以三個二維連續分配對最大概似估計與最大擬概似估計作比較 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文以三個二維連續分配對最大概似估計與最大. n. al. Ch. engchi. sit. io. distributions. er. Nat. y. ‧. ‧ 國. 學. 擬概似估計作比較政治大立 A comparison between maximun likelihood estimation and maximun pseudo-likelihood estimation using three bivariate continuous i n U. v. 碩專班學生：張嘉福撰. 指導教授：宋傳欽博士姜志銘博士中華民國. 102. 年. 7 月. 5 日.

(2) 目錄摘要. 3. Abstract. 4. 1. 簡介. 5. 1.1 研究動機. 5. 1.2 研究目的. 5. 1.3 研究架構. 6. 2. 擬概似估計之背景理論. 立. 8 9. 學. ‧ 國. 3. Gumbel 二維指數. 政治大. 3.1 Gumbel 二維指數分配之探討 3.2 MLE 之推導. 10. ‧. 3.3 MPLE 之推導. y. Nat. er. io. sit. 4. 二維常態分配. 4.1 二維常態分配之探討. al. n. 4.2 MLE 之推導 4.3 MPLE 之推導. 9. Ch. n U engchi. 5. Marshall and Olkin 二維指數分配. iv. 11 13 13 14 15 21. 5.1 Marshall and Olkin 二維指數分配之探討. 21. 5.2 MLE 之推導. 26. 5.3 MPLE 之推導. 28. 5.4 模擬實驗. 31. 6. 結論與未來展望. 81. 參考文獻. 82 1.

(3) 附錄. 83. 附錄 A（二維常態 MLE 推導過程）. 83. 附錄 B（二維常態 MPLE 推導過程）. 85. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(4) 摘要給定一些條件分配，若其相容，我們可以試著找出對應的聯合分配，並由概似函數求其參數的最大概似估計。但當聯合密度函數不易求出或過於複雜時，我們可以利用擬概似函數去估計參數。本文透過三個分配：（1）聯合分配為 Gumbel 二維指數分配；（2）聯合分配為二維常態分配；（3）聯合分配為 Marshall 及 Olkin 二維指數分配，對最大概似估計(MLE)與最大擬概似估計(MPLE)作比較，並進行探討是否可以 MPLE 取代 MLE。我們發現在（1）、（2）情形下，MPLE 與 MLE 一致；但在（3）情形時，MPLE 與 MLE 不一致。在（3）情形下，透過數值模. 政治大因此在給定一些條件分配時，雖然擬概似函數容易建立以估計參數，但 MPLE 立. 擬的實驗，發現 MPLE 與 MLE 的差異似乎有隨著相關係數變大而變大的趨勢。. ‧ 國. 學. 相對於 MLE 的誤差有可能會比較大。另外，就如二維常態下的例子所示，即使 MPLE 與 MLE 一致，相對於 MLE 而言，MPLE 的推導與計算通常較為複雜。因. ‧. 此仍應盡可能尋找對應的聯合密度函數，以計算最大概似估計。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵詞：相容，條件分配，最大概似估計，最大擬概似估計. 3.

(5) Abstract If the given conditional distributions are compatible, then their corresponding joint distribution exists. In such case, we may be able to find its joint p.d.f. and to find maximum likelihood estimators of the parameters. However, when it is not easy to find the joint p.d.f. or the expression of the joint p.d.f. is too complicated, we may use the maximum pseudo-likelihood estimators to estimate the unknown parameters. In this thesis, using three different bivariate joint distributions, we study the difference between their maximum likelihood estimator (MLE) and maximum pseudo-likelihood. 政治大 are Gumbel’s bivariate exponential 立 distribution, bivariate normal distribution, and. estimator (MPLE) to find out if MPLE may replace MLE. These three distributions. ‧ 國. 學. Marshall and Olkin’s bivariate exponential distribution. We find that MPLE’s and MLE’s are the same under Gumbel’s bivariate exponential distribution and bivariate. ‧. normal distribution. However, it’s not possible that MPLE’s and MLE’s could be the. sit. y. Nat. same under Marshall and Olkin’s bivariate exponential distribution. In addition,. n. al. er. io. through computer simulation study on Marshall and Olkin’s bivariate exponential. i n U. v. distribution, we find that the difference between MPLE and MLE seems getting larger. Ch. engchi. if the correlation coefficient is becoming larger. Finally, the derivation and/or computation of the MPLE for some distributions may be too complicated, even their MPLE’s and MLE’s are the same. Hence, it may not be worth of using MPLE, like the bivariate normal case. Therefore, we suggest finding out the joint p.d.f. first to estimate the parameters through MLE if it is possible, instead of using MPLE.. Keyword: compatibility, conditional distribution, maximum likelihood estimator, maximum pseudo-likelihood estimator. 4.

(6) 1. 簡介 1.1 研究動機當兩個變數之給定的條件分配相容時，雖然存在聯合分配，但可能不容易將其求出；在某些情況下，甚至透過複雜的運算，也僅能算出它的核心部分，而無法完整表達出它的聯合密度函數。此時，我們可以將觀察值分別代入兩個條件密度函數後，再全部相乘，得到一個新的函數，稱此函數為擬概似函數（pseudo-likelihood function）。由該函數去求最大擬概似估計值（maximum pseudo-likelihood estimate, MPLE），以估計聯合分配的參數。此方法稱為擬概似. 政治大. 估計。但是最大擬概似估計值與一般常用的最大概似估計值（maximum likelihood. 立. estimate, MLE）是否一致？本研究將透過三個分配加以探討。. ‧. ‧ 國. 學. 1.2 研究目的. y. Nat. er. io. sit. 在二維的情況下，本論文透過以下三個聯合分配：1. Gumbel 二維指數分配 (Gumbel’s bivariate exponential distribution)；2.二維常態分配；3.Marshall and Olkin. al. n. v i n 二維指數分配 (Marshall and Olkin’s distribution)，從理論推 C h bivariate exponential engchi U 導或模擬實驗的方式，研究 MLE 與 MPLE 的異同： 1.. Gumbel 二維指數分配：. f  x, y   e ( x  y  xy ) 1   x 1   y     x, y  0,  0, 兩條件密度函數為： f  x y   e (1 y ) x 1   x 1   y     x, y  0,  0, f  y x   e (1 x ) y 1   x 1   y     x, y  0,  0.. 5.

(7) 2.. 二維常態分配：   1    12 X   ~ N 2     ,  Y   2    1 2.  1 2     2 2  . 其條件分配具有如下之形式： d e y 1  X|Y  y ~ N  2 3 ,  d1   d1 d e x 1  Y|X  x ~ N  4 3 ,  d3   d3. 且 e32  d1d3  0 。. 立. Marshall and Olkin 二維指數分配：        e  1x 2 y 12 x  f  x, y    2 1 12  1x 2 y 12 y  1  2  12  e. 學. ‧ 國. 3.. 政治大 , x y0 , yx0. ‧. 其中 1 , 2 , 12  0. y. Nat. n. al. , x y. er. io.  2  1  12   1x 12  x  y  e  f  x | y    2  12  1e 1x . sit. 兩條件密度函數為：. i n Ch e n g c,hx i yU. v. 及.  1  2  12   2 y 12  y  x  e  f  y | x    1  12  2e 2 y . , yx , yx. 1.3 研究架構本研究第 1 章簡述研究動機與目的，第 2 章介紹擬概似函數的背景理論，第 6.

(8) 3 章在聯合分配為 Gumbel 二維指數分配下，比較 MLE 與 MPLE 的差異，第 4 章在聯合分配為二維常態分配下，比較 MLE 與 MPLE 的差異，第 5 章在聯合分配為 Marshall and Olkin 二維指數分配下，比較 MLE 與 MPLE 的差異，並透過模擬實驗，在參數變化情況下，對二者差異做進一步研究，最後在第 6 章做出結論。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i n U. v.

