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第 7 章常微分方程

本章学习目标

l 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念 l 会识别一阶微分方程，包括可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程和伯努利方程 l 熟练掌握可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解法．会解简单的齐次方程和伯努利方程 l 知道下列几种特殊的高阶微分方程： ( ) ( ) n y = f x ， y¢¢= f x y ( , ¢ ) ， ( , ) y¢¢= f y y ¢ l 了解二阶线性微分方程解的结构 l 熟练掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法 l 熟练掌握自由项为多项式函数、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的乘积的二阶常系数线性非齐次微分方程的解函数是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在几何学、力学、物理学以及工程技术中经常会遇到稍微复杂一些的运动过程，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却能比较容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）之间的关系式．这种联系着自变量、未知函数及它的导数（或微分）的关系式，称为微分方程．如果在一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程就称为常微分方程．本章将重点研究常微分 方程的解法．

7.1 常微分方程的基本概念

例 7.1.1 物体冷却过程的数学模型． 将某物体放置于空气中，在时间 t = 0 时，测得它的温度为 u = 0 150 ℃，10min 后测得温度为 u = 1 100 ℃． 我们要求此物体的温度 u 与时间t 的关系，并计算 20min 后物体的温度．这里我们假定空气的温度保持为 u = _a 24 ℃．解设物体在t 时的温度为 u= u t ( ) ，则温度的变化速度以 d d u t 来表示．注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而 u> u ，所以温差 u u - 恒

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高等数学（下册）（经管、文科类）正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化的速度 d d u t 恒负．因此，由牛顿（Newton）冷却定律（在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例）得到 a d ( ) d u k u u t = - - ．（7.1.1）这里 k > 0 是比例常数．方程（7.1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知 函数 u 及它的一阶导数 d d u t ，这样的方程称为一阶微分方程．现在，我们给出微分方程的定义． 定义 7.1.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程， 称为微分方程．如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，则称其为常微分方程．本章只讨论几种特殊的常微分方程——简称微分方程，有时更简称为“方程” ．如果微分方程中的未知函数是两个或两个以上变量的函数，则称其为偏微分方程．微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．当微分方程所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，称其为线性微分方程．在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称其为常系数线性微分方程．例如，微分方程 2 d 3 2 0 d y y x x - = 是一阶非线性微分方程， 2 2 2 d d y a y x = - 是二阶常系数线性微分方程． 一般地， n 阶微分方程的形式为 ( ) ( , , , , n ) 0 F x y y¢ L y = ，（7.1.2） 其中 x 是自变量，y 是未知函数， F x y y( , , ¢,L ,y ( ) n ) 是 ( ) , , , , n x y y¢ L y 的已知函数且必含有 ( ) n y ．若能从（7.1.2）解出 ( ) n y ，则（7.1.2）变为 ( ) ( 1) ( , , , , ) n n y = f x y y¢ L y - ．（7.1.3）（7.1.2）式称为隐式微分方程，（7.1.3）式称为显式微分方程．本章主要讨论显式微分方程． 定义 7.1.2 如果将一个函数 y= j ( ) x 代入方程（7.1.2）或方程（7.1.3），方程两边恒等，则称函数 y= j ( ) x 为方程（7.1.2）或方程（7.1.3）的解． 定义 7.1.3 如果含有 n 个独立的任意常数 C1，，，的函数 C2 L C n 1 2 ( , , , , n ) y= j x C C L C 或 1 2 ( , ,x y C C, , ,C n ) 0 F L =

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第 7 章常微分方程是方程（7.1.3）的解，则称其为方程（7.1.3）的通解；微分方程通解中的任意常数若被确定，这种不含任意常数的解，称为微分方程的特解．例如， 2 y=x + C 和 y=x 2 + 1 都是 y¢ = 2 x 的解．其中 2 y=x + C 中含有一个任意常数C ，为其微分方程的通解，而 y=x 2 + 1 是 C = 1 时该微分方程的解，为其微分方程的特解．为了确定方程（7.1.3）的某个特解，首先要求出方程（7.1.3）的通解，再根 据实际情况给出确定通解中 n 个任意常数的条件，称为定解条件， 最后求出满足定解条件的特解．由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题．常见的定 解条件有初始条件．一般 n 阶微分方程的初始条件为 0 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 0 n n x x x x x x y y y y y - y - = = ， ¢ = = ¢ ，， L = = ，其中 ( 1) 0 0 0 n y，，， y¢ L y - 为给定常数，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同．求微分方程满足初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题．以后只讨论初值问题．一阶微分方程的初值问题是求微分方程 y¢ = f x y ( , ) 满足初始条件 0 0 x x y ₌ = y 的解的问题，记为 0 0 ( , ) . x x y f x y y ₌ y ¢ = ì ï í = ï î ，（7.1.4）二阶微分方程的初值问题是 0 0 0 0 ( , , ) , . x x x x y f x y y y ₌ y y ₌ y ¢¢= ¢ ì ï í _¢ _¢ = = ï î ，（7.1.5）一阶微分方程初值问题（7.1.4）的特解 y= j ( ) x 的图形为xOy 平面上的一条曲线，而方程 d ( , ) d y f x y x = 的通解 y= j ( , ) x C 为xOy 平面上的一族曲线，称为积分曲线族． 积分曲线族上的每一点 ( , ) x y 处的切线斜率，正好等于 ( , ) f x y ¢ ，而满足初始条件 0 0 x x y ₌ = y 的特解就是通过点 ( ,x y 的那条积分曲线．所以，一阶微分方程 0 0 ) 的初值问题的几何意义是求微分方程通过点 ( ,x y 的那条积分曲线． ₀ ₀) 二阶微分方程的初值问题（7.1.5）的几何意义是求微分方程 y¢¢= f x y y ( , , ¢ ) 通过点 ( ,x y ，而在该点处的切线斜率为 0 0 ) y¢ 的那条积分曲线． 0 例 7.1.1 指出下列微分方程哪个是线性的，哪个是非线性的，并指出阶数． （1） d 2 4 d y x y x = - ；（2） 2 2 2 d d 12 0 d d y y xy x x æ ö -_ç _÷ + = è ø ；（3） d cos 2 0 d y y x x + + = ；（4） 2 2 d d 5 3 sin d d y y x xy x x x - + = ．

