如前面章節所述，本研究將採用葛蘭傑因果分析(Granger causality)來進 行迴轉機械的「異常根本原因診斷」，而所謂的因果性分析是一種用來分析 下三大類，分別為 葛蘭傑因果分 析(Granger Causality)、 轉換熵(Transfer Entropy)及 Convergent Cross Map，其中，葛蘭傑因果分析是由諾貝爾經濟學 獎得主 Clive Granger 於 1969 年提出[24]，其基本概念為：「未來的事件無 法對現在及過去產生影響，只有過去的事件才可能對現在及未來產生影響」， 所以欲探討變數 Y 是否與變數 X 有因果關係時(即變數 Y 是否為變數 X 之 因)，只需要考慮變數 Y 過去的值是否會影響變數 X 現在的值。所以，當額 們用變數 X 的過去值來描述變數 X 的現在值，而加入變數 Y 的過去值可以 幫助我們更精確的描述變數 X(即誤差更小)，則此時可以稱『Y Granger-cause X』。
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3.1 時域葛蘭傑因果分析
最初發展的葛萊傑因果分析只能在時域進行因果檢定，其使用了兩個基 本的假設：1. 隨機變數 X、Y 是平穩的(Stationary)時間序列；2. 變數 X、Y 的關係可以用自回歸模型(Autoregressive model)來描述，根據以上假設，我 們可以將變數 X、Y 用方程式(3. 1)來表示： Summability)與平穩性(Stablility)，如方程式(3. 2)與方程式(3. 3)、(3. 4)所示：
∑𝑝𝑘=1‖𝐴‧,𝑘‖2 < ∞ (3. 2)
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X 現在值越有顯著的幫助，Cov(𝜀𝑥,𝑡)就會越小，而𝐹𝑌→𝑋值則會越大，代表其 因果性就越強。
3.2 頻域葛蘭傑因果分析
隨著葛蘭傑因果分析被發明後將近 45 年的發展，其理論已經擴展到頻 域(spectral)[25]、時頻域(time-frequency)[26]、非線性(Nonliear)[27-29]、多變 量(Multivariate)[30]等等領域，而其中頻域及時頻域之葛蘭傑因果分析又特 別適合拿來分析迴轉機械之故障行為，因為迴轉機械所量測到的振動頻率經 常跟轉速有關，例如主軸的偏心或動不平衡會造成 1 倍轉速頻增強，而不對 心及基座鬆脫也會使 2 倍轉速頻變大等等，其中，軸承的故障頻率更可以透 過軸承的幾何參數(內徑、外徑、滾珠數、滾珠與外徑的接觸角)推導而得，
如圖 3-1 所示。所以，本研究將採用頻域之葛蘭傑因果分析來作為之後的研 究方法。
圖 3 - 1 軸承故障種類與其對應的特徵頻率，其中𝑓𝑁為轉速頻率
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頻域的葛蘭傑因果分析可由以下的推導得出。首先，將上述之方程式(3.
1)整理後可以得到(3.8)式，接著移項後得到方程式(3.9)，對(3.9)式做傅立葉 轉換(Fourier Transform)後就可以得到方程式(3. 10)。
[ 𝐴
𝑥𝑥(𝐿) 𝐴
𝑥𝑦(𝐿)
S(𝜆)為 X、Y 之 cross-power spectral density (CPSD)，如方程式(3. 11)所示，按照 CPSD 的定義，其中的𝑆𝑥𝑥(𝜆)可以表示成(3. 12)式。
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此時(3. 15)式已經沒有同時受到 X,Y 影響的𝑯𝒙𝒙(𝝀)𝚺𝒙𝒚𝑯𝒙𝒚(𝝀)∗(cross term)，
因此，可以將頻域上的 Granger Causality 定義為(3. 16)式。
𝑓𝑌→𝑋(𝜆) ≡ ln ( |𝑆𝑥𝑥(𝜆)|
|𝑆𝑥𝑥(𝜆)−𝐻𝑥𝑦(𝜆)Σ𝑦𝑦𝐻𝑥𝑦(𝜆)∗|) (3. 16) 由於此推導建立在將(3.9)式乘上𝑈，使得Σ𝑥𝑦 = 0，在 Barnett [30]的論文裡也 有證明，乘上𝑈後得到的𝑓𝑌→𝑋(𝜆)為一不變量(invariant)。最後考量沒有乘上𝑈 時的𝑓𝑌→𝑋(𝜆)，透過(3.17)式變數變換的技巧，可以得到 Spectral Granger Causality 也就是𝑓𝑌→𝑋(𝜆)如以下方程式(3.18)所示。
Σ𝑦|𝑥 ≡ Σ𝑦𝑦− Σ𝑦𝑥Σ𝑥𝑥−1Σ𝑥𝑦 (3. 17) 𝑓𝑌→𝑋(𝜆) ≡ ln ( |𝑆𝑥𝑥(𝜆)|
|𝑆𝑥𝑥(𝜆)−𝐻𝑥𝑦(𝜆)Σ𝑦|𝑥𝐻𝑥𝑦(𝜆)∗|) (3. 18) 最後，將時域定義之 Granger Causality 與頻域定義之 Granger Causality 放在 一起比較，其關係也符合傅立葉轉換的定義，如方程式(3. 19)所示。
1
2𝜋∫02𝜋𝑓𝑌→𝑋(𝜆)𝑑𝜆 = 𝐹𝑌→𝑋 (3. 19) 本研究中將以 Barnett [30] 等人在 2014 年發表的 MVGC (Multivariate Granger Causality)演算法來開發迴轉機械的「異常預診」與「根本原因診斷」
系統。MVGC 是一個免費的 Matlab Toolbox，其中提供了包括時域及頻域的 葛 蘭 傑 因 果 分 析 演 算 法 ， 下 載 的 網 址 為 ： http://users.sussex.ac.uk/~lionelb/MVGC/html/mvgchelp.html。
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