第 3 章 向量组的线性相关性
本章学习目标
本章主要介绍 n 维向量的概念；向量的线性组合与线性表示和向量组的线性 相关性；向量组的秩、向量组的极大线性无关组及向量空间的概念，为进一步研 究线性方程组的解奠定了非常重要的理论基础．通过本章的学习，重点掌握以下 内容： z n 维向量的概念及基本运算，向量的线性组合与线性表示的基本概念 z 向量组的线性相关性，并会判断其线性相关性 z 向量组的秩和向量组的极大线性无关组的概念，并会求其秩和极大线性 无关组 z 向量空间的概念及向量空间的维数和基的概念，会判断向量空间，并会 求其维数和基3.1 n 维向量
3.1.1 n 维向量的定义 在空间解析几何中，三个有序数组 x，y，z 与空间的一点 P 一一对应，记为 ( , , ) P x y z ，起点为坐标原点、终点为 P 的向量 JJJG OP 称为向径，其坐标表示式为 OP=x +y +z JJJG i j k ， 即 JJJGOP ={ , ,x y z } （或 JJJG OP =( , ,x y z )）， 其中 , ,i j k 分别为沿x 、 y 和 z 轴方向的单位向量．这样三维空间中的向量与三个 实数之间就建立了一一对应的关系，下面将三维空间中的向量推广到 n 维空间． 定义 1 由 n 个数组成的有序数组( ,a a1 2,",an)，称为一个 n 维向量，记为 α，即 α =( ,a a1 2,",an)， 其中a 称为向量iα
的第 i (i=1, 2,", )n 个分量（或坐标）． 分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量（本章只讨 论实向量）． n 维向量可以写成一行α =( ,a a1 2,",an)，称为行向量，即1× n 行矩阵；也可第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 以写成一列
α
= 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # n a a a ，称为列向量，即n×1列矩阵． 列向量通常用黑体小写字母 , , ,a bα β 等表示，行向量用其转置aT,bT,α βT, T等 表示． 若没有指明是行向量还是列向量时，则默认为是列向量（同维数的行、列向 量看成是不同的向量）． n 维向量是解析几何中向量的推广，但当n>3时，已没有直观的几何意义了， 只是沿用几何上的术语． 分量全为零的向量，称为零向量，记作 0，即 0=(0, 0,", 0)T． 向量α T 1 2 ( , , , ) = a a " an 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量， 记为−α，即 −α T 1 2 ( , , , ) = − −a a " −an ． 设 n 维向量α T 1 2 ( , , , ) = a a " an ，β T 1 2 ( , , , ) = b b "bn ，若ai =bi (i=1, 2,", )n ， 则称向量α与β 相等，记为α=β ，即 T 1 2 ( ,a a ,",an) = ( ,b b1 2,",bn)T，当且仅当 ( 1, 2, , ) = = " i i a b i n ． 同维数的行向量或列向量所组成的集合称为（行或列）向量组． 例如，一个m n 矩阵 × 11 12 1 21 22 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " # # # " n n m m mn a a a a a a A a a a 的每一行(a ai1, i2,",ain) (i=1, 2,", )m 都是一个 n 维行向量，由 A 的 m 个 n 维行 向量 T 1 2 ( , , , ) ( 1, 2, , ) = " = " i a ai i ain i m α ， 组 成 的 向 量 组 T T T 1, 2,", m α α α 称 为 矩 阵 A 的 行 向 量 组 ； A 的 每 一 列 1 2 j j mj a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # (j=1, 2,", )n 都是一个 m 维列向量，由 A 的 n 个 m 维列向量76 线性 代数 （第二 版 ） 1 2 ( 1, 2, , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # j j j mj a a j n a α ， 组成的向量组α α1, 2,",αn称为矩阵 A 的列向量组． 由分块矩阵的概念，可将 A 表示为 T 1 T 2 1 2 T ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # n m A α α α α α α ； 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵．例如， n 个 m 维列向量 组成的向量组α α1, 2,",αn可以构成一个m n 矩阵× (α α1, 2,",αn)=A；m 个 n 维行 向量组成的向量组 T T T 1 , 2,", m α α α 也可以构成一个m n 矩阵 × T 1 T 2 T ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # m B α α α ， 由此可知，矩阵与向量组之间是一一对应的． 3.1.2 n 维向量的线性运算 因为 n 维列向量是 n
×
1 矩阵，n 维行向量是 1×
n 矩阵，所以矩阵的加法和数 乘运算及运算规律，都适用于n
维向量． 定义 2 设 n 维向量α T 1 2 ( , , , ) = a a " an ，β = T 1 2 ( ,b b ,",bn) ， k 为任意实数， 则两向量的加法α+β 及数与向量的乘法（数乘） kα分别定义为 + = α β (a1+b ,1 a2+b2,", T ) + n n a b ， = kα (ka ,1 ka2,", T ) n ka ． 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算，其运算规律如下： （1） +α β β α= + ； （2） ( + ) + =α β γ α+ (β γ+ )； （3）α+0=0+α=α； （4）α+ (−α)=0； （5）1⋅ =α α； （6） ( )kl α= (k lα)； （7） (k+l)α= kα+ lα；第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 （8） (kα β+ )=kα+kβ ． 其中 , ,α β γ 都是 n 维向量， ,k l∈ R ． 例 1 设向量 T T (1, 0, 2,3) , ( 2,1, 2, 0) = = − − α β ，求满足α+2β −3γ = 0的向量γ ． 解 由α+2β−3γ = 0解出γ ，即 1( 2 ) 3 = + γ α β 1[(1, 0, 2,3)T 2( 2,1, 2, 0) ]T 3 = + − − 1[(1, 0, 2,3)T ( 4, 2, 4, 0) ]T 3 = + − − ( 1, ,2 2,1)T 3 3 = − − ．
3.2 向量组的线性相关性