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高等数学（下册）（经管、文科类）解（1）一阶线性；（2）二阶非线性；（3）一阶非线性；（4）二阶线性． 例 7.1.2 验证函数 y C x = 是一阶方程 d d y y x= - x 的通解． 解由 y C x = 可得 d ₂ d y C x = - x ，将 d d y x 及 y 代入方程 d d y y x= - x 中，得 2 2 C C _x C x x x - = - = - ， 所以函数 y C x = 是微分方程 d d y y x= - x 的解．又因为方程是一阶的，而函数 C y x = 中只含一个任意常数，即任意常数的个数等于方程的阶数， 所以函数 y C x = 是微分方程 d d y y x= - x 的通解． 例 7.1.3 验证函数 2 1e 2 e x x y=C + C （ C ， 1 C 为任意常数）为二阶微分方程 2 3 2 0 y¢¢- y¢ + y = 的通解，并求方程满足初始条件 (0)y =0， y¢ (0)= 1 的特解．解因为 2 1e 2 e x x y=C + C ， 1e 2 2 e 2 x x y¢ =C + C ， 1 2 2 ex 4 e x y¢¢ =C + C ，故 y¢¢-3y¢ + 2 y 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ex 4 e x 3( ex 2 e )x 2( ex e ) x C C C C C C = + - + + + 2 1 1 1 2 2 2 (C 3C 2C)ex (4C 6C 2C )e x 0 = - + + - + = ．所以，函数 2 1e 2 e x x y=C + C 是所给微分方程的解．又因为这个解中含有两个独立的任意常数 C 、 ₁ C ，与所给方程的阶数相同，所以它是微分方程的通解． 2 由初始条件 (0) 0 y = 得 C₁+C ₂= ，由初始条件 (0)0 y¢ = 得 1 C₁+2C ₂= ，所以 1 1 1 2 1 C = -， C = ．于是，满足所给初始条件的特解为 y = -ex+ e 2 x ． 习题 7.1 1．指出下列方程的阶数，并指出其是否为线性方程：（1） 2 2 6 y¢ = x + ；（2） yy¢¢ = ； 1 （3） y¢¢-3y¢ +2y = ； 0 （4） y(10)+8y(7) +2y= sin x ；（5） y¢¢+2y¢ +xy= f x ( ) ；（6） ( )y¢ +2 siny = ； 0 （7） (4) 2 2 0 y + y y¢¢ ¢¢¢ +x = ；（8） y¢¢+6xy¢ +3x y 2 = e x ． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1） 2 2 5 xy¢ = y， y= x ；（2） y¢¢ +y=0， y=3sinx- 4 cos x ；（3） 2 2 0 e x y¢¢- y¢ +y= ， y= x ；（4） 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0 e x e x y¢¢- l +l y¢ +l ly= ， y=C l + C l ． 3．在下列各题中，确定函数关系式所含的参数，使函数满足所给的初始条件：

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第 7 章常微分方程（1） 2 2 0 5 x x y C y = - = ， = ；（2） 2 1 2 0 ₀ ( )ex x 0 _x 1 y= C +C x ， y = = ， y ¢ ₌ = ；（3） y=C₁sin(x-C₂) ， y _x_{= p}=1 ， y ¢ _x_{= p}= 0 ．

7.2 一阶微分方程

一阶微分方程是微分方程中最基本的一类方程，在经济管理科学中也最为常见，其一般形式为 ( , , ) 0 F x y y¢ = ， 其中 ( , , ) F x y y¢ 是 x、、的已知函数． y y¢ 已解出 y¢ 的一阶微分方程形式为 ( , ) y¢ = f x y ，其中 d d y y x ¢ = ．所以一阶微分方程也可写成对称形式为 ( , )d ( , )d 0 P x y x Q x y y + = ．（7.2.1） 方程（7.2.1）中，变量 x 与 y 对称，既可以将变量 y 视为 x 的函数，也可以将变量 x 视为 y 的函数． 以下我们讨论两种常见的一阶微分方程． 7.2.1 可分离变量的微分方程 形如 ( )d ( )d g y y= f x x （7.2.2）的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程． 设方程（7.2.2）中的函数 ( ) g y 和 ( ) f x 都是连续函数，则将方程（7.2.2）两边 积分，得通解 ( )d ( )d g y y= f x x+ C

ò

．其中

_ò

g y( )d y 和

_ò

f x x ( )d 分别表示函数 ( ) g y 和 ( ) f x 的一个具体原函数，C 为任意常数．能够化为（7.2.2）的一阶微分方程，均称为可分离变量的微分方程，如方程 d ( ) ( ) d y f x g y x = ，（7.2.3） 1( ) 2( )d 1( ) 2 ( )d 0 M x M y y+N x N y x = （7.2.4）均为可分离变量的微分方程．将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法，称为分离变量法． 例如，当 ( ) 0 g y ¹ 时，可将（7.2.3）改写成

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高等数学（下册）（经管、文科类） d ( )d ( ) y f x x g y = ，这样变量被分离出来，两边再积分，得 d ( )d ( ) y f x x C g y = +

ò

，其中 d ( ) y g y

ò

和

_ò

f x x ( )d 分别表示函数 1 ( ) g y 和 ( ) f x 的某一原函数，C 为任意常数，从而可求得通解． 例 7.2.1 求微分方程 d 2 3 d y x y x = 的通解．解将方程分离变量，得 d y ₃_{x x}2 _d y = ，两边积分 2 1 d 3 d y x x C y = +

ò

，得 3 1 ln y =x + C ，从而 _y₌_ex3 + C1₌_{e e}C 1 x 3 ，即 3 1 e e C x y = ± ．因为 _±_eC 1 还是任意常数，可记为_C，所以原方程的通解为 3 e x y= C ．在例 7.2.1 的求解过程中，用到了积分公式 d ln u u C u = +

ò

，以后为了运算及书写方便，可将公式中的ln u 改写为ln u，最后得到的任意常数C 可正可负． 例 7.2.2 求微分方程 2 2 d (1 ) d (1 ) y x y x x y + = + 满足初始条件 y _x₌₀= 1 的特解．解这是一个可分离变量的微分方程．其中 2 2 1 ( ) ( ) 1 x y f x g y y x + = = + ，．分离变量后，得 ₂d ₂d 1 1 y x y x y = x + + ，两边积分，得 2 2 ln(1+y )=ln(1+x )+ ln C ，化简得 2 2 1+y =C(1+ x ) ，这是微分方程的隐式通解．

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第 7 章常微分方程将初始条件 x=0， y = 1 代入通解中，得 C = 2 ，故所求特解为 2 2 2 1 y = x + ． 例 7.2.3 求微分方程 2 4 dx x-3 dy y= 3x y y d 的通解．解原微分方程为 2 4 dx x=3 (1y + x )d y ，分离变量，得 3 d 4 ₂d 1 x y y x x = + ，两边积分，得 3 2 2 ln(1 ) ln 4 y = +x + C ，故通解为 2 3 2 4 (1 ) e y C +x = ． 例 7.2.4 求微分方程 d 2 ( ) d y x y x = + 的通解．解此方程不能分离变量，但令u=x+ y ，则 d 1 d d d u y x= + x ，故 d d 1 d d y u x= x - ，原方程可化为 d 2 1 d u u x - = ．这是一个可分离变量的微分方程，分离变量，得 2 d d 1 u x u = + ，两边积分，得 arctan u=x+ C ，即 u=tan(x C + ) ，故原方程的通解为 y=tan(x C+ ) - （x C 为任意常数）． 例 7.2.5 * 某公司t 年净资产有 ( ) W t （单位：百万元），并且资产本身以每年 5%的速度连续增长，同时该公司每年要以 3000 万元的数额连续支付职工工资． （1）给出描述净资产 ( ) W t 的微分方程； （2）求解方程，这时假设初始净资产为 W ； ₀ （3）讨论在 W = ₀ 500, 600, 700 三种情况下， ( ) W t 的变化特点． 解（1）利用平衡法，即由净资产增长速度 = 资产本身增长速度 - 职工工资支付速度，得到方程 d 0.05 30 d W W t = - ；

