5. Marshall and Olkin 二維指數分配
5.4 模擬實驗
國
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31
由(5.1a)、(5.2a)及(5.3a)可推得PXY
x y, PX Y|
x y P|
Y X|
y x|
。故當相關係數很小時，MPLE 接近 MLE，相對誤差（ ）會很小。因 此我們推測相關係數變大時，相對誤差（ ）也隨著變大，此推測將由下一 節模擬實驗印證。
5.4 模擬實驗
以下利用模擬實驗求數值解驗證上述結果，並檢驗 MPLE 與 MLE 估計值的
相對誤差。因 X,Y 之相關係數為 12
1 2 12
，故本節主要探討12變大時，i的 MPLE 對應於 MLE 的相對誤差之變化。本節共進行三十六次實驗（即三十六個
例子），每個例子進行相對誤差計算並製作表格，所以例一結果可得表一、例二
結果可得表二等；並將每四個實驗視為一組，每組繪製折線圖進行比較，例如對 例一到例四進行比較而得圖一、對例五到例八進行比較而得圖二等。詳見以下之 總表。
總表：實驗數據簡介
例 1 2 12 相關係數 圖
一 1 1 0.2 0.090909
一
二 1 1 0.5 0.2
三 1 1 0.7 0.259259
四 1 1 1 0.333333
五 2 1 0.2 0.0625
二
六 2 1 0.5 0.142857
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七 2 1 0.7 0.189189
八 2 1 1 0.25
九 3 1 0.2 0.047619
三
十 3 1 0.5 0.111111
十一 3 1 0.7 0.148936
十二 3 1 1 0.2
十三 4 1 0.2 0.038462
四
十四 4 1 0.5 0.090909
十五 4 1 0.7 0.122807
十六 4 1 1 0.166667
十七 5 1 0.2 0.032258
五
十八 5 1 0.5 0.076923
十九 5 1 0.7 0.104478
二十 5 1 1 0.142857
二十一 1 2 0.2 0.0625
六
二十二 1 2 0.5 0.142857
二十三 1 2 0.7 0.189189
二十四 1 2 1 0.25
二十五 1 3 0.2 0.047619
七
二十六 1 3 0.5 0.111111
二十七 1 3 0.7 0.148936
二十八 1 3 1 0.2
二十九 1 4 0.2 0.038462
八
三十 1 4 0.5 0.090909
三十一 1 4 0.7 0.122807
‧
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0.1357 2.7144 -4.5706 2.5079
取 =0.9536、 =1.0201、 =0.1357
表一 11、2 1、12 0.2
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.0423 0.029219 0.019282 MPLE 與真實值之相對誤差 -0.04643 0.020144 -0.32155 MPLE 與 MLE 之相對誤差 -0.00432 -0.00882 -0.33439 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例二：
以11、2 1、12 0.5模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
1.0114 -3.2810 2.7739 0.6935
、
1.0441 0.7306 2.7726 -3.2303
、
0.5000 3.8056 -1.9840 3.7392
取 =1.0114、 =1.0441、 =0.5000 MPLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例三：
‧
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0.6936 4.5460 -2.1446 4.4733
取 =0.9811、 =0.9857、 =0.6936 MPLE
0.9371 1.1430 5.2269 -4.7964
、
0.9430 -4.9227 5.1922 1.1580
、
0.4368 4.5634 -5.7857 4.4561
取 =0.9371、 =0.9430、 =0.4368
表三 11、2 1、12 0.7
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.0189 -0.01433 -0.00919 MPLE 與真實值之相對誤差 -0.06291 -0.057 -0.37595 MLE 與 MPLE 之相對誤差 -0.04487 -0.0433 -0.37016 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例四：
以11、2 1、12 1模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
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圖一 11、2 1時，12估計值之相對誤差
例五：
以12、2 1、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
2.3489 1.8277 4.3523 -1.9124
、
1.0427 -3.8494 3.9185 0.5345
、
0.1883 4.5458 -3.0656 2.3572
取 =2.3489、 =1.0427、 =0.1883 MPLE
2.3043 2.8029 7.5862 -2.8250
、
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例六：
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例七：
‧
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0.6926 3.4597 -3.7058 6.9705
取 =2.3737、 =0.9618、 =0.6926 MPLE
2.2195 -4.4412 8.1244 2.9795
、
0.9669 0.8848 11.050 -5.7843
、
0.4802 3.5702 -10.861 5.9366
取 =2.2195、 =0.9669、 =0.4802
表七 12、2 1、12 0.7
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.186839 -0.03817 -0.01062 MPLE 與真實值之相對誤差 0.109751 -0.03315 -0.31404 MLE 與 MPLE 之相對誤差 -0.06495 0.005227 -0.30668 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例八：
以12、2 1、12 1模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
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圖二 12、2 1時，12估計值之相對誤差
例九：
以13、2 1、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
3.9170 3.2984 6.4621 -1.9328
、
1.0406 -5.5697 5.5311 0.4390
、
0.1931 6.4030 -4.6026 2.3318
取 =3.9170、 =1.0406、 =0.1931 MPLE
3.8416 4.8425 11.081 -3.0536
、
MLE 與真實值之相對誤差
MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例十：
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例十一：
‧
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0.6682 9.5196 -5.5901 3.2991
取 =4.4150、 1.0179、 =0.6682 MPLE
3.8939 -4.5294 12.200
5.2515
、
1.0472 0.8042 18.991 -6.6723
、
0.4943 3.3249 -18.470 7.1259
取 =3.8939、 =1.0472、 =0.4943
表十一 13、2 1、12 0.7
