模型結果

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4 模型結果與分析

4.1 模型結果

Lemma 1 當0 < 𝑐 < 0.866，存在一個𝑞̂，∀𝑞 < 𝑞̂ 使𝑦

_𝐻(𝑤, 𝑤) > 0。

𝑞̂ = −5 3−1

2𝑐 +1

6√256 − 120𝑐 + 9𝑐².

亦即，當高品質產品的生產成本介於 0 與 0.777 間，且低品質產品的品質小於 𝑞̂，兩家零售商都會跟製造商 U1 簽約，銷售高品質產品，使𝑦_𝐻(𝑤, 𝑤) > 0。

將𝑤_𝑅𝑅式(12)代入𝑦_𝐻(𝑤, 𝑤)式(3)得：

𝑦

_𝐻

(𝑤, 𝑤) =

^{(𝑞+5)(3𝑞2}+10𝑞+3𝑐𝑞−13+15𝑐)

2(5𝑞+19)(2𝑞+7)(𝑞−1)

. (14)

讓𝑦_𝐻(𝑤, 𝑤)式(14)為零的條件，以 q 表示為：

3𝑞

²

+ 10𝑞 + 3𝑐𝑞 − 13 + 15𝑐 = 0.

𝑞 = −

⁵

3

−

¹

2

𝑐 +

¹

6

√256 − 120𝑐 + 9𝑐

²

. 

Lemma 2 當0 < 𝑐 < 0.777，存在一個𝑞̃，∀𝑞 < 𝑞̃ 使𝑦

_𝐻¹(𝑤, 𝑁) > 0。

𝑞̃ = 1 −9 7𝑐.

亦即，當高品質產品的生產成本小於 0.777，且低品質產品的品質小於𝑞̃，只有 一家零售 商 D1 會跟製造商 U1 簽約，銷售高品質產品，使𝑦_𝐻¹(𝑤, 𝑁) > 0。

將𝑤_𝑅式(13)代入𝑦_𝐻¹(𝑤, 𝑁)式(9)得：

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𝑦

_𝐻¹

(𝑤, 𝑁) =

^{7𝑞+9𝑐−7}

2(𝑞−1)(𝑞+8)

. (15)

讓𝑦_𝐻¹(𝑤, 𝑁)式)(15)為零的條件，以 q 表示為：

7𝑞 + 9𝑐 − 7 = 0.

𝑞 = 1 −

⁹

7

𝑐. 

結合上述 Lemma 1 和 2 中，生產成本的兩個臨界值 (𝑐 = 0.777, 0.866)以及 𝑞̂、𝑞̃，可得圖 2 如下。

圖 2 不同成本和品質下，零售商產品線的選擇 紅線為:

𝑞̂ = −5 3−1

2𝑐 +1

6√256 − 120𝑐 + 9𝑐². 綠線為:

𝑞̃ = 1 −9 7𝑐.

A B

C 𝑞̃ 𝑞̂

c=0.777

c=0.866

D

c q

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Proposition 1 (產品線選擇的均衡)

I. 區塊 D: 當高品質產品的邊際成本𝑐 > 0.866，且低品質產品的品質偏高時 (𝑞 > 𝑞̂)，兩家下游零售商 D1、D2 都不會跟獨占製造商 U1 簽約，只在消 費市場中銷售低品質產品。

II. 區塊 A: 當高品質產品的邊際成本0.777 < 𝑐 < 0.866，獨占製造商 U1 會提 出讓兩家零售商都願意簽訂的合約 (𝑤, 𝐹)，使 D1、D2 同時銷售高、低品 質兩種產品。

III. 區塊 B: 當高品質產品的邊際成本𝑐 < 0.777，且低品質產品的品質偏高時 (𝑞̃ < 𝑞 < 𝑞̂)，獨占製造商 U1 會提出讓兩家零售商都願意簽訂的合約 (𝑤, 𝐹)，使 D1、D2 同時銷售高、低品質兩種產品。

IV. 區塊 C: 當高品質產品的邊際成本𝑐 < 0.777，且低品質產品的品質較低時 (𝑞 < 𝑞̃)，獨占製造商 U1 會提出讓一家零售商願意簽訂的合約 (𝑤, 𝐹)，使 簽約的零售商 D1 同時銷售高、低品質兩種產品，而沒有簽約的零售商 D2 僅銷售低品質產品。