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高等数学（下册）（经管、文科类）（2）分离变量，得 d 0.05 d 600 W t W - = ，两边积分，得 ln(W-600)=0.05t+ ln C ，即 0.05 600 e t W- = C ，将 W(0) = W ₀代入，得通解为 0.05 0 600 ( 600)e t W = + W - ，上式推导过程中 W ¹ 600 ，当 W = 600 时， d 0 d W t = ，可知 W=600 = W 0 ，通常称为平衡解，它仍包含在通解表达式中．（3）由通解表达式可知，当 W = ₀ 500 时，净资产额单调递减，公司将在第 36 年破产；当 W = ₀ 600 时，公司将收支平衡，净资产保持在 600（百万元）不变；当 0 700 W = 元时，公司净资产将呈指数增长． 7.2.2 可化为可分离变量的微分方程——齐次微分方程 形如 d d y y f x x æ ö = ç ÷ è ø （7.2.5）的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称为齐次方程． 通过变量代换，齐次方程（7.2.5）可化为可分离变量方程求解，即令 y u x = 或 y= xu ，（7.2.6） 其中 u 是新的未知函数 u= u x ( ) ． （7.2.6）式两边对 x 求导，有 y¢=xu¢ + ，代入方程（7.2.5）u ，得 d ( ) d u x f u u x = - ，分离变量再积分，得 d d ( ) u x C f u - u = x +

ò

， 求出积分后，再将 u y x = 回代，即可求得原齐次方程的通解．

例 7.2.6 求方程 y y tan y

x x ¢ = + 的通解． 解此方程为齐次方程，令 u y x = ，代入原方程，得 tan xu¢ +u=u+ u ，即 d tan d x u u x = ，

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第 7 章常微分方程分离变量，得 cot du u 1 d x x = ，两边积分，得 ln sinu=lnx+lnC= ln Cx ，即 sin u= Cx ， 将 u y x = 代入上式，即得原方程通解 sin y Cx x = ， y= xarcsin Cx （其中C 为任意常数）． 例 7.2.7 求方程 2 2 2 d ( )d x y= y -xy+ x x 的通解．解经过简单变形，可化为 2 2 2 d d y y xy x x x - + = ，即 2 d 1 d y y y x x x æ ö =_ç _÷ - + è ø ， 令 y= ux ，则 d du d d y u x x= + x ，将其代入上述方程，得 du 2 1 d u x u u x + = - + ，原方程已化成了可分离变量的微分方程．分离变量，得 1 ₂du 1 d (u - 1) = x x ，两边积分，得 1 ₂du 1 d (u - 1) = x x

ò

，得 1 ln ln 1 x C u - = + - 或 (1-u) lnCx = ， 1 再以 u y x = 代入上式，还原变量 y ，得原方程的通解 (x-y) ln Cx= ． x 例 7.2.8* 设商品A和商品B 的售价分别为 P₁、，已知价格 P ₂ P 与 ₁ P 相关， ₂ 且价格 P 相对 ₁ P 的弹性为 2 2 1 2 1 1 2 2 1 d d P P P P P P P P - = + ，求 P 与 1 P 的函数关系式． 2 解所给方程为齐次方程，整理得 1 1 2 1 1 2 2 2 1 d d 1 P P P P P P P P - = × + ，令 1 2 P u P = ，则有 ₂ 1 1 u P u u u u - ¢ + = + ，

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高等数学（下册）（经管、文科类）分离变量，得 2 2 2 d 1 1 du 2 P u u P æ ö - - = ç ÷ è ø ，两边积分，得 2 2 1 lnu lnP ln C u - = + ，将 1 2 P u P = 回代，得通解 2 1 1 2 e P P CP P = ，其中C 为任意正常数． 7.2.3 一阶线性微分方程 形如 ( ) ( ) y¢ +P x y= Q x （7.2.7）的一阶微分方程，称为一阶线性微分方程，其中 ( )P x、 Q x ( ) 都是已知的连续函数； ( ) Q x 称为自由项． 一阶线性微分方程的特点是方程中所含 y 和 y¢ 都是一次的． 若 ( ) 0 Q x ¹ ，称方程（7.2.7）为一阶非齐次线性微分方程；若 ( )Q x º ，即 0 ( ) 0 y¢ +P x y = ，（7.2.8）称为与一阶非齐次线性微分方程（7.2.7）相对应的一阶齐次线性微分方程． 1．一阶齐次线性方程的解法将（7.2.8）分离变量，得 d y P x x ( )d y = - ，两边积分，得 lny= -

_ò

P x x( )d + ln C ，由此得（7.2.8）的通解 ( )d e P x x y= C - ò ，（7.2.9）其中C 为任意常数．显然 y = 0 也是（7.2.8）的解．如果在（7.2.9）中允许 C = 0 ，则 y = 0 也包含在（7.2.9）中，因而（7.2.8）的通解为（7.2.9）． 2．一阶非齐次线性方程的解法方程（7.2.7）的解可用“常数变易法”求解，即将与（7.2.7）对应的齐次方程（7.2.8）的通解中的任意常数C 换成待定函数 ( ) C x ，即 ( )d ( )e P x x y= C x - ò ．（7.2.10）设（7.2.10）是方程（7.2.7）的解，因为 ( )d ( )d ( )e P x x ( ) ( )e P x x y¢=C x¢ -ò - C x P x - ò ，（7.2.11）将（7.2.10）和（7.2.11）代入方程（7.2.7），求得 ( )d ( ) ( )eP x x d C x ₌ Q x ò x C ₊

ò

，（7.2.12）将（7.2.12）代入（7.2.10），得一阶非齐次线性方程的通解

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第 7 章常微分方程 ( )d _{( )d} e P x x [ ( )eP x x d ] y₌ - ò Q x ò x₊C

ò

，（7.2.13）或 ( )d ( )d ( )d e P x x ( )eP x xd e P x x y₌ - ò Q x ò x C ₊ - ò

ò

．（7.2.14）（7.2.14）式中的第二项是齐次微分方程（7.2.8）的通解，记作Y ，第一项是当 C = 0 时的非齐次微分方程（7.2.7）的特解，记作 y * ，则非齐次微分方程（7.2.7）的通解为 * y=Y+ y ． 例 7.2.9 求微分方程 y¢ +ytanx= 2 cos x x 的通解．解此方程为一阶非齐次线性微分方程，其中 ( ) tanP x = x， Q x( )= 2 cos x x ．先求齐次线性微分方程 y¢ +ytanx = 的通解． 0 分离变量再积分，得 d y tan d x x y = - ，即 lny=ln cosx+ ln C ， cos y= C x ．设所给方程的通解为 y= C x( ) cos x ，则 y¢= -sinx C x× ( ) cos+ x C x × ¢ ( ) ， 将 y 和 y¢ 的表达式代入原方程中，有

sinx C x( ) cosx C x¢ ( ) C x( ) cosx tanx 2 cos x x

- × + × + × = ，即 cosx C x× ¢ ( )= 2 cos x x ，整理、分离变量并积分，得 2 ( ) C x =x + C ，将上式代入 y= C x( ) cos x 中，得原方程的通解为 2 ( ) cos y= x + C x ．若将上式改写成 2 cos cos y=C x+ x x ，则第一项为齐次微分方程的通解，第二项为当 C = 0 时的非齐次微分方程的一个特解． 例 7.2.10 求微分方程 y y xln x x + ¢ = 的通解及满足初始条件 y _x₌₁= 0 的特解．解将方程改写为 1 ln y y x x ¢ - = ，这是一阶非齐次线性微分方程且 P x( ) 1 Q x( ) ln x x = - ， = ，由（7.2.13）式得 1 1 d d e x x[ ln e x x d ] y= - -ò

