引言
机器人运动学主要有以下两个基本问题：
对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节变量，求末端执行器相对于 给定坐标系的位置和姿态。给定坐标系为固定在大地上的笛卡儿坐标系，作为机器 人的总体坐标系，也称为世界坐标系（
）已知机器人杆件的几何参数，给定末端执行器相对于总体坐标系的位置和 姿 态 确定关节变量的大小。
第一个问题常称做运动学正问题（ ，第二个
问题常称为运动学逆问题（ 。机器人手臂的关节
变量是独立变量，其末端执行器的作业通常在总体坐标系中说明。根据末端执行器 在总体坐标系中的位姿来确定相应各关节变量要进行的运动学逆问题的求解。机 器人运动学逆问题是编制机器人运动控制系统软件所必备的知识。
机器人位置与姿态的描述
机器人的各杆件的运动可在总体坐标系中描述，在每个杆件上建立一个附体 坐标系。运动学问题便归结为寻求联系附体坐标系和总体坐标系的变换矩阵。
机器人坐标系变换
矩阵 和 称为基本旋转矩阵。
为 了 表示 绕 坐标系各轴的多次转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于 矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。除绕 参考系的坐标轴转动 外 ， 坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。如果 坐标系绕 坐 标 系的一坐标轴转动则可对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵；如果 坐标系 绕自己的坐标轴转动，则可对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。
例 如：当 坐标 系 绕 坐标系顺序绕 轴旋转 角 ，绕 轴旋转 角 ，绕 轴旋转角 时，旋转变换矩阵为
轴
而当 旋 转
轴旋转
例 轴 转 旋转矩阵。
解
这时 ，而
（
角和绕 轴转 角的
类 似 地 ，绕 轴转 旋转矩阵分别为
坐标系绕自己坐标系顺序绕 轴旋转 角 ，绕 角 ，绕 角时，旋转变换矩阵为
求表示 轴转 角 ，然 后 绕 轴转 角，再绕 角的合成
式 中： ，其余类同。
绕任意轴转动的旋转矩阵
考虑动坐标系 绕任意单位矢量 转 动 角。研究这种转动的好处是对 于某种角运动，可以用 坐标系绕某轴 的一次转动代替绕 坐标系或 坐标系坐标轴的数次转动。设单位矢量 ，如 图 所 示 ，旋 转
过 程 为：绕 轴旋转 ，再绕 轴旋转 角 ，使 轴指向 轴的方向，然后绕 角 ，再 顺 序 绕 轴 旋
轴转过 转 角 ，绕 轴旋转 角 ，使 轴转回到它原来 的 位 置 。 即
以欧拉角表示的旋转矩阵
描述转动刚体相对于参考坐标系的方向可以用 个角度作为广义坐标，这 个角度称为欧拉角。有几种不同类型的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于 固定参考系的姿态，下面介绍 种最常用的欧拉角。
欧 拉角 方式 ：绕 轴转 角，接着绕转动后的 轴转 角，最后再绕转动 后 的 轴转 角 。这种 表示法通常用于 陀螺运动 ，旋转 的结果为
欧拉 角方式 ：绕 轴 转 角，绕转动后的 轴 转 角 ，最后绕转动后的 轴 转 角 。
分别指向 轴 和 轴的无穷远点。三维空间的位置矢量的齐次坐标 表达并不是惟一的，但若将 取为 ，则位置矢量变换后的齐次坐标和矢量的实际 坐标就相同了。在机器人学的应用中 总是取为
齐次变换矩阵是 矩阵，它能把一个以齐次坐标表示的位置矢量由一个坐 标系映射到另一个坐标系。齐次变换矩阵
写成以下形式
另一种表示转动的欧拉角称为侧倾（ 、俯仰（ ） 和 偏 转（ ）角
。这种形式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，它对应于如下的转动 角（偏
次序 ： 绕 轴 转 转） 绕 轴转 角（俯仰） 绕 轴转 角（ 侧 倾 ）。其 旋 转 矩 阵 ，为
齐次坐标和变换矩阵
齐次坐标是用 维坐标来描述 维空间中的位置，其第 个分量（元 素）称为比例因子。引入齐次坐标不仅对坐标变换的数学表达带来方便，而且具有 坐标值缩放功能。对三维空间位置矢量 ，其齐次坐标可以表示为
， ）。实际坐标和齐次坐标的关系如下：
原点
可以看出，直角坐标系 的齐次坐标为（ 为非零实数。齐 次坐 标（ 表 示 轴的 无 穷 远 点 ， 同 理 齐 次 坐 标 （ 和
式（ 与 式（ 是基本齐次变换阵。
基本齐次变换阵可以相乘以求得合成齐次变换阵。可是，矩阵乘法是不可交换 的，必须注意这些矩阵的相乘次序。也就是说：若动坐标系 绕（ 或 沿 系 主轴转动（或平移）则用相应的基本齐次阵左乘齐次变换矩阵 若动坐标系 绕（ 或 沿 ）它 自 己 的 主 轴 转 动（ 或 平 移 ），则 用 相 应 的 基 本 齐 次 旋 转（ 或 平 移 ）矩 阵 右 乘齐次变换矩阵。
