個數，都有一個相同的質因數 X
攻略：
藍色部分問五張相乘，答案做質因數分解，有幾個 Y 就是有幾個 Y×戊(或甲)，接著扣掉能確 定的數，最後把剩下的數分別與 X 相乘，即可知最終牌組。
紅色部分問五張相乘，答案做質因數分解後，把能確定的數提出，再把剩下幾個要與 X 或 Y 配對的甲，和多出來的 X、Y 配對，即可知道最終牌組。
結果：問「五張相乘」就能知曉答案。
第三類：其中三張有一個相同的質因數 X，另外兩張有一個相同的質因數 Y
三張和X 配對 兩張和Y 配對
X×甲 X×乙 X×丙 Y×丁 Y×戊
X×甲 X×乙 X×丙 Y×甲 Y×戊
X×甲 X×乙 X× Y Y×丁 Y×戊
X×甲 X×乙 X× Y Y×甲 Y×戊
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X×甲 X×乙 X× Y Y×甲 Y×乙
X×甲 X×乙 X×丙 Y×甲 Y×乙
特質：這種組合當中有三個數有共同的質因數 X，另外兩個數有共同的質因數 Y 攻略：
藍色部分問五張相乘，答案做質因數分解，把所有的能確定的數提出，再把剩下的數分別與 X 相乘，即可知最終牌組。
綠色部分問五張相乘，答案做質因數分解後，把能確定的數提出，由於要形成 X×Y 需要 X 和 Y 的數量相同，所以只要把剩下幾個要與 X 或 Y 配對的數，和多出來的 X、Y 配對即可知道 最終牌組。
紅色部分問五張相乘，可以知道丙的數量、X×Y 的數量，但無法確定甲和乙到底是配 X 還是 Y。所以要問 Q2，Q2 問「X 的倍數相乘」，答案做質因數分解後，有幾個甲，就是有幾個 X×
甲，有幾個乙就是有幾個 X×乙，有幾個 Y 就是有幾個 X×Y，接著用一開始五張相乘答案的質 因數分解，除以 X 的倍數相乘，答案做質因數分解，有幾個甲就是有幾個 Y×甲，有幾個乙就 是有幾個 Y×乙。
結果：藍色和綠色部分問「五張相乘」。紅色部分 Q1 問五張相乘，Q2 問「X 的倍數相乘」。
第四類
：
一張有質因數 X、一張有質因數 Y，剩下三張有一個相同的質因數 Z 一張和X 配對 一張和Y 配對 三張和Z 配對X×甲 Y×乙 Z×丙 Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×乙 Z×甲 Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×乙 Z×甲 Z×乙 Z×戊
X×甲 Y×甲 Z×丙 Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×甲 Z×甲 Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×乙 Z× X Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×乙 Z× X Z×甲 Z×戊
X×甲 Y×乙 Z× X Z×甲 Z×乙
X×甲 Y×甲 Z× X Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×甲 Z× X Z×甲 Z×戊
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X×甲 Y×乙 Z× X Z× Y Z×戊
X×甲 Y×乙 Z× X Z× Y Z×甲
特質：這種組合的其中三個數有共同質因數 Z 攻略：
藍色部分問五張相乘答案做質因數分解，把確定的數提出，再把剩下的數分別與 Z 相乘可知 最終牌組。
綠色部分問五張相乘，答案做質因數分解後，把能確定的數提出，且由於要形成 Z×X 需要 X 和 Z 的數量相同，所以只要把剩下幾個要與 X 或 Y 配對的數，和多出來的 X、Y 配對，最後 再把剩下的數與 Z 相乘，即可知道最終牌組。
紅色部分問五張相乘，答案做質因數分解，把所有的乙以及和乙相同數量的 Y 提出，剩下的 Y 配 Z，且由於要形成 Z×X 需要 X 和 Z 的數量相同，所以只要把剩下幾個要與 X 或 Y 配對 的數，和多出來的 X、Y 配對，最後再把剩下的數與 Z 相乘，即可知道最終牌組。
結果：問「五張相乘」就能知曉答案。
第五類：一張有質因數 X，兩張有一個相同的質因數 Y，剩下兩張有一個相同的質因數 Z
一張和X 配對 兩張和Y 配對 兩張和Z 配對
X×甲 Y×甲 Y×丙 Z×甲 Z×戊
X×甲 Y×甲 Y×丙 Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×乙 Y×丙 Z×丁 Z×戊
X×甲 Y×乙 Y×丙 Z×乙 Z×戊
X×甲 Y×甲 Y×丙 Z×甲 Z×丙
X×甲 Y×乙 Y×丙 Z×乙 Z×丙
攻略：
藍色部分問五張相乘，答案做質因數分解後，把 X 以及和 X 相同數量的甲提出，再把丙以及 和丙相同數量的 Y 提出，剩下的 Y 就是配紅字的數，最後再把剩下的數和 Z 相乘就能知道最 終牌組。
紅色部分問完五張相乘後先把答案做質因數分解，有幾個 X 就是有幾個 X×甲，但無法判斷甲 和乙，到底是配誰，所以要問 Q2，問「Y 的倍數相乘」，把答案做質因數分解，有幾個丙就是
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有幾個 Y×丙，有幾個乙(或甲)就是有幾個 X×乙(或甲)。最後用 Q1 的答案，除以 Q2 答案，質 因數分解，有幾個丙就是有幾個 Z×丙，有幾個乙(或甲)就是有幾個 Z×乙(或甲)。
結果：藍色部分問「五張相乘」；紅色部分第一題問「五張相乘」，第二題問「Y 的倍數相乘」。
第六類：一張有質因數 X、一張有質因數 Y、一張有質因數 Z，剩下兩張有相同的質因數 W 一張和X 配對 一張和Y 配對 一張和Z 配對 兩張和W 配對
X×甲 Y×乙 Z×丙 W×丁 W×戊
X×甲 Y×乙 Z×丙 W×甲 W×戊
X×甲 Y×乙 Z×丙 W×甲 W×乙
X×甲 Y×甲 Z×丙 W×丁 W×戊
X×甲 Y×甲 Z×丙 W×甲 W×戊
X×甲 Y×甲 Z×丙 W×甲 W×丙
X×甲 Y×甲 Z×甲 W×丁 W×戊
X×甲 Y×甲 Z×甲 W×甲 W×戊
