1．微分方程的基本概念
（1）微分方程：包含未知函数及其导数（或微分）的等式．
（2）微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数．
（3）微分方程的解：满足微分方程的函数．
（4）微分方程的通解：含有与方程的阶数相同的独立任意常数的解．
（5）微分方程的特解：不含任意常数的解．
（6）初始条件：反映初始状态的条件，能通过从通解中确定任意常数而得出 特解．
2．一阶微分方程
（1）可分离变量方程：一般形式为 ( )df x x= g y y ( )d ，可采用两边积分的方法 求解．
（2）齐次方程：一般形式为 d d
y y
x f x æ ö
= ç ÷
è ø ，令 u y
= x ，即 y= xu ， y¢=xu¢ + ， u 方程化为 d ( )
d
x u f u u
x = - ，分离变量后再求解．
（3）一阶线性方程：一般形式为 y¢ +P x y( ) = Q x ( ) ，有两种解法．
1）公式法： y=e- òP x( )dxé Q x( )eò P x( )d x d x C + ù
ê ú
ë
ò
û ．2）常数变易法（略）．
（4）伯努利（Bernoulli）方程*．
标准形式为 y¢ +P x y( ) = Q x y ( ) n （ n ¹ 0,1 ） ，
令 z= y 1 n - ，可将其化为一阶线性微分方程
d (1 ) ( ) (1 ) ( ) d
z n P x z n Q x
x + - = - ．
3．可降阶的高阶微分方程
（1） y( ) n = f x ( ) 型的解法：通过两边逐次积分 n 次，每次积分加一个任意常 数，降为一阶方程后求其通解．
（2） y¢¢= f x y ( , ¢ ) 型的解法：它的特征是不显含 y ．作变量替换，令 y¢ = ， p 则 d
d
y p p
x
¢¢= = ¢ ，代入后原方程化为一阶微分方程 d ( , ) d
p f x p
x = ．
（3） y¢¢= f y y ( , ¢ ) 型的解法：它的特征是不显含 x ．作变量替换，令 y¢ = ， p 则 d
d y p p
¢¢ = y ，代入原方程后化为一阶微分方程 d ( , )
d
p p f y p
y = ．
第
高等数学（下册）（经管、文科类）
第
高等数学（下册）（经管、文科类）
A． (ax+b) cos 2x+(cx+ d) sin 2 x B． (ax2 + bx) cos 2 x C． cos 2a x+ bsin 2 x D． (x ax+b)(cos 2x+ sin 2 ) x
（10）若 y1， y 2 是某个二阶线性齐次微分方程的解，则 C y1 1+ C y 2 2 （ C1， C 2 是任意常 数）必然是该方程的（ ）．
A．通解 B．特解
C．解 D．全部解
3．计算题．
（1）求微分方程 d 2 3 d e
x y
y x x
= - 的通解．
（2）求微分方程 cosy¢ y+sin(x-y)=sin(x+ y ) 的通解．
（3）求微分方程 d
ln( ) d
y y
x = x 满足条件 y x = 1 = 的特解． 2
（4）求微分方程 yy ¢ +e2 x y + 2 = 满足 (0)0 y = 的特解． 0
（5）求微分方程 d d
y x y x x y
= +
- 的通解．
（6）求微分方程 d 2 d ( )
y xy
x = x y
+ 满足 1
2
1
x
y
= = 的特解．
（7）求微分方程 1 2 3y y
¢ + = y 的通解．
（8）求微分方程 e2 x y¢¢¢ = 的通解． 1
（9）求微分方程 2 ( )x t¢¢ +x t¢ ( )+3 ( )x t = 的通解． 0
（ 10 ） 求 微 分 方 程 y¢¢-4y¢ +3y = 0 的 积 分 曲 线 方 程 ， 使 其 在 点 (0,2) 与 直 线 2x-2y +9= 相切． 0
（11）求通过点 (1,2) 的曲线方程，使此曲线在[1, ] x 上所形成的曲边梯形面积的值等于 此曲线段终点的横坐标x与纵坐标 y 乘积的 2 倍减去 4．
（ 12 ） 设 ( )F x = f x g x ( ) ( ) ， 其 中 函 数 ( )f x， g x ( ) 在 (-¥ +¥ 内 满 足 以 下 条 件 ： , ) ( ) ( )
f x¢ = g x ， ( )g x¢ = f x ( ) ，且 (0) 0 f = ， ( )f x +g x ( )= 2e x ． 1）求 ( ) F x 所满足的一阶微分方程；