(9) 2. 擬概似估計之背景理論一般的統計應用上，最大概似估計是估計密度函數中之參數常用的方法。給定一些條件密度函數，若它們相容，此時或可先求得聯合密度函數，並因而可求得參數的最大概似估計值。但若給定的條件密度函數不相容或對應的聯合密度函數過於複雜而無法完整將它表達出來，此時無法使用最大概似估計。如 Arnold (1991)所提的例子，便可窺得一斑：當聯合密度函數為 f  x, y   k   e.  x  y  xy . 則常數. k    . . 1. 0. . . . 0. 1 y.  0. dy. e y dy 1 y. ‧. ‧ 國. 0.  x 1 y . 學.   e y . 政dxdy 治大.  x  y  xy . 立e. 0. . e. , 0  x, y   ，. 不易求得，因此無法求出  的 MLE。. sit. y. Nat. n. al. er. io. Besag (1975)提出一種新的方法，將給定的條件密度函數相乘，得到一個新. i n U. v. 的函數，用以代替聯合密度函數。將觀察值代入該函數中，並全部相乘，再利用. Ch. engchi. 其進行參數估計，此種方法稱為擬概似估計法。以兩個隨機變數 X,Y 為例說明：. 假設我們有 n 個觀察值  x1 , y1  ,  x2 , y2  ,. ,  xn , yn  ，兩個條件密度函數. f1  x | y  及 f 2  y | x  ，則擬概似函數為 n. PL   f1  xi | yi  f 2  yi | xi  。 i 1. 利用此函數進行最大概似估計，所得到的參數估計值稱為最大擬概似估計值。 8.

(10) 3. Gumbel 二維指數分配 3.1 Gumbel 二維指數分配之探討依據文獻[4]，若   0 ，定義兩條件密度函數分別為 f  x y   e (1 y ) x 1   x 1   y     , x, y  0. （3.1）. f  y x   e (1 x ) y 1   x 1   y     , x, y  0. （3.2）. 並定義聯合聯合密度函數. f  x, y   e ( x  y  xy ) 1   x 1   y     , x, y  0 。. （3.3）. 政治大. 我們將推出（3.1）及（3.2）為（3.3）兩條件密度函數，過程如下：. 立. f X  x    e  ( x  y  xy ) 1   x 1   y     dy . 0. . 1. 1. e. .  e  e.  (1 x ).  (1 x ). t. . 1   x  t    1 dt  令t  1   y  1   x  t  e (1 x )t dt. t. . ‧. ‧ 國 e. . 學. 1. . . 1. y. Nat. n. al. 1   (1 x )t  e  te .  1. Ch.  1 x 1   0  e  e    1. .  e.  (1 x ). t. . . dt   e 1. v  n i dt .  (1 x ). engchi U 1. sit. er. io. 1 t   (1 x )    (1 x )t 1   x  t    e   e dt   e dt  1 1   . t. . . .  e x , x  0. 同理. （3.4）. fY  y  ey , y  0 。. （3.5）. 由（3.3）及（3.5）可得. 9.

(11) f  x, y . f  x y  . fY. e  ( x  y  xy ) 1   x 1   y    .  e  (1 y ) x 1   x 1   y    .. e y. 由（3.3）及（3.4）可得 f  x, y . f  y x  . fX e.  ( x  y  xy ). 1   x 1   y    .  e  (1 x ) y 1   x 1   y     .. e x. 。. 政治大. （3.3）式為 Gumbel (1960) 提出的一種二維指數分配，稱為 Gumbel 二維指. 立. 數分配，詳見文獻[4]。Gumbel 二維指數的應用詳見文獻[6]的第一節。. ‧. ‧ 國. 學. 3.2 MLE 之推導. y. Nat. al. n. L     f  xi , yi . er. io. n. sit. 概似函數為：. i 1. Ch. engchi n. i n U. v.     ( xi  yi  xi yi )    1   xi 1   yi      e i1  i 1  n. 上式兩邊同取 log 得：.  n  n log L    log  1   xi 1   yi        ( xi  yi   xi yi )  i 1  i 1 兩邊對  微分得： n d log L   n xi  yi  1  2 xi yi   xi yi  2 d i 1 1    xi  yi  1   xi yi i 1. 令. d log L    0 ，則 d 10.

(12) n xi  yi  1  2 xi yi   xi yi  0  2 i 1 1    xi  yi  1   xi yi i 1 n. （3.3）中  的 MLE. 為方程式. n xi  yi  1  2 xi yi  xi yi   2 i 1 1    xi  yi  1   xi yi i 1 n. 的解。文獻[4]沒有推導過程，但提供的方程式與上式一致。. 3.3 MPLE 之推導. 政治大 PL     f  x | y  f  y | x  立. 擬概似函數為： n. i. i. i. i.    1   xi 1   yi      i 1 n. 2. n. 1 yi  xi  1 xi  yi    i 1 e   . 學. ‧ 國. i 1. ‧. 上式兩邊同時取 log 得： n. i 1. i 1. sit. n. al. er. io. 兩邊對  微分得：. n. y. Nat. log PL    2log  1    xi  yi  1   2 xi yi     xi  yi  2 xi yi . i n U. v. n n d log PL   xi  yi  1  2 xi yi  2  2 xi yi  2 d i 1 1    xi  yi  1   xi yi i 1. 令. Ch. engchi. d log PL    0 ，則 d n n xi  yi  1  2 xi yi 2  2 xi yi  0  2 i 1 1    xi  yi  1   xi yi i 1. 所以 MPLE. 為方程式. n xi  yi  1  2 xi yi   xi yi  2 i 1 1    xi  yi  1   xi yi i 1 n. 的解。. 由上面結果可知，在 Gumbel 二維指數分配下，MLE 與 MPLE 在參數估計 11.

(13) 上是一致的。因此若給定的條件分配相容且對應的聯合分配為 Gumbel 二維指數分配，則可用 MPLE 取代 MLE。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 12. i n U. v.

(14) 4. 二維常態分配 4.1 二維常態分配之探討根據蕭惠玲（2010）提出，若兩條件分配為.  d e y 1  X|Y  y ~ N  2 3 ,  , d1   d1  d e x 1  Y|X  x ~ N  4 3 ,  , d3   d3 且 e32  d1d3  0. 政治大則這兩個條件分配相容且聯合分配為二維常態分配。若此二維常態分配以下式表立. d1d 4  e3d 2 d1d3  e32 e3. y. al. n. 2 . sit. io. d 2 d3  e3d 4 d1d3  e32. er. 1 . Nat. 則.  1 2    ,  2 2  . ‧.   1    12 X ~ N , 2     2     Y  1 2 . 學. ‧ 國. 示. . Ch. engchi. d1d3. i n U. v. (4.1) (4.2) (4.3).  12 . d3 d1d3  e32. (4.4).  22 . d1 d1d3  e32. (4.5). 由(4.1)～(4.5)可推得： d1 . 1  1   2 . (4.6). d3 . 1  2 1   2 . (4.7). 2 1. 2. 13.

(15) . e3 . (4.8).  1 2 1   2 . d2 . d4 . 1. . 1   . 2 1. 2. 2. . 2. (4.9). 1. (4.10).  1 2 1   2 . .  2 2 1   2   1 2 1   2 . 政治大二維常態分配中參數之最大概似估計值為：立. 4.2 MLE 之推導. ‧ 國. 學 sit. n. engchi U. i. n n. y. (4-14). er. io. Ch. x. y i 1. ‧. Nat. al. n. i 1. (4-13). y. (4-12). 其中. x. (4-11). i. n.  n  n xi    xi  n 1 i 1  i 1  Sx  n n n. 2. 2. 14. v ni. (4-15).

(16)  n  n yi    yi  n 1 i 1  i 1  Sy  n n n. 2. 2. n  n  n  n xi yi    xi   yi  n 1  i 1  i 1  S xy  i 1 n n2 n  n  n  n xi yi    xi    yi  i 1  i 1   i 1 . .  n  n xi    xi  i 1  i 1  n. 2. 令. 2.  n  n yi    yi  i 1  i 1  n. 2. 2. 政治大 A   x 、 B   y 、C   x 、 D   y 、 E   x y 立 n. n. n. n. n. 2. i 1. i. i 1. i. i 1. i. 2. i 1. i. i 1. i. i. ‧ 國. 學. 將(4-11)～(4-15)代入(4-6)～(4-10)中，再利用最大概似估計的不變性，可得 d1 ， d 2 ， d 3 ， d 4 ， e3 的最大概似估計（詳細過程請參閱附錄 A）如下：. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. （4.17）. i n U. v. （4-16）. 4.3 MPLE 之推導擬概似函數取對數後為：. 15.