_ò

x ò - x+ C 1 [ ln d ] [ ln d ln ] x x x C x x x C x =

_ò

× + =

_ò

+ 2 (ln ) 2 x xé C ù = _ê + _ú ë û ．

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高等数学（下册）（经管、文科类）由初始条件 y x = 1 = 0 ，得 C = 0 ，故所求特解为 1 2 (ln ) 2 y= x x ． 例 7.2.11 求方程 (1+xsin ) dy y-cos dy x = 的通解． 0 解若将 y 看作 x 的函数，方程变为 d cos d 1 sin y y x= + x y ，（7.2.15）此方程既不是一阶线性方程，也不是可分离变量方程，不便求解． 但若将 x 看作 y 的函数，即（7.2.15）式两边分子与分母颠倒，有 d 1 sin sec tan d cos x x y y x y y y + = = + ，即 d tan sec d x x y y y - = ， 上式关于未知函数 x 及其导数 d d x y 是线性的，也即一阶非齐次线性微分方程，其中 ( ) tan ( ) sec P y = - y， Q y = y ．由（7.2.13）式，得 tan d tan d e y y[ sec e y y d ] x= - -ò

_ò

y ò - y+ C sec [ 1dy y C] sec (y y C ) =

_ò

+ = + ，所以，原方程通解为 cos y C x y + = ． 例 7.2.12* 设某企业t 时刻产值 ( ) y t 的增长率与产值 ( ) y t 以及新增投资2bt 有关，并满足方程 2 2 y¢ = - aty+ bt ，（7.2.16）其中a、 b 均为正常数， y(0) =y0 < ，求 ( ) b y t ． 解方程（7.2.16）对应的齐次方程为 d 2 d y aty t = - ，分离变量再积分，得 y= C e - at 2 ，令（7.2.16）的通解为 y= C t ( )e - at 2 ， 将 y 及 y¢=C t¢ ( )e-at2- 2atC t ( )e - at 2 代入（7.2.16）式，得

2 ( ) 2 e at C t¢ = bt ，积分，得 _{C t}( ) b e at 2 _C a = + ，

(13)

第 7 章常微分方程于是方程（7.2.16）的通解为 y t( ) b C e at 2 a - = + ，将初始条件 y(0) = y 0 代入通解，得 0 b C y a = - ，故所求产值函数为 2 0 ( ) b b e at y t y a a - æ ö = +_ç - _÷ è ø ． 3*．伯努利（Bernoulli）方程形如 ( ) ( ) n y¢ +P x y= Q x y （ n ¹ ， 0 1 ）（7.2.17） 的方程称为伯努利方程，其中 n 为常数，当 n = 0 或 1 时是线性微分方程．伯努利方程不是线性方程，但可通过变量替换 1 n z= y - ，将其化为一阶线性微分方程． 将（7.2.17）式两边同除 n y ，得 1 d ( ) ( ) d n y n y P x y Q x x - - + = ．（7.2.18）将 d (1 ) d d d n z y n y x x - = - 代入（7.2.18），（7.2.17）式可化为一阶线性方程 d (1 ) ( ) (1 ) ( ) d z n P x z n Q x x + - = - ，（7.2.19）解得（7.2.19）的通解 z= z x ( ) ，再代入 1 n z= y - 中，即得（7.2.19）的通解 ( 1) ( )d (1 ) ( )d 1 en P x x (1 ) ( )e n P x x d 1 n y- - ò é_ê -n Q x - ò x+C ù _ú= ë

ò

û ，其中C 为任意常数．伯努利方程也可利用常数变易法求解． 例 7.2.13 解微分方程 d 4 d y y x y x-x = ．解这是 1 2 n = 的伯努利方程．可令z= y ，则方程化为 d 2 d 2 z x z x-x = ，其通解为 2 2 d d 2 ln 2 e e d 2 x x x x x z x C x C x - æ ö æ ö ò ò = ç_ç + ÷ _÷= ç + ÷ è ø è

ò

ø ，故原方程的通解为 2 2 4 ln 2 x y=z =x æç + C ö ÷ è ø ．

(14)

高等数学（下册）（经管、文科类） 例 7.2.14 解微分方程 d 1 ₂ ₃ d y x = xy+ x y ．解此方程不属于已学过的类型（可分离变量、齐次、线性、伯努利方程）．但若将方程改写为 2 3 d d x xy x y y = + ，或 3 2 d d x yx y x y - = ， 这是一个以 y 为自变量， x 为因变量的伯努利方程（ n = 2 ）．令 z 1 x = ，得 3 d d z yz y y + = - ，这是一个以y 为自变量， z 因变量的线性方程，根据通解公式，得到方程的通解 d ₃ d 1 e y x e y x d z y y C x - _ò _æ _ò _ö = = ç- + ÷ è

ò

ø 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 e e d e e ( 2) y y y y y y C y C - æ ö - é ù ç ÷ ê ú = - + = - - + ç ÷ _ê _ú è

ò

ø ë û 2 2 2 e 2 y C - y = - + ．现将一阶以及能化为一阶微分方程的解法归纳如表 7.1 所示．表 7.1 一阶以及能化为一阶微分方程的解法类型微分方程解法可分离变量 d ( ) ( ) d y f x g y x = 分离变量，两边积分齐次 d ( ) 0 d y P x y x + = 分离变量，两边积分；或用公式 ( )d P x x y= Ce - ò 一阶线性非齐次 d ( ) ( ) d y P x y Q x x + = 常数变易法；或用公式 ( )d ( )d e P x x ( )eP x x d y₌ -ò é Q x ò x₊C ù ê ú ë

ò

û 可化为一阶线性方程 ( ) ( ) n y¢ +P x y= Q x y 令 _z₌_y1 n - _{，将原方程化为}d ₍₁ _{) ( )} ₍₁ _{) ( )} d z n P x z n Q x x + - = - 1 (_e 1) ( )d ₍₁ _{) ( )e}(1 ) ( )d _d ₁ n n P x x n P x x y - - ò é _-n Q x - ò x₊C ù ₌ ê ú ë

ò

û 习题 7.2 1．求下列微分方程的通解或特解．

(15)

第 7 章常微分方程（1） y¢ +y= x e x ；（2） d 2 0 d y xy x + = ；（3） d 3 2 e d x y x y x x - = ， y x = 1 = ； 0 （4） 6 4 ex 0 xy¢ - y-x = ， y x = 1 = ； 1 （5） d e d x y y x - = - ；（6） d 3 2 d y xy x x - = ；（7） _y 2 y _x2 _{sin 3}_x x ¢ - = ；（8） 2 2y e x y x x - ¢ + = ；（9） 2 2 2 (1+t )ds-2 dts t=(1+ t ) d t ；（10） 2 2 dy x+(y -6 )dx y = 0 （提示：将 x 看成 y 的函数）； （11） y¢ -y= cos x ， y x = 0 = ； 0 （12） 2 1 2 1 x y y x - ¢ + = ， y x = 1 = ． 0 2 * ．解下列伯努利方程．（1） 2 xy¢ +y= - xy ；（2） 3 y¢ +y= xy ；（3） 3 2 2 y y y x x ¢ + = ；（4） 2 x y y y ¢ - = ．

