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3.3 基本模型均衡分析
本節首先探討一家垂直整合廠商、(N-1)家上游廠商面對一家獨立下游廠商的市場 結構。3.3.1 首先解出下游廠商無產能限制下的均衡，接著 3.3.2 探討下游廠商受 限於產能限制下的均衡，以及產能限制程度不同所造成的差異。
3.3.1 垂直整合廠商無產能限制
在下游最終財市場中，有兩家獨立廠商進行數量競爭，並各自選擇 𝑞1 , 𝑞2 以極 大化 𝜋𝐷1, 𝜋𝐷2：
max𝑞1 𝜋𝐷1＝(1 − 𝑞1 − 𝑞2 )𝑞1 + 𝑠1∙ 𝑤,
(1)
max𝑞2 𝜋𝐷2＝(1 − 𝑞1 − 𝑞2 − 𝑤) 𝑞2 .(2)
下游廠商 𝑞1, 𝑞2 反應函數如下：𝑞1(𝑞2, 𝑘) =1 − 𝑞2 2 𝑞2(𝑞1) =1 − 𝑞1− 𝑤
2
(3)
將目標式(1)及(2)分別對變數 𝑞1 及 𝑞2 一階偏微分，聯立求解可得兩家獨立下游 各自最終財產量：
𝑞1𝑈＝1 3+1
3𝑤, 𝑞2𝑈＝1 3−2
3𝑤.
兩家獨立下游產量相加即為下游市場的最終財總產量：
𝑄＝2 3−1
3𝑤.
(4)
中間財市場上，N 家上游廠商極大化利潤函數分別為：
max𝑏𝑖 𝜋𝐵𝑖＝𝑤 ∙ 𝑏𝑖, ∀𝑖 ∈ {1, … , 𝑁}.
(5)
下游廠商利用一單位中間財生產一單位最終財，因此於市場結清時，上游中間財 總供給等於下游中間財總需求，結清條件為：9
10
𝑇𝑆𝑈 = 1 24
96𝑁2+ 8𝑁 + 121 (3𝑁 + 2)2 .
3.3.2 垂直整合廠商產能受限
市場上原有 N 家上游廠商供給二家下游廠商。此時第一家上游廠商𝐵1，與第一 家下游廠商𝐷1垂直整合，並只能生產到產能限制 k。垂直整合廠商中，上游部門 供給下游部門中間財之餘，同時亦於下游要素市場供給中間財𝑠1，並於最終財市 場中和獨立廠商數量競爭。給定垂直整合廠商生產最終財 k，獨立下游廠商生產 最終財𝑞2以極大化利潤：
max𝑞1 𝜋1＝(1 − 𝑞1− 𝑞2)𝑞1 + 𝑠1∙ 𝑤,
(12)
max𝑞2 𝜋2＝(1 − 𝑘 − 𝑞2− 𝑤)𝑞2.(13)
下游廠商 𝑞1, 𝑞2 反應函數如下：
𝑞1(𝑞2, 𝑘) = min {1 − 𝑞2 2 , 𝑘} , 𝑞2(𝑞1) =1 − 𝑞1− 𝑤
2 .
(14)
將目標式(12)及(13)對 𝑞1 及 𝑞2 一階偏微分，垂直整合廠商與獨立廠商的最終財 產量分別為：
𝑞1＝ 𝑘 , 𝑞2＝1
2(1 − 𝑘 − 𝑤).
(15)
下游市場的最終財總產量為兩式相加：𝑄＝𝑘 2−1
2(𝑤 − 1).
