V {
α
=λ
1 1α
+λ
2α
2+"+λ
rα
rλ λ
1, 2,",λ
r∈R ．
}例 19 证明
α
1=(1,1,1,1) ,Τα
2 =(1,3,1, 0) ,Τα
3 =(1, 0,1, 0) ,Τα
4 =(1, 0, 0,1)Τ是R 的4 一个基．证明 由定义 8 及定理 2 的推论 1 知，只要证明
α α α α
1, 2, 3, 4线性无关即可．将
α α α α
1, 2, 3, 4写成矩阵A=(α α α α
1, 2, 3, 4)，则 1 1 1 11 3 0 0
3 0 1 1 1 0
1 0 0 1
= = − ≠
A ，
由定理 2 的推论 1 知，
α α α α
1, 2, 3, 4线性无关，故α α α α
1, 2, 3, 4是R 的一个基． 4本章小结
本章重点讨论了向量组的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的秩以 及向量组的极大无关组等，除了掌握一些判定定理外，还要掌握一些常用方法 和技巧．
一、线性表示
向量
β
能用向量组α α
1, 2,",α
m线性表示⇔ 矩阵A=(α α
1, 2,",α
m)与矩阵1 2
( , , , , )
= " m
B
α α α β
的 秩 相 等 ， 而 表 示 式 唯 一⇔α α
1, 2,",α
m 线 性 无 关 或 ( )=R A m ．
具体方法：用待定系数法将
β
设为向量组α α
1, 2,",α
m的线性组合，列出方程 组，解出待定系数，若无解，则不能线性表示．相关结论：
1．零向量是任何一组向量的线性组合．
2．向量组
α α
1, 2,",α
m中的任一向量α
j(1≤ ≤j m)都是此向量组的线性组合．3．任何一个n 维向量
α
=( ,a a1 2,",an)T都是 n 维基本单位向量组T 1=(1, 0,", 0) ,
e e
2 =(0,1,", 0) ,T ",e
n =(0, 0,",1)T的线性组合，且T 1 2
( , , , )
= a a " an
α
= a1e
1+a2e
2+"+ ane ．
n 二、判断向量组的线性相关性的主要方法有：1．定义法：假设有数k k1, 2,",k ，使 m
1 1+ 2 2+"+ m m= k
α
kα
kα 0
成立，由向量相等，列出齐次线性方程组，判断其是否存在非零解．若存在非零 解，则向量组线性相关，若不存在非零解，则向量组线性无关．
98
线性 代数 （第二 版 ）
2．反证法：此法是讨论向量组线性相关性的重要方法．
3．综合法：可以结合矩阵的秩进行讨论，特别是当向量的个数与维数相等时，
可根据行列式的值进行判断；利用向量组的等价性进行讨论．
三、向量组的等价性
1．任一向量组和它的极大无关组等价．
2．向量组的任意两个极大无关组等价．
3．两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同．
4．向量组
α α
1, 2,",α
m的任意两个极大无关组含向量的个数相同．四、求向量组的秩和极大无关组的基本方法：
1．将向量组的秩，转化为矩阵的秩进行讨论：将向量组写成矩阵形式，对其 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数即为向量组的秩，非零行对 应的向量便组成一个极大无关组；若将行阶梯形矩阵再施行初等行变换化为行最 简形矩阵，就可将其他向量用极大无关组线性表出．
2．利用等价向量组具有相同的秩进行讨论．
习题 3
1．设
α
1=(1,1, 0) ,Τα
2 =(0,1,1) ,Τα
3 =(3, 4, 0)Τ，求α α
1− 2及3α
1+2α
2−α
3． 2．设3(α α
1− )+2(α
2+α
)=5(α
3+α
)，其中1=(2,5,1,3) ,Τ 2 =(10,1,5,10) ,Τ 3=(4,1, 1,1)− Τ
α α α
，求α
．3．举例说明下列各命题是错误的：
（1）若向量组
α α
1, 2,",α
m是线性相关的，则α
1可由α
2,",α
m线性表示．（2）若有不全为零的数
λ λ
1, 2,",λ
m，使1 1+ 2 2+"+ m m+ 1 1+ 2 2+"+ m m
λ α λ α λ α λ β λ β λ β
= 0 ， 成立，则α α
1, 2,",α
m线性相关，β β
1, 2,",β
m亦线性相关．（3）若只有当
λ λ
1, 2,",λ