攻略：問五張相乘，答案做質因數分解後，有幾個 X 就是有幾個 X×甲，有幾個 Y 就是有幾 個 Y×甲(或乙)，有幾個丙就是有幾個 Z×丙(或甲)。剩下的和 W 相乘即可知曉最終牌組。
結果：問「五張相乘」就能知曉答案。
範圍一的研究結果：
我發現當牌組中出現，五個數字中有四個數字是由兩個質數分別和兩個不同的質數相乘 時(例如 2×5、3×5、2×7、3×7)，問五張相乘就有可能會發生有很多種組合乘積相同的情形，這 種時候我們就要問 Q2，我 Q2 會選擇問「(兩個質數中其中一個)的倍數相乘」。
範圍二：三個質數相乘的合數
觀察三個質數相乘的合數，先進行再分類：
X× X×甲 X× Y×甲
12 2×2× 3 30 2×3×5
20 2×2× 5 42 2×3×7
28 2×2× 7 66 2×3×11
11
44 2×2× 11 78 2×3×13
52 2×2× 13 70 2×5×7
68 2×2× 17 76 2×2× 19 92 2×2× 23 18 3×3× 2 45 3×3× 5 63 3×3× 7 99 3×3× 11 50 5×5× 2 75 5×5× 3 98 7×7× 2
3 次方
8 2×2×2 27 3×3×3
依上述分類用代號表示，能方便辨識，還可以一次把同一種類型的牌組一起討論，分別以X、
Y、Z、W 和甲、乙、丙、丁代表分解後的質數。代號的說明如下：
X 2、3、5 或 7 其中一個 Y 除 X 以外的 2、3、5 或 7 其中一個 Z X、Y 以外的 2、3、5 或 7 其中一個 W 除 X、Y、Z 以外的那個
甲 除了正在當 X 的質數以外的質數 乙 除了正在當 X 和甲的質數以外的質數 丙 除了正在當 X、甲和乙的質數以外的質數 丁 除了正在當 X、甲、乙和丙以外的質數 戊 除了正在當 X、甲、乙、丙和丁以外的質數
把範圍二按照數字特性分為第一組「X× Y×甲」和第二組「X× X×甲」兩大組，先分別討 論，再把兩組混合討論。
第一組：X× Y×甲
特質：五個數都是由 3 個不同的質數所組成，都有共同因數 2。
攻略：問五張相乘，答案做質因數分解後，除以五個 2，再把所有能確定的數提出，且由於要 形成 5×7 需要 5 和 7 的數量相同，所以我們只要把剩下幾個要與 5 或 7 配對的數，和剩下的 3 配對，最後再把他們分別乘以 2，就可以知道最終牌組。
結果：問「五張相乘」即可解出。
第二組：X× X×甲
特質：數字的組成都是由 2 個相同的質數，乘 1 個不同的質數所組成的。
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我把第二組，抽取五張的所有可能性分為六大類。
第二組第一類
X× X×甲 X× X×乙 X× X×丙 X× X×丁 X× X×戊
攻略：五張牌做質因數分解後都有兩個共同的質因數，問五張相乘，答案做質因數分解後，
有幾個甲就是有幾個 X×X×甲，有幾個乙就是有幾個 X×X×乙，有幾個丙就是有幾個 X×X×丙，
有幾個丁就是有幾個 X×X×丁。
結果：「五張相乘」就能解出。
第二組第二類
四張和X× X 相乘 一張和Y × Y 相乘
2×2 ×甲 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 3×3×甲 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 3×3×戊 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 5×5×2 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 5×5×3 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 7×7×2 3×3×2 3×3×5 3×3×7 3×3×11 2×2×甲 3×3×2 3×3×5 3×3×7 3×3×11 5×5×甲 3×3×2 3×3×5 3×3×7 3×3×11 7×7×2 攻略：
紅色部分：問五張相乘，答案做質因數分解後抓到幾個甲，就是有幾個 X× X×甲，抓到幾個 乙，就是有幾個 X× X×乙，抓到幾個丙，就是有幾個 X× X×丙，接著去掉所有的 X 與和 X 相 乘的甲乙丙丁，最後再把剩餘的 Y× Y 和除了 Y 以外的那個質數相乘，即可知曉最終牌組。
藍色部分問五張相乘，答案做質因數分解後把能確定的述提出，若甲剛好等於 2、3、5、7 其 中之一時，就先確定其他的數，剩下的 3× 3 再配「3 的數量除以 2」這個數量的甲，接著去 掉所有的 3 和與 3 配對的數，最後再把剩餘的 Y× Y 和除了 Y 以外的那個質數相乘，即可知 曉最終牌組。
結果：問「五張相乘」就能知曉答案。
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第二組第三類
三張和X×X 相乘 兩張和Y×Y 相乘
2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×甲 3×3×乙 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×甲 3×3×丁 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×丁 3×3×戊 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 5×5×2 5×5×3 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 2×2×甲 2×2×丁 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 2×2×丁 2×2×戊 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 5×5×2 5×5×3 攻略：
藍色部分 Q1 問五張相乘無法解出時，問 Q2「X× X 的倍數相乘」，把此答案做質因數分解後，