*7.3 可降阶的高阶微分方程

二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，可通过降阶法求其解．所谓降阶法，就是利用变换降低高阶微分方程阶数求其通解的方法．下面给出的几种 特殊类型高阶方程的降阶法． 7.3.1 y (n) =f(x) 型的微分方程 此类型的微分方程可通过等式两边逐次积分 n 次求得通解，即 ( 1) 1 ( ) d n y - =

_ò

f x x+ C ， ( 2) 1 2 [ ( ) d ]d n y - =

_{ò ò}

f x x C+ x+ C ，

L

依此类推，便可得到含有 n 个任意常数的通解． 例 7.3.1 求解微分方程 y¢¢¢ =sinx- cos x ．解连续积分三次得到 1

(sin cos )d cos sin

y¢¢ =

_ò

x- x x= - x- x+ C ， 1 2 sin cos y¢ = - x+ x C x C + + ， 2 1 2 3 cos sin 2 C y= x+ x+ x +C x+ C ． 这就是微分方程的通解，其中 C1，C2，C3 为任意常数。

(16)

高等数学（下册）（经管、文科类） 例 7.3.2 求微分方程 ( 4) e x y = + x 满足初始条件 0 0 x y = = ， y ¢ x = 0 = 0 ， 0 1 x y = ¢¢ = - ， 0 1 x y = ¢¢¢ = - 的特解．解对方程连续积分四次，得 2 1 1 e 2 x y¢¢¢ = + x + C ， 3 1 2 e 6 x x y¢¢ = + +C x+ C ， 4 2 1 2 3 e 24 2 x x C y¢ = + + x +C x+ C ， 5 3 2 1 2 3 4 e 120 6 2 x x C C y= + + x + x +C x+ C ．这就是微分方程的通解，其中 C₁，，，为任意常数． C₂ C₃ C ₄ 再由初始条件 x = 0 时， y¢¢¢ = - ，得 1 C = - ； 1 2 x = 0 时， y¢¢ = - ，得 1 C = - ； 2 2 0 x = 时， y¢ = ，得 0 C = - ； 3 1 x = 0 时， y = 0 ，得 C = - ， 4 1 故满足初始条件的特解为 5 3 2 1 e 1 120 3 x x y= + - x -x - - x ． 7.3.2 y"=f(x,y') 型的微分方程 微分方程 ( , ) y¢¢= f x y ¢ （7.3.1） 中不显含未知函数 y ，但可通过变量替换将其降为一阶微分方程来求解． 令 y¢ = ，则 p d d p y p x ¢¢= = ¢ ，代入方程（7.3.1），得 d ( , ) d p f x p x = ，（7.3.2）若能求出方程（7.3.2）的解 p= p x C ( , 1 ) ，则 1 ( , ) y¢ = p x C ，（7.3.3） 再求解一阶微分方程（7.3.3），便得到通解 y ． 例 7.3.3 求微分方程 2 ₂ 1 xy y x ¢ ¢¢ = + 满足初始条件 y x = 0 = 1 ， y ¢ x = 0 = 3 的特解． 解设 y¢ = ，则 yp ¢¢= p ¢ 代入后分离变量，得 d 2 d ₂ 1 p x x p = x + ．两边积分，得 2 1 lnp=ln(x +1)+ ln C ，即 2 1 ( 1) y¢ =C x + ，由初始条件 y ¢ _x₌₀= 3 ，得 C = ，因此 ₁ 3 2 3 3 y¢ = x + ，再积分，得 3 2 3 y=x + x+ C ，再由 y x = 0 = 1 ，得 C = ，于是所求特解为2 1

(17)

第 7 章常微分方程 3 3 1 y=x + x + ． 例 7.3.4 求解微分方程 y¢¢=y¢ + ． x 解设 p= y¢ ，则 y¢¢= p ¢ ，原方程化为 , p¢= p+x p¢ -p= ， x d d 1 1 e x( e xd ) e (x e dx ) p₌ ò x -ò x₊C ₌ x - x₊C

ò

1e e e e ) 1 e 1 x x x x x C (x - - C x = - + = - - ， 2 1 1 2 ( e 1)d e 2 x x x y=

_ò

C - -x x=C - - + x C ． 7.3.3 y"=f(y,y') 型的微分方程 微分方程 ( , ) y¢¢= f y y ¢ （7.3.4） 中不显含自变量 x ．因此也需通过变量替换，将其降为一阶微分方程来求解． 令 y¢ = ，但此时 p p看作是变量 y 的函数，即以 y 为新的自变量， p= p y ( ) 为新的未知函数，利用复合函数的求导法则，得 d d d d d d d d p p y p y p x y x y ¢¢ = = × = ，代入方程（7.3.4），得到一阶方程 d ( , ) d p p f y p y = ，（7.3.5）设方程（7.3.5）的通解为 1 ( , ) y¢ =p= j y C ，（7.3.6）方程（7.3.6）为一阶可分离变量的微分方程，分离变量并积分，即可得到方程（7.3.4）的通解 2 1 d d ( , ) y x C y C j = +

ò

． 例 7.3.5 求解微分方程 2 2yy¢¢+y ¢ = 0 （ y > 0 ）． 解设 y¢ = ，则 p d d p y p y ¢¢ = ，代入方程后，有 ₂ d 2 ₀ d p yp p y + = ，分离变量，有 d d 2 p y p = - y ，两边积分，有 ln 1 ln ln 2 p= - y+ C ，

(18)

高等数学（下册）（经管、文科类）所以 p C y = ，又由于 d d y p x = ，所以 y yd = C x d ，两边积分，得 3 2 1 2 y =C x+ C （ ₁ 3 2 C = C ），故 2 3 1 2 ( ) y= C x+ C ．现将可降阶的高阶微分方程的解法归纳如表 7.2 所示。表 7.2 可降阶的高阶微分方程的解法类型解法（降阶法） d ( ) d n n y f x x = 连续积分 n 次 ( , ) y¢¢= f x y ¢ 令 y¢ = ，则 yp ¢¢= p ¢ ， d ( , ) d p f x p x = ( , ) y¢¢= f y y ¢ 令 y¢ = ，则 p d d p y p y ¢¢ = ， d ( , ) d p p f y p y = *习题 7.3 求下列各微分方程的通解．（1） y¢¢ =x+ sin x ；（2） y¢¢¢ = x e x ；（3） y 1 ₂ x ¢¢ = ；（4） 2 1 ( ) y¢¢= + y ¢ ； （5） y¢¢=y¢ + ； x （6） xy¢¢+y ¢ = ； 0 （7） 2 1 ( ) yy¢¢+ = y ¢ ；（8） y y¢¢ - = ； 3 1 0 （9） 3 ( ) y¢¢= y¢ + y ¢ ．