3.2.1 向量组的线性组合 定义 3 设有 n 维向量β α α, 1, 2,",αm，若存在一组数k k1, 2,",k ，使 m 1 1 2 2 =k +k +"+km m β α α α 或 1 2 1 2 ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # m m k k k β α α α ， 则称β 为向量组α α1, 2,",αm的线性组合，或称β 可由向量组α α1, 2,",αm线性表 示（表出），k k1, 2,",k 称为此线性组合的组合系数． m 例 2 设 T 1=(1, 2,3) α ， T 2 =(2,3,1) α ， T 3=(3,1, 2) α ， T (0, 4, 2) = β ，试问β 能 否由α α α1, 2, 3线性表示？若能，写出具体表示式． 解 由 β =k1 1α +k2α2+k3α3， 即 1 2 3 0 1 2 3 4 2 3 1 2 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k k k ， 由此得非齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2. + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ k k k k k k k k k 因为方程组的系数行列式78 线性 代数 （第二 版 ） 1 2 3 2 3 1 18 0 3 1 2 = = − ≠ D ， 由克拉默法则知，方程组存在唯一解，求其解为k1=1,k2 =1,k3= −1， 所以 β =α α1+ 2−α3， 即β 能由α α α1, 2, 3线性表示． 例 3 设α=(2, 3, 0),− β =(0, 1, 2),− γ =(0, 7, 4)− − ．试问γ 能否由α，β 线性 表示？ 解 由 T T T 1 + 2 = kα k β γ ， 即 1 2 2 0 0 3 1 7 0 2 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜− +⎟ ⎜ ⎟ ⎜− = − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k k ， 由此得非齐次线性方程组 1 1 2 2 2 0, 3 7, 2 4. k k k k = ⎧ ⎪− − = − ⎨ ⎪ = − ⎩ 由方程（1）得k1=0，由方程（3）得k2 = −2，但k1=0，k2 = −2不满足方程（2）， 即方程组无解，所以，γ 不能表示成α，β 的线性组合． 由例 2、3 知，若将非齐次线性方程组 Ax = b 中的系数矩阵 A 看成是由列向量 组成的向量组，则方程组 = Ax 1 2 1 2 ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # n n x x x α α α b ， 等价于向量形式 1 1+ 2 2+"+ n n = xα xα xα b ， 因此，讨论向量 b 能否由向量组α α1, 2,",αn线性表示，就等价于讨论非齐次线性 方程组Ax=b 是否有解，其中A=(α α1, 2,",αn)． 3.2.2 向量组的线性相关与线性无关 向量β 可由向量组α α1, 2,",αm线性表示，说明向量组β α α, 1, 2,",αm中有一 个向量能由其余向量线性表示，而向量组 1 2 3 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e e e （1） （2） （3）
第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 中任一向量都不能由其他两个向量线性表示．一个向量组中有没有某个向量能由 其余向量线性表示，是向量组的一种属性，称为向量组的线性相关性． 定义 4 设有 n 维向量组α α1, 2,",αm，若存在一组不全为零的数k k1, 2,",k ，m 使 1 1+ 2 2+"+ m m= k α k α k α 0， (3.2.1） 则 称 向 量 组α α1, 2,",αm线 性 相 关 ， 否 则 称 此 向 量 组 线 性 无 关 ． 换 言 之 ， 若 1, 2,", m α α α 线性无关，则（3.2.1）式成立当且仅当 1= 2 ="= m=0 k k k ． 由此定义可知： （1）仅含一个零向量的向量组必线性相关．因为，对任何k≠ ，都有0 k0=0 ； （2）仅含一个非零向量α的向量组必线性无关．因为，要使kα=0，必有 0 = k ； （3）任何包含零向量在内的向量组必线性相关．因为，若α1= 0，便有 1 2 1⋅α + ⋅0 α +"+ ⋅0 αm=0， 所以α α1, 2,",αm线性相关． 3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件 定理 1 向量组α α1, 2,",αm (m ≥2)线性相关的充分必要条件是：向量组 1, 2,", m α α α 中至少有一个向量可由其余m−1个向量线性表示． 证明 充分性： 设向量组α α1, 2,",αm中有一个向量，不妨设αm可由其余m−1个向量线性表 示，即 存在一组数λ λ1, 2,",λm−1，使得 = m α λ1α1 +λ2α2 + +" λm−1αm−1， 或 1 λ α1 +λ2α2 + +" λm−1αm−1+ −( 1)αm= 0 ， 由于λ λ1, 2,",λm−1, 1− 这 m 个数不全为 0（至少 1 0− ≠ ），所以α α1, 2,",αm线性 相关． 必要性： 设α α1, 2,",αm线性相关，则存在一组不全为零的数k k1, 2,",k ，使得 m 1 1+ 2 2+"+ m m = k α kα k α 0， 因k k1, 2,",k 中至少有一个不为零，不妨设m k1≠0，则有 3 2 1 2 3 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ + −⎜ ⎟ + + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " ⎝ ⎠ m m k k k k k k α α α α ， 即α1可由α α2, 3,",αm线性表示．
80 线性 代数 （第二 版 ） 特别地，两个向量α α1, 2线性相关（即两向量平行）的充分必要条件是α α1, 2的 对应分量成比例，即α1=λα2或α2= μα1 ( ,λ μ∈ R 中至少有一个成立，其几何意) 义为α α1, 2共线；三个向量线性相关的几何意义是它们共面． 判断向量组 T 1 2 ( , , , ) ( 1, 2, , ) = " = " i a ai i ani i m α 的线性相关性可归结为齐次线性方程组 1 2 1 2 ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # m m x x x α α α x1 1α +x2α2+"+xmαm= 0 ， (3.2.2） 即 Ax=0 是否有非零解． 一般地，判断向量组α α1, 2,",αm线性相关的基本方法和步骤为： （1）假设存在一组数x x1, 2,",x ，使 m 1 1+ 2 2+ +" m m= xα xα x α 0； （2）利用向量的线性运算和向量相等的定义，找出含未知数x x1, 2,",x 的m 齐次线性方程组； （3）判断齐次线性方程组有无非零解； （4）若齐次线性方程组有非零解，则α α1, 2,",αm线性相关；若只有零解， 则α α1, 2,",αm线性无关． 例 4 讨论向量组 1 2 3 2 1 3 3 , 2 , 2 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α 的线性相关性． 解法 1 设有一组数x x x ，使 1, 2, 3 1 1+ 2 2 + 3 3= xα xα xα 0， 即 1 2 3 2 1 3 0 3 2 2 0 1 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x ， 得齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 3 2 2 0, 0. x x x x x x x x x + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ (3.2.3) 由于方程（1）加方程（3）正好等于方程（2），所以（2）可以去掉，得同解 （1） （2） （3）
第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 方程组 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 0. x x x x x x + + = ⎧ ⎨ + − = ⎩ 将（1）和（3）两个方程中的
x