(17) 2 2   d 4  e3 xi   d 2  e3 yi       xi    yi  n d3   d1 1     log PL   log    2 2 1 1 i 1   2 d1 d3 d1 d3   2  d 2  e3 yi     1 1 1 1 2    log  log d1  log d3   d1 xi  2d 2 xi  2e3 xi yi    2 2 2 2  d1 i 1    n. 2 d 4  e3 xi    1 n  2    d3 yi  2d 4 yi  2e3 xi yi    2 i 1  d3 .  n log. 1 n 1 n 1 n  n    log d1  d1  xi 2    log d3  d3  yi 2  2  2 2 i 1   2 2 i 1 . 政治大. n n n  e32 n 2 nd4 2 d4e3 n e32 n 2  nd2 2 d2e3 n  2e3  xi yi  d2  xi  d4  yi   yi   xi   yi  2d   xi  2d  2d1 d1 i 1 2d3 d3 i 1 i 1 i 1 1 i 1 3 i 1  i 1 . 立. ‧ 國. 學. 兩邊對 d1 偏微分得：. ‧. sit. al. n. n e32 n 2 2 x  d  d e y   i 2 2 3 i 2 2 i 1 i 1 n. Ch. n. y i 1. engchi. er. io. nd1 d12  2 2. y. Nat. e32 n 2  log PL n 1 n 2 nd2 2 d 2e3 n    xi   y  yi  i 2d 2  d1 2d1 2 i 1 2d12 d12 i 1 1 i 1  log PL 令  0 ，則 d1 0. i n U i. 2. v. (4.17). 兩邊對 d 2 偏微分得： e n nd  log PL n   xi  2  3  yi d 2 d1 d1 i 1 i 1. 令.  log PL  0 ，則 d 2 n. n. i 1. i 1. d1  xi  nd 2  e3  yi  0. (4.18). 兩邊對 d 3 偏微分得： 16.

(18) e32 n 2  log PL n 1 n 2 nd 4 2 d 4e3 n    yi   x    xi i d3 2d3 2 i 1 2d32 d32 i 1 2d32 i 1  log PL 令  0 ，則 d3 nd3 d32  2 2. n e2 nd 4 2  d 4 e3  xi  3 2 2 i 1. n.  yi 2  i 1. n. x i 1. 2. i. 0. (4.19). 兩邊對 d 4 偏微分得： e n nd  log PL n   yi  4  3  xi d 4 d3 d3 i 1 i 1. 令.  log PL  0 ，則 d 4 n. n. i 1. 立. 政治大. d3  yi  nd 4  e3  xi  0 i 1. (4.20). n d  log PL  2 xi yi  2 e3 d1 i 1. n. e3. i 1. i. 1 i 1. i. 2. . d4 d3. n. i 1. i. sit. y. 3 i 1. al. n. v 2d d  x y  d d C y  d e  y  d d  xni d e  x hengchi U n. 1 3. i. i 1. i. 2 3. n. i 1. n. d2 . i. 3 3. i 1. n. d1  xi  e3  yi i 1. i 1. n. 由(4.21)可得： n. d4 . n. d3  yi  e3  xi i 1. n. n. 2. 由(4.19)可得：. n. 2. i. er. io.  log PL  0 ，則 e3. n. e3. x  d x. Nat. 令. n. y d y. ‧. ‧ 國. 學. 兩邊對 e3 偏微分得：. i 1. n. 17. i. 1 4. i 1. i. 1 3. i 1. i. 2. 0. (4.21).

(19) 所以 MPLE 之解為（詳細過程請參閱附錄 B）. (4.22). 政治大比較(4.16)及(4.22)，可發現 MLE 及 MPLE 的結果相同。立. ‧ 國. 學. 再將(4.22)代回(4.1)～(4.5)，求得常態分配均數、變異數及相關係數的 MPLE. ‧. 為：. n. A  n. Ch. engchi. n. . x i 1. i. n. x. 18. er. io. al. n  nCD  nE 2  2 ABE  B 2C  A2 D . sit. y. Nat . A  nCD  nE 2  2 ABE  B 2C  A2 D . i n U. v.

(20)  . B  nCD  nE 2  2 ABE  B 2C  A2 D  n  nCD  nE 2  2 ABE  B 2C  A2 D  B n n. . y i 1. i. n. y. 政治大 nCD  nE  2 ABE  B C  A D   nC  A  立   nD  B  nC  A    nE  AB  2. 2. 2. 2.  nC  A  nCD  nE  2. 2. 2. 學. ‧ 國. 2. 2.  2 ABE  B 2C  A2 D . io. 2. n. al. y.  n    xi   n 2    ( xi )    i 1  n  i 1 . sit. Nat. nC  A2 n. er. . Ch. engchi. i n U. v.  nD  B  nCD  nE  2 ABE  B C  A D   nD  B  nC  A    nE  AB  2. . ‧. n  nCD  nE 2  2 ABE  B 2C  A2 D . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 19.

(21)  nC  B  nCD  nE  2. 2.  2 ABE  B 2C  A2 D . n  nCD  nE 2  2 ABE  B 2C  A2 D .  nC  B   2. n.  n    yi   n 2    ( yi )    i 1  n  i 1 . 立. 2. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. er. io. sit. 因此我們證明了，在二維常態分配中，參數的 MLE 及 MPLE 有相同的結果，此結論與 Arnold (1991)所提出但未證明的結論一致。由此例亦可看出，求 MPLE. al. n. v i n 之過程比求 MLE 之過程困難許多，故在可求出聯合密度函數的前提下，應先設 Ch engchi U. 法求出 MLE。. 20.

(22) 5. Marshall and Olkin 二維指數分配 5.1 Marshall and Olkin 二維指數分配之探討依據文獻[4]，若 1 , 2 , 12  0 ，定義兩個條件密度函數分別為：.  1  2  12   2 y 12  y  x  e , x y  PY | X  y | x    1  12  2e 2 y , yx . （5.1）.  2  1  12   1x 12  x  y  e , yx  PX |Y  x | y    2  12  1e 1x , x y . （5.2）. 並定義聯合密度函數. 立. 政治大. ‧ 國. , x y0 , yx0. 學.       e  1x 2 y 12 x PXY  x, y    2 1 12  1x 2 y 12 y 1  2  12  e. （5.3）. ‧. 我們將在本節推出（5.1），（5.2）為（5.3）的條件密度函數，所以（5.1），（5.2）. er. io. sit. y. Nat. 相容。聯合分配（5.3）稱為 Marshall and Olkin 二維指數分配。. 將（5.1）對 y 積分、（5.2）對 x 積分及（5.3）分別對 x 及 y 積分後，所得. al. n. v i n 積分值皆不為 1，故上述（5.1） C、h（5.2）及（5.3）的式子為不完整的條件密度函 engchi U. 數及聯合密度函數。以下為（5.1）、（5.2）及（5.3）式之完整條件密度函數及聯合密度函數（稱之為（5.1a）、（5.2a）及（5.3a）式）的推導過程，並驗證（5.1a）、（5.2a）為（5.3a）的條件密度函數。. 上述條件密度函數（5.1）、（5.2）以及聯合密度函數（5.3）僅表達出 x  y 的部份，當 x  y 時，文獻[4]並未處理。本小節將加以定義。. 我們首先討論條件密度函數 PY | X  y | x  情形。 21.

(23) y  x 時： . x. PY | X  y | x dy  . . x. . 1  2  12    y  e 1  12 2. 1  2  12   e 1  12. 12 x. . . x. 12. . 2. x. 0. x. 2. 政治大. 立. PY | X  y | x dy   2e  2 y dy 0. 0.  1  e 2 x. Nat. PY | X  y | x   1 . 1 e   x  1  e   x  1  12 2. 2. 12 e  x 1  12. io. . x.  e 2 y. 2. n. al. Ch. 故 PY | X  y | x  的完整條件密度函數為：. PY | X. ‧. y  x 時：. x. 學.  iii . . . er. . 12. 1 e x 1  12. y  x 時：. ‧ 國.  ii . dy. e  2  12  y dy. 1  y    e x e  1  12 12.  y x. y. . sit. i . engchi.  1  2  12   2 y 12  y  x  e     1 12  2e  2 y  y | x     12  e 2 y 1  12 . i n U. v. , yx , yx , yx. 接著討論條件密度函數 PX |Y  x | y  情形。.  i  x  y 時： 22. （5.1a）.