抓到幾個甲，就是有幾個 X× X×甲，抓到幾個乙，就是有幾個 X× X×乙，抓到幾個丙，就是 有幾個 X× X×丙，接著就能用 Q1÷Q2 的商，做質因數分解，來推理剩下的數。
紅色部分：問五張相乘，抓到幾個乙，就是有幾個 X× X×乙，抓到幾個丙，就是有幾個 X× X
×丙。因為在 Y× Y 的部分都會至少有一個在 X×X 的數中沒有出現的質因數，例如 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×甲 3×3×丁 在這一組是丁 確定有幾個 Y×Y×丁之後，剩下幾個 Y×Y 就需要配幾個甲，接下來剩下的甲就要配 X×X，依 照這樣把能確定的數依次拆解，就能知道最終答案。
結果：Q1 問「五張相乘」，Q2 問「(X×X)的倍數相乘」。
第二組第四類
一張和X×X 相乘 一張和 Y×Y 相乘 三張和 Z×Z 相乘
2×2×甲 5×5×甲 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 2×2×甲 5×5×甲 3×3×乙 3×3×丙 3×3×丁 2×2×甲 5×5×乙 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 2×2×甲 5×5×乙 3×3×甲 3×3×丁 3×3×戊 2×2×甲 5×5×乙 3×3×丙 3×3×丁 3×3×戊 2×2×甲 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 2×2×甲 7×7×2 3×3×乙 3×3×丙 3×3×丁
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3×3×甲 5×5×甲 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×甲 5×5×甲 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 3×3×甲 5×5×乙 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×甲 5×5×乙 2×2×甲 2×2×丁 2×2×戊 3×3×甲 5×5×乙 2×2×丙 2×2×丁 2×2×戊 3×3×甲 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 3×3×甲 7×7×2 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 5×5×甲 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 2×2×丙 5×5×甲 7×7×2 2×2×乙 2×2×丙 2×2×丁 5×5×甲 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 3×3×丙 5×5×甲 7×7×2 3×3×乙 3×3×丙 3×3×丁 攻略：
藍色部分問五張相乘，依序把能確定的數提出，就能知道最終答案。
紅色部分問五張相乘，答案做質因數分解後，抓到幾個丙，就是有幾個 Z×Z×丙，接著 Q2 問 Z×Z 的倍數相乘，把此答案做質因數分解後，抓到幾個甲，就是有幾個 Z×Z×甲，抓到幾個乙，
就是有幾個 Z×Z×乙，最後再把五張相乘的答案除以 Z×Z 的倍數相乘，做質因數分解，抓到幾 個甲，就是有幾個 X×X×甲，抓到幾個乙，就是有幾個 X×X×乙，就能知曉最終牌組。
結果：Q1 問「五張相乘」，Q2 問「(Z×Z)的倍數相乘」。
第二組第五類
一張和X×X 相乘 兩張和 Y×Y 相乘 兩張和Z×Z 相乘
2×2×甲 3×3×甲 3×3×乙 5×5×2 5×5×3 2×2×甲 3×3×乙 3×3×丙 5×5×2 5×5×3 3×3×甲 2×2×甲 2×2×乙 5×5×2 5×5×3 3×3×甲 2×2×乙 2×2×丙 5×5×2 5×5×3 5×5×甲 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×乙 5×5×甲 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×丙 5×5×甲 2×2×甲 2×2×乙 3×3×丙 3×3×丁 5×5×甲 2×2×甲 2×2×乙 3×3×乙 3×3×丙 5×5×甲 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×乙
15
7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×乙 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×丙 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 3×3×丙 3×3×丁 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 3×3×乙 3×3×丙 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 3×3×甲 3×3×乙 7×7×2 2×2×甲 2×2×乙 5×5×2 5×5×3 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 5×5×2 5×5×3 攻略：
紅色部分問五張相乘，先配對出包含 X×X 的牌，剩下的四種數字牌，觀察是不是有特別的質 因數，例如如果出現質因數丁，就能確定有幾個 Z×Z×丁，出現質因數丙，就能確定有幾個 Z
×Z×丙。就這樣一次一種，把能確定的數依次拆解，就能知道最終答案。
藍色部分問五張相乘，答案做質因數分解後，先把能確定的 X 以及和 X 相乘的數去除，再問 Q2「Z ×Z 的倍數相乘」，把此答案做質因數分解後，抓到幾個甲，就是有幾個 Z ×Z ×甲，抓到 幾個乙，就是有幾個 Z ×Z ×乙。最後 Q1÷Q2 得到的數字，做質因數分解，抓到幾個甲，就是 有幾個 Y ×Y ×甲，抓到幾個乙，就是有幾個 Y×Y ×乙，所以能知曉牌組。