3移到方程的右边，得 1 2 3 1 2 3 2 3 , . + = − ⎧ ⎨ + = ⎩ x x x x x x 令x3 =1，求出x1= −4，x2 =5，故方程组的一组解为x1= −4，x2 =5，x3=1． 从而 1 2 3 4 5 − α + α +α = 0， 所以α α α1, 2, 3线性相关． 解法 2 设有一组数x x x ，使 1, 2, 3 1 1+ 2 2 + 3 3= xα xα xα 0， 则有方程组(3.2.3)，因其系数行列式 2 1 3 2 1 5 3 2 2 3 1 5 0 1 1 1 1 0 0 − = = − = − D ， 所以方程组(3.2.3)有非零解，从而α α α1, 2, 3线性相关． 例 5 讨论 n 维向量组 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " # # n # e e e 的线性相关性，通常称e e1, 2,",e 为基本单位向量组． n 解 设有一组数k k1, 2,",k ，使 n 1 1+ 2 2+"+ n n= ke k e k e 0， 即 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " # # n # # k k k ， 得 T 1 2 ( ,k k ,",kn) =0 ，从而k1=k2 ="=kn =0， 故e e
1,
2,
"
,
e
n线性无关． 如果所讨论的向量组是行向量组，为了便于写出方程组，也可以写成列向量 的形式． 例 6 讨论向量组 （1） （3）82 线性 代数 （第二 版 ） 1=(2,1, 0), 2=(1, 2,1), 3 =(0,1, 2) α α α 的线性相关性． 解 设有一组数
k k k
1,
2,
3，使 T T T 1 1 + 2 2 + 3 3 = kα k α kα0
， 即 1 2 3 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k k k ， 于是有 1 2 1 2 3 2 3 2 0, 2 0, 2 0. + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + = ⎩ k k k k k k k 因为方程组的系数行列式 2 1 0 1 2 1 4 0 0 1 2 = ≠ ， 所以方程组只有零解，即k1=k2 =k3=0，从而α α α1, 2, 3线性无关． 例 7 设向量组α α1, 2,",αn线性无关，讨论向量组β1=α α1+ 2, β2=α2+α3, , " βn−1=αn−1+α βn, n =αn+α1的线性相关性． 解 设有一组数x x1, 2,",x ，使 n 1 1+ 2 2+"+ n n = xβ x β x β 0， 即 x1(α α1+ 2)+x2(α2+α3)+"+xn(αn+α1)=0， 从而有 1 1 1 2 2 1 (x +xn)α +(x +x )α +"+(xn− +xn)αn =0， 由α α1, 2,",αn线性无关，得齐次线性方程组 1 1 2 1 0, 0, 0, − + = ⎧ ⎪ + = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + = ⎩ # n n n x x x x x x 将其系数行列式按第一行展开得 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 ( 1) 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 + = = + − " " " # # # # # " n A ． 当 n 为奇数时，A= ≠2 0，因此( ,x x1 2,",xn)T =0 ，故β β1, 2,",βn线性无关；第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 当 n 为偶数时， A =0，因此 T 1 2 ( ,x x ,",xn) ≠0 ，故β β1, 2,",βn线性相关． 例 8 讨论下列向量组的线性相关性： （1） 1 2 3 1 2 3 2 5 4 , , 0 1 1 3 0 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α ； （2） 1 2 3 4 3 2 5 3 4 5 0 3 , , , 2 0 1 3 0 5 4 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = = ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α α ． 解 （1）设有数x x x ，使 1, 2, 3 1 1+ 2 2 + 3 3= xα xα xα 0， 即有 1 2 3 1 2 3 0 2 5 4 0 0 1 1 0 3 0 2 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x ， 从而得齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 0 2 5 4 0 0 1 1 0 3 0 2 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x ， 即 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 3 0, 2 5 4 0, 0, 3 2 0. x x x x x x x x x x + + = ⎧ ⎪− + + = ⎪ ⎨ − + = ⎪ ⎪ + = ⎩ 由前三个方程构成的方程组的系数行列式 1 2 3 1 2 3 9 10 2 5 4 0 9 10 19 0 1 1 0 1 1 0 1 1 − = = = ≠ − − − ， 齐次线性方程组只有零解，所以，向量组α α α1, 2, 3线性无关． （2）设有数x x x x ，使 1, 2, 3, 4 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4 = xα xα xα xα 0，
84 线性 代数 （第二 版 ） 即有 1 2 3 4 3 2 5 3 0 4 5 0 3 0 2 0 1 3 0 0 5 4 1 0 x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 从而得齐次线性方程组 1 2 3 4 3 2 5 3 0 4 5 0 3 0 2 0 1 3 0 0 5 4 1 0 x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 系数矩阵 A 的行列式 3 1 1 3 4 2 2 3 3 2 5 3 1 2 4 0 1 2 4 0 2 4 5 0 3 0 5 2 3 0 5 2 3 2 0 1 3 2 2 0 1 3 0 4 7 3 5 3 2 5 0 5 4 1 0 0 2 2 r r r r A r r r r + + − − − − − − − = − − − + − − − − − − − − − − 3 2 3 3 2 4 3 4 1 2 4 0 1 2 4 0 1 1 2 4 0 4 0 1 5 6 0 1 5 6 270 1 5 6 0 1 0 4 7 3 0 0 27 27 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 r r r r r r r r × + + − − − − − − = ⎛ ⎞ − − − − × −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ， 该齐次线性方程组有非零解，所以，向量组α α α α1, 2, 3, 4线性相关．
3.3 线性相关性的判别定理