(16)
在上游要素市場中，垂直整合廠商的上游部門 B1選擇𝑠1以極大化𝜋1，其他(𝑁 − 1) 家獨立上游廠商選擇𝑏𝑖以極大化各自的𝜋𝐵𝑖，並進行數量競爭：max𝑠1 𝜋1＝(1 − 𝑘 − 𝑞2)𝑘 + 𝑠1∙ 𝑤,
(17)
max𝑏𝑖 𝜋𝐵𝑖＝𝑤 ∙ 𝑏𝑖, ∀𝑖 ∈ {2, … , 𝑁}.(18)
11
12
13
圖 1 描繪出垂直整合廠商面臨有利產能限制時，中間財市場供給與需求改變情 形。若給定垂直整合廠商產能限制𝑘 = 𝑘1時，隨著產能限制越趨放鬆至𝑘 = 𝑘2時，
獨立下游廠商產量減少，中間財衍生需求減少，垂直整合廠商需買入更多中間財 才可提高中間財價格，策略性買入增加，因此中間財總供給減少，中間財市場結 清於𝑤𝐶 = 𝑁+11 .。
圖 1
當垂直整合廠商面臨產能限制時，使得中間財價格增加，由於垂直整合廠商反應 函數不受中間財價格影響，而獨立下游廠商反應函數下移如 圖 2，並與垂直整 合廠商達到新市場均衡 𝐸2。
圖 2
消費者市場最終財價格、垂直整合廠商與獨立下游廠商的產量分別為：
14
15
16
當產能限制𝑘 = 𝑘 = 𝑞1∗∗時，中間財市場達到新均衡𝐸2，如 圖 2，垂直整合廠商 利潤極大，繼續放鬆產能無法增加垂直整合廠商利潤。
圖 3 圖 4
圖 5
圖 3 與圖 4 分別描繪當垂直整合廠商面臨嚴格產能限制，與寬鬆產能限制時情 況。給定產能限制，垂直整合廠商的產量將等於產能限制 k，獨立下游廠商則因 中間財價格提高，反應函數下移，市場結清下，均衡產量減少。圖 5 描繪，當 產能限制𝑘 > 𝑘時，垂直整合廠商不再生產到產能限制 k，轉而生產產能限制上 限𝑘，達到市場新均衡下的最適產量。
[定理一.] 垂直整合廠商在(N-1)家獨立上游廠商，且僅有一家獨立下游廠商與之 競爭時，無論面臨嚴格產能限制，或是寬鬆產能限制時，垂直整合廠商利潤 皆大於無產能限制下利潤。
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[證明] 市場中，有(N-1)家上游廠商與一家獨立下游廠與一家垂直整合廠商時，
垂直整合廠商於無產能限制，與給定產能限制下極大化利潤分別為：
𝜋1𝑈＝ 1
12∙12𝑁2+ 16𝑁 + 47
(3𝑁 + 2)2 ,π1𝑐 = 1 2
(𝑘 − 𝑘2)𝑁2+ (2𝑘 − 2𝑘2)𝑁 − 𝑘2+ 𝑘 + 1 (𝑁 + 1)2
將兩式相減：
D = π1𝑐 − 𝜋1𝑈 = 1
12(𝑁 + 1)2(3𝑁 + 2)2∙ (−54𝑘2+ 54𝑘 − 12)𝑁4
− (180𝑘2− 180𝑘 + 40)𝑁3
− (222𝑘2− 222𝑘 + 37)𝑁2
− (120𝑘2− 120𝑘 + 38)𝑁 − (24𝑘2− 24𝑘 + 23)
(27)
當𝑘 = 𝑘 時，由 [定義] 可知，垂直整合廠商在無產能限制下，與給定產能限制 下利潤相同，因此 D = 0 。
將 D 式對 k 一階偏微分後可得：
𝜕𝐷
𝜕𝑘 = −𝑘 +1
2.