結果：Q1 問「五張相乘」，Q2 問「(Z×Z)的倍數相乘」。
第二組第六類
一張和X×X 相乘 一張和 Y×Y 相乘 一張和 Z×Z 相乘 兩張和 W×W 相乘 2×2×甲 3×3×乙 7×7×2 5×5×2 5×5×3 2×2×甲 3×3×甲 7×7×2 5×5×2 5×5×3 2×2×甲 5×5×甲 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 2×2×甲 5×5×甲 7×7×2 3×3×乙 3×3×丙 2×2×甲 5×5×乙 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 2×2×甲 5×5×乙 7×7×2 3×3×甲 3×3×丙 2×2×甲 5×5×乙 7×7×2 3×3×丙 3×3×丁 3×3×甲 5×5×甲 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 3×3×甲 5×5×甲 7×7×2 3×3×乙 3×3×丙 3×3×甲 5×5×乙 7×7×2 3×3×甲 3×3×乙 3×3×甲 5×5×乙 7×7×2 3×3×甲 3×3×丙
16
3×3×甲 5×5×乙 7×7×2 3×3×丙 3×3×丁 攻略：
Q1：問五張相乘，答案做質因數分解後，觀察五種牌的質因數分解，判斷是否具有其他牌沒 有、只有自己獨有的質因數，如果有，就一次一個把它刪去，若還無法找出最終牌組，
再問 Q2。
Q2：問 W×W 的倍數相乘，把此答案做質因數分解後，把能確定的數提出，然後再把 Q1 除以 Q2 的答案，做質因數分解，就能把剩餘尚未解出的數找出來。
結果：Q1 問「五張相乘」，Q2 問「(W×W)的倍數相乘」。
第一組和第二組的混合
第一組和第二組混合就是從下列表格中隨意找五種數字，每種數字五張，從這二十五張 中抽出五張。
X× X×甲 X× Y×甲
8 2×2×2 30 2×3×5
12 2×2× 3 42 2×3×7
20 2×2× 5 66 2×3×11
28 2×2× 7 78 2×3×13
44 2×2× 11 70 2×5×7
52 2×2× 13 68 2×2× 17 76 2×2× 19 92 2×2× 23 18 3×3× 2 27 3×3×3 45 3×3× 5 63 3×3× 7 99 3×3× 11 50 5×5× 2 75 5×5× 3 98 7×7× 2 攻略：
第一組和第二組混合的時候，要先觀察約定的五種牌分別做質因數分解的結果，找找看 是否一些特別牌，具有其他牌沒有的、只有自己獨有的質因數，Q1 問「五張相乘」之後，一 次一種把特別牌的張數找出來，例如：如果 Q1 五張相乘的質因數分解出現幾個 17、19、23，
就能確定 68、76、92 的牌有幾張。抽到其他的牌，也可以觀察看看有沒有特別牌，利用它獨
17
有的質因數來解題。
剩下來無法分辨的，有兩種可能，「X×X×甲、Y×Y×甲、和 X×Y×甲」和「X×X×甲、Y×Y×
甲、和 X×X×乙、Y×Y×乙」的混合，遇到這種情況無法解題，就提問 Q2「X×X 的倍數相乘」， 及可知曉最終牌組。
因為第一組和第二組混合之後，共同的質因數只有可能變少、不可能增加，所以找到獨有 質因數的機會，會比單純討論第二組的時候更高。
結果：Q1 問「五張相乘」，Q2 問「(X×X)的倍數相乘」。
範圍二的研究結果：
1. Q1 問五張相乘。
2. 若 Q1 無法解出全部答案，Q2 問「(數量最多的質因數平方)的倍數相乘」，例如在組合是 3 張 X×X 配兩張 Y×Y 時，問 X×X 的倍數相乘，即可將有 X×X 的部分切割出來，剩下的 Y
×Y 搭配張數，就可以推理出最終答案。
範圍三：四個、五個、六個質數相乘的合數
經由範圍一及範圍二的研究，我發現解題使用的思考模式有三個重點：
(一) 最大公因數 (二) 獨有質因數 (三) 必須是五張牌組成
基於上述重點，觀察四、五、六個質數相乘的合數，重新調整排列順序，進行再分類：
四個質數相乘的合數 五個質數相乘的合數 六個質數相乘的合數
16 2×2×2×2 60 2 ×2 ×3 ×5 32 2 ×2 ×2 ×2 ×2 64 2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 24 2 ×2 ×2 ×3 84 2 ×2 ×3 ×7 48 2 ×2 ×2 ×2 ×3 96 2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×3 40 2 ×2 ×2 ×5 100 2 ×2 ×5 ×5 80 2 ×2 ×2 ×2 ×5
56 2 ×2 ×2 ×7 54 2 ×3 ×3 ×3 72 2 ×2 ×2 ×3 ×3 88 2 ×2 ×2 ×11 90 2 ×3 ×3 ×5
36 2 ×2 ×3 ×3 81 3 ×3 ×3 ×3 攻略：
Q1 問五張相乘，答案做質因數分解。
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(一) 因為範圍三中只有 88 有質因數 11，所以出現幾個 11 就是有幾個 88；
(二) 若約定的五種牌中只有一種牌有質因數 7，那就能直接確定這種牌有幾張；如果一次出 現兩種牌的質因數都有 7，在範圍三中只有 56 和 84 有質因數 7，問 84 的倍數相乘，就 能知道有幾個 84，剩下的 7 就是 56 的；這裡問 56 的倍數也可以有相同的效果。
(三) 若約定的五種牌中只有一種牌有質因數 5，就直接確定這種牌有幾張；如果一次出現兩 種牌的質因數都有 5，就從那二種找出數字比較大的牌，提問那種牌的倍數相乘，就能 知道數字大的牌有幾張，剩下幾個 5 就表示數字小的牌有幾張；如果約定的五種牌，很 多牌都有質因數 5，就要觀察這五種牌的質因數分解，找出有獨有質因數的牌，來提問 那個獨有質因數的倍數相乘，例如：約定的五種牌是 40、60、80、90、100
五種牌的 質因數分解
五種牌同除以 最大公因數 10 40=2×2×2×5
60=2×2×3×5 80=2×2×2×2×5 90=2×3×3×5 100=2×2×5×5
2×2 2×3 2×2×2 3×3 2×5