(24) . y. 0. PX |Y  x | y dx   1e  1x dx y. 0.  e  1x. y 0.  1  e  1 y.  ii . x  y 時：. .  y. PX |Y  x | y dx   .  y. 2  1  12    x  e 2  12 1. 2  1  12   e 2  12. 12 y. . . x. 12. 2 2  12. 立. . x. 政治大 e y.  1 y. 2 e  x  1  e  x  2  12 1. 1. ‧. PX |Y  x | y   1 . 12 e  x 2  12. Nat. y. 1. sit. . 12. 學.  iii  x  y 時：. ‧ 國. . 1. dy. e  1  12  x dy. 2  e  y e     2  12 12.  x y. n. al. er. io. 故 PX |Y  x | y  的完整條件密度函數為：. Ch.  2  1  12   1x 12  x  y  e     2 12   PX |Y  x | y    1e 1x  12  e 1x 2  12 . e,nx g  yc h i , x y , x y. 最後討論聯合密度函數 PXY  x, y  的情形。.  i  y  x 時：. 23. i n U. v. （5.2a）.

(25) . . 0. x.  . . PXY  x, y dydx   1  2  12  e  1x 2 y 12 y dydx x. . . 0. x.   1  2  12  e  1x  e  2  12  y dydx .   1 e  1x e  2  12  y 0.  x. dx. .   1e  1x 2 x 12 x dx 0.  x  y 時：  y. . PXY  x, y dxdy   2  1  12  e  1x 2 y 12 x dxdy x. . .   2  1  12  e  2 y  e 0. . 政治 dy大 x.   2 e  2 y e. 立 . 0. . 2. 12. 2 1  2  12. 又. 0. 1 2  a l 1  2  12 1  2  12 i v  n = C 12 U h 1  2 +e 12n g c h i. er. ce 1x 2 x 12 x dx  1 . n. . . 0. io. . . Nat. 此時密度函數定義為 ce1x2 x12 x ，其中 c 為常數。因為. ‧. ‧ 國.  1  12  x  y. 學.  iii  x  y 時：. . dxdy. 2 e  y  y  y dy 1. 0.  1  12  x. y. . 0.  . sit.  ii . 1 1  2  12. 2 ce 1x  2x  x1 dx=. c. 1  2 +12. 所以 c  12 故 PXY  x, y  的完整條件密度函數為：. 2  1  12  e 1x 2 y 12 x  PXY  x, y   1  2  12  e 1x 2 y 12 y  12e 1x 2 x 12 x . 24. , x y , x y , x y. （5.3a）.

(26) 由上面之推導可知，在 x  y 時，是連續的狀態，但在 x  y 時，是離散的狀態，因此這是一個離散與連續的混合型二維指數分配。. 以下將證明（5.1a）與（5.2a）分別是（5.3a）的條件密度函數。首先計算 Y 的邊際密度函數. fY  y  .   1  2  12  e 1x 2 y 12 y dx   2  1  12  e 1x 2 y 12 x dx  12e 1 y 2 y 12 y y. 0. y.    2  12  e 1x 2 y 12 y. y   2e 1x 2 y 12 x  12e 1 y 2 y 12 y 0 y. 政治大.    2  12  e 1 y 2 y 12 y   2  12  e 2 y 12 y  0  2e 1 y 2 y 12 y  12e 1 y 2 y 12 y. 立.   2  12  e 2 12  y , y  0 。. ‧ 國. 學. 同理 X 的邊際密度函數為：. ‧. f X  x    1  12  e1 12  x , x  0 。. n. al. y , x y. sit. io.  2  1  12  e  1x 2 y 12 x   2 y  12 y   2  12  e PXY  x, y   1  2  12  e  1x 2 y 12 y   2 y  12 y fY  y    2  12  e  12 e  1 y 2 y 12 y    y  y   2  12  e 2 12. er. Nat. 將聯合密度函數除以 Y 的邊際密度函數得：. i n Ch e n g c h, ix Uy.  2  1  12   1x 12  x  y  e     2 12    1e 1x  12  e 1x 2  12  上式與（5.1a）相同。. 25. , x y. , x y , x y , x y. v.

(27) 同理，將聯合密度函數除以 X 的邊際密度函數得：  2  1  12  e  1x 2 y 12 x   1 x  12 x   1  12  e PXY  x, y   1  2  12  e  1x 2 y 12 y   1 x  12 x fX  x   1  12  e  12 e  1 y 2 y 12 y    x  x   1  12  e 1 12   2 e  2 y           y  y  x   1 2 12 e 2 12     1  12   12 e  1 y      1 12. 立. , x y , x y , x y. , x y , x y. y 政治, x  大. 上式與（5.2a）相同。所以（5.1a）與（5.2a）相容且（5.3a）為其聯合密度函數。. ‧ 國. 學. 根據文獻[7]、[8]，Marshall and Olkin 二維指數分配是唯一保持指數分配無. ‧. 記憶性特徵的多元指數分配，並從失效機制角度刻化變量相依的二維分配。例如. y. Nat. sit. 系統中有兩個元件 A 與 B，而有三個衝擊源，其中碰撞會造成元件 A 失效且失. n. al. er. io. 效的時間點 Z1 符合指數分配、沾到水會造成元件 B 失效且失效的時間點 Z 2 符合. i n U. v. 指數分配、過熱會造成兩元件皆失效且失效的時間點 Z12 符合指數分配，參數則. Ch. engchi. 分別為 1 、 2 、 12 （三者皆為正數）。定義 X=min  Z1 ,Z12  ， Y=min  Z2 ,Z12  ，則 X 為 A 元件之壽命， Y 為 B 元件之壽命，且  X,Y  的聯合分配符合 Marshall and. Olkin 二維指數分配（詳見文獻[4]）。. 5.2 MLE 之推導若從聯合分配（5.3a）中抽取 n 筆資料  xi , yi  ， i  1,. 26. , n ，令 N1 為這 n 筆.

(28) 資料中 xi  yi 的數目， N 2 為這 n 筆資料中 yi  xi 的數目， N12 為這 n 筆資料中 xi  yi 的數目。為了計算方便，我們把資料重新排序，將滿足 xi  yi 排到最前，. 其次為 yi  xi ，最後則為 yi  xi ，故得概似函數： L N1.  1  2  12  e x  y  1 i. 2 i. 12 yi. i 1. N1  N 2. . 2  1  12  e  x  y  1 i. i  N1 1. 12 xi. 2 i. N1  N 2  N12. . i  N1  N 2 1. 12 e  x  x  1 i. 2 i. 兩邊取對數 log 得： log L  N1.  log 1  log  2  12   1xi  2 yi  12 yi  .   log        x   y   x  政治 log 大. i 1.  log . 立. 1.  1 xi  2 xi  12 xi . ‧.  log L  0 ，則 1. 1. al. N2 S 0 1  12 1. er. . n. 令. N1. io. 即. sit. Nat. 1  N1  N2  1  N1  N2  N12  x   x     xi   0 i i  i 1  1  i  N1 1  1  12  i  N1  N2 1 N1. Ch. engchi. i n U. v.  log L  0 ，則 2.  1  N1  N2  1  N1  N2  N12  y   y     yi   0 i i  i 1  2  12  i  N1 1  2  i  N1  N2 1 N1. 即. 令. 12. 學. 令. 12. 2. ‧ 國. i  N1  N 2 1. i  N1 1. y. . N1  N 2  N12. N1  N 2. N1 N  2  S2  0 2  12 2  log L  0 ，則 12. 27. 1 i. 2 i. 12 i. 12 xi.

(29)  1  N1  N2  1  N1  N2  N12  1   y   x    i i     xi   0 i 1  2  12  i  N1 1  1  12  i  N1  N2 1  12  N1. N1 N2 N   1 2 T '  0 2   1 2  1  1 2 1 2. 即其中. n  S   1  xi i 1  n  S   2  yi i 1  n  T '   max  xi , yi  i 1 . 故 MLE. 政治大為聯立方程式立. 及. ‧. ‧ 國. 學.  N1 N2  S1    1 1  12  N2 N1   S2      2 12  2  N1 N2 N   12  T '   2  12 1  12 12.  5.5  5.6 . al. er. io. sit. y. Nat. 之解。.  5.4 . v. n. 聯立方程式(5.4)、(5.5)及(5.6)與文獻[4]中的結果相符合。. Ch. 將(5.4)及(5.5)代入(5.6)可得： S1 . 即. N1. 1. N1. 1. .  S2 . N2. 2. . N12. 12. engchi. T '. N2 N 12   S1  S2  T '. 2. i n U. (5.7). 12. 5.3 MPLE 之推導擬概似函數 PL 可表示如下：. 28.