定理 2 向量组α α1, 2,",αm线性相关的充分必要条件是（(3.2.2)有非零解）它 所构成的矩阵A=(α α1, 2,",αm)的秩小于向量个数 m ；该向量组线性无关的充分 必要条件是 ( )R A =m ． 推论 1 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成的方阵的行列式 不等于零． 推论 2 m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m （即n<m ） 时一定线性相关． 证 明 m 个 n 维 向 量α α1, 2,",αm 构 成 的 矩 阵 A=(α α1, 2,",αm) ， 由 于 ( ) R A ≤ ，当n n<m 时，有R A( )≤n<m，故α α1, 2,",αm线性相关． 特别地，n+ 个 n 维向量必线性相关． 1 例 9 讨论下列向量组的线性相关性： （1） 1 (1,3) , 2 (2,9) , 3 (0, 1) Τ Τ Τ = = = − α α α ；第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 （2） 1 2 3 1 2 3 2 5 4 , , 0 1 1 3 0 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α ． 解 （1）由于向量组所含向量的个数大于其维数，故α α α1, 2, 3线性相关； （2）将α α α1, 2, 3构成的矩阵施行初等行变换，有 2 3 4 2 1 3 1 4 3 3 2 3 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 4 0 9 10 0 0 6 0 1 1 0 1 1 0 1 1 3 0 2 0 6 7 0 0 13 r r r r r r r r r A +− +− + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 3 4 3 1 6 13 1 2 3 0 1 1 0 0 1 0 0 0 r r r r r ↔ × + ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 因为 ( ) 3R A = ，等于向量个数，所以，向量组α α α1, 2, 3线性无关． 定理 3 （1）若α α1, 2,",αr线性相关，则α1,",α αr, r+1,",αm也线性相关； （2）线性无关的向量组的任何部分组必线性无关． 证明 （1）因为α α1, 2,",αr线性相关，所以存在一组不全为零的数k k1, 2,",k ，r 使 1 1+ 2 2+"+ r r = kα kα kα 0， 从而 1 1+ 2 2+"+ r r +0 r+1+"+0 m= kα k α kα α α 0， 由于k k1, 2,",kr, 0,", 0这 m 个数不全为零，故α α1, 2,",αm线性相关． （2）留给读者自行证明． 此定理（1）说明线性相关的向量组添加几个向量后所得的向量组仍线性相关 （部分相关
⇒
整体相关）；（2）说明线性无关的向量组去掉几个向量后所得的向 量组（若还有剩余的向量）仍线性无关（整体无关⇒
部分无关）． 例 10 讨论由向量α =(1, 2, 2,1)，β=(2, 4, 4, 2)及γ =(0, 2, 4,5)所组成的向量组 的线性相关性． 解 显然， 1 2 = α β，所以 ,α β线性相关，由定理 2（1）知， , ,α β γ 线性相关． 定理 4 设α α1, 2,",αm线性无关，而α α1, 2,",α βm, 线性相关，则β 能由 1, 2,", α α αm线性表示，且表示式唯一． 证明 因为α α1, 2,",α βm, 线性相关，所以存在一组不全为零的数k1,",km, 1 m k + ，使86 线性 代数 （第二 版 ） 1 1+"+ m m+ m+1 = kα k α k β 0， 假设 km+1=0，则k k1, 2,",k 不全为零，且有 m 1 1+ 2 2+"+ m m= kα k α k α 0， 这与α α1, 2,",αm线性无关矛盾，所以km+1≠0，从而 1 2 1 2 1 1 1 + + + = − − −"− m m m m m k k k k k k β α α α ， 即β 可由α α1, 2,",αm线性表示． 再证表示式的唯一性． 设有两个表示式 = β λ α1 1+ λ α2 2+"+ λ αm m及β = μ α1 1+ μ α2 2+"+ μ αm m， 两式相减，得 1 1 (λ μ− ) α1+ (λ2−μ2)α2+"+ (λm−μm) αm=0， 因为α α1, 2,",αm线性无关，所以 0 ( 1, 2, , ) − = = " i i i m λ μ ， 即 λi =μi (i=1, 2,", )m ， 从而证明了表示式的唯一性． 定理 5 设有两个向量组 A：αj=(a1j,a2j,",anj)Τ (j=1, 2,", )m B： 1 2 ( , , , )Τ ( 1, 2, , ) = " = " n j ap j ap j ap j j m β 其中p p1 2"p 是自然数1, 2,n " n 的某个确定的排列，则向量组 A 与向量组 B 的线性, 相关性相同． 证明 向量组 A 线性相关的充分必要条件是方程组 1 1+ 2 2+"+ m m = xα xα x α 0， 即 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " # # # # m m m n n nm a a a a a a x x x a a a (3.3.1) 有非零解． 向量组 B 线性相关的充分必要条件是方程组 1 1+ 2 2+"+ m m= xβ x β x β 0， 即 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " # # # # n n n p p p m p p p m m p p p m a a a a a a x x x a a a (3.3.2)
第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 有非零解． 由于p p1 2"p 是自然数1, 2,n " n 的某个确定的排列，方程组(3.3.1)和(3.3.2)只, 是其中方程的次序不同而已，所以这两个方程组是同解的．因而若向量组Α 线性 无关，则向量组 B 也线性无关；若向量组 A 线性相关，则向量组 B 也线性相关． 定理 6 设有两个向量组 Α ：αj =(a1j,a2j,",arj)Τ (j=1, 2,", )m ； Β ：βj =(a1j,a2j,",arj,a(r+1)j)Τ (j=1, 2,", )m ， 即向量αj加上一个分量得到向量βj．若向量组 A 线性无关，则向量组 B 也线性 无关；反之，若向量组 B 线性相关，则向量组 A 也线性相关． 证明 设向量组 B 线性相关，则存在一组不全为零的数k k1, 2,",km，使 1 1+ 2 2+"+ m m= kβ k β k β 0， 即 11 12 1 1 2 1 2 ( 1)1 ( 1)2 ( 1) 0 0 0 m m r r rm r r r m a a a k k k a a a a + a + a + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ # # # # " ， 取其前
r
个等式，有 11 12 1 1 2 1 2 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ # # " # # m m r r rm a a a k k k a a a ， 即 1 1+ 2 2+"+ m m= kα k α k α 0， 其中k k1, 2,",k 不全为零，从而证得向量组m α α1, 2,",αm线性相关． 由定理 6 的证明过程知，αj添上 k 个分量后得到向量βj，结论仍然成立．又 由定理 5 可知，添上的 k 个分量可放在任何位置上．所以，很容易由低维数的线性 无关向量组，得到高维数的线性无关向量组． 例如，由e1=(1, 0, 0),e2=(0,1, 0),e3=(0, 0,1)线性无关，可知向量组 1=(1, 0, 0,3, 2, 1,5),− 2=(0,1, 0, 1, 2,1,3),− − 3 =(0, 0,1,3, 2,1, 2) α α α 也线性无关．3.4 向量组的秩