Q1 問五張相乘的結果除以 100000，剩下幾個質因數 5 就代表有幾個 100；
Q2 問 9 的倍數相乘，確定 90 有幾張；去除 90 後剩 下幾個質因數 3，就有幾個 60；剩餘質因數 2 受總 張數限制，能確定會是 40 還是 80，以及各有幾張。
(四) 牌組中出現質因數 2 和 3 的數量很多，很容易混在一起，如果沒有更大的質因數幫助 做前面的判斷，就會分不出這個質因數 2 或 3 到底屬於哪一張牌。分不出來的情況有兩 個類別，分別舉例如下：
特質 攻略
第 一 類
16×81=36×36 48×48=32×72
兩數相乘
=第三數 平方
提問最大數的倍數相乘，例如提問 81 的倍數相乘，確 定 81 有幾個就能確定 16 有幾個，剩下的都是 36。
第 二 類
24×32=16×48
兩數相乘
=
另兩數相 乘
第一種方法：提問 48 的倍數相乘，可以確定 48 有幾 張，因為會有兩組數字無法判斷只有在張 數和乘積都相同的情況才會發生，所以同 時也能利用 48 的張數推出 16 的張數，剩 下的質因數 3 都是 24 的，再剩下的 2 都 是 32 的。
第二種方法：也可以提問 24 的倍數相乘，質因數 3 的 個數就是 24 和 48 合計的張數，接著檢查
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質因數 2 的數量，可以符合張數的答案只 會有一種。所以，確定了 24 和 48 的張 數，就確定了 32 和 16 的張數。
範圍三的研究結果：
1. Q1 問五張相乘。
2. 若 Q1 無法解出全部答案，Q2 問「獨有質因數的倍數相乘」或是「有很多共同質因數的牌 中，最大的那個牌的倍數相乘」。
陸、討論
經由範圍一到三的研究，發現解題的攻略都和質因數有關，我決定修改 2~100 的寫法，
把相同的質因數寫在一起，比較容易看出有幾種不同的質因數，和同一種質因數有幾個：
質數 範圍一 範圍二 範圍三
2 43 4=22 51=3×17 8=23 52=22×13 16=24 32=25 64=26 3 47 6=2×3 55=5×11 12=22×3 63=32×7 24=23×3 48=24×3 96=25×3 5 53 9=32 57=3×19 18=2×32 66=2×3×11 36=22×32 72=23×32
7 59 10=2×5 58=2×29 20=22×5 68=22×17 40=23×5 80=24×5 11 61 14=2×7 62=2×31 27=33 70=2×5×7 54=2×33
13 67 15=3×5 65=5×13 28=22×7 75=3×52 56=23×7 17 71 21=3×7 69=3×23 30=2×3×5 76=22×19 60=22×3×5 19 73 22=2×11 74=2×37 42=2×3×7 78=2×3×13 81=34
23 79 25=52 77=7×11 44=22×11 92=22×23 84=22×3×7 29 83 26=2×13 82=2×41 45=32×5 98=2×72 88=23×11 31 89 33=3×11 85=5×17 50=2×52 99=32×11 90=2×32×5 37 97 34=2×17 86=2×43 100=22×52 41 35=5×7 87=3×29
38=2×19 91=7×13 39=3×13 93=3×31 46=2×23 94=2×47 49=72 95=5×19
重新依照使用到的質因數來分類，下列圖形中，連在一起的數字表示彼此有相關，這樣 比較看得出數字的關係，知道哪些數字有獨有的質因數，哪些數字有很多共同的質因數。
20
9=32 27=33 81=34
6=2x3 18=2x32 54=2x33 縱行是 2 的次方逐漸增加，
4=22 12=22x3 36=22x32 橫列是 3 的次方逐漸增加，
8=23 24=23x3 72=23x32 中間是縱行橫列相乘，中間這些數都
16=24 48=24x3 有質因數 2 和 3。
32=25 96=25x3 64=26
25=52 縱行是 2 的次方逐漸增加，
10=2x5 50=2x52 橫列是 5 的次方逐漸增加，
20=22x5 100=22x52 25 是 5 的平方，
40=23x5 其他數字都有質因數 2 和 5。
80=24x5
15=3x5 45=32x5 75=3x52 這些數字都有質因數 3 和 5。
49=72 縱行是 2 的次方逐漸增加，
14=2x7 98=2x72 橫列是 7 的次方逐漸增加，
28=22x7 49 是 7 的平方，
56=23x7 其他數字都有質因數 2 和 7。
21=3x7 63=32x7 這些數字都有質因數 3 和 7。
35=5x7 70=2x5x7 這些數字都有質因數有 5 和 7。
42=2x3x7 84=22x3x7 這些數字都有質因數 2、3 和 7。
以下的數因為有比較大的質因數，所以具有相同質因數的牌就比較少。
22=2x11 33=3x11 55=5x11 77=7x11 44=22x11 66=2x3x11 88=23x11 99=32x11
26=2x13 39=3x13 65=5x13 91=7x13 52=22x13 78=2x3x13
34=2x17 51=3x17 85=5x17 68=22x17
74=2x37 38=2x19 57=3x19 95=5x19 76=22x19
82=2x41 46=2x23 69=3x23 92=22x23
86=2x43 58=2x29 87=3x29
21
94=2x47 62=2x31 93=3x31
這個表格，讓我很容易看見 2~100 這九十九個數字之間的關係，以及五張牌相乘的乘積 的質因數分解出現什麼質數的時候，該如何解題。
以下說明在 2~100 全範圍中任意約定五種數字時，如何順利解題。
(一) 比對法
有無 37、41 43、47
說明：2~100 中，有質因數 47 的合數，只有 94。此段落以(47，94)為例，
而(43，86)、 (41，82)、 (37，74)情況相同。
比對五種牌中，有一種出現了 47，例如：有 47、沒有 94，那麼，47 有幾次方，