7.4 二阶常系数线性微分方程

7.4.1 二阶线性微分方程解的性质 形如 y¢¢+p x y( ) ¢ +q x y( ) = f x ( ) （7.4.1）的微分方程称为二阶线性微分方程． 当 ( ) 0 f x º 时，称方程 ( ) ( ) 0 y¢¢+p x y¢ +q x y = （7.4.2）

(19)

第 7 章常微分方程 为二阶齐次线性微分方程．当 ( ) 0 f x ¹ 时，称（7.4.1）式为二阶非齐次线性微分 方程. 特别地，若 ( )p x， q x ( ) 分别为常数 p， q 时，方程（7.4.1），（7.4.2）分别为 ( ) y¢¢+py¢ +qy= f x ，（7.4.3） 0 y¢¢+py¢ +qy = ．（7.4.4）方程（7.4.3）称为二阶常系数非齐次线性微分方程，方程（7.4.4）称为二阶常系数齐次线性微分方程．为了研究二阶常系数线性微分方程的解法，首先讨论二阶齐次线性微分方程解的结构． 定理 7.4.1 如果 y₁，是方程（7.4.2）的两个解， y ₂ C1，为任意常数，则 C 2 1 1 2 2 y=C y + C y 也是（7.4.2）的解．证明由定理假设，有 1 ( ) 1 ( ) 1 0 y¢¢+p x y¢ +q x y = ， y2¢¢+p x y( ) 2¢ +q x y ( ) 2 = ． 0 分别用 C₁，乘以上面两式后相加，得 C ₂ 1[ 1 ( ) 1 ( ) ]1 2[ 2 ( ) 2 ( ) 2 ] 0 C y¢¢+p x y¢+q x y +C y¢¢+p x y¢ +q x y = ，即 (C y_{1 1}+C y₂ ₂)¢¢+p x C y( )( _{1 1}+C y₂ ₂)¢ +q x C y( )( _{1 1}+C y ₂ ₂)= ， 0 证得 C y_{1 1}+ C y ₂ ₂是方程（7.4.2）的解．定理 7.4.1 表明，二阶齐次线性微分方程的解符合叠加原理，但叠加后的解 1 1 2 2 C y + C y 是否为（7.4.2）的通解？我们知道，一个二阶微分方程的通解中应含有两个相互独立的任意常数．若 2 1 y = ky （k 为常数），则 1 1 2 2 1 1 2 1 ( 1 2) 1 1 C y +C y =C y +C ky = C +kC y = Cy ，即常数合为一个，此时 C y1 1+ C y 2 2 不是方程（7.4.2）的通解．若 2 1 y k y ¹ （k 为常数），则 C y_{1 1}+ C y ₂ ₂是方程（7.4.2）的通解．若 2 1 y k y ¹ （k 为常数），则称 y 与 1 y 是线性无关的（或线性独立的）2 ；否则称为线性相关的．综合以上分析，有如下定理： 定理 7.4.2 如果 y₁，是方程 y ₂ （7.4.2）的两个线性无关的特解，则 Y =C y_{1 1}+ C y ₂ ₂ 是方程（7.4.2）的通解．例如，容易验证 y ₁= e - x 与 y₂= x e - x 都是方程 y¢¢+2y¢ +y = 的解，而且 0 2 1 y x y = ，不为常数，即 e x - _{与 e}x x - 线性无关，故 1e 2 e x x Y =C - + C x - 是方程 2 0 y¢¢+ y¢ +y = 的通解．类似于一阶线性微分方程，有

(20)

高等数学（下册）（经管、文科类） 定理 7.4.3 如果 * y 是二阶非齐次微分方程（7.4.1）的一个特解，而 Y =C y_{1 1}+ C y ₂ ₂ 是与（7.4.1）对应的齐次微分方程（7.4.2）的通解，则 * y=Y+ y 为非齐次微分方程（7.4.1）的通解. 证明由定理假设，有 ( ) ( ) 0 Y¢¢+p x Y¢ +q x Y = ， * _{( )} * _{( )} * _{( )} y¢¢+p x y¢ +q x y = f x ，上面两式相加，得 * * * (Y+y )¢¢+p x Y( )( +y )¢ +q x Y( )( +y )= f x ( ) ，即 * Y+ y 是方程（7.4.1）的通解．例如，方程 y¢¢+2y¢ +y=x + 是二阶非齐次线性微分方程， 2 Y =C₁e-x+ C x ₂ e - x 是对应的二阶齐次微分方程的通解；又可验证 * y = x 为所给方程的一个特解，因此 1e 2 e x x y=C - +C x - + x 为所给方程的通解． 定理 7.4.4 设二阶非齐次线性微分方程（7.4.1）的右端 ( ) f x 是几个函数之和，如 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) y¢¢+p x y¢ +q x y= f x + f x ，（7.4.5）而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程 1 ( ) ( ) ( ) y¢¢+p x y¢ +q x y= f x 与 y¢¢+p x y( ) ¢ +q x y( ) = f x 2 ( ) 的特解，则 * * 1 2 y + y 为原方程的特解．证明将 * * 1 2 y=y + y 代入式（7.4.5）的左端，得 * * * * * * 1 2 1 2 1 2 (y +y )¢¢+p x y( )( +y )¢ +q x y( )( + y ) * * * * * * 1 1 1 2 2 2 (y¢¢ p x y( ) ¢ q x y( ) ) (y¢¢ p x y( ) ¢ q x y ( ) ) = + + + + + 1( ) 2 ( ) f x f x = + ，因此， * * 1 2 y + y 是方程（7.4.5）的一个特解．此定理通常称为二阶非齐次线性微分方程的解的叠加原理． 定理 7.4.1 至定理 7.4.4 都可推广到 n 阶（齐次、非齐次）线性微分方程，这里 不再赘述． 7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 由以上讨论可知，若要求二阶常系数齐次线性微分方程（7.4.4）的通解，只需求其两个线性无关的特解．由于指数函数 _{y =}e rx _{（ r 为实的或复的常数）和它的各阶导数都只相差一个常} 数因子，所以我们用 y = e rx 来尝试，选取适当的常数 r ，使得 y = e rx 满足方程（7.4.4）．

(21)

第 7 章常微分方程将 y = e rx 求导，得 y¢ = r e rx ， 2 e rx

y¢¢ = r ，再将y 、 y¢ 和 y¢¢ 代入方程（7.4.4），得

2 e (rx r +pr+q )= 0 . 由于 erx ¹ ，所以有 0 r2 +pr+q = 0 . （7.4.6） 由此可见，若 r 是方程（7.4.6）的一个根，则函数 _{y =}e rx _{就为方程（7.4.4）的} 一个解．方程（7.4.6）称为方程（7.4.4）的特征方程．这样求方程（7.4.4）的解就转化为求它的特征方程（7.4.6）的根的问题．特征方程（7.4.6）是一个二次代数方程，其根 r 、 ₁ r 可用公式 ₂ 2 1, 2 4 2 p p q r = - ± - 求出，由根的三种可能情况，可得方程（7.4.4）的通解．（1）特征方程（7.4.6）有两个不相等的实根： r₁¹ ． r ₂ 此时， 1 1 e r x y = ， 2 2 e r x y = 是方程（7.4.4）的两个解，并且 2 2 1 1 ( ) 2 1 e e e r x r r x r x y y - = = 不是常数，所以方程（7.4.4）的通解为 1 2 1e 2 e r x r x y=C + C ．（2）特征方程（7.4.6）有两个相等的实根： r1=r2 = ． r 这时，只得到方程（7.4. 4）的一个解为 y = ₁ e rx ．为得到（7.4. 4）的通解，还需求出另一个解 y ，并且满足 ₂ 2 1 y y 不是常数．设 2 1 ( ) y u x y = ，即 2 1 ( ) e ( ) rx y = y u x = u x ，下面来求 ( ) u x ． 将 y 求导，得 ₂ 2 e ( ) rx y¢ = u¢ + ru ， y₂¢¢=e (rx u¢¢+2ru¢ + r u 2 ) ，