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.381663 0.017868 -0.04538 MPLE 與真實值之相對誤差 0.297963 0.04723 -0.29381 MLE 與 MPLE 之相對誤差 -0.06058 0.028846 -0.26023 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例十二：
以13、2 1、12 1模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
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圖三 13、2 1時，12估計值之相對誤差
例十三：
以14、2 1、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
5.6963 4.9966 8.8370 -1.9487
、
1.0642 -6.9576 7.3501 0.3846
、
0.1685 7.8681 -6.3736 2.3097
取 =5.6963、 =1.0642、 =0.1685 MPLE
5.6066 -3.1888 15.266
7.0571
、
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例十四：
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例十五：
‧
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0.6210 11.241 -7.5040 3.1522
取 =5.9748、 =1.0290、 =0.6210 MPLE
5.6531 7.5319 16.461 -4.5329
、
1.0676 -6.9329 28.054 0.7182
、
0.4797 7.5732 -27.344 3.1235
取 =5.6531、 =1.0676、 =0.4797
表十五 14、2 1、12 0.7
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.493704 0.028974 -0.11289 MPLE 與真實值之相對誤差 0.413278 0.067622 -0.31474 MLE 與 MPLE 之相對誤差 -0.05384 0.03756 -0.22754 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例十六：
以14、2 1、12 1模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
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圖四 14、2 1時，12估計值之相對誤差
例十七：
以15、2 1、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
7.8234 7.1376 11.285 -1.9443
、
0.9588 -8.8867 9.2579 0.2892
、
0.2166 9.8233 -8.2835 2.2263
取 =7.8234、 =0.9588、 =0.2166 MPLE
7.6811 9.6336 19.611 -3.3138
、
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例十八：
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例十九：
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0.6702 13.787 -9.9498 3.2011
取 =8.1543、 =1.0215、 =0.6702 MPLE
7.7068 10.209 21.659 -4.8066
、
1.0666 -7.6606 40.153 0.6566
、
0.5346 8.4402 -39.310 3.1343
取 =7.7068、 =1.0666、 =0.5346
表十九 15、2 1、12 0.7
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.630869 0.02147 -0.04251 MPLE 與真實值之相對誤差 0.541364 0.066635 -0.2363 MLE 與 MPLE 之相對誤差 -0.05488 0.044217 -0.2024 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例二十：
以15、2 1、12 1模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
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圖五 15、2 1時，12估計值之相對誤差
例二十一：
以11、2 2、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE 因1、2、12均為正，
MLE
0.9849 -3.8719 3.0430 0.4899
、
1.9617 1.5143 3.3397 -2.0888
、
0.1909 4.5425 -2.2068 2.5003
所以取 =0.9849、 =1.9617、 =0.1909 MPLE
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例二十二：
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0.4770 3.4000 -2.6461 6.1178
取 =1.0190、 =2.0799、 =0.4770 MPLE
1.0406 0.8958 8.7274 -4.8788
、
2.0259 -4.2438 6.3437 2.6111
、
0.3156 3.5914 -8.4449 5.0967
取 =1.0406、 =2.0259、 =0.3156
表二十二 1 1、2 2、12 0.5
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.019048 0.039941 -0.04603 MPLE 與真實值之相對誤差 0.04063 0.012954 -0.36878 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.021179 -0.02595 -0.33833 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例二十三：
以11、2 2、12 0.7模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
‧
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表二十四 11、2 2、12 1
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.03499 -0.00555 0.021405 MPLE 與真實值之相對誤差 -0.03382 -0.06642 -0.34879 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.001211 -0.0612 -0.36244 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
圖六 1 1、2 2時，12估計值之相對誤差
例二十五：
以11、2 3、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
1.0297 0.4283 3.8393 -5.8423
、
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例二十六：
以11、2 3、12 0.5模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE
‧
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例二十七：
‧
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0.4789 4.0837 -13.998 6.6321
取 =1.0279、 3.0004、 =0.4789
表二十七 1 1、2 3、12 0.7