就代表有幾個 47；
，有兩種出現了 47，例如：有 47、也有 94，那麼，問其中較大的 數(94)的倍數相乘，就可以區分 94 和 47；
，沒有出現 47，直接進入下一步。
⇓
有無 29、31
說明：2~100 中，有質因數 29 的合數，只有 58、87。我以(29，58，87) 為例，
而(31，62，93)情況相同。
比對五種牌中，有一種出現了 29，例如：有 58、沒有 29 和 87，那麼，29 有幾 次方，就代表有幾個 58；
，有兩種出現了 29，例如：有 29、有 58，那麼，問其中較大的數 (58)的倍數相乘，就可以區分 58 和 29；
，有三種出現了 29，例如：有 29、有 58、也有 87，那麼，問他 們最大公因數也就是 29 的倍數相乘，就可以區分 29、58、87；
，沒有出現 29，直接進入下一步。
⇓
有無 23
說明：2~100 中，有質因數 23 的合數，是 46、69、92。
比對五種牌中，有一種出現了 23，例如：有 23、沒有 46、69、92 ，那麼，23 有幾次方，就代表有幾個 23 ；
，有兩種出現了 23，例如：有 23、有 46，問其中較大的數(46)的
22
倍數相乘，就可以區分 23 和 46；
，有三種以上出現23，例如：有 23、有 46、也有 69 和 92，那 麼，問他們的最大公因數，也就是 23 的倍數相乘，就可以區分 23、46、69 和 92；
，沒有出現 23，直接進入下一步。
⇓
有無 17、19
說明：2~100 中，有質因數 17 和 19 的合數，分別各有五個。
此段落以【有質因數 17】為例，而【有質因數 19】情況相同。
比對五種牌中，有一種出現了 17，例如：有 17、沒有 34、51、68、85，那麼，
17 有幾次方，就代表有幾個 17；
，有兩種出現了 17，例如：有 34、有 17，那麼，問其中較大的數 (34)的倍數相乘，就可以區分 17 和 34；
，有三種以上出現17，例如：有 17、有 34、也有 51、68 和 85，
那麼，問他們的最大公因數，也就是 17 的倍數相乘，就可以區 分 17、34、51、68 和 85；
，沒有出現 17，直接進入下一步。
⇓
有無 13
說明：2~100 中，有質因數 13 的合數，有七個。
比對五種牌中，有一種出現了 13，例如：有 26、沒有 13、39、65、91、52、
78，那麼，13 有幾次方，就代表有幾個 26；
，有兩種出現了 13，例如：有 13、有 26，那麼，問其中較大的數 (26)的倍數相乘，就可以區分 13 和 26；
，有三種以上出現13，例如：有 13、有 26、也有 39、52、65、78 和 91，那麼，問他們的最大公因數，也就是 13 的倍數相乘，就 可以區分出來；
，沒有出現 13，直接進入下一步。
⇓
有無
說明：2~100 中，有質因數 5 的合數，有很多個。以【有質因數 5】為例，而【有質因數 7】、【有質因數 11】情況相同。
比對五種牌中，有一種出現了 5，例如：出現 15，沒有出現 5、10、20……，那
23
5、7、
11
麼，5 有幾次方，就代表有幾個 15；
，有兩種出現了 5，例如：有 5、有 10，那麼，問其中較大的數 (10)的倍數相乘，就可以區分 10 和 5；
，有三種以上出現5，例如：有 5、10、15、20、25……，那麼，
問他們最大公因數也就是 5 的倍數相乘，就可以區分出來；
，沒有出現 5，直接進入下一步。
⇓
有無 2、3
說明：2~100 中，有質因數 2 的合數，有很多個。以【有質因數 2】為例，
而【有質因數 3】情況相同。
比對五種牌中，有一種出現了 2，那麼，2 有幾次方，就平均分配給這一種數 字，看看會有幾個；
，有兩種出現了 2，就問其中較大的數，它的倍數相乘，就可以把 兩者區分出來；
，有三種以上出現2，問他們的最大公因數的倍數相乘，就可以區 分出來。
越大的質數，出現的次數越少。所以這些比較大的質數，很容易成為牌組中出現次數很 少的質數，由大的質數往下檢查，能夠幫助我依序判斷出牌組的數字。
(二) 配對分割法
在討論(一)比對法中，越大的質數越容易被找出來，如果五種牌都是由較小的質數相乘 組合而成，找不到特別的質因數來當篩網，它們就很容易混在一起，就無法以五張相乘，一 題解出整個牌組。但我發現這些牌組都有張數相同、乘積也相同的情況。
例如 (2：3：4：6：8) 這樣的組合
在(2：3：4：6：8)中，有第一組 2×8=4×4、第二組 4×6=3×8、第三組 2×6=3×4 乘積相同。
遇到這種乘積相同的牌組，需要問三題：
Q1 問五張相乘，觀察它的質因數分布來判斷 Q2 怎麼問。
24
Q2 問第一組乘積相同中最大的數，它的倍數相乘。例如：在(2：3：4：6：8)中，有第一組 乘積相同 2×8=4×4，在(2：4：8)中，問含有 8 的那張牌的倍數相乘。
Q3 問第二組乘積相同中最大的數，它的倍數相乘，如果這個數和 Q2 問的是同一個，那就要 問第二大的數，它的倍數相乘。例如：在(2：3：4：6：8)中，有第二組乘積相同 4×6=3×
8，在(3：4：6：8)中，因為 8 問過了，就改問含有 6 的那張牌的倍數相乘。因為到這裡已 經確定了每一種牌各有幾張，所以就不再問第三組乘積相同的最大數了。
在乘積相同的情況下，確定了最大的牌有幾張，同時就確定了最小的牌有幾張，剩下的 張數就是中間的牌，於是由此可以推論出，每一種牌各有幾張。
(2：4：8：16：32) 是最複雜的組合，都是 2 的次方組成的牌組，共有六組乘積相同的 情況：2×8=4×4； 2×16=4×8； 2×32=4×16； 4×16=8×8； 4×32=8×16； 8×32=16×16。
這時要使用的問題為 Q1 問五張相乘
Q2 問最大的數 32 的倍數相乘，看此題答案的質因數分解中 2 出現的次數除以 5，就知道有 幾張 32，如果 32 的數量沒超過四張則需問 Q3
Q3 問第二大的數 16 的倍數相乘，看此題答案的質因數分解中 2 出現幾次，先扣除 32 的，
再把 2 剩餘的出現次數除以 4，就知道有幾張 16，如果 32 和 16 的數量加起來沒超過 4 張 則需問 Q4
