有限元素法理論

有限元素法在工業界的應用已經有超過一百年以上的歷史，發展上是從 Matrix Structural Analysis 的方法發展開始，首先是在以 Beam 及 Truss 為主的鋼構上應用。而 後將理論引用至各個物理領域，例如熱傳、流力等等，現在有限元素法已經可以應用到 很多物理領域。本研究為機構強度分析，將以結構力學為主作簡單的說明。

一懸臂樑，當其尾端受到外力作用時，此結構將產生變形，若將此外力移除時，其結 構將回到原來的位置，假設在變形量很小的情況下觀察並記錄尾端變形量與外力之關係 時，可以發現尾端變形量與外力之關係為線性關係，此一現象剛好符合虎克定律：

F=KX；其中 F 為外力，X 為位移，K 為結構剛性強度。

一懸臂樑尾端受力變形之狀況時，只要知道懸臂樑的截面以及長度與彈簧之剛性關 係，就可求得彈簧剛性，最後使用虎克定律來進行計算；若想知道懸臂樑中間點變形的 情形，只使用一根彈簧的簡化系統是無法達到目的，因此必須要將懸臂樑系統分解成由 兩根樑組合而成的新系統，若是每一根樑都能轉換成彈簧與質量點相聯接之系統關係，

則可以使用虎克定律來進行求解。事實上，在有限元素的計算法則，即是將這些小單元 轉換成彈簧與質量點相聯接之剛性系統，而後使用虎克定律來進行求解。這些小單元在 有限元素的專業名詞裡稱為元素（Element），而組合成元素的參考點稱為節點（Node）。

元素為有限元素法的核心單元，它是由節點組合而成，存在的形狀可以是點，例如質 量元素，或是線，例如樑元素、管元素，及面元素，體積元素為最基本之構成。

F F

F Element Node

在節點上，每一節點都有一些被附予的物理意義，為了完整的描述這些物理量，在節

入正確的大K矩陣中，就可以組成整個大K矩陣，以一個標準彈簧元素而言，其外力與

元素法的理論而言，當系統未施加任何邊界條件時，K矩陣有一特性為

1. 選用適當的元素。

2. 將整個物理空間隔點化形成元素，並賦予元素適當的屬性。

3. 設定邊界條件。

4. 選用解題的解法。

5. 組合形成系統方程式，並求解。

6. 解讀結果。

圖 43 ANSYS 軟體分析處理作業流程

前置設定

進入前處理器

選用適當的元素，定義元 素特性及材料性質

建立分析結構物的實體 模型

產生有限元素模型

離開前處理器

進入分析器

確定分析方式及解法

設定輸出入控制及求解

離開分析器 設定拘束邊界條件

設定外力或能量源的邊界條件

進入後處理器

輸出圖形或文字資訊

離後處理器

3.5.2.2 LS-DYNA 之有限元素法

ANSYS LS-DYNA 的前後處理工具為 ANSYS 之軟體介面，其求解器則採用 LSTC 公 司的LS-DYNA 計算核心，ANSYS LS-DYNA 為 ANSYS 與 LSTC 兩家公司的合作產品，

利用 LS-DYNA 的顯示法（Explicit method）求解器，可以處理各種極短時間內的線性 與非線性動態力學問題；非線性的動態問題採用傳統的隱式法（Implicit method），求解 過程容易發散，因此 ANSYS LS-DYNA 顯示法求解器為較佳的選擇。

當作用的時間極短且可量化，一般稱之為脈衝或衝擊問題，脈衝及衝擊最重要的假設 其作用面時間短且可量化，但是這只是理想化的情況，實際的狀況，通常只知道傳遞的 大小，並不知道如何將此介面相互傳遞的衝量量化，如果衝量的來源來自固體接觸，則 此問題可歸納到碰撞問題，結構遭到外物碰撞後，可能產生的物理現象同時包含了靜 態、動態、非線性及接觸介面，在做碰撞分析時，模型的假設一般皆按實際狀況設定，

將假設降到最少，所有的物理量及現象也都是同時考慮到非線性及暫態（時間因素）。

其方程式如下：

[ ] M { } X

[ ] C { } X

[ ] K { } X

{ } F ( ) t

{ } { } { }

^X

^X

^U

^t

{ } { } { }

^X

^X

^X

^t

將公式（15）及（16）代入（14），最後可消掉位移及速度未知數，以加速度的函數 取代，再經過整理後（14）式可簡化成公式（17）

[ ] ^M

{ }

^X

{ } ^F

( ) ^t