总之， 齐次变换矩阵把在 坐标系中用齐次坐标表示的矢量映射到 参考坐标系中去，即
在机器人系统的运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式
若三维空间的位置矢量 表示成齐次坐标，即 ，那么利用 变换矩阵的概念，对纯转动， 旋转矩阵可扩展成 齐次变换矩阵：
使 坐 标系 的 原点 平 移到 参考
齐次平移矩阵 坐 标系 的
点，而保持坐标轴平行。
图 杆件的特 征参数
根据上述对杆件参数及坐标系的定义，描述串联机器人相邻坐标系之间的关
矩 阵
式中，
成
式中，
对于在第 坐标系中的点 在第 坐标系中表示为
确 定第 坐标 系相 对于 机座 坐标 系的位 置的 齐次 变换 矩阵 是各齐 次变换 的连乘积，可表示成
是固连在杆件 上的第 个坐标系的姿态矩阵， 是由机座坐标 矩 阵 为 时，求得的
系 原 点 指 向 第 个坐标系原点的位置矢量。特别当
，它确定了机械手的末端相对于机座坐标系的位置和姿态。可以把 矩 阵 写
为
为手的法向矢量， 为手的滑动矢量， 手的接近矢量， 为手的位置矢 量（ 见 图
图 手部坐标系 例 建立图 所示杆件末端的变换矩阵。
解 建立的坐标系如图 。这是二维坐标系（在三维空间中，各坐标系的 轴垂直于纸面），其相邻坐标系的变换矩阵为
。
容易验证上式的正确性，即末端位置为 ，姿态为
例 建立图 所示机器人相邻坐标系间的转换矩阵。
解 用 法建立坐标系转换矩阵，应首先列出各连杆及关节参数表。
将表 中的参数分别代入式（ 可得如下变换矩阵
图 机器人结构及坐标系
其中 和 分别代表 和
表 机器人的连 杆及关节参数
机器人运动学正问题
机器人运动学正问题是已知机器人各关节、各连 杆参数及各关节变量，求机器人手端坐标在基础坐标 中的位置和姿态。
例 确定图 所示机器人的位置和姿态。
解 用 法建立坐标系转换矩阵。首先列出各 所 示 。
连杆及关节参数，如表
表 斯坦福 机器人的 连杆及关 节参数
斯 坦 福 机 器 及 其 坐 可 得 如 下 变 标系
将表 中的参数分别代入式（
换矩 阵：
图
由手端坐标逐一向基础坐标变换，其过程如下：
机器人运动学逆问题
在编制机器人控制程序时，总是在总体坐标系中来指定机械手末端工具的位 置和姿态。为使机械手末端工具到达指定位置并具有指定姿态，必须驱动机器人各 关节由当前位置到达与末端工具位姿相应的位置。对于通用机器人，求解各关节相 应位置的工作由机器人系统程序完成。
目前，已经能够对一般结构的六自由度串联机器人进行逆运动学求解。但是，
要获得显式解，只有满足下列两个充分条件之一才行：
个相邻关节轴交于一点；
个相邻关节轴平行。
例 已知图 所示机器人位置和姿态，即已知式（ 矩 阵 中 各 元素 的值，试确定机器人各关节变量。
解 用 左乘 式（ 得
）
）左 端 为 方 程 式（
式（ ）中 行 列元素为常数，利用式（
为了解此类方程，作如下三角代换
式 中
将式（ ）代 人（ ）得
简化成
（ ）
由于
说 明角 度 ）在 范围内为
进 而 可 得
又由于
最后得
根据机器人运动连续性及回避障碍的需要，确定一个 知 。 由式（ 的 行 列 及 行 列 和 式（
由于 大 于 ，故可惟一确定 为
对应元素的相等关系可知
，从 而 式（ 左 边已 对应元素相等，列出
同时 可确定 为
）
用 依次左乘方程式（ 可 得以 下 个方程式
由式
即
解得
计 算式（ ）得
式 中
第 行 列为 可 得
）第 列 和第
由 式（ 行 行 列 可 得
）
） 解 得
由 式（ ）可 得
类似地有
机器人的雅可比矩阵
利用雅可比矩阵可以建立起机器人手端在基础坐标中的速度与各关节速度间 的关系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间的关系。因此，机器人雅可比矩 阵在机器人技术中占有重要地位。
雅可比矩阵的定义 自由度机器人
对于一个 ，其关节变量向量可写为
…
可得
设机器人手部在基础坐标中的位置和姿态为 ，则
其中前 个元素表示位置，后 个元素表示姿态。它们都是 个关节变量的函数，
所 以 也 可 写 为
， …
为了求手部的在基础坐标中的速度，可对式（ ）求 导
简 写成
式（ ）或 式（ ）表示手部在基础坐标中的速度 与关节速度 间的关系，
，称其为雅克比矩阵，它
联系它们的纽带为矩阵 的展开式为
式（ ）为机器人运动学正问题，即已知各关节速度求手端速度。
雅 可 比 矩 阵 的 求 法
个元素表
手部速度 的前 示手的线速度，后 个元素表示手的角速度，所以 将 写成分块形式
进而，式（ ）也可写成分块形式
比 较 式（ 与 式（ ，并注意到
② 当 第 个关节为转动关节时，
动，其余的关节静止不动，仍然利用 去，即
图 中的矢量 起 于
而
和 分别表示第 个关节变量引起的三
其中 维线速度系数和三维角速度系数。
由此式可见，只要求出 和 ，即可确定雅可比矩阵
的求法
① 当 第 个关节为移动关节时， ，如图 所 示。
① 当 第 个关节为移动关节时， ，如图 所 示。