3.4.1 向量组等价的概念 定义 5 设两个向量组Α ：α α1, 2,",αr和Β ：β β1, 2,",βs． 若向量组 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表示，则称向量组 A 可由向量88 线性 代数 （第二 版 ） 组 B 线性表示；若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价． 设向量组 A 可由向量组 B 线性表示，即 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . = + + + ⎧ ⎪ = + + + ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = + + + ⎩ " " # " s s s s r r r sr s k k k k k k k k k α β β β α β β β α β β β (3.4.1) 由矩阵乘法，有 1 2 1 2 ( , , , ) ( 1, 2, , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " # i i i s si k k i r k α β β β ， 于是(3.4.1)式可表示为 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " " " # # # " r r r s s s sr k k k k k k k k k α α α β β β ． (3.4.2) 设矩阵A=(α α1, 2,",αr)，B=(β β1, 2,",βs)，K=(kij s r)× ，则可将(3.4.2) 式写成矩阵形式 A=BK， (3.4.3) 可见向量组 A 由向量组 B 线性表示可简记为(3.4.3)所示的矩阵形式；反之若 有(3.4.3)的矩阵形式，则可将矩阵 A 的列向量看作是矩阵 B 的列向量的线性表示． 等价向量组具有下面三个性质： （1）自反性：向量组 A 与自身等价； （2）对称性：若向量组 A 与向量组 B 等价，则向量组 B 与向量组 A 等价； （3）传递性：若向量组 A 与向量组 B 等价，向量组 B 与向量组 C 等价，则 向量组 A 与向量组 C 等价． 在数学中，把具有上述三个性质的关系称为等价关系． 3.4.2 极大线性无关组与向量组的秩 定义 6 设向量组 A 的一个部分组α α1, 2,",αr满足 （1）α α1, 2,",αr线性无关； （2）向量组 A 中每一个向量均可由α α1, 2,",αr线性表示， 则称α α1, 2,",αr是向量组 A 的一个极大线性无关组，简称极大无关组；极大 线性无关组所含向量的个数 r 称为向量组 A 的秩，向量组α α1, 2,",αm的秩记为 1 2 ( , ,", m) Rα α α ．
第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 由定义 6 可证明： （1）只含零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为
0
； （2）任何非零向量组必存在极大无关组； （3）向量组的极大无关组与向量组本身等价； （4）线性无关向量组的极大无关组为其本身（线性无关向量组的秩等于它所含 向量的个数）． 例 11 求向量组 1 2 3 2 1 3 3 , 2 , 2 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α 的一个极大无关组． 解 由例 4 知α α α1, 2, 3线性相关，下面讨论其中任意两个向量α α1, 3的线性相 关性． 设有数k k ，使1, 2 k1 1α +k2α3 =0，即 1 2 1 2 1 2 2 3 0, 3 2 0, 0. + = ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ − = ⎩ k k k k k k 因为由前两个方程构成的齐次线性方程组的系数行列式 2 3 0 3 2 ≠ ， 故方程组有唯一解，即k1=k2=0，所以α α1, 3线性无关． 同理可验证α α1, 2；α α2, 3也线性无关．可取α α1, 3作为原向量组的一个极大 无关组，也可取α α1, 2或α α2, 3作为原向量组的极大无关组． 一般来说，向量组的极大无关组不是唯一的，但可以证明每一个极大无关组 所含向量的个数是唯一的．求向量组的极大无关组的意义之一在于：当用向量组 表示方程组时，其极大无关组中的向量对应方程组中那些独立的方程，而独立的 方程构成的方程组与原方程组同解． 当一个向量组线性相关时，其对应的方程组中一定有某个方程是其余方程 的线性组合，这个方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性相关 的；当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程）是线性无关（或线 性独立）的． 例12 由全体 n 维向量构成的向量组记为 n R ，求R 的一个极大无关组及n 其秩． 解 由本章例 5 知， n 维单位向量组 T 1=(1, 0,", 0) e ， T 2 =(0,1,", 0) e ，…， T (0, 0, ,1) = " n e 线性无关，由定理 2 的推论 2 知， n R 中的任意n+1个向量（任意90 线性 代数 （第二 版 ） 向量 T 1 2 ( , , , ) = a a " an α = a1 e1 +a2 e2+"+ an e ）都线性相关．因此，向量组n 1, 2,", n e e e 是R 的一个极大线性无关组，且n R 的秩等于 n ． n 显然， n R 的极大无关组很多，任意n 个线性无关的 n 维向量构成的向量组都 是 n R 的极大无关组． 定理 7 若向量组 A 的秩为 r，向量组 B 的秩为 s，且向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r≤ ． s 证明 设向量组 A 的极大线性无关组为 0 A ：α α1, 2,",αr； 向量组 B 的极大线性无关组为 0 B ：β β1, 2,",βs． 因为向量组A 能由向量组 A 线性表示（0 A 与 A 等价）0 ，向量组 A 可由向量 组 B 线性表示（定理中条件），向量组 B 能由向量组B 线性表示（0 B 与 B 等价）0 ， 故向量组A 能由向量组0 B 线性表示（传递性）0 ，即存在矩阵K=(kij s r) × ，使 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " " " # # # " r r r s s s sr k k k k k k k k k α α α β β β ， 假设r>s ，则R K( )≤s<r，即方程组 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # r x x K x 0 有非零解．设它的一组非零解为 1= 1, 2= 2,", r = r x λ x λ x λ ， 则 1 1+ 2 2+"+ r r λα λα λα =(α α1, 2,",αr) 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # r λ λ λ 1 2 ( , , , ) = β β " βs K 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # r λ λ λ 1 2 =(β β, ,",βs) 0=0 ， 这与α α1, 2,",αr线性无关矛盾，从而有 r≤ ． s
第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 推论 等价向量组的秩相等． 证明 设向量组 A 与向量组 B 的秩分别为 r 和 s ，由于向量组 A 和向量组 B 等价，即这两个向量组可以互相线性表示，由定理 7 知 r≤ 与 ss ≤ 同时成立，r 所以r=s ． 特别地，等价的线性无关向量组所含向量个数相等． 由于一个向量组的不同极大无关组之间等价，因而它们所含向量个数均相等， 由此也证明了一个向量组的秩是唯一的． 3.4.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 设m n 矩阵 × 11 12 1 21 22 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " # # # " n n m m mn a a a a a a A a a a ， 称矩阵 A 的 n 个列向量所构成的向量组的秩为 A 的列秩； A 的 m 个行向量所构成 的向量组的秩为 A 的行秩． 矩阵的秩与其行、列秩的关系有如下定理： 定理 8 矩阵 A 的秩等于其行秩，也等于其列秩． 证明 设A=(α α1, 2,",αm)， ( )R A =r ，并设 r 阶子式Dr ≠0，根据定理 2， r D 所在的 r 列线性无关；又由 A 中所有r+1阶子式均为零，则 A 中任意r+1个列 向量线性相关． 因此，D 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩r 等于 r ． 类似可证矩阵 A 的行向量组的秩也等于 ( )R A ，即 R(A)= A 的行向量组的秩= A 的列向量组的秩． 以上证明给出了一种求向量组的极大无关组的方法：将所给的向量组按列 （行）构成矩阵 A ，若D 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则r D 所在的 r 列（行）r 就是 A 的列（行）向量组的一个极大无关组． 3.4.4 初等变换求向量组的秩 由定理 8 知，求一个向量组的秩，可以转化为求以这个向量组为行向量或列 向量构成的矩阵的秩，而矩阵的秩很容易通过初等变换求得，因此也可以用初等 变换求向量组的秩． 将所讨论的n维向量组α α1, 2,",αm写成一个 n 行 m 列的矩阵，并对此矩阵施 行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是向量组α α1, 2,",αm的秩 （即极大无关组所含向量的个数）．