Q4 問第三大的數 8 的倍數相乘，看此題答案的質因數分解中 2 出現幾次，先扣除 32 和 16 的，再把 2 剩餘的出現次數除以 3 就知道有幾張 8，問完就可以知道整個牌組
這個問法也吻合上面(2：3：4：6：8)直接問每一組重複中最大的數的倍數相乘，因為 32、16 和 8 三題的倍數相乘即可概括。
所以，發生「乘積相同、張數恰好也相同」的情況，提問的順序會是 Q1：五張相乘
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Q2：乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
Q3：第二組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘 Q4：第三組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
(三) 特殊質因數法
從討論(一)比對法中，我發現可以觀察題目約定的五種數字，如果有哪一種數字，出現 了別種數字沒有的質因數，而且這個質因數，在 Q1 問五張相乘的結果中出現，就會很明顯 可以判斷出那種牌的張數，我把符合這種情況的質因數稱為特殊質因數，特殊質因數不一定 是像 47、31 這種較大的質數，如果是在「一個偶數，搭配四個奇數」的牌組中，2 就會是特 殊質因數。
用特殊質因數的觀點來思考，我決定 Q1 一律問五張相乘，做質因數分解之後，出現的 特殊質因數種類越多，提問次數就越少：
五種特殊質因數：五種牌都有特殊質因數，問 Q1，就知道每種牌各出現幾次。
四種特殊質因數：五種牌共有四種特殊質因數，觀察次方就可以知道它們出現的次數。
扣掉知道的，就會知道剩下幾張牌，張數和剩餘的乘積搭配，就會知道答案。
所以只要問一題五張相乘，就可以知曉最終牌組。
三種特殊質因數：三種特殊質因數有(P甲、P乙、P丙、P丙、P丙)和(P甲、P乙、P丙、P乙、P丙)兩 種類型，如果 Q1 尚無法完全解題，加問 Q2：「乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘」，就 可以確認是哪一種配對。
兩種特殊質因數：兩種特殊質因數有(P甲、P甲、P乙、P乙、P乙)和(P甲、P乙、P乙、P乙、P乙)兩 種類型，如果 Q1 尚無法完全解題，加問 Q2：「乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘」
但有些牌組中有兩組乘積相同的配對，這時候 Q2 只能問出其中一組，因此需要問 Q3：「第 二種乘積相同組合中，最大數的倍數相乘。」就能確認每張牌的數字。
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一種特殊質因數：只有一種特殊質因數是最複雜的一種情況，如果 Q1 尚無法完全解題，問 Q2：「乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘」
但有些牌組中有三組以上乘積相同的配對，這時候 Q2 只能問出其中一組，因此需要 Q3 甚 至 Q4，用同樣的提問規則，繼續分割乘積相同的組合。
只要觀察題目五種數字牌的特殊質因數，是否出現在五張相乘的質因數分解中，可以很 快的解出牌組的答案。
(四) 「次方」乘以「張數」法
經過上述討論，激發了靈感，我把原研究問題用新的角度看待：
每個牌組有五種數字，我們想要知道每種數字分別有幾張。假設第一種數到第五種數，
依序有 A、B、C、D、E 張，而每個數都可以寫成質因數分解 第一種數 = 2 a2 × 3 a3 × 5 a5 ×……× 47 a47
第二種數 = 2 b2 × 3 b3 × 5 b5 ×……× 47 b47 第三種數 = 2 c2 × 3 c3 × 5 c5 ×……× 47 c47 第四種數 = 2 d2 × 3 d3 × 5 d5 ×……× 47 d47 第五種數 = 2 e2 × 3 e3 × 5 e5 ×……× 47 e47
a n ≥ 0 有 A 張 b n ≥ 0 有 B 張 c n ≥ 0 有 C 張 d n ≥ 0 有 D 張 e n ≥ 0 有 E 張
Q1 五張相乘的結果，就是 (2 a2 × 3 a3 × 5 a5 ×……× 47 a47)A×(2 b2 × 3 b3 × 5 b5 ×……× 47 b47)B× (2 c2 × 3 c3 × 5 c5 ×……× 47 c47)C×(2 d2 × 3 d3 × 5 d5 ×……× 47 d47)D×(2 e2 × 3 e3 × 5 e5 ×……× 47 e47)E
= 2 T 2 × 3 T 3 × 5 T 5 ×……× 47 T 47
Tn ≥ 0
這麼一來，質數 2 的次方 T2，就會是上面每種牌的質數 2 的次方，乘以那種牌的張數：
質數 2 的次方 T 2 = A × a 2 + B × b 2 + C × c 2 + D × d 2 + E × e 2
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而且
質數 3 的次方 T3 = A × a 3 + B × b 3 + C × c 3 + D × d 3 + E × e 3 質數 5 的次方 T5 = A × a 5 + B × b 5 + C × c 5 + D × d 5 + E × e5
……
質數 47 的次方 T47 = A × a 47 + B × b 47 + C × c 47 + D × d 47 + E × e 47
五張相乘的質因數分解中，每出現一種質數，就會有一個「▲A+▼B+●C+★D+▇E =某數」
的算式。
我們想要知道每個數字分別出現幾次，就是要知道 A、B、C、D、E 分別是多少？
每一種牌組都有的條件，是總張數 A+B+C+D+E=5
「▲A+▼B+●C+★D+▇E =某數」就是我們得到的額外的條件，每個牌組至少有其中一 個算式，而有些牌組能得到很多個算式。
例如：
牌組抽出的五張牌都是由 12 和 18 組成，12=22×3，18= 2×32，但是不知道 12 和 18 各 有幾張。於是假設 12 有 A 張、18 有 B 張，我們想要知道 A 和 B 各是多少。