再将 y 、 2 y¢ 和 2 y¢¢ 代入方程（7.4.4）2 ，得 2

e [(rx u¢¢+2ru¢+r u)+p u( ¢ +ru)+qu ]= 0 ，

等号两端约去 e rx _，并按

u¢¢、u¢、 u 顺序合并同类项，得

2 (2 ) ( ) 0 u¢¢+ r+p u¢ + r +pr+q u = ， 由于 r 是特征方程（7.4.6）的二重根．因此 _r2 ₊_pr₊_q₌₀_，且₂_r₊_p₌₀_，于是得 0 u¢¢ = ． 因为只需要得到一个不为常数的解，所以不妨选取 u= ，由此得方程（7.4.4） x 的另一个解 2 e rx y = x ．从而方程（7.4.4）的通解为

(22)

高等数学（下册）（经管、文科类） 1e 2 e e ( 1 2 ) rx rx rx y=C +C x = C + C x ．（3）特征方程（7.4.6）有一对共轭复根： r1 a= + i b ， r2 =a- i b （ b ¹ 0）．这时， ( i ) 1 e x y = a+ b ， y₂= e (a- i ) b x 是方程（7.4.4）的两个解，但它们是复值函数，为了得到实数形式的解，需利用欧拉公式 iθ e =cosq+ i sin q 将 y 、 ₁ y 改写为 2 ( i ) i 1 e e e e (cos i sin ) x x x x y a+ b a b a bx bx = = × = + ， ( i ) i 2 e e e e (cos i sin ) x x x x y = a-b = a × - b = a bx- bx ．由于复值函数 y 与 ₁ y 之间成共轭关系，因此，取它们的和除以 2 就得到它们 2 的实部，取它们的差除以2i 就得到它们的虚部．由于方程（7.4.4）的解符合叠加原理，所以实值函数 1 1 2 1 ( ) e cos 2 x y = y +y = a bx， 2 1 2 1 ( ) e sin 2 x y y y x i a _b = - = ，还是方程（7.4.4）的解，且 1 2 e cos cot e sin x x y x x y x a a b b b = = 不是常数，所以方程（7.4.4）的通解为 1 2 e (x cos sin ) y= a C bx+ C bx ．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 y¢¢+py¢ +qy = 的通解的步骤 0 如下：（1）写出方程（7.4.4）的特征方程 2 0 r +pr+q = ．（2）求特征方程的两个根 r ， ₁ r ． ₂ （3）根据特征方程的两个根的三种不同情形，按照表 7.3 写出方程（7.4.4）的通解．表 7.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解类型特征方程通解两不等实根 r1¹ r 2 ， 1 2 1e 2 e r x r x y=C + C 两相等实根 r1=r2 = ， r ( 1 2 )e rx y= C + C x 二阶常系数齐次线性微分方程 y¢¢+py¢ +qy = 0 2 0 r +pr+q = 一对共轭复根 r1,2 =a± i b， 1 2 e (x cos sin ) y= a C bx+ C bx 例 7.4.1 解方程 y¢¢-2y¢ -3y = ． 0 解其特征方程为 2 2 3 0 r - r - = 或 (r+1)(r -3)= ，0

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第 7 章常微分方程于是 r₁= -1， r ₂= 3 ，故原方程通解为 3 1e 2 e x x y₌C - ₊C _． 例 7.4.2 解方程 y¢¢-4y¢ +4y = ． 0 解其特征方程为 2 4 4 0 r - r + = ，有两个相等的实根 r1=r 2 = ， 2 故原方程通解为 2 1 2 ( )e x y= C + C x ． 例 7.4.3 解方程 y¢¢-2y¢ +5y = ． 0 解其特征方程为 2 2 5 0 r - r + = ， r = ± 1,2 1 2i 为一对共轭复根，故原方程通解为 y=e (x C₁cos 2x+ C₂sin 2 ) x ． 7.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 由定理 7.4.3 知，二阶常系数非齐次线性微分方程（7.4.3） ( ) y¢¢+py¢ +qy= f x 的通解是它对应的二阶常系数齐次线性微分方程（7.4.4）的通解与它本身的一个特解之和．二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，所以这里只讨论求二阶常系数非齐次线性方程一个特解 * y 的方法．对于这个问题，我们只对 ( ) f x 取以下两种常见形式进行讨论．（1） f x( )= el x P x_m( ) 型，其中 P x_m( ) =a x_m m+a_m_-₁xm - 1 +L +a x₁ + a ₀是 x 的 m 次 多项式， l 为常数．方程（7.4.3）的特解 _y* _{是使（7.4.3）成为恒等式的函数．因为（7.4.3）式右} 端的 ( ) f x 是多项式 P x 与指数函数 e _m( ) l x _{的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数} 仍然是多项式与指数函数的乘积，所以猜测到方程（7.4.3）的特解应为 * ( )e x y = Q x l （其中 ( ) Q x 是某个多项式）的形式．为此可将 _y*_，_{y ¢}* _及_{y ¢¢}* _{代入方程（7.4.3），选} 取适当的多项式 ( ) Q x ，使 * ( )e x y = Q x l 满足方程（7.4.3）．具体讨论方法如下：由 * ( )e x y = Q x l 求得 * e [x ( ) ( )] y¢ = l lQ x + Q x¢ ， * _{e [}x 2 _{( )} ₂ _{( )} _{( )]} y¢¢ = l l Q x + lQ x¢ + Q x¢¢ ，将 _y*_，_{y ¢}* _及_{y ¢¢}* _{代入方程（7.4.3）并消去 e}l x _，得 2 m ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x¢¢ + l+p Q x¢ + l +pl+q Q x = P x ．（7.4.7）（1）若 l 不是特征方程（7.4.6）的根，即 2 0 p q l + l+ ¹ ．由于 ( ) P x 是一个 _m m 次多项式，要使（7.4.7）的两端恒等，可令 ( ) Q x 为另一个 m 次多项式 Qm ( ) x ： 1 1 1 0 ( ) ( ) m m m m m Q x Q x b x b x - b x b - = = + +L + + ， 代入（7.4.7）式，比较等式两端 x 同次幂的系数，得到以 b₀，，，为未知数 b₁ L b _m 的 m + 1 个方程的联立方程组，解出 b₀，，，，就得到所求的特解b₁ L b _m