(30) PL . 1  2  12    y  e  1  12 i 1 N1. 2 i. 12. N. 1.  yi  xi . 1e  x. 1 i. 2  1  12    x  e 2  12 i  N 1 N1  N 2. . 1 i. 12.  xi  yi . 2e  y . e 1xi  2 yi. 2.  12 . 2.  12   log  1  12   1 xi  2 yi  12  yi  xi  . 12. 2 i. 1. 2.       . i  N1  N 2 1. 12. 兩邊取對數 log 得： log PL  N1.  2 log   log   1. i 1. . N1  N 2. . i  N1 1.  2 log 2  log  1  12   log  2  12   1 xi  2 yi  12  xi  yi  . N. . . 12. 2. 12. 1 i. sit. y. al. er. N 2 N2 N   xi  1  12 i 1 1  12. n. 1. . io. 2 N1. N1 N1  N 2 N N1 N2 N12   xi    xi    xi  0 1  12 i 1 1  12 i  N1 1 1  12 i  N1  N2 1. Nat. 1. . 2 i. ‧.  log PL  0 ，則 1 2 N1. 或. 1. 學. 令. 12. ‧ 國. i  N1  N 2 1. 政治大  2log   log       log        x   y  立. 即. 2 N1. 令.  log PL  0 ，則 2. Ch. 2N2 N   S1  1 1  12 1  12. engchi. i n U. v. N1 N1  N 2 N N1 2N2 N2 N12   yi     yi    yi  0 2  12 i 1 2 2  12 i  N1 1 2  12 i  N1  N2 1. 或. 2N2. . 即. 2N2. . 2 2. N 2 N1 N   yi  2  12 i 1 2  12. 2 N1 N  S2  2  12 2  12. 29.

(31) 令.  log PL  0 ，則 12 2 N1 2 N2 2N N N   12   T ' 2  12 1  12 12 2  12 1  12. 即 N1 N1  N 2 N1 N1 N2 N2 2N N12 N12     yi  xi       xi  yi   12   0 2  12 1  12 i 1 1  12 2  12 i  N1 1 12 1  12 2  12. 故 MPLE. 及. 為聯立方程式.  2N2 2N N  S1   1  1  12 1  1  12  2 N1 2N2 N  S2    2  12 2  2  12  2 N1 2N2 2N N N   12   T '  12 2  12 1  12  2  12 1  12. 政治大. 立.  5.9   5.10 . ‧ 國. 學. 之解.  5.8. ‧. 將(5.8)及(5.9)代入(5.10)可得：. 2N 2 N 2 2 N12 N N N N  1  S2      T ' 1  12 1 2  12 2 12 2  12 1  12. 或. 2 N1. . 即. N1. . y. al. N2 N 12 1    S  S  T ' 2 12 2 1 2. 又因. Ch. engchi. n. n. n. i 1. i 1. i 1. sit. 12. er. 2. n. 1. 2N 2 2N 1 2   S1  S2  T '. io. 1. Nat. S1 . i n U. v. (5.11). S1   xi , S2   yi , T '   max  xi , yi  , xi , yi  0 ，. 所以 S1  S 2  T '  0 ，. 觀察(5.7)與(5.11)，可以得知 MLE 與 MPLE 不可能一樣。. 因 X, Y 之相關係數為. 12 ，若 X, Y 接近零相關（此時 12 趨近於零）， 1  2  12 30.

(32) 由(5.1a)、(5.2a)及(5.3a)可推得 PXY  x, y   PX |Y  x | y  PY | X  y | x  。故當相關係數很小時，MPLE 接近 MLE，相對誤差（此我們推測相關係數變大時，相對誤差（. ）會很小。因. ）也隨著變大，此推測將由下一. 節模擬實驗印證。. 5.4 模擬實驗以下利用模擬實驗求數值解驗證上述結果，並檢驗 MPLE 與 MLE 估計值的相對誤差。因 X,Y 之相關係數為. 立. 政 治，故本節主要探討  大    12. 12. 1. 2. 變大時， i 的. 12. MPLE 對應於 MLE 的相對誤差之變化。本節共進行三十六次實驗（即三十六個. ‧ 國. 學. 例子），每個例子進行相對誤差計算並製作表格，所以例一結果可得表一、例二. ‧. 結果可得表二等；並將每四個實驗視為一組，每組繪製折線圖進行比較，例如對. sit. io. er. 總表。. y. Nat. 例一到例四進行比較而得圖一、對例五到例八進行比較而得圖二等。詳見以下之. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 總表：實驗數據簡介例. 1. 2. 12. 相關係數. 一. 1. 1. 0.2. 0.090909. 二. 1. 1. 0.5. 0.2. 三. 1. 1. 0.7. 0.259259. 四. 1. 1. 1. 0.333333. 五. 2. 1. 0.2. 0.0625. 圖. 一. 二六. 2. 1. 0.5 31. 0.142857.

(33) 七. 2. 1. 0.7. 0.189189. 八. 2. 1. 1. 0.25. 九. 3. 1. 0.2. 0.047619. 十. 3. 1. 0.5. 0.111111 三. 3. 1. 0.7. 0.148936. 十二. 3. 1. 1. 0.2. 十三. 4. 1. 0.2. 0.038462. 十四. 4. 1. 0.5. 0.090909. 十五. 4. 1. 十六. 4. 立1. 十七. 5. 十八. 5. 政治大 1 0.166667 0.7. 0.122807. 1. 0.2. 0.032258. 1. 0.5. 0.076923. ‧. 1. 0.7. 0.104478. 二十. 5. 1. 1. 0.142857. 二十一. 1. 2. 0.2. 0.0625. 二十二. 1. a l2. 0.5. 二十三. 1. 2. 0.142857 v i n. 二十四. 1. 2. 1. 0.25. 二十五. 1. 3. 0.2. 0.047619. 二十六. 1. 3. 0.5. 0.111111. n. sit. er. io. engchi U 0.7. 五. y. 5. Nat. 十九. Ch. 四. 學. ‧ 國. 十一. 六. 0.189189. 七二十七. 1. 3. 0.7. 0.148936. 二十八. 1. 3. 1. 0.2. 二十九. 1. 4. 0.2. 0.038462. 三十. 1. 4. 0.5. 0.090909. 三十一. 1. 4. 0.7. 0.122807. 32. 八.

(34) 三十二. 1. 4. 1. 0.166667. 三十三. 1. 5. 0.2. 0.032258. 三十四. 1. 5. 0.5. 0.076923 九. 三十五. 1. 5. 0.7. 0.104478. 三十六. 1. 5. 1. 0.142857. 例一：以 1  1 、 2  1 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 立. y. sit. n. al. er. io. 取 =0.9577、. Nat. 0.2039 2.7254   -1.5985 2.5003. ‧. ‧ 國. 學. 0.9577 -2.2859  、  2.2923  0.6210 1.0292 0.6823  、  2.3241  -2.0718. 政治大. =1.0292、. Ch. engchi. =0.2039. MPLE. 0.9536 -2.7762  、  4.4605 1.0035 1.0201 1.1045  、  4.3782 -2.6067. 33. i n U. v.

(35) 0.1357 2.7144   -4.5706 2.5079 取 =0.9536、. =1.0201、. =0.1357. 表一 1  1 、 2  1 、 12  0.2. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.0423. 0.029219. 0.019282. MPLE 與真實值之相對誤差. -0.04643. 0.020144. -0.32155. MPLE 與 MLE 之相對誤差. -0.00432. -0.00882. -0.33439. 政治大. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 立. ‧ 國. 學. 例二：. y. sit. io. al. n. 1.0441 0.7306  、  2.7726  -3.2303. Nat. 1.0114 -3.2810  、  2.7739  0.6935. er. MLE. ‧. 以 1  1 、 2  1 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.5000 3.8056   -1.9840 3.7392 取 =1.0114、. =1.0441、. =0.5000. MPLE. 34. i n U. v.

(36) 0.9867 -3.9933  、  5.1118  1.1298 1.0167 1.1869  、  5.0318  -4.0103 0.3233 3.7823   -5.4693 3.7614 取 =0.9867、. =1.0167、表二. 立. 治政   1 、   1 、  大 0.5 =0.3233 1. 2. 12. 2. MLE 與真實值之相對誤差. 0.011431. 0.044122. 8.23E-05. MPLE 與真實值之相對誤差. -0.01332. 0.016691. -0.35331. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.02447. -0.02627. 12. 學. -0.35336. n. er. io. al. sit. y. Nat. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例三：. ‧. ‧ 國. 1. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  1 、 2  1 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 0.9811 0.6976  、  2.9363  -3.9319 0.9857 -4.0150  、  2.9252  0.7095. 35.