92 线性 代数 （第二 版 ） 例 13 求向量组 T 1=(1, 4,1, 0, 2) α ， T 2 =(2,5, 1, 3, 2)− − α ， T 3= −( 1, 2,5, 6, 2) α ， T 4 =(0, 2, 2, 1, 0)− α 的秩． 解 将向量按列构成矩阵 A ，用初等行变换化其为行阶梯形矩阵： 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 4 5 2 2 0 3 6 2 0 1 2 0 1 1 5 2 0 3 6 2 0 0 0 1 0 3 6 1 0 3 6 1 0 0 0 0 2 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0 0 − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − → − → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A ， 显然，非零行数为 3，知 ( ) 3R A = ， 故 R(α α α α1, 2, 3, 4)=3． 求向量组的极大无关组时，如果所给的是行向量组，一般也按列排成矩阵再 做初等行变换． 例 14 求向量组 1=(2,1, 4,3) α ， α2 = −( 1,1, 6, 6)− ， α3= − −( 1, 2, 2, 9)− ， α4 =(1,1, 2, 7)− ， 5=(2, 4, 4,9) α 的一个极大无关组． 解 将向量组按列排成矩阵 A ，用初等行变换化 A 为行阶梯形矩阵 B ： T T T T T 1 2 3 4 5 ( , , , , ) = A α α α α α 1 2 3 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 2 4 6 4 8 4 6 2 2 4 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 3 6 9 7 9 r r r ↔ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎟ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 3 2 3 1 4 1 4 2 1 2 , 5 2 2 3 3 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 1 1 1 0 0 5 5 3 6 0 0 0 2 6 0 3 3 4 3 0 0 0 1 3 r r r r r r r r r r r − + − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 4 3 1 2 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r−r B − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟= − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 由于 B 的1, 2, 4 列线性无关，故α α α1, 2, 4是向量组α α α α α1, 2, 3, 4, 5的一个极大 无关组． 如果要求将其余的向量用所求的极大无关组线性表示，需将矩阵化为行最简 形矩阵，否则只需将矩阵化为行阶梯形矩阵． 例 15 设 向 量 组 1 (1,1,1,3) Τ = α ，α2 = − −( 1, 3,5,1)Τ， 3 (3, 2, 1, 2) Τ = − a+ α ， 4 ( 2, 6,10, ) Τ = − − a α ， 当 a 取 何 值 时 ， 该 向 量 组 线 性 无 关 ， 并 在 此 时 将 向 量
第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 (4,1, 6,10)Τ = α 用这个向量组线性表示． 解 将矩阵A=(α α α α α1, 2, 3, 4, )施行初等行变换，化其为行最简形矩阵 1 2 3 4 ( , , , , ) = A α α α α α 1 1 3 2 4 1 3 2 6 1 1 5 1 10 6 3 1 a 2 a 10 − − ⎛ ⎞ ⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 3 4 3 3 3 2 ( 7) ( 9) 1 1 3 2 4 0 2 1 4 3 0 0 1 0 1 0 0 0 2 1 r r r r r r r r r r r r a r B a a − − − + + ÷ − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ − − − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 4 1 4 2 4 1 3 2 3 2 1 2 ( 2) 2 4 3 ( 2) 1 0 0 0 2 3 4 0 1 0 0 2 ( 2) 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2 r a r r r r r r r r r r r a a a a a ÷ − + + − + ÷ − + ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ≠ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ， 当a≠2时，由矩阵 B 可知，前 4 列线性无关，相应地α α α α1, 2, 3, 4线性无关， 由最后的行最简形矩阵可知 1 2 3 4 3 4 1 2 2 2 − − = + + + − − a a a a α α α α α ． 例 16 用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明
{
}
( ) min ( ) , ( ) R AB ≤ R A R B ． 证明 设 A ， B 分别为m n 矩阵和× n s 矩阵，× AB=C ，则 C 是m s 矩阵，× 先证 (R AB)≤R A( )． 将 A 和 C 看成是列向量构成的矩阵，设 1 2 ( , , , ) = " n A α α α ，C=( ,γ γ1 2,",γs)， 则 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " " " # # # " s s s n n n ns b b b b b b b b b γ γ γ α α α ， 则 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示．由定理 7 得 1 2 ( , ,", s) Rγ γ γ ≤R(α α1, 2,",αn)， 即 R AB( )≤R A( )， 因 T = T T C B A ，由上面的证明知R C( T)≤R B( T)，所以 (R AB)≤R B( )，94 线性 代数 （第二 版 ） 故R AB( )≤min
{
R A R B( ) , ( )}
． 此题结论与定理 7 是同一个原理的不同表现形式，前者是矩阵形式，后者是 向量组的形式，所以此题结论也可以看成是定理 7 的推论． 类 似 地 ， 可 证 明 两 矩 阵 和 的 秩 小 于 等 于 两 矩 阵 秩 的 和 ， 即 (R A+B)≤ ( ) ( ) R A +R B ．3.5 向量空间