m全为零时，等式1 1+ 2 2+"+ m m+ 1 1+ 2 2+"+ m m=
λ α λ α λ α λ β λ β λ β 0
， 才能成立，则α α
1, 2,",α
m线性无关，β β
1, 2,",β
m亦线性无关．（4）若
α α
1, 2,",α
m线性相关，β β
1, 2,",β
m亦线性相关，则有不全为零的数1, 2,", m
λ λ λ
，使1 1+ 2 2+"+ m m=
λ α λ α λ α 0
与λ
1 1β
+λ
2β
2+"+λ
mβ
m =0
同时成立．4 ． 设
β
1=α α β
1+ 2, 2 =α
2+α β
3, 3=α
3+α β
4, 4 =α
4+α
1 ， 证 明 向 量 组1, 2, 3, 4
β β β β
线性相关．5．设
β
1=α β
1, 2=α α
1+ 2,",β
r =α α
1+ 2 +"+α
r，且向量组α α
1, 2,",α
r线 性无关，证明向量组β β
1, 2,",β
r线性无关．第
3章 向量 组的 线 性 相关 性
6．（1）已知向量组
α
1=(1, 2, 1,1),−α
2 =(2, 0, , 0),kα
3=(0, 4,5, 2)− − 的秩为 2，求 k 的值；（2）已知
α
1=(1, 0,1, 2),α
2=(0,1,1, 2),α
3 = −( 1,1, 0, ),aα
4 =(1, 2, , 6),aα
5=(1,1, 2, 4) ， a 取何值时，向量组的秩为3
，求其极大线性无关组并用它表示其余向量.7．利用初等变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组：
（1）
25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
； （2）
1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝ − ⎠
．
8．求下列向量组的秩，并求一个极大无关组：
（1） 1 2 3
1 9 2
2 100 4
, ,
1 10 2
4 4 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟− =⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α α α
；（2）
α
1T =(1, 2,1,3),α
2T =(4, 1, 5, 6),− − −α
3T =(1, 3, 4, 7)− − − ．9．设
α α
1, 2,",α
n是一组 n 维向量，已知 n 维基本单位向量e e
1, 2,",e 能由它
n 们线性表示，证明α α
1, 2,",α
n线性无关．10．设
α α
1, 2,",α
n是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n 维向量都可由它们线性表示．
11．设向量组 A：
α α
1, 2,",α
s的秩为r ，向量组 B：1β β
1, 2,",β
t的秩为r ，2 向量组 C：α α
1, 2,",α
s，β β
1, 2,",β
t的秩为r ，证明 31 2 3 1 2
max{ , }r r ≤ ≤r r +r ．
12．设向量组 B：
β β
1, 2,",β
r能由向量组 A：α α
1, 2,",α
s线性表示为1 2 1 2
(
β β
, ,",β
r)=(α α
, ,",α
s)K，其中 K 为s r 矩阵，且 A 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 ( )× R K =r ． 13．设V1={x =( ,x x1 2,",xn)T x x1, 2,",xn∈
R 满足
x1+"+xn=0}，2 =
V {x =( ,x x1 2,",xn)T x x1, 2,",xn∈
R 满足
x1+"+xn =1}， 问V 、1 V 是不是向量空间？为什么？ 214．试证：由
α
1=(0,1,1) ,Tα
2 =(1, 0,1) ,Tα
3 =(1,1, 0)T所生成的向量空间就是R ．3 15．由α
1=(1,1, 0, 0) ,Tα
2=(1, 0,1,1)T所生成的向量空间记为V ，由1β
1=(2, 1,− 3,3) ，Tβ
2=(0,1, 1, 1)− − T所生成的向量空间记为V ，试证2 V1= V ． 216．验证