‧

= 0.00000171

A

‧

‧

‧

‧

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5 結論

上游製造商的市場力會直接反映在訂定批發價格上，進而決定零售商垂直差 異的產品線。隨著高品質產品的生產成本上升，獨占廠商自然會不斷地拉高批 發價 (w)，讓每單位的高品質產品不致虧損太大，以確保能夠再透過特許經銷 費 (F)賺回來。所以，在批發價到達臨界值之前，跟製造商獨家簽約的零售 商，為了保有在消費市場中的競爭優勢，會願意支付不斷提高的批發價，保持 部分產品差異化的競爭優勢。一旦批發價到達臨界值，代表超過該獨家簽約的 零售商所願意支付的中間財價格，此時，製造商會大幅降低批發價以避免淪落 到沒有零售商要銷售高品質產品的情況，而降低的批發價會吸引兩家零售商都 跟製造商簽約，使其在相同的垂直產品線下，面對更加激烈的數量競爭。

本研究將效用函數替換成 Cobb-Douglas 效用函數分析的結果，與 Avenel and Caprice (2006)的結論比較後，有些值得討論的地方：第一，本研究得出跟獨占 的上游廠商簽約的零售商，一定會同時銷售高、低品質兩種產品，亦即，不會 出現 Avenel and Caprice (2006)中零售商僅銷售高品質產品的情況，也就不會出 現兩家零售商產品線完全垂直差異的競爭均衡。符合義美鮮奶茶之實例，全家 便利超商身為跟高品質產品製造商義美唯一簽約的零售通路，除了銷售義美鮮 奶茶外，也會銷售他牌鮮奶茶。

第二，本研究得出當高品質產品的生產成本與低品質產品的品質都很低時，

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只會有一家零售商跟具有市場力的製造商簽約，與 Avenel and Caprice (2006)中 兩家零售商都會簽約的情況不同。這是因為製造商必須以最終消費市場對高品 質產品的總需求量為獲利考量，進而提出可極大化利潤的合約，引導一家或兩 家零售商簽約，同時也決定了下游的垂直差異產品線。然而，本研究使用

Cobb-Douglas 效用函數，改變了最終消費市場對高品質產品的總需求量，故得 出製造商偏好與一家零售商簽約的結果。好比現實世界中，一般消費者想要喝 義美鮮奶茶，只能去全家便利超商購買。

本研究假設只有一家零售商跟製造商簽約的情況，是因為另一家零售商自己 拒絕製造商所提出的合約，並非存在獨賣契約 (exclusive contract)。獨賣契約相 關文獻如：Kitamura, Matsushima and Sato (2018)及邱敬淵與李素華等 (2017)。

故可以獨賣契約為延伸作為後續研究發展。

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6 附錄

註 4

根據消費者的效用函數 𝑢_𝑘 = 𝑞_𝑘(𝜃 − 𝑝_𝑘)，𝑘 = L, H，𝜃 ∈ [0,1]，推導出消費 市場的需求函數。假設消費一單位高品質產品所帶來的效用等同於消費一單位 低品質產品的效用，換言之：

𝑢

_𝐻

= 𝑢

_𝐿

.

𝑞

_𝐻

(𝜃 − 𝑝

_𝐻

) = 𝑞

_𝐿

(𝜃 − 𝑝

_𝐿

).