(37) 0.6936 4.5460   -2.1446 4.4733 取 =0.9811、. =0.9857、. =0.6936. MPLE. 0.9371 1.1430  、  5.2269 -4.7964 0.9430 -4.9227  、  5.1922 1.1580 0.4368 4.5634   -5.7857 4.4561. =0.9430、. ‧. ‧ 國. 學. =0.4368. io. 2. n. al. 1. MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. -0.0189. i n U. y. v. -0.01433. e n g c h i -0.057. -0.06291 -0.04487. sit. Nat. 表三 1  1 、 2  1 、 12  0.7. er. 取 =0.9371、. 立. 政治大. -0.0433. 12 -0.00919 -0.37595 -0.37016. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例四：以 1  1 、 2  1 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 36.

(38) 0.9928 0.7377  、  3.3147  -5.2455 0.9719 -5.3831  、  3.3127  0.7192 0.9949 5.9703   -2.4954 5.8265 取 =0.9928、. =0.9719、. MPLE. 立. y. sit. n. al. er. io. 取 =0.9186、. Nat. 0.6023 5.8388   -6.5698 5.9573. ‧. ‧ 國. 學. 0.9186 -6.4048  、  5.6766 1.2156 0.9018 1.1836  、  5.7251 -6.5026. =0.9949 政治大. =0.9018、. Ch. engchi. i n U. v. =0.6023. 表四 1  1 、 2  1 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.00722. -0.02806. -0.00512. MPLE 與真實值之相對誤差. -0.08143. -0.09816. -0.39762. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.07475. -0.07213. -0.39452. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 37.

(39) MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 圖一 1  1 、 2  1 時， 12 估計值之相對誤差. 立. 例五：. 政治大. y. sit. n. al. er. io. 1.0427 -3.8494  、  3.9185 0.5345. Nat. 2.3489 1.8277  、  4.3523 -1.9124. ‧. ‧ 國. MLE. 學. 以 1  2 、 2  1 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.1883 4.5458   -3.0656 2.3572 取 =2.3489、. =1.0427、. =0.1883. MPLE. 2.3043 2.8029  、  7.5862 -2.8250 38. i n U. v.

(40) 1.0501 -3.7642  、  9.5256  0.8649 0.1360 4.0116   -9.1997 2.3855 取 =2.3043、. =1.0501、. =0.1360. 表五 1  2 、 2  1 、 12  0.2. 1. 12. 2. -0.0587. MPLE 與真實值之相對誤差. 政治 0.0427 大. 0.1522. 0.0501. -0.3198. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.019. 0.0071. -0.2773. MLE 與真實值之相對誤差. 學. ‧ 國. 立. 0.1744. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. ‧ sit. y. Nat. 例六：. 2.3383 1.8359  、  4.6191  -2.4222. al. n. MLE. er. io. 以 1  2 、 2  1 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.9949 -5.3400  、  4.2558  0.5592 0.4659 6.1158   -3.3256 2.9186 取 =2.3383、. =0.9949、. =0.4659 39. i n U. v.

(41) MPLE. 2.2287 7.7266  、  2.8627 -3.6033 1.0051 10.065  、  -5.1516 0.8972 0.3285 -9.8399   5.3293 2.9683 取 =2.8627、. =1.0051、. 立. 政治大 =0.3285. 學. ‧ 國. 表六 1  2 、 2  1 、 12  0.5. MLE 與真實值之相對誤差. 0.169171. -0.00509. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.114364. 0.005127. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.04688. 0.010266. 12 -0.06828. sit. y. -0.34298. n. al. -0.29483. er. io. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例七：. ‧. 2. Nat. 1. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  2 、 2  1 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 2.3737 -2.9538  、  4.9519 1.9243 0.9618 0.5521  、  4.7205 -6.1073 40.

(42) 0.6926 3.4597   -3.7058 6.9705 取 =2.3737、. =0.9618、. =0.6926. MPLE. 2.2195 -4.4412  、  8.1244 2.9795 0.9669 0.8848  、  11.050 -5.7843. ‧ 國. =0.9669、. ‧. =0.4802. io. 2. n. al. 1. MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. 0.186839. y. sit. Nat. 表七 1  2 、 2  1 、 12  0.7. er. 取 =2.2195、. 立. 學. 0.4802 3.5702   -10.861 5.9366. 政治大. i n U. v. -0.03817. e n g c h i -0.03315. 0.109751 -0.06495. 0.005227. 12 -0.01062 -0.31404 -0.30668. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例八：以 1  2 、 2  1 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 41.

(43) 2.4945 -3.6647  、  5.4736  2.0300 1.0039 0.6073  、  5.2893  -7.9272 0.9635 4.2391   -4.1566 8.8989 取 =2.4945、. =1.0039、. MPLE. 立. y. sit. n. al. er. io. 取 =2.2849、. Nat. 0.6529 4.3868   -12.022 7.5757. ‧. ‧ 國. 學. 2.2849 -5.4988  、  8.7658 3.1849 1.0014 0.9698  、  12.103 -7.5096. 政治大. =0.9635. =1.0014、. Ch. engchi. i n U. v. =0.6529. 表八 1  2 、 2  1 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.247268. 0.003934. -0.0365. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.142449. 0.001441. -0.34711. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.08404. -0.00248. -0.32238. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 42.

(44) MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 圖二 1  2 、 2  1 時， 12 估計值之相對誤差. 立. 例九：. 政治大. y. sit. n. al. er. io. 1.0406 -5.5697  、  5.5311 0.4390. Nat. 3.9170 3.2984  、  6.4621 -1.9328. ‧. ‧ 國. MLE. 學. 以 1  3 、 2  1 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.1931 6.4030   -4.6026 2.3318 取 =3.9170、. =1.0406、. =0.1931. MPLE. 3.8416 4.8425  、  11.081 -3.0536 43. i n U. v.

(45) 1.0556 -4.4356  、  16.222  0.7228 0.1453 4.8925   -15.683 2.3221 取 =3.8416、. =1.0556、. =0.1453. 表九 1  3 、 2  1 、 12  0.2. 1. 12. 2. -0.03449. MPLE 與真實值之相對誤差. 政治 0.040559 大. 0.280548. 0.055559. -0.27367. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.24772. 0.014416. -0.25905. MLE 與真實值之相對誤差. 學. ‧ 國. 立. 0.305659. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. ‧ sit. y. Nat. 例十：. 4.1215 3.4906  、  7.2582  -2.4806. al. n. MLE. er. io. 以 1  3 、 2  1 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 1.0553 -7.1325  、  6.4664  0.4928 0.4781 8.1172   -5.3760 2.9457 取 =4.1215、. =1.0553、. =0.4781 44. i n U. v.

(46) MPLE. 3.9357 5.1528  、  12.157 -3.9614 1.0802 -5.7486  、  18.192 0.8007 0.3580 6.2127   -17.651 2.9515 取 =3.9357、. =1.0802、. 立. 政治大 =0.3580. 學. 2. MLE 與真實值之相對誤差. 0.373826. 0.055271. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.311891. 0.080155. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.04508. 0.023581. -0.04372 -0.28404. n. al. sit. -0.25131. er. io. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例十一：. 12. y. Nat. 1. ‧. ‧ 國. 表十 1  3 、 2  1 、 12  0.5. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  3 、 2  1 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 4.1450 3.5295  、  7.4394 -2.8152 1.0179 -8.4627  、  6.7518 0.4975 45.

(47) 0.6682 9.5196   -5.5901 3.2991 取 =4.4150、. 1.0179、. =0.6682. MPLE. 3.8939 -4.5294  、  12.200 5.2515 1.0472 0.8042  、  18.991 -6.6723. Nat. io. 2. n. al. 1. MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. 0.381663. er. 表十一 1  3 、 2  1 、 12  0.7. y. =0.4943. sit. ‧ 國. =1.0472、. ‧. 取 =3.8939、. 立. 學. 0.4943 3.3249   -18.470 7.1259. 政治大. i n U. v. 0.017868. e n g c h i 0.04723. 0.297963 -0.06058. 0.028846. 12 -0.04538 -0.29381 -0.26023. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例十二：以 1  3 、 2  1 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 46.