为了研究线性方程组解的结构，本节介绍向量空间的概念． 3.5.1 向量空间的概念 定义 7 设 V 是非空的 n 维向量集合，若集合 V 对于向量的加法和数乘运算 满足： （1）对任意的 ,α β∈V，有α β+ ∈V ； （2）对任意的α∈V,λ∈R ，有λα∈V ， 则称集合V 为向量空间． 定义中的（1）表示集合V 中向量对于加法运算封闭；（2）表示集合V 中向量 对于数乘运算封闭．因而向量空间也可以表述为：对加法和数乘运算封闭的非空 集合． 例 17 设有三维向量的全体{
3= = R α 1 2 1 2 3 3 , , } x x x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∈ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ R 以及三维向量集合 1 V ={α 2 2 3 3 0 , } x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ R ， 2 = V {α 2 2 3 3 1 , } x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ R ， 其中 3 R 、V 是向量空间，而1 V 不是向量空间．因为，对任意的2 α β, ∈ R3，λ∈R ，有 1 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x α ，β = 1 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y y y ， 从而第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 + α β 1 1 2 2 3 3 + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ x y x y x y 3 ∈ R ，λα= 1 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x λ λ λ 3 ∈ R ， 又对任意的α β, ∈V1，λ ∈ R ，有 2 3 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x α ，β = 2 3 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y y ， 而 2 2 3 3 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + =⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ x y x y α β ∈V ，1 λα 2 3 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x λ λ 1 ∈V ， 但是对任意的α β, ∈V2，λ∈ R ，有 2 3 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x α ，β = 2 3 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y y ， 而 + α β 2 2 3 3 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ x y x y 2 ∈V ，λα= 2 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x λ λ λ 2 ∈V ， 即 3 R 、V 中的向量对于加法与数乘运算封闭，但1 V 中的向量对于向量的加法和2 数乘运算不封闭． 在解析几何中，向量空间 3 R 可形象地看作以坐标原点为起点的空间有向线段 的全体；而向量空间V 可形象地看作以坐标原点为起点，落在平面1 x Ox 上的空间2 3 有向线段的全体． 类似地， n 维向量全体所构成的集合 n R ={α =( ,a a1 2,",an)ai∈R,i=1, 2,", }n 是一个向量空间，称为 n 维向量空间． 例 18 设 ,α β 是 n 维向量，集合V={x=λα μβ λ+ ，μ∈ R 是一个向量空间．因} 为零向量0=0α+0β∈V，V 是非空集合；且对任意的x x1, 2∈V， k∈ R ，有 1= x λ α1 + μ β1 ，x2 =λ α2 +μ β2 ， 从而 x1+x2=(λ λ1+ 2)α+ (μ1+μ β2) ∈V， 1=( 1) +( 1) ∈ kx kλ α kμ β V， 称此向量空间为由向量 ,α β生成的向量空间，记为 ( , )V α β ． 一般地，由向量组α α1, 2,",αm生成的向量空间可表示为 1 2 ( , ,", m)= V α α α {α =λ1 1α +λ2α2+"+λmαm λ λ1, 2,",λm∈R ．}
96 线性 代数 （第二 版 ） 3.5.2 向量空间的基与维数 除零空间外，向量空间都含有无穷多个向量，而这无穷多个向量能否用有限 个向量来表示是值得讨论的． 例如，在 3 R 中，取e1=(1, 0, 0) ,T e2 =(0,1, 0) ,T e3 =(0, 0,1)T，对任意的α =( ,x1 T 3 2, 3) x x ∈R 都可表示为α= x1e1+ x2e2 + x3 e ，此时称3 e e e 为1, 2, 3 R 的基．一般3 地，有 定义 8 设V 是向量空间，若向量组α α1, 2,",αr∈V，满足 （1）α α1, 2,",αr线性无关； （2）V 中的任一向量都可由α α1, 2,",αr线性表示， 则称α α1, 2,",αr为向量空间V 的一个基， r 称为V 的维数，记为 dimV=r ，并称 V 是 r 维向量空间． 只含一个零向量的集合{ }0 也是一个向量空间，称为零空间，零空间没有基， 规定它的维数为
0
，所以也可称为0
维向量空间． 如果将向量空间看作一个向量组，那么向量空间V 的基就是它的一个极大无 关组．V 的维数就是它的秩，从而向量空间V 的基不唯一，但其维数是唯一的．设 V 是 r 维向量空间，则V 中任意 r 个线性无关的向量就是V 的一个基． 例如，在 n R 中， n 维基本单位向量组 T T T 1=(1, 0,", 0) , 2 =(0,1,", 0) ,", n=(0, 0,",1) e e e 是 向 量 空 间 R 的 一 个n 基．因为（1）e e1, 2,",e 线性无关；n （2）任一向量 T 1 2 ( , , , ) = " ∈ n n x x x R α ，有 T 1 2 ( , , , ) = x x " xn = α x1e1+ x2e2+"+ xn e ， n 故 dim n = R n ， 即R 是 n 维 向 量 空 间 ． 实 际 上 ，n R 中 任 意 线 性 无 关 向 量 组n 1, 2,", n α α α 都是向量空间 n R 的基． 又例如，基本单位向量组 T T 2 =(0,1, 0) , 3 =(0, 0,1) e e 是向量空间V 的一个基．因为（1）1 e e 线性无关；2, 3 （2）对任意的向量α∈V1，有 2 2 3 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x α e2 +x3e ， 3 所以，V 是二维向量空间． 1 因此，通常定义的 n 维向量与本节定义的 n 维向量空间是两个完全不同的概 念，前者是指向量的分量个数为 n ；后者是指向量空间的基所含向量个数为 n ． 若将向量组α α1, 2,",αm生成的向量空间V(α α1, 2,",αm)也看成向量组，则它 与向量组α α1, 2,",αm等价，α α1, 2,",αm的一个极大无关组α α1, 2,",αr (r≤m)第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 就是向量空间V(α α1, 2,",αm)的一个基，从而V(α α1, 2,",αm)是 r 维向量空间，所 以由α α1, 2,",αm生成的向量空间还可简单地表示为 = V {α=λ1 1α +λ2α2+"+λrαr λ λ1, 2,",λr∈R ．} 例 19 证明 1 (1,1,1,1) , 2 (1,3,1, 0) , 3 (1, 0,1, 0) , 4 (1, 0, 0,1) Τ Τ Τ Τ = = = = α α α α 是 4 R 的 一个基． 证明 由定义 8 及定理 2 的推论 1 知，只要证明α α α α1, 2, 3, 4线性无关即可． 将α α α α1, 2, 3, 4写成矩阵A=(α α α α1, 2, 3, 4)，则 1 1 1 1 1 3 0 0 3 0 1 1 1 0 1 0 0 1 = = − ≠ A ， 由定理 2 的推论 1 知，α α α α1, 2, 3, 4线性无关，故α α α α1, 2, 3, 4是 4 R 的一个基．