然後我們開始提問，提問 Q1 五張相乘，得到 2 8 × 3 7，這裡有 2 和 3 兩種質數，就可 以寫出兩個算式，於是我們擁有以下三個條件
條件 ○1 A+B=5
條件 ○2 質數 2 有 A × a2 + B × b2 = A × 2 + B × 1 = 8 條件 ○3 質數 3 有 A × a3 + B × b3 = A × 1 + B × 2 = 7
這裡我們可以看見，只使用條件 ○1 和 ○2，就能算出 A=3，B=2，得知牌組為 12、
12、12、18、18。
這個方法跟我之前解題，只剩兩張的時候，把剩餘的質數 2，依照牌組每個數字有幾個 2，來分配進去，結果只會有一種可能性，於是就確定了答案，是一樣的道理！
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這個道理就是：張數是條件、配對也是條件。
也就是說，2 個條件就足夠解出 A 和 B 兩個未知數，但是我們只問一題就總共得到 3 個 條件，所以只要提問 Q1 五張相乘，一題就可以解題成功。
用條件的觀點，回顧討論(三)特殊質因數法，如果要知道 A、B、C、D、E 五個未知 數，我發現
五種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○6 Q1 有五種特殊質因數，得知 5 個額外的條件
總共有 6 個條件，從討論(三)我們知道這種情況會解題成功 四種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○5 Q1 有四種特殊質因數，得知 4 個額外的條件
總共有 5 個條件，從討論(三)我們知道這種情況會解題成功 三種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○4 Q1 有三種特殊質因數，得知 3 個額外的條件
總共有 4 個條件，從討論(三)我們知道這種情況不一定解題成功 需問 Q2 來增加 1 個條件，增加後有 5 個條件，解題一定成功 二種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 ~○3 Q1 有兩種特殊質因數，得知 2 個額外的條件
總共有 3 個條件，從討論(三)我們知道這種情況不一定解題成功 需問 Q2、Q3 來增加 2 個條件，共 5 個條件時解題一定成功 一種特殊質因數有的條件：○1 A+B+C+D+E=5
○2 Q1 只有一種特殊質因數，得知 1 個額外的條件
總共有 2 個條件，從討論(三)我們知道這種情況不一定解題成功 需問 Q2、Q3、Q4 來增加 3 個條件，共 5 個條件時解題一定成功
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從以上五個特殊質因數到一個特殊質因數的條件對應，我發現其中的規律：五個條件可 以保證解出五個未知數，如果 Q1 得到的條件不夠，就要增加提問來補足五個條件。
條件的觀點印證了我前面所有嘗試的結果：
(1) 當五張相乘的質因數分解出現四種以上的質因數時，只要問一題 Q1 就保證解題成功。
(2) 每少出現一個質因數，就要增加一題，所以前面舉例過的
牌組(2，3，4，6，8)，有 2 和 3 兩種質因數，最多加問兩題一定解題成功；
牌組(2，4，8，16，32)，只有 2 一種質因數，最多加問三題一定解題成功。
(3) 「最多加問三題保證成功」的意思是，有可能不需要這麼多題。
例如：牌組(2，4，8，16，32)
如果五張相乘=32，因為有五張牌，所以我直接知道這五張都是 2。
如果五張相乘=32768，共有十二種組合可以達成這個乘積，其中四種組合需要加問兩 題、另外八種組合需要加問三題。
到這裡，我可以知道在問幾題的範圍之內，一定可以得出答案，確定五種牌各有幾張：
最少需要問一題，Q1 問五張相乘，做質因數分解
(1) 出現四種以上的質數，直接確定五種牌各有幾張；
(2) 出現三種質數，最多加問一題；
(3) 出現兩種質數，最多加問兩題；
(4) 出現一種質數，最多加問三題。
柒、結論
(一) 解題步驟 Q1：五張相乘
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Q2：乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
Q3：第二組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘 Q4：第三組乘積相同的組合中，最大數的倍數相乘
依循這個規則，最少問一題，最多問四題，一定可以成功解題。
(二) 提問次數
第一題問五張相乘的質因數分解
(1) 出現四種以上的質數，直接確定五種牌各有幾張；
(2) 出現三種質數，最多加問一題；
(3) 出現兩種質數，最多加問兩題；
(4) 出現一種質數，最多加問三題。
在這個提問上限之內，一定可以成功解題。
捌、研究展望
我們在以上研究中，已經將逐步分析出有規律的解題步驟，未來希望可以將步驟寫成電 腦程式，不用每一個牌組都由人工從重新觀察數字關係開始，而可以由電腦直接依照我們的 研究結果執行解題。
玖、參考資料及其他
一、 黎懿瑩、林壽福(2018)。終極密碼。國立臺灣師範大學數學教育中心。
二、 王心禹、陳樂謙、古晴文(2020)。積少、乘多-分析數字關係，推理原始密碼。第 60 屆 高雄市中小學科學展覽會國小組數學。
三、 翰林版國小數學第 11 冊(2016)。最大公因數與最小公倍數。翰林出版社。
【評語】 080410
1. 本作品從簡單的質因數、倍數等相關概念進行發想，循序漸 進地進行探究以尋求解答，研究過程符合科學探究的精神。
2. 作品中介紹的猜數字遊戲其規則相當有趣，可以訓練學生對 整數質因數分解以及最大公因數、最小公倍數的計算與了 解。
3. 作者提出四步驟解題法，是一個相當不錯的發現，建議作者 能在其是否為最少步驟這個議題上再多討論。另外，關於如 何提問與如何推理以致快速成功猜測出，建議應該要有更具 體明確的完整說明，再輔以例子驗證之。
排版\評語\080410-評語