(28)
由 [輔理二] 可知，𝑘 =13𝑁+2𝑁+1<12，因此當𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘 ] 時，一階微分恆正，得證 垂直整合廠商無論面臨嚴格產能限制，或是寬鬆產能限制，利潤皆比無產能限制 下還大。
垂直整合廠商面臨產能限制時，利潤增加原因為 一、策略性買入中間財成本下 降；二、收益增加。給定無論寬鬆或是嚴格產能限制，上游獨立廠商將減少中間 財供給，使得垂直整合廠商僅需少量中間財買入即可提高對手成本。此時在給定 產能限制 𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘 ] 範圍內，雖然單位買入成本增加，但因為策略買入量減少，
整體而言，策略性買入成本大幅下降；令一方面，因產能限制減少最終財總供給，
提高最終財價格，若垂直整合廠商面臨寬鬆產能限制時，收益增加；若垂直整合
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廠商面臨嚴格產能限制時，雖然因產量低，使收益不比產能限制好，但因大幅降 低策略購買成本，利潤仍比無產能限制高。
圖 6
[輔理三] 給定垂直整合廠商產能限制 k，垂直整合廠商市場分額，隨著產能限制 放鬆而增加；獨立下游廠商市場分額，隨著產能限制放鬆而減少。
[證明] 當垂直整合廠商面臨產能限制時，垂直整合廠商和獨立下游廠商市場分 額分別為：
𝛼1𝐶 = 2𝑘(𝑁 + 1) 𝑘𝑁 + 𝑘 + 𝑁, 𝛼2𝐶 =𝑁 − 𝑘𝑁 − 𝑘
𝑘𝑁 + 𝑘 + 𝑁.
(29)
將(29)式對 k 一階偏微，可得：
𝜕𝛼1𝐶
𝜕𝑘 = 2𝑁(𝑁 + 1) (𝑘𝑁 + 𝑘 + 𝑁)2,
𝜕𝛼2𝐶
𝜕𝑘 = − 2𝑁(𝑁 + 1) (𝑘𝑁 + 𝑘 + 𝑁)2.
(30)
由(30)得證，垂直整合廠商市場分額，隨產能限制放寬而增加；獨立下游廠商市 場分額，隨產能限制放寬而減少。
19
20
因此得證𝑘 < k̃ < 𝑘∗。
由 [輔理三] 得證，垂直整合廠商市場分額隨產能限制放鬆而增加；獨立下游廠 商隨產能限制放鬆而減少。當𝑘 = k̃ 時，給定產能限制下，市場分額與無產能限 制下一致。當𝑘 ≤ k̃時，獨立下游廠商市場佔有率增加，垂直整合廠商市場佔有 率減少；當 k̃ < 𝑘 < 𝑘時，獨立下游廠商市場佔有率減少，垂直整合廠商市場佔 有率減少，得證。
圖 7
如圖 7 所示，當垂直整合廠商面臨寬鬆的產能限制時，因其提高對手成本策略 使得獨立下游廠商減少產量，且寬鬆的產能限制對其產量影響不大，因此垂直整 合廠商市場份額增加；當垂直整合廠商面臨嚴格產能限制時，獨立下游廠商相對 產能增加，垂直整合廠商市場分額減少。
[定理三.] 當垂直整合廠商面臨產能限制𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘 ] 時，其利潤一定比無產能限制 時高，但此時獨立下游廠商的利潤不一定比無產能限制時低。給定產能限制 𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘]，存在一個𝑘̂。當𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘̂]時，產能限制同時增加垂直整合廠商與 獨立下游廠商的利潤；當𝑘 ∈ [𝑘̂, 𝑘]時，產能限制將減少獨立下游廠商利潤。
21
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𝑑𝑇𝑆|𝑘=𝑘,𝑁=2 = 47
9216−5√70 1152 < 0,
當 𝑁 → ∞ 時， lim
𝑁→∞𝑑𝐶𝑆|𝑘=𝑘 = lim
𝑁→∞𝑑𝑇𝑆|𝑘=𝑘 = 0 ，且 dCS 與 dTS 隨 k 遞增，
因此 dCS 與 dTS 恆為負數。此外，因𝑑𝜋|𝑘=𝑘,𝑁=2> 0, 𝑑𝜋|𝑘=𝑘,𝑁=2 > 0 且𝑑𝜋隨 k 遞減，因此𝑑𝜋恆為正數。得證，消費者剩餘、社會福利降低，生產者總剩餘增 加。
