極平面圖像和三維空間的關係

為了描述空間中物體位置和極平面圖像紋理之間的關係，我們以圖 2-10 作 為範例。在圖 2-10 中分別為三個和攝影機陣列距離不同的平面以及一個給定的 極平面，而圖 2-11 則是對應該極平面所得到的極平面圖像。可以發現空間中的 各平面都會在極平面圖像上形成了一條由右上往左下延伸的帶狀紋理，距離攝影 機越近的平面所對應到的帶狀紋理斜率越小，而當平面在無窮遠處時所對應帶紋 理形斜率為 0。這是因為空間中的物體投影到攝影機成像平面時，同一件物體在 不同影像上的位置變化會呈現平移的關係，距離攝影越近的平面，在不同的攝影 機成像上的位置移動就會越大，對應到極平面上的圖像紋理斜率會越小。此外可 以發現在極平面圖像上，同一影線平面點位置，斜率較小的帶狀紋理會覆蓋斜率 較大的帶狀紋理。

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圖 2-10 攝影機和三張不同距離的平面在空間中的關係

圖 2-11 在圖 2-10 中所得到的極平面圖像

圖 2-12 以實際影像說明空間中的物體位置與極平面圖像紋理之間的關係。

圖中在極平面圖像下面的是最右邊攝影機擷取影像的下半部份，而在極平面圖像 上面的是最左邊攝影機擷取影像的上半部。可以明顯看出影像中遠景的區域，例 如後方的牆壁(紅色標記處)，在極平面圖像形成的帶狀紋理斜率較大；而影像中 前景區域，例如影像中的盆栽(綠色標記處)，所對應的條狀紋理斜率較小。

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}

}

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The image of leftest camera

The image of most right camera

EPI

圖 2-12 真實影像所得到的極平面圖像和攝影機擷取影像的關係 [7]

由以上的描述，我們可以知道帶狀紋理的斜率大小和彼此覆蓋的現象包含了 三維空間中物體位置資訊。以下我們將討論攝影機陣列、極平面圖像以及三維空 間中的物體彼此之間的關係。

為了方便討論，我們將攝影機陣列置於三維空間中Z =0上。在三維空間中 的一點(X,Y,Z)和攝影機之間的位置關係如圖 2-13，需要注意的是圖中Z軸的 正方向是向下，且P軸和X軸方向一致。θ 為攝影機和Z =0之間的夾角，且攝 影機擷取影像的水平座標u =tanθ。因此該點(X,Y,Z)和極平面圖像P−u平面 間的關係表示式如下：

Zu X

P= + (1)

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圖 2-13 位於Z =0上的攝影機陣列和空間中一點(X,Y,Z)的位置關係

以下我們參考 2-1 式說明在極平面圖像P−u上不同的直線方程式對在三維 空間的意義[9]：

(1) 在極平面圖像上一直線 P=const.，如圖 2-14(a)，相當於在Z =0平面上 某一台攝影機擷取影像上的一條水平掃描線。

(2) 在極平面圖像上一直線 P=au+b(a<0)，如圖 2-14(b)，相當於在三維 空間中Z <0的一個物件點。

(3) 在極平面圖像上一直線 P=au+b(a>0)，如圖 2-14(c)，相當於一個在

>0

Z 的視點所看到的影像的一條水平掃描線。

P

u

P

u

P

u

(a) (b) (c)

圖 2-14 極平面圖像上各種不同直線的示意圖 (a)P=const. (b)^P=au+b(a<0) (c)P=au+b(a>0)

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從上述的說明中可以知道，藉由極平面圖像所提供的資訊以及對應再三維空間中 的關係，我們能夠合成出空間中不同視點所對應的虛擬影像。