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高等数学（下册）（经管、文科类） * ( )e x m y = Q x l ．（2）若 l 是特征方程（7.4.6）的单根，即 2 0 p q l + l+ = ，但2l+p¹ 0 ，此时（7.4.7）式成为 ( ) (2Q x¢¢ + l +p Q x) ¢ ( )= P xm ( ) ，要使其两端恒等， ( ) Q x ¢ 必须是 一个 m 次多项式，可令 ( ) m ( ) Q x = xQ x ，用同样的方法确定 Qm ( ) x 中的系数 b0，，，，从而求出特解． b1 L b m （3）若 l 是特征方程（7.4.6）的重根，即 2 0 p q l + l+ = ，且2l+p= 0 ，此时（7.4.7）式成为 ( )Q x¢¢ = P x m ( ) ，若要使其两端恒等， ( ) Q x ¢¢ 必须是一个 m 次多项 式，可令 2 ( ) _m( ) Q x = x Q x ，用同样的方法确定 Qm ( ) x 中的系数 b0，，，． b1 L b m 综上所述，可得以下结论：如果 f x( )= el x P x_m( ) ，那么方程（7.4.3）具有形如 * ( )e k x m y = x Q x l 的特解，其中 1 1 1 0 ( ) m m m m m Q x =b x +b _-x - +L +b x+ b 是一个与 ( ) P x 同次的待定多项 _m 式，k 为整数，且 0 k l l l ì ï = í ï î ，　 1， 2， 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程， 但这时k 是特征方程含根 l 的重复次数（即若 l 不是特征方程的根，则k 取0；若 l 是特征方程的 s 重根，则k 取 s ）． 例 7.4.4 求微分方程 y¢¢-5y¢ +6y = e x 的一个特解．解 这里 ( ) 1 P x = ， l _m =1 不是特征根，因此 k = 0 ，所以设该方程特解为 * e x y = b ，求出 _y*¢_，_y* ¢¢ 代入原方程，得 ex 5 ex 6 ex e x b - b + b = ，即 2 eb = x e x ．比较两边的系数，得 1 2 b = ，故 * 1 _e 2 x y = 是原方程的一个特解． 例 7.4.5 求微分方程 y¢¢-2y¢ -3y=3x + 的一个特解． 1 解原方程所对应的齐次方程的特征方程为 2 2 3 0 r - r - = ，特征根为 1 3 2 1 r = ， r = - ，从而对应的齐次方程的通解为当不是特征根时；当是单特征根时；当是重特征根时．

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第 7 章常微分方程 3 1e 2 e x x Y =C + C - ．将右端项3x + 1 看作 (3x + 1)e 0 x ，因为 l = 0不是特征方程的根，所以应设特解为 * 1 0 y =b x+ b ．代入原方程得 -3b x₁ -2b₁-3b₀=3x + ， 1 比较两端 x 同次幂的系数，得 1 1 0 3 3 2 3 1. b b b - = ì í - - = î ，由此求得 ₀ 1 3 b = ， b = - ． ₁ 1 于是所求特解为 * 1 3 y = - + x ．因此，原微分方程的通解为 3 1 2 1 e e 3 x x y=C +C - - + x ． 例 7.4.6 求微分方程 3 6 9 5 e x y¢¢+ y¢ + y= x - 的通解．解原方程所对应的齐次方程的特征方程为 2 6 9 0 r + r + = ，特征根是重根， 1 2 3 r =r = - ，于是齐次方程通解为 3 1 2 ( )e x Y = C + C x - ．原方程中， 3 ( ) 5 e x f x = x - ，其中 ( ) 5 P xm = x 是一次多项式， l = - 3是特征方程的重根，故k =2，于是设原方程特解为 * 2 3 1 0 ( )e x y =x b x b + - ，求 _y*_¢_，_y* _¢¢_，得 * 3 3 2 1 1 0 0 e x [ 3 (3 3 ) 2 ] y¢ = - - b x + b - b x + b x ， * 3 3 2 1 1 0 1 0 0 e x [9 ( 18 9 ) (6 12 ) 2 ] y_{¢¢ =} - b x _{+ -} b ₊ b x ₊ b _- b x₊ b _，代入原方程，得 3 3 1 0 (6b x+2 )eb -x = 5 e x - x ，于是 6b = ， 1 5 2b = ， 0 0 解得 1 5 6 b = ， b = ． 0 0 因此 * 5 3 _e3 6 x y ₌ x - ，于是原方程的通解为 * 3 3 2 1 5 e 6 x y=Y+y =æ_ç x +C x+ C ö _÷ - è ø ． 2． f x( )=e [ ( ) cosl x P x_l wx+ P x_n( ) sinwx] 型利用欧拉公式，将三角函数表示为复变指数函数的形式，有

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高等数学（下册）（经管、文科类） ( ) e [x _lcos _nsin ] f x = l P wx+ P wx i i i i e e e e e 2 2i x x x x x l n P P w w w w l - - é + - ù = _ê + _ú ë û ( i ) ( i ) e e 2 2i 2 2i x x l n l n P P l+w P P l- w æ ö æ ö =_ç + _÷ +_ç - _÷ è ø è ø ( i ) ( i ) ( )e x ( )e x P x l+w P x l- w = + ，其中 ( ) i 2 2i 2 2 l n l n P P P P P x = + = - 与 ( ) i 2 2i 2 2 l n l n P P P P P x = - = + 是互为共轭的 m 次多项式（即它们对应的系数是共轭复数），而 m= max{ , } l n ． 仿以上讨论结果，由 ( ) f x 中的第一项 P x( )e (l+ i ) w x ，可求出一个 m 次多项式 ( ) m Q x ，使得 1 * ( )e ( i ) k x m y = x Q x l+ w 为方程 ( i ) ( )e x y_¢¢₊py_¢₊qy₌P x l+ w 的特解，其中k 按 l+ iw不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．由

于 ( ) f x 的第二项 P x( )e (l- i ) w x 与第一项 P x( )e (l+ i ) w x 成共轭，所以与 y ₁* 成共轭的函数

* ( i ) 2 ( )e k x m y = x Q x l- w 一定是方程 ( i ) ( )e x y¢¢+py¢ +qy= P x l- w 的特解，其中 Q_m( ) x 是与 Qm ( ) x 成共轭的 m 次多项式．于是，方程（7.4.3）有形如 * k _e( i )x k _e( i ) x m m y ₌x Q l+w ₊x Q l- w 的特解，即 * i i e [ e e ] k x x x m m y =x l Q w + Q - w

e [ (cos i sin ) (cos i sin )]

k x m m x l Q wx wx Q wx wx = + + - ，由于括号内的两项是互成共轭的，相加后无虚部，所以可以写成实函数的形式， * (1) (2) e [ ( ) cos ( ) sin ] k x m m y =x l R x wx+ R x wx ．综上所述，有如下结论：如果 f x( )=e [ ( ) cosl x P x_l wx+ P x_n( ) sinwx] ，则二阶常系数非齐次线性微分方程（7.4.3）的特解可设为 * (1) (2) e [ ( ) cos ( ) sin ] k x m m y =x l R x wx+ R x wx ，其中 (1) ( ) m R x 、 R_m(2) ( ) x 是两个待定 m 次多项式， m= max{ , } l n ，而 0 i 1 i k l w l w + ì = í + î ，不是特征方程的根；，是特征方程的单根． 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程， 只是其中的k 是特征方程中含根 l+ iw（或 l- iw）的重复次数．