(48) 4.1249 3.4667  、  7.8555  -3.4567 1.1147 -10.166  、  7.2691  0.5951 0.9201 11.353   -5.9514 4.0421 取. =4.1249、. =1.1147、. MPLE. 立. =3.8083、. y. sit er. al. n. 取. io. 0.6659 8.7983   -18.834 4.0932. Nat. 1.1405 -8.4134  、  19.279 0.9525. ‧. ‧ 國. 學. 3.8083 5.2635  、  12.653 -5.5034. 政治大. =0.9201. =1.1405、. Ch. engchi. i n U. v. =0.6659. 表十二 1  3 、 2  1 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.374983. 0.114675. -0.07985. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.269439. 0.140521. -0.33406. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.07676. -0.07676. -0.27626. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 47.

(49) MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 圖三 1  3 、 2  1 時， 12 估計值之相對誤差. 立. 例十三：. 政治大. y. sit. io. al. n. 1.0642 -6.9576  、  7.3501 0.3846. Nat. 5.6963 4.9966  、  8.8370 -1.9487. er. MLE. ‧. ‧ 國. 學. 以 1  4 、 2  1 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.1685 7.8681   -6.3736 2.3097 取. =5.6963、. =1.0642、. =0.1685. MPLE. 5.6066 -3.1888  、  15.266 7.0571 48. i n U. v.

(50) 1.0802 0.6436  、  24.626  -4.8033 0.1308 2.2687   -23.962 5.3927 取 =5.6066、. =1.0802、. =0.1308. 表十三 1  4 、 2  1 、 12  0.2. 1. 12. 2. -0.15745. MPLE 與真實值之相對誤差. 政治 0.064219 大. 0.40166. 0.080233. -0.34588. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.01575. 0.015048. -0.22364. MLE 與真實值之相對誤差. 學. ‧ 國. 立. 0.424082. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. ‧ sit. y. Nat. 例十四：. 5.8576 5.1418  、  9.5502  -2.3939. al. n. MLE. er. io. 以 1  4 、 2  1 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 1.0234 -8.9521  、  8.2553  0.4188. 取 =5.8576、. =1.0234、. =0.4606 49. i n U. v.

(51) MPLE. 5.6063 -3.9733  、  16.068 7.3336 1.0554 0.6904  、  26.704 -6.2059 0.3585 2.7614   -26.022 6.8189 取. =5.6063、. =1.0554、. 立. 政治大 =0.3585. 學. 2. MLE 與真實值之相對誤差. 0.464401. 0.023445. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.40158. 0.055425. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.0429. 0.031247. -0.07871 -0.28294. n. al. sit. -0.22168. er. io. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例十五：. 12. y. Nat. 1. ‧. ‧ 國. 表十四 1  4 、 2  1 、 12  0.5. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  4 、 2  1 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 5.9748 5.2607  、  9.8997 -2.7168 1.0290 -10.096  、  8.7234 0.4379 50.

(52) 0.6210 11.241   -7.5040 3.1522 取. =5.9748、. =1.0290、. =0.6210. MPLE. 5.6531 7.5319  、  16.461 -4.5329 1.0676 -6.9329  、  28.054 0.7182. Nat. io. 2. n. al. 1. MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. 0.493704. er. 表十五 1  4 、 2  1 、 12  0.7. y. =0.4797. sit. ‧ 國. =1.0676、. ‧. 取 =5.6531、. 立. 學. 0.4797 7.5732   -27.344 3.1235. 政治大. i n U. v. 0.028974. e n g c h i 0.067622. 0.413278 -0.05384. 0.03756. 12 -0.11289 -0.31474 -0.22754. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例十六：以 1  4 、 2  1 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 51.

(53) 5.8367 5.0563  、  10.334  -3.1812 1.0417 -12.776  、  9.2818  0.5101 0.9073 14.027   -7.9451 3.7049 取 =5.8367、. =1.0417、. MPLE. 立. y. sit er. al. n. 取 =5.3515、. io. 0.6936 3.6563   -27.255 9.8650. Nat. 1.0785 0.8203  、  27.878 -9.3010. ‧. ‧ 國. 學. 5.3515 -5.3153  、  16.677 7.4453. 政治大. =0.9073. =1.0785、. Ch. engchi. i n U. v. =0.6936. 表十六 1  4 、 2  1 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.459174. 0.041677. -0.09273. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.337864. 0.078486. -0.30641. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.08314. 0.035336. -0.23552. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 52.

(54) MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 圖四 1  4 、 2  1 時， 12 估計值之相對誤差. 立. 例十七：. 政治大. n. al. er. io. sit. y. Nat. 7.8234 7.1376  、  11.285 -1.9443 0.9588 -8.8867  、  9.2579 0.2892. ‧. ‧ 國. MLE. 學. 以 1  5 、 2  1 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.2166 9.8233   -8.2835 2.2263 取 =7.8234、. =0.9588、. =0.2166. MPLE. 7.6811 9.6336  、  19.611 -3.3138 53. i n U. v.

(55) 0.9826 -4.8794  、  37.785  0.4943 0.1716 5.5621   -37.046 2.1775 取 =7.6811、. =0.9826、. =0.1716. 表十七 1  5 、 2  1 、 12  0.2. 1. 12. 2. 0.082786. MPLE 與真實值之相對誤差. 政治 -0.04117 大. 0.536214. -0.01738. -0.14197. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.01819. 0.024814. -0.20757. MLE 與真實值之相對誤差. 學. ‧ 國. 立. 0.56468. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. ‧ sit. y. Nat. 例十八：. 8.1386 7.3751  、  12.453  -2.4121. al. n. MLE. er. io. 以 1  5 、 2  1 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 1.0070 -10.753  、  10.601  0.3539 0.4574 11.867   -9.4386 2.7647 取 =8.1386、. =1.0070、. =0.4574 54. i n U. v.

(56) MPLE. 7.8273 10.101  、  21.249 -4.1270 1.0445 -6.3808  、  39.427 0.5945 0.3661 7.1314   -38.614 2.7020 取 =7.8273、. 1.0445、. 立. 政治大 0.3661. 學. ‧ 國. 表十八 1  5 、 2  1 、 12  0.5. MLE 與真實值之相對誤差. 0.62771. 0.00698. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.565464. 0.044514. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.03824. 0.037274. 12 -0.08515. sit. y. -0.26783. n. al. -0.19969. er. io. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例十九：. ‧. 2. Nat. 1. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  5 、 2  1 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 8.1543 7.3538  、  12.918 -2.7990 1.0215 -12.545  、  11.247 0.3957 55.

(57) 0.6702 13.787   -9.9498 3.2011 取 =8.1543、. =1.0215、. =0.6702. MPLE. 7.7068 10.209  、  21.659 -4.8066 1.0666 -7.6606  、  40.153 0.6566. Nat. io. 2. n. al. 1. MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. 0.630869. er. 表十九 1  5 、 2  1 、 12  0.7. y. =0.5346. sit. ‧ 國. =1.0666、. ‧. 取 =7.7068、. 立. 學. 0.5346 8.4402   -39.310 3.1343. 政治大. i n U. v. 0.02147. e n g c h i 0.066635. 0.541364 -0.05488. 0.044217. 12 -0.04251 -0.2363 -0.2024. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例二十：以 1  5 、 2  1 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 56.

(58) 8.1723 7.3626  、  13.313  -3.3089 1.0267 -14.864  、  11.884  0.4299 0.9388 16.260   -10.427 3.7559 取 =8.1723、. =1.0267、. MPLE. 立. y. sit. n. al. er. io. 取 =7.5854、. Nat. 0.7406 3.6997   -40.679 9.9254. ‧. ‧ 國. 學. 7.5854 -5.7098  、  21.892 10.346 1.0794 0.7059  、  41.554 -9.1131. 政治大. =0.9388. =1.0794、. Ch. engchi. i n U. v. =0.7406. 表二十 1  5 、 2  1 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.634455. 0.026675. -0.06116. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.517078. 0.079424. -0.25939. MLE 與 MPLE 之相對誤差. -0.07181. 0.051379. -0.21114. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 57.

(59) MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 圖五 1  5 、 2  1 時， 12 估計值之相對誤差. 立. 例二十一：. 政治大. ‧ 國. 學. 以 1  1 、 2  2 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE 因 1 、 2 、 12 均為正，. n. al. er. io. sit. y. Nat. 0.9849 -3.8719  、  3.0430  0.4899 1.9617 1.5143  、  3.3397  -2.0888. ‧. MLE. Ch. engchi. 0.1909 4.5425   -2.2068 2.5003 所以取 =0.9849、. =1.9617、. =0.1909. MPLE. 58. i n U. v.

