材料模型之取得與驗證

光學玻璃熱壓成形製程有限元素分析可分為三階段：升溫、熱壓以及降溫，

其中所需考慮的項目如圖 1 所示。研究一開始即針對這些所需的材料性質進行 探討。初期所選用的材料為 OHARA 公司製造，Tg 點較低之四款光學玻璃進行 測試，最後再選取適合之玻璃材料進行後續研究。

圖 3 有限元素分析在各階段所需考慮之項目

5.1.1 熱膨脹曲線量測

針對升、降溫過程時玻璃的熱膨脹行為部分，如圖 4 所示，由於玻璃製造 商所提供的熱膨脹係數，如表 1，只有提供到 300°C，在 Tg 點之後的熱膨脹行 為，廠商並無提供資料。為了取得可應用在有限元素分析裡的資訊，研究中委託 台北科技大學奈米光電磁中心進行熱膨脹曲線量測實驗。

圖 4 玻璃熱膨脹曲線示意圖[15]

表 1 玻璃熱膨脹係數[15]

L-BAL42 S-FPL51 S-FPL52 S-FPL53 (-30~+70°C) 72 131 133 145 熱膨脹係數

α (10^-7/°C)

(+100~+300°C) 88 155 158 169

以玻璃材料L-BAL42 (Tg 點為 506°C)為例，實驗裡將玻璃裁切成圓柱形試 片，直徑8mm，高 25mm。在 100°C 以下升溫速率 2°C /min，100°C 以上升溫 4°C /min，升溫至 500°C 以上。另以上述設定對其餘三款玻璃 S-FPL51 (Tg 點為 458°C)、S-FPL52 (Tg 點為 445°C)及 S-FPL53 (Tg 點為 426°C)進行量測，熱膨脹 量測結果如圖 5 至圖 8 所示。後續有限元素分析將依據此處所得之熱膨脹曲線 進行相關模擬。

圖 5 L-BAL 42 熱膨脹曲線 圖 6 S-FPL 51 熱膨脹曲線

圖 7 S-FPL 52 熱膨脹曲線 圖 8 S-FPL 53 熱膨脹曲線

5.1.2 成形溫度下之材料模型

在尋找光學玻璃熱壓成形溫度下的材料模型之前，需先瞭解光學玻璃本身的 性質。光學玻璃是屬於非結晶材料，從製造過程中的高溫一路降到室溫取得成品 為止，這一連串降溫過程皆由黏度(viscosity)主導讓玻璃逐漸硬化。其中黏度對 溫度的關係可藉由示意圖 9 中觀察到。這種黏度對溫度的關係隨著玻璃成分的 不同而有所差異，但大致上趨勢是相同的。玻璃製造商通常不會對各批號玻璃都 提供這樣的關係圖，不過常會提供幾個對應到特定黏度的溫度資訊如下：

應力點（strain point）或下退火點（lower anneling point）：黏度為10^14.5dPa⋅s 的溫度點。

退火點（annealing point）或上退火點（upper annealing point）：黏度為 s

dPa⋅

1013 的溫度點。

軟化點（softening point）：黏度為10^7.6dPa⋅s的溫度點。

對於不同的光學玻璃，在Tg 點以上黏度對溫度的關係以經驗公式 VFT 方程 式[16]求得。VFT(Vogel-Fulcher-Tammann)方程式為：

0

log T T

A B + −

η= (式 1)

其中 T 為欲求得對應黏度之溫度點。A、B 及 T0這三個常數項則可藉由上 述特定的黏度-溫度對應點代入取得。

圖 9 光學玻璃黏度與溫度關係圖[17]

瞭解了光學玻璃黏度與溫度的關係後，便可切入光學玻璃熱壓成形部分。在 先前相關文獻討論中，光學玻璃熱壓成形的溫度是介於Tg 點與軟化點間，當玻 璃在這溫度區間內受壓變形，此時變形行為的相關論述便從黏度延伸至兩種材料 模型的假設：一種是黏塑性(Viscoplastic)，另一種為黏彈性(Viscoelastic)。