𝜃

_𝐻

=

^{𝑝𝐻𝑞𝐻−𝑝𝐿𝑞𝐿}

𝑞_𝐻−𝑞_𝐿

.

再假設消費一單位低品質產品所帶來的效用等同於不消費任何產品的效用，

換言之：

𝑢

_𝐿

= 0.

𝑞

_𝐿

(𝜃 − 𝑝

_𝐿

) = 0.

θ

_𝐿

= 𝑝

_𝐿

.

代入 𝑞_𝐻 = 1, 𝑞_𝐿 = 𝑞：

𝜃

_𝐻

=

^{𝑝𝐻−𝑝𝐿𝑞}

1−𝑞

. θ

_𝐿

= 𝑝

_𝐿

.

推導出消費市場的需求函數為：

𝐷

_𝐻

= 1 −

^{𝑝𝐻−𝑝𝐿𝑞}

1−𝑞

. 𝐷

_𝐿

=

^{𝑝𝐻−𝑝𝐿𝑞}

1−𝑞

− 𝑝

_𝐿

. 

要注意的是，此處𝐷_𝐻代表消費市場中高品質產品的總需求量，也是零售商

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D1 和 D2 高品質產品的總和銷售量 (𝑦_𝐻¹ + 𝑦_𝐻²)。同理，𝐷_𝐿代表消費市場中低品 質產品的總需求量，也是零售商 D1 和 D2 低品質產品的總和銷售量(𝑦_𝐿¹+ 𝑦_𝐿²)。

註 5

在情境一且合理的批發價下，兩家下游零售商都跟製造商 U1 簽約，其利潤

函數互為對稱為：

π(w, w) = 𝑝

_𝐿

𝑦

_𝐿

(𝑤, 𝑤) + (𝑝

_𝐻

− 𝑤)𝑦

_𝐻

(𝑤, 𝑤).

代入反需求函數式(1)和式(2)後，對 (𝑦_𝐻, 𝑦_𝐿)進行一階微分：

π(w, w) = (1 − 2𝑦

_𝐻

− 2𝑦

_𝐿

)𝑦

_𝐿

+ (1 − 2𝑦

_𝐻

− 2𝑞𝑦

_𝐿

− 𝑤)𝑦

_𝐻

. 𝑦

_𝐻

=

^{(1−𝑞)(𝑦𝐻−𝑦𝐿−1)+2𝑤}

𝑞²+2𝑞−3

. 𝑦

_𝐿

=

^{(1−𝑞)(1−𝑦𝐻)+(𝑞2+𝑞−2)𝑦𝐿+(1+𝑞)𝑤}

𝑞²+2𝑞−3

.

(𝑦_𝐻, 𝑦_𝐿)聯立求解得：

𝑦

_𝐻

(𝑤, 𝑤) =

^{2𝑞−2+3𝑤}

2𝑞²+5𝑞−7

. 𝑦

_𝐿

(𝑤, 𝑤) =

^{−𝑞+𝑞𝑤+2𝑤+1}

(1−𝑞)(2𝑞+7)

.

代回反需求函數式(1)和式(2)及利潤函數式(4)得：

𝑝

_𝐻

(𝑤, 𝑤) =

^{2𝑞𝑤+6𝑤+3}

2𝑞+7

. 𝑝

_𝐿

(𝑤, 𝑤) =

^{2𝑞+2𝑤+1}

2𝑞+7

. π(w, w) =

^{−𝑞+𝑞𝑤+𝑤2−𝑤+1}

(1−𝑞)(2𝑞+7)

. 

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註 6

在情境一且不合理的批發價下，兩家下游零售商都不跟獨占製造商 U1 簽約

(𝑦_𝐻¹ = 0, 𝑦_𝐻² = 0, 𝐷_𝐻 = 0)，其利潤函數互為對稱為：

π(N, N) = 𝑝

_𝐿

𝑦

_𝐿

(𝑁, 𝑁).