本章小结
本章重点讨论了向量组的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的秩以 及向量组的极大无关组等，除了掌握一些判定定理外，还要掌握一些常用方法 和技巧． 一、线性表示 向量β 能用向量组α α1, 2,",αm线性表示⇔ 矩阵A=(α α1, 2,",αm)与矩阵 1 2 ( , , , , ) = " m B α α α β 的 秩 相 等 ， 而 表 示 式 唯 一⇔ α α1, 2,",αm 线 性 无 关 或 ( )= R A m ． 具体方法：用待定系数法将β 设为向量组α α1, 2,",αm的线性组合，列出方程 组，解出待定系数，若无解，则不能线性表示． 相关结论： 1．零向量是任何一组向量的线性组合． 2．向量组α α1, 2,",αm中的任一向量αj(1≤ ≤j m)都是此向量组的线性组合． 3．任何一个n 维向量α =( ,a a1 2,",an)T都是 n 维基本单位向量组 T 1=(1, 0,", 0) , e e2 =(0,1,", 0) ,T ",en =(0, 0,",1)T的线性组合，且 T 1 2 ( , , , ) = a a " an α = a1 e1+a2 e2+"+ an e ． n 二、判断向量组的线性相关性的主要方法有： 1．定义法：假设有数k k1, 2,",k ，使 m 1 1+ 2 2+"+ m m= kα k α k α 0 成立，由向量相等，列出齐次线性方程组，判断其是否存在非零解．若存在非零 解，则向量组线性相关，若不存在非零解，则向量组线性无关．98 线性 代数 （第二 版 ） 2．反证法：此法是讨论向量组线性相关性的重要方法． 3．综合法：可以结合矩阵的秩进行讨论，特别是当向量的个数与维数相等时， 可根据行列式的值进行判断；利用向量组的等价性进行讨论． 三、向量组的等价性 1．任一向量组和它的极大无关组等价． 2．向量组的任意两个极大无关组等价． 3．两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同． 4．向量组α α1, 2,",αm的任意两个极大无关组含向量的个数相同． 四、求向量组的秩和极大无关组的基本方法： 1．将向量组的秩，转化为矩阵的秩进行讨论：将向量组写成矩阵形式，对其 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数即为向量组的秩，非零行对 应的向量便组成一个极大无关组；若将行阶梯形矩阵再施行初等行变换化为行最 简形矩阵，就可将其他向量用极大无关组线性表出． 2．利用等价向量组具有相同的秩进行讨论．
习题 3
1．设 1 (1,1, 0) , 2 (0,1,1) , 3 (3, 4, 0) Τ Τ Τ = = = α α α ，求α α1− 2及3α1+2α2−α3． 2．设3(α α1− )+2(α2+α)=5(α3+α)，其中 1 (2,5,1,3) , 2 (10,1,5,10) , 3 (4,1, 1,1) Τ Τ Τ = = = − α α α ，求α． 3．举例说明下列各命题是错误的： （1）若向量组α α1, 2,",αm是线性相关的，则α1可由α2,",αm线性表示． （2）若有不全为零的数λ λ1, 2,",λm，使 1 1+ 2 2+"+ m m+ 1 1+ 2 2+"+ m m λα λα λ α λβ λ β λ β = 0 ， 成立，则α α1, 2,",αm线性相关，β β1, 2,",βm亦线性相关． （3）若只有当λ λ1, 2,",λm全为零时，等式 1 1+ 2 2+"+ m m+ 1 1+ 2 2+"+ m m= λα λα λ α λβ λ β λ β 0， 才能成立，则α α1, 2,",αm线性无关，β β1, 2,",βm亦线性无关． （4）若α α1, 2,",αm线性相关，β β1, 2,",βm亦线性相关，则有不全为零的数 1, 2,", m λ λ λ ，使 1 1+ 2 2+"+ m m= λα λα λ α 0与λ1 1β +λ2β2+"+λmβm =0 同时成立． 4 ． 设 β1=α α β1+ 2, 2 =α2+α β3, 3=α3+α β4, 4 =α4+α1 ， 证 明 向 量 组 1, 2, 3, 4 β β β β 线性相关． 5．设β1=α β1, 2=α α1+ 2,",βr =α α1+ 2 +"+αr，且向量组α α1, 2,",αr线 性无关，证明向量组β β1, 2,",βr线性无关．第 3 章 向量 组的 线 性 相关 性 6．（1）已知向量组α1=(1, 2, 1,1),− α2 =(2, 0, , 0),k α3=(0, 4,5, 2)− − 的秩为 2，求 k 的值； （2）已知α1=(1, 0,1, 2),α2=(0,1,1, 2),α3 = −( 1,1, 0, ),a α4 =(1, 2, , 6),a α5=(1,1, 2, 4) ， a 取何值时，向量组的秩为
3
，求其极大线性无关组并用它表示其余向量. 7．利用初等变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组： （1） 25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； （2） 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1 ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ． 8．求下列向量组的秩，并求一个极大无关组： （1） 1 2 3 1 9 2 2 100 4 , , 1 10 2 4 4 8 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α ； （2） T T T 1 =(1, 2,1,3), 2 =(4, 1, 5, 6),− − − 3 =(1, 3, 4, 7)− − − α α α ． 9．设α α1, 2,",αn是一组 n 维向量，已知 n 维基本单位向量e e1, 2,",e 能由它n 们线性表示，证明α α1, 2,",αn线性无关． 10．设α α1, 2,",αn是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是： 任一 n 维向量都可由它们线性表示． 11．设向量组 A：α α1, 2,",αs的秩为r ，向量组 B：1 β β1, 2,",βt的秩为r ，2 向量组 C：α α1, 2,",αs，β β1, 2,",βt的秩为r ，证明 3 1 2 3 1 2 max{ , }r r ≤ ≤r r +r ． 12．设向量组 B：β β1, 2,",βr能由向量组 A：α α1, 2,",αs线性表示为 1 2 1 2 (β β, ,",βr)=(α α, ,",αs)K， 其中 K 为s r 矩阵，且 A 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 ( )× R K =r ． 13．设V1={x T 1 2 1 2 ( ,x x , ,xn) x x, , ,xn = " " ∈R 满足x1+"+xn=0}， 2 = V {x =( ,x x1 2,",xn)T x x1, 2,",xn∈R 满足x1+"+xn =1}， 问V 、1 V 是不是向量空间？为什么？ 2 14．试证：由α1=(0,1,1) ,T α2 =(1, 0,1) ,T α3 =(1,1, 0)T所生成的向量空间就是 3 R ． 15．由α1=(1,1, 0, 0) ,T α2=(1, 0,1,1)T所生成的向量空间记为V ，由1 β1=(2, 1,− T 3,3) ，β2=(0,1, 1, 1)− − T所生成的向量空间记为V ，试证2 V1= V ． 2 16．验证α1=(1, 1, 0) ,− T α2 =(2,1,3) ,T α3 =(3,1, 2)T为 3 R 的一个基，并将β1=(5, T 0, 7) ，β2 = − − −( 9, 8, 13)T用这个基线性表示．100 线性 代数 （第二 版 ）