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.02507 0.035184 0.018912 MPLE 與真實值之相對誤差 0.027874 0.000133 -0.31579 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.05431 -0.03386 -0.32849 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例二十八：
以11、2 3、12 1模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
0.9987 -10.554 5.4215 0.5108
、
3.1107 2.6544 5.5602 -4.2125
、
1.0139 11.735 -4.1019 4.7145
取 =0.9987、 =3.1107、 =1.0139 MPLE
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1.0450 -7.7910 15.115
0.8442
、
2.9568 4.1618 8.6342 -6.4775
、
0.6753 8.1840 -14.659 5.0534
取 =1.0450、 =2.9568、 =0.6753
表二十八 11、2 3、12 1
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.00131 0.03689 0.013931 MPLE 與真實值之相對誤差 0.045002 -0.01439 -0.32465 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.046371 -0.04946 -0.33393 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
圖七 1 1、2 3時，12估計值之相對誤差
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
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註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例三十：
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0.3191 3.3351 -17.959 6.0968
取 =1.0841、 =3.8773、 =0.3191
表三十 1 1、2 4、12 0.5
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.027571 -0.00919 -0.06699 MPLE 與真實值之相對誤差 0.08413 -0.03068 -0.36178 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.055041 -0.02169 -0.31596 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例三十一：
以11、2 4、12 0.7模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
0.9920 -10.880 5.4160 0.4138
、
3.9202 3.4093 5.9453 -3.2920
、
0.6847 12.026 -4.1707 3.7011
取 =0.9920、 =3.9202、 =0.6847 MPLE
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註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例三十二：
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1.0215 15.609 -4.7443 4.4943
取 =0.9462、 =4.1468、 =1.0215 MPLE
1.0304 -7.7192 22.813 0.6911
、
3.9856 5.5996 9.9850 -6.5415
、
0.6940 8.3862 -22.075 4.8180
取 =1.0304、 =3.9856、 =0.6940
表三十二 11、2 4、12 1
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.05384 0.036701 0.021509 MPLE 與真實值之相對誤差 0.030436 -0.0036 -0.30596 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.089067 -0.03888 -0.32057 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
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圖八 1 1、2 4時，12估計值之相對誤差
例三十三：
以11、2 5、12 0.2模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
1.0113 -9.4318 5.1533 0.2993
、
4.9196 4.3714 6.4361 -2.2309
、
0.2012 10.390 -4.1366 2.5203
取 =1.0113、 =4.9196、 =0.2012 MPLE
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
‧
註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE例三十四：
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0.4836 3.1599 -4.6730 12.286
取 =1.0114、 =4.9039、 =0.4836 MPLE
1.0800 -5.3459 26.022 0.5984
、
4.8072 6.3620 11.155 -4.6116
、
0.3341 6.0708 -25.218 3.2937
取 =1.0800、 =4.8072、 =0.3341
表三十四 1 1、2 5、12 0.5
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 0.011396 -0.01922 -0.03285 MPLE 與真實值之相對誤差 0.079998 -0.03856 -0.33177 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.067829 -0.01972 -0.30907 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
例三十五：
以11、2 5、12 0.7模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE
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註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE‧
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表三十六 11、2 5、12 1
1 2 12
MLE 與真實值之相對誤差 -0.01286 0.037155 0.002933 MPLE 與真實值之相對誤差 0.085929 -0.0001 -0.30284 MLE 與 MPLE 之相對誤差 0.100081 -0.03592 -0.30488 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE
圖九 1 1、2 5時，12估計值之相對誤差
MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差
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將上面三十六個例子分別得到的相關係數與12的相對誤差進行繪圖得圖
十。其中以相關係數為橫軸，12的相對誤差為縱軸。
圖十 相關係數與12的相對誤差圖
由上面例子可以發現，利用擬概似估計對參數12進行估計時，會出現不小
的誤差；且1、2固定時， 越大（亦即12的值越大），12的 MPLE 對 MLE 的相對誤差有越大的趨勢，並且 MPLE 低估的程度越嚴重。最後由 MLE 與真實 值的相對誤差及 MPLE 與真實值的相對誤差之比較可知，MLE 比 MPLE 為佳。
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