代入反需求函數式(2)後，對𝑦_𝐿進行一階微分：

π(N, N) = (1 − 2𝑦

_𝐿

)𝑦

_𝐿

. 𝑦

_𝐿

=

¹

3

.

代回反需求函數式(1)和式(2)及利潤函數式(6)得：

𝑝

_𝐻

(𝑁, 𝑁) = 1 −

²

3

𝑞.

𝑝

_𝐿

(𝑁, 𝑁) =

¹

3

𝑞.

π(N, N) =

¹

9

𝑞. 

註 7

當兩家下游零售商同時銷售高、低品質兩種產品的利潤，與同時僅銷售低品 質產品的利潤相同，亦即π(w, w) = π(N, N)時 (式(4)=式(6))，可以找到一個區

分是否為合理批發價的臨界值 (𝑤1)。

π(w, w) = π(N, N).

−𝑞+𝑞𝑤+𝑤²−𝑤+1 (1−𝑞)(2𝑞+7)

=

¹

9

𝑞.

𝑤1 =

¹

3

(−

³

2

±

¹

2

√−27 − 8𝑞).

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批發價的臨界值 (𝑤1)中含虛根，故不存在。 

註 8

在情境二且夠低的批發價下，跟獨占製造商 U1 簽約的零售商 D1，僅銷售高

品質產品，其利潤函數為：

π(w, N)

_𝑎

= (𝑝

_𝐻

− 𝑤)𝑦

_𝐻¹

(w, N)

_𝑎

.

沒有跟製造商 U1 簽約的零售商 D2，僅銷售低品質產品，其利潤函數為：

π(N, w)

_𝑎

= 𝑝

_𝐿

𝑦

_𝐿²

(N, w)

_𝑎

.

代入反需求函數式(1)和式(2)後，對 (𝑦_𝐻, 𝑦_𝐿)進行一階微分：

π(w, N)

_𝑎

= (1 − 𝑦

_𝐻¹

− 𝑞𝑦

_𝐿²

− 𝑤)𝑦

_𝐻¹

. π(N, w)

_𝑎

= (1 − 𝑦

_𝐻¹

− 𝑦

_𝐿²

)𝑦

_𝐿²

.

𝑦

_𝐻¹

(w, N)

_𝑎

=

^{2𝑤+𝑞−2}

𝑞−4

. 𝑦

_𝐿²

(N, w)

_𝑎

=

^𝑤+1

4−𝑞

.

代回反需求函數式(1)和式(2)及利潤函數式(7)和式(8)得：

𝑝

_𝐻

(w, N)

_𝑎

=

^{(𝑤+1)(𝑞−2)}

𝑞−4

. 𝑝

_𝐿

(N, w)

_𝑎

=

^𝑤+1

4−𝑞

. π(w, N)

_𝑎

= (

^{2𝑤+𝑞−2}

𝑞−4

)

²

. π(N, w)

_𝑎

= (

^𝑤+1

𝑞−4

)

²

. 

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註 9

在情境二且合理的批發價下，跟獨占製造商 U1 簽約的零售商 D1，會同時銷

售高、低品質兩種產品，其利潤函數為：

π(w, N)

_𝑏

= 𝑝

_𝐿

𝑦

_𝐿¹

(𝑤, 𝑁)

_𝑏

+ (𝑝

_𝐻

− 𝑤)𝑦

_𝐻¹

(𝑤, 𝑁)

_𝑏

.

沒有跟製造商 U1 簽約的零售商 D2，僅銷售低品質產品，其利潤函數為：

π(N, w)

_𝑏

= 𝑝

_𝐿

𝑦

_𝐿²

(𝑁, 𝑤)

_𝑏

.