2）求出 ( ) F x 的表达式．
（13）求微分方程 dx y+(x-2 ) dy x = 的一个解 0 y= y x ( ) ，使得曲线 y= y x ( ) 与直线 1 2
x= ， x = 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小．
自测题 7
1．填空题．
（1）微分方程 xy¢¢+3y ¢ = 的通解 y = ________． 0
（2）微分方程 y¢¢ -4y = e 2 x 的通解 y = ________．
第 章7
常 微 分 方 程
（3）微分方程 yy¢¢+y ¢ 2 = 满足初始条件 (0)0 y = ， 1 1 (0) 2
y¢ = 的特解是________．
（4）以 y=C1e- x+ C 2 e x （ C1， C 2 为任意常数）为通解的二阶常系数线性微分方程为 ________．
（5）微分方程 y¢¢-2y¢ +5y = 的通解是________． 0 2．单选题．
（1）微分方程 y2dx+(x2 -xy y )d = 是（ 0 ）．
A．齐次方程 B．线性方程
C．可分离变量方程 D．全微分方程
（2） 设 y1， ， ， y2 L y n 是 y( )n +P x y1 ( ) (n - 1) +L +P x y n ( ) = 0 的 n 个特解， C1， ， ， C2 L C n 为任意常数，则 y=C y1 1+C y2 2 +L + C y n n （ ）．
A．不是方程的通解 B．是方程的通解
C．当 y1， ， ， y2 L y n 线性无关时，是通解 D．当 y1， ， ， y2 L y n 线性相关时，是通解
（3）设 y= f x ( ) 是满足微分方程 y¢¢+y ¢ = e sin x 的解， 并且 f x ¢ ( 0 )= ，则 ( ) 0 f x （ ）． A．在 x 的某邻域内单调增加 0
B．在 x 的某邻域内单调减少 0 C．在 x 处取得极小值 0 D．在 x 处取得极大值 0
（4）微分方程 y¢¢-6y¢ +8y =ex+ e 2 x 的一个特解应具有（ ）的形式（其中 a b ， 为 常数）．
A． aex+ b e 2 x B． aex+ bx e 2 x C． axex+ b e 2 x D． axex+ bx e 2 x
（5）已知二阶线性微分方程的三个特解是 y = 1 e 3 x ， y =2 e3x+ e 2 x ， y 3 =e3 x+ e - x ，则 该方程是（ ）．
A． y¢¢-4y¢ +4y = e 3 x B． y¢¢-y¢ -2y = 4e 3 x C． y¢¢-2y¢ -3y = 2e 2 x D． y¢¢-5y¢ +6y = - e - x 3．计算题．
（1）求方程 (y2-3x2 ) dy+2xy x d = 满足 0 y x = 0 = 时的特解． 1
（2）求 y¢ cosx+ysinx= cos 3 x 满足 (0) 1 y = 的解．
（3）求 (1+y) dx+(x+y2+y3 ) dy = 的通解． 0
（4）求微分方程 xy¢ +(1-x y) =e2 x （ 0 <x < +¥ ） 满足
0
lim ( ) 1
x + y x
®
= 的解．
（5）设 (0) 0 f = ，
0
( ) [ ( ) ( )]d
x
f x¢ =
ò
f t +tf t¢ t+ x ， ( ) f x 二阶可导，求 ( ) f x ．（6）设 y= y x ( ) 满足条件
高等数学（下册）（经管、文科类）
4 4 0 (0) 2
(0) 4
y y y
y y
¢¢+ ¢ + = ì ï
í = ï ¢ = - î
，
，
， 求广义积分
0 y x x ( )d
+ ¥
ò
．（7）求方程 y¢¢ -y= sin x 的通解．
（8）满足方程 y¢¢+2y¢ +y= x e - x 的哪一条积分曲线通过点 (1, e ) - 1 ，且在该点处有平行 于 x 轴的切线．
（9）设
0
( ) sin ( ) ( )d
x
f x = x-
ò
x- t f t t ，其中 f 为连续函数，求 ( ) f x ．（10） 在第一象限中有一曲线通过原点 O 与点 (1,2) ，点 ( , ) P x y 在曲线上， 由曲线 » OP 、 x 轴和平行于 y 轴并过点 P 的直线所围成的曲边三角形的面积，等于以 OP 为对角线、边 平行于坐标轴的矩形的面积的 1/3，求此曲线的方程．