黏塑性材料的流變模型可視為摩擦滑塊與阻尼之組合，示意圖如圖 10。在 材料流動未達塑流應力(flow stress)時材料視為未變形（摩擦滑塊部分）；當材料 流動超過塑流應力時（

σ

σ

圖 10 黏塑性流變模型示意圖 圖 11 黏彈性流變模型示意圖

黏彈性的流變模型為彈簧與阻尼之組合，如圖 11 所示。黏彈性材料的性質 除黏性流動的特性外還包含了彈性回復的部分。但由於黏性流動（阻尼部分）為 時間的函數，造成彈性變形（彈簧部分）無法在瞬間進行反應，所以在兩者交互 作用下使得材料的變形行為出現潛變 (creep)或應力鬆弛(stress relaxation)的現 象，而非單純的黏性流動或彈性回復。由於黏彈性模型對於描述材料在受到固定 應力或固定應變的狀況下之變形行為略有不同，所以常以並聯方式組合的 Kevin-Voigt 模型描述潛變（固定應力）；以串聯方式組合的 Maxwell 模型描述應 力鬆弛（固定應變）。

由於玻璃在熱壓成形時以何種材料模型完整描述在此溫度下的變形行為仍 未定論，研究中乃針對這兩種材料模型進行研究，以尋找適用於整個製程分析之 材料模型。

首先以黏塑性進行探討。黏塑性模型如下式：

⎩⎨

圖 13 應變率 40%/min 模擬結果與實驗值應力—應變曲線比對

觀察圖示可看到模擬趨近與實驗有相當程度的吻合，顯示材料模型在真應變 速率為 40%/min 時採用此組參數是可行的。但在不同的應變速率下，則需再以 不同應變速率下的單軸壓縮模擬與實驗對照後，依照此組參數建立的彈-黏塑性 模型才可確立。

接著以真應變率為50%/min 以及 60％/min 的壓縮條件，代入依上述參數組 合建立的彈-黏塑性材料模型中，經計算得到塑流應力分別等於 24.9MPa 及 30MPa，並進行模擬以及實驗；模擬結果與實驗值的力量—位移及應力—應變圖 如圖 14 所示。比較圖形後發現模擬結果與實驗值的趨勢相當吻合；由此可知，

對於玻璃材料S-FPL52，在 Tg 點上 30°C 的成形狀況下，依照此組參數建立的彈 -黏塑性材料模型可以用來描述此時受力產生之變形行為，而此材料模型將可用 在玻璃熱壓成形分析中。

圖 14 應變率 40%/min, 50%/min 及 60%/min 下模擬結果與實驗值力量—位 移曲線比對

5.1.3 應力鬆弛試驗

在探討玻璃黏彈性行為時，最能表現出此特性的莫過於應力鬆弛試驗。由於 之前所使用的S-FPL52 在黏度特性的掌握上只有 Tg 點以上 30°C 這個溫度點，

要探討不同溫度點下的應力鬆弛行為則需要再進行多組實驗及模擬趨近，如此得 耗費許多時間。所以在這部分中，採用廠商有提供特定黏度對應溫度資訊的玻璃 材料L-BAL42（Tg 點為 506°C）。將其裁切為直徑 8mm、高度 8mm 之圓柱型試 片，分別以Tg 點(506°C)、Tg 點以上 50°C (556°C)以及 At 點以上 30°C (568°C) 進行單軸壓縮應力鬆弛實驗試驗，取得正規化應力(Normalized stress)對時間的關 係，試驗結果如圖 15 至圖 17。

圖 15 L-BAL42 在 Tg 點之 應力鬆弛曲線

圖 16 L-BAL42 在 Tg 點以上 50°C 之應力鬆弛曲線

圖 17 L-BAL42 在 At 點以上 30°C 之應力鬆弛曲線

圖 18 L-BAL42 應力鬆弛曲線平 移關係圖

將以上三個結果的時間軸取對數後發現應力鬆弛曲線有接近平移的關係，如 圖 18 所示。此關係可以經驗公式 Williams-Landal-Ferry 方程式[18]來描述，方 程式如下：