代入反需求函數式(1)和式(2)後，對 (𝑦_𝐻, 𝑦_𝐿)進行一階微分：

π(w, N)_𝑏 = (1 − 𝑦_𝐻¹ − 𝑦_𝐿¹− 𝑦_𝐿²)𝑦_𝐿¹+ [1 − 𝑦_𝐻¹ − (𝑦_𝐿¹+ 𝑦_𝐿²)𝑞 − 𝑤]𝑦_𝐻¹.

π(N, w)

_𝑏

= (1 − 𝑦

_𝐻¹

− 𝑦

_𝐿¹

− 𝑦

_𝐿²

)𝑦

_𝐿²

.

𝑦

_𝐻¹

(w, N)

_𝑏

=

^{3𝑤+2𝑞−2}

𝑞²+4𝑞−5

. 𝑦

_𝐿¹

(w, N)

_𝑏

= −

^𝑞2+2𝑞𝑤+𝑤−2𝑞+1

𝑞²+4𝑞−5

. 𝑦

_𝐿²

(N, w)

_𝑏

=

^𝑤+𝑞+1

𝑞+5

.

代回反需求函數式(1)和式(2)及利潤函數式(10)和式(11)得：

𝑝

_𝐻

(w, N)

_𝑏

=

^{𝑞𝑤+3𝑤−𝑞+3}

𝑞+5

. 𝑝

_𝐿

(N, w)

_𝑏

=

^𝑤+𝑞+1

𝑞+5

.

π(w, N)

_𝑏

= −

^{𝑞3+2𝑞𝑤2+7𝑤2+3𝑞2𝑤+𝑞2}+8𝑞𝑤−11𝑤−9𝑞+7 (𝑞+5)²(𝑞−1)

. π(N, w)

_𝑏

= (

^𝑤+𝑞+1

𝑞+5

)

²

. 

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註 10

當接受製造商 U1 合約的零售商 D1，不論有沒有進貨低品質產品，其利潤都 相同時，亦即π(w, N)_𝑎 = π(w, N)_𝑏時 (式(7)=式(10))，可以找到一個區分是否為

合理批發價的臨界值 (𝑤2)。

π(w, N)

_𝑎

= π(w, N)

_𝑏

. (

^{𝑞+2𝑤−2}

𝑞−4

)

²

=

^{𝑞3+3𝑞2𝑤+𝑞2}+8𝑞𝑤−9𝑞+2𝑞𝑤²+7−11𝑤+7𝑤² (1−𝑞)(𝑞+5)²

. w2 = −

^{2(𝑞3+𝑞2−8𝑞+6)}

3(𝑞²+4𝑞+4)

, −

^{𝑞2−2𝑞+1}

2𝑞+1

.

批發價的臨界值 (𝑤2)都是負數，故不存在。 

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7 參考文獻

邱敬淵與李素華 (2017)，《競爭法下市場封鎖經濟效果之研究》，公平交易委員 會委託研究。[Chiou, J.-Y. and S.-H. Li (2017), Research of economic effect of

market foreclosure under competition policy, Commissioned by Fair Trade Commission]

Avenel and Barlet (2000), “Vertical foreclosure, technological choice and entry on the Intermediate market,” Journal of Economics & Management Strategy, 9(2), 211

－230

Champsaur and Rochet (1989), “Multiproduct Duopolists,” Econometrica, Vol.57, No.3 (May, 1989), 533－557

De Fraja (1996), “Product line competition in vertically differentiated markets,”

International Journal of Industrial Organization, 14, 389－414

Kitamura, Matsushima and Sato (2018), “Exclusive contracts with complementary inputs,” International Journal of Industrial Organization, 56, 145－167

Mussa and Rosen (1978), “Monopoly and Product Quality,” Journal of Economic Theory, 18, 301－317

Shaked and Sutton (1983), “Natural Oligopolies,” Econometrica, Vol.51, No.5 (Sep, 1983), 1469－1483

在文檔中 製造商的市場力如何決定零售商的垂直差異產品線: 以Cobb-Douglas效用函數分析 - 政大學術集成 (頁 21-0)