當垂直整能廠商面臨產能限制時，提高最終財價格，雖然生產者總利潤增加，然 而因為總最終財供給量減少，消費者剩餘受損，且消費者剩餘減少程度大於生產 者利潤增加程度，因此社會無謂損失增加。
當市場結構為簡單模型所假設，本研究探討給定垂直整合廠商外生產能限制，與 無產能限制下的差異，由第三節所述，可以以兩個面向討論產能限制。一、從無 產能限制到給定產能限制。二、產能限制大小改變。
圖 9
如圖 9，垂直整合廠商突然受到一個有利的產能限制約束時，此時不討論產能限 制大小影響，僅就面臨產能限制討論。受到產能限制影響，獨立上游利潤極大化 下，總產量減少，此時垂直整合廠商可以利用更少量策略買入，進而提高下游競
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爭對手成本。獨立下游廠商因中間財價格提高，反應函數下移，減少生產，因此 達到本節所述新市場均衡。整體而言，與無產能限制情況相比，當垂直整合廠商 面臨產能限制 𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘 ]，垂直整合廠商利潤一定增加，但市場份額增減仍須視 產能限制而定；獨立下游利潤與市場份額增減，則須視產能限制大小而定。若此 時產能限制逐漸放寬，垂直整合廠商利潤與市場份額隨 k 遞增；反之，獨立下 游廠商利潤與市場份額隨 k 遞減。
圖 10
回顧垂直整合廠商以及獨立下游反應函數，
27
圖 10 繪出反應函數圖以及與無產能限制比較，當面臨各種產能限制下，市 場上利潤以及市場份額改變情形。當垂直整合廠商面臨產能限制 𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘 ] 時，總利潤增加，但社會福利下降。垂直整合廠商在面臨產能限制 𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘̃ ] 時損失市場份額，但策略買入成本大幅下降，使得垂直整合廠商利潤增加。
此外當產能限制 𝑘 ∈ [ 𝑘, 𝑘̂] 時，垂直整合廠商利潤受到嚴格約束，獨立下游 廠商利潤因最終財以及產量提高，利潤增加。
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4 下游獨立廠商增加為二家
當下游廠商為雙占市場時，垂直整合廠商面臨寬鬆產能限制時，利潤增加。然而，
因最終財雙占市場結構，獨立下游廠商對市場影響力仍大，使得垂直整合廠商有 利的產能限制區間較小。當下游競爭增加，將增加垂直整合廠商有利產能限制區 間。本節探討當下游獨立廠商增加為兩家時，垂直整合廠商的生產行為，以及面 臨產能限制的決策。
4.1.1 垂直整合廠商無產能限制
當市場上有一家垂直整合廠商，下游獨立廠商增加為兩家時，廠商生產𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 以極大化利潤：
max𝑞1 𝜋1＝(1 − 𝑞1 − 𝑞2 − 𝑞3)𝑞1+ 𝑠1∙ 𝑤,
(36)
max𝑞2 𝜋2＝(1 − 𝑞1 − 𝑞2−𝑞3− 𝑤)𝑞2.(37)
max𝑞3 𝜋3＝(1 − 𝑞1− 𝑞2− 𝑞3 − 𝑤)𝑞1,(38)
將目標式(36)、(37)及(38)分別對𝑞1、𝑞2及𝑞2一階偏微分，下游廠商𝑞1, 𝑞2, 𝑞3反應 函數如下：𝑞1(𝑞2, 𝑘) =1 − 𝑞2 − 𝑞3 2 , 𝑞2(𝑞1, 𝑞3) =1 − 𝑞1− 𝑞3− 𝑤
2 , 𝑞3(𝑞1, 𝑞2) =1 − 𝑞1− 𝑞3− 𝑤
2 .
(39)
將(39)式聯立求解，垂直整合廠商與獨立廠商的最終財產量分別為：
𝑞1＝ 1 4+1
2𝑤, 𝑞2 = 𝑞3＝1
4−1 2𝑤.
(40)
下游市場的最終財總產量為(40)式相加：
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32
33
34
𝑘𝐷3 =𝑁2+
3
2𝑁+12±12√𝑁4+3𝑁3+15𝑁2−7𝑁−12 (2𝑁+1)(𝑁+1) , 𝑘𝐷3 =14𝑁+3𝑁+1.
垂直整合廠商面臨兩家獨立下游競爭下有利產能限制範圍(𝑘 − 𝑘)為：
𝐷𝑘𝐷2= (𝑘𝐷2− 𝑘𝐷2)
= −9𝑁2 + 3𝑁 + 6 + 2√3(𝑁 − 1)(3𝑁3+ 13𝑁2+ 50𝑁 + 34) 12(3𝑁 + 2)(𝑁 + 1) , 𝐷𝑘𝐷3 = (𝑘𝐷3− 𝑘𝐷3)
=−2𝑁2+ 𝑁 + 1 + 2√(𝑁 − 1)(𝑁3+ 4𝑁2+ 19𝑁 + 12 4(2𝑁 + 1)(𝑁 + 1) . 將兩式相減，可得：
(𝐷𝑘𝐷3− 𝐷𝑘𝐷2) = 1
6(2𝑁 + 1)(𝑁 + 1)(3𝑁 + 2)∙ 𝐴.
其中，A = √(𝑁 − 1) ∙ [9√(𝑁3 + 4𝑁2+ 19𝑁 + 12)𝑁 −
2√3𝑁(3𝑁3+ 13𝑁2 + 50𝑁 + 34) + 6√(𝑁3+ 4𝑁2+ 19𝑁 + 12) −
√3(3𝑁3 + 13𝑁2+ 50𝑁 + 34)].
當 N>1，(𝐷𝑘𝐷3− 𝐷𝑘𝐷2) > 0 得證。
當下游獨立廠商為二家時，依 [定理三.]，可求得𝑘 = 𝑘̂ =12∙2𝑁𝑁22+2𝑁+3+3𝑁+1時，獨立下 游廠商無產能限制下，與給定產能限制下利潤相等。
由 3.3.3 節 [定理三.] 可知，有利於獨立廠商產能限制 k 範圍為 𝑘𝜖[ 𝑘, 𝑘̂ ]。
當下游獨立廠商為一家與二家時，同時有利於垂直整合與獨立下游產能限制範圍 分別為：
𝑅𝐷2
=−1
6 ∙3𝑁2 + 3𝑁 − 6 − √3√(𝑁 − 1)(3𝑁3+ 13𝑁2+ 50𝑁 + 34) (𝑁 + 1)(3𝑁 + 2) ,
(66)
35
𝑅3𝐷 =−1
2 ∙𝑁2+ 𝑁 − 2 − √(𝑁 − 1)(𝑁3+ 4𝑁2+ 19𝑁 + 12) (𝑁 + 1)(2𝑁 + 1) . 將限制範圍相減，可得：
𝑑𝑅 = 𝑅𝐷3− 𝑅𝐷2
= −1
6(𝑁 + 1)(2𝑁 + 1)(3𝑁 + 2)
∙ [3𝑁3+ 6𝑁2− 3𝑁
− (9𝑁 + 6)√(𝑁 − 1)(𝑁3+ 4𝑁2+ 19𝑁 + 12) + (2𝑁 + 1)√3(𝑁 − 1)(3𝑁3 + 13𝑁2+ 50𝑁 + 34)
− 6].
(67)
N = 2 時，𝑑𝑅 = −201 −481 √70 +301 √74 > 0 ，並將 dR 取 N 的極值：
𝑁→∞lim 𝑑𝑅 = 0
由圖 11 可知，dR 為單調遞減函數，當𝑁 → ∞ 時收斂於 0。
故當 N>1 時，恆正，因此得證。
圖 11
當下游獨立廠商由兩家增加為三家時，下游競爭增加，垂直整合廠商利潤不論有
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無產能限制，皆同時下移，如 圖 12。此時，若垂直整合廠商面臨產能限制，仍 可以利用策略性買入，提高對手的成本，因此利潤減少幅度，不及無產能限制下
無產能限制，皆同時下移，如 圖 12。此時，若垂直整合廠商面臨產能限制，仍 可以利用策略性買入，提高對手的成本，因此利潤減少幅度，不及無產能限制下