(60) 0.9992 0.8086  、  7.5637  -3.6042 1.9398 -3.0290  、  5.7310  2.3843 0.1277 2.6054   -7.2385 3.8477. 治政  0.2 表二十一   1 、   2 、 大立. 取 =0.9992、. =1.9398、. =0.1277 1. 2. 12. 2. MLE 與真實值之相對誤差. -0.01508. -0.01913. -0.04554. MPLE 與真實值之相對誤差. -0.0008. -0.03009. -0.36136. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.014505. -0.01118. ‧. -0.33089. n. er. io. al. sit. y. Nat. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例二十二：. 12. 學. ‧ 國. 1. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  1 、 2  2 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 1.0190 0.5430  、  3.6371  -5.3064 2.0799 -2.9232  、  3.8277  1.6466. 59.

(61) 0.4770 3.4000   -2.6461 6.1178 取 =1.0190、. =2.0799、. =0.4770. MPLE. 1.0406 0.8958  、  8.7274 -4.8788 2.0259 -4.2438  、  6.3437 2.6111 0.3156 3.5914   -8.4449 5.0967. =0.3156. Nat. 2. n MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. 0.019048. er. io. al. 1. sit. 表二十二 1  1 、 2  2 、 12  0.5. i n U. v. 0.039941. e n g c h i 0.012954. 0.04063. 0.021179. y. =2.0259、. ‧. ‧ 國. 學. 取 =1.0406、. 立. 政治大. -0.02595. 12 -0.04603 -0.36878 -0.33833. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例二十三：以 1  1 、 2  2 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 60.

(62) 0.9868 0.5564  、  3.8861  -6.1848 2.0149 -3.4811  、  3.9830  1.6157 0.6862 3.9816   -2.8462 7.0444 取 =0.9868、. =2.0149、. MPLE. 立. y. sit er. al. n. 取 =1.0406、. io. 0.4490 4.2311   -8.8035 5.8820. Nat. 1.9357 -5.0290  、  6.4588 2.5786. ‧. ‧ 國. 學. 1.0406 0.8958  、  8.7274 -4.8788. 政治大. =0.6862. =1.9357、. Ch. engchi. i n U. v. =0.4490. 表二十三 1  1 、 2  2 、 12  0.7. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.01318. 0.007466. -0.01965. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.002582. -0.03215. -0.35853. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.015974. -0.03933. -0.34567. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 61.

(63) 例二十四：以 1  1 、 2  2 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 0.9650 0.5843  、  4.3143 -8.1989 1.9889 -4.5081  、  4.3125 1.6173. =1.0214. n. al. er. io. sit. y. Nat. 0.9662 -7.6476  、  9.5647 0.9631 1.8672 2.6206  、  6.7600 -6.4523. =1.9889、. ‧. MPLE. ‧ 國. 取 =0.9650、. 立. 政治大. Ch. engchi. 0.6512 7.6538   -9.5570 5.3965 取 =0.9662、. 學. 1.0214 5.0537   -3.1930 9.1400. =1.8762、. =0.6512. 62. i n U. v.

(64) 表二十四 1  1 、 2  2 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.03499. -0.00555. 0.021405. MPLE 與真實值之相對誤差. -0.03382. -0.06642. -0.34879. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.001211. -0.0612. -0.36244. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 立. 政治大. ‧ 國. 學. MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. 圖六 1  1 、 2  2 時， 12 估計值之相對誤差. Ch. engchi. 例二十五：以 1  1 、 2  3 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 1.0297 0.4283  、  3.8393  -5.8423. 63.

(65) 2.9823 -2.1570  、  4.4864  2.4507 0.1911 2.5459   -2.9054 6.6595 取 =1.0297、. =2.9823、. =0.1911. MPLE. 1.0537 0.7154  、  11.969 -4.2821. 立. al. er. io. sit. y. Nat. v i n C 表二十五 h e 1 、   3 、 n g c h i U  0.2. n. 取 =1.0537、. ‧. ‧ 國. 學. 2.9506 -3.3169  、  7.4899 3.7686 0.1289 2.6396   -11.443 4.7191. 政治大. =2.9506、. =0.1289 1. 12. 2. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.029666. -0.0059. -0.04441. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.05369. -0.01648. -0.35507. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.023332. -0.01064. -0.3251. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例二十六：以 1  1 、 2  3 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE 64.

(66) MLE. 1.0244 0.4646  、  4.3365 -7.1507 2.9397 -2.9206  、  4.7318 2.4567 0.4887 3.3548   -3.2423 8.1126 取 =1.0244、. =2.9397、. 立. MPLE. 政治大 =0.4887. ‧ 國. 學 y. sit. n. al. er. io. 取 =1.0688、. Nat. 2.8721 -4.4833  、  7.6852 3.8040 0.3270 3.5538   -12.284 5.6965. ‧. 1.0688 0.7739  、  12.815 -5.2519. =2.8721、. Ch. engchi. =0.3270. 65. i n U. v.

(67) 表二十六 1  1 、 2  3 、 12  0.5. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.024399. -0.0201. -0.02261. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.068769. -0.04263. -0.34596. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.043313. -0.02299. -0.33083. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例二十七：. 政治大. 以 1  1 、 2  3 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. 立. MLE. y. sit. n. al. er. io. 取 =0.9749、. Nat. 0.7132 3.8294   -3.6539 9.8839. ‧. ‧ 國. 學. 0.9749 0.4560  、  4.8384  -8.8230 3.1056 -3.3886  、  5.1341  2.6455. =3.1056、. Ch. engchi. =0.7132. MPLE. 1.0279 0.7579  、  14.536 -6.1693 3.0004 -5.2571  、  8.1429 4.0970 66. i n U. v.

(68) 0.4789 4.0837   -13.998 6.6321 取 =1.0279、. 3.0004、. =0.4789. 表二十七 1  1 、 2  3 、 12  0.7. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.02507. 0.035184. 0.018912. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.027874. 0.000133. -0.31579. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.05431. -0.03386. -0.32849. 政治大. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 立. ‧ 國. 學. 例二十八：. io. sit. y. Nat. al. n. 0.9987 -10.554  、  5.4215  0.5108 3.1107 2.6544  、  5.5602  -4.2125. er. MLE. ‧. 以 1  1 、 2  3 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 1.0139 11.735   -4.1019 4.7145 取 =0.9987、. =3.1107、. =1.0139. MPLE. 67. i n U. v.

(69) 1.0450 -7.7910  、  15.115  0.8442 2.9568 4.1618  、  8.6342  -6.4775 0.6753 8.1840   -14.659 5.0534 取 =1.0450、. 治政表二十八   1 、   3 、 大 1 立. =2.9568、. =0.6753 1. 12. 2. MLE 與真實值之相對誤差. -0.00131. 0.03689. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.045002. -0.01439. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.046371. -0.04946. 12. ‧. ‧ 國. 2. 學. 1. 0.013931 -0.32465. io. n. al. er. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. sit. y. Nat. -0.33393. Ch. engchi. i n U. v. MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 圖七 1  1 、 2  3 時， 12 估計值之相對誤差 68.

(70) 例二十九：以 1  1 、 2  4 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 0.9792 -7.8995  、  4.6009 0.3260 4.1289 3.5951  、  5.6345 -2.1228. y. sit. n. al. er. io. 4.0905 5.2879  、  9.3838 -3.4329. =0.1953. Nat. 1.0122 -4.1354  、  19.639 0.5539. =4.1289、. ‧. MPLE. ‧ 國. 取 =0.9792、. 立. 政治大. Ch. engchi. 0.1325 4.7245   -18.973  2.5141 取 =1.0122、. 學. 0.1953 8.7878   -2.9054 6.6595. =4.0905、. =0.1325. 69. i n U. v.

(71) 表二十九 1  1 、 2  4 、 12  0.2. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.0208. 0.032235. -0.02357. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.012154. 0.022617. -0.33762. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.033655. -0.00932. -0.32163. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例三十：. 政治大. 以 1  1 、 2  4 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. 立. MLE. y. sit er. al. n. 取 =1.0276、. io. 0.4665 3.1883   -3.9765 10.317. Nat. 3.9632 -2.7942  、  5.8491  3.4167. ‧. ‧ 國. 學. 1.0276 0.4073  、  5.1199  -9.2699. =3.9632、. Ch. engchi. =0.4665. MPLE. 1.0841 0.6831  、  18.646 -5.4938 3.8773 -4.4607  、  9.4799 5.1552 70. i n U. v.

(72) 0.3191 3.3351   -17.959 6.0968 取 =1.0841、. =3.8773、. =0.3191. 表三十 1  1 、 2  4 、 12  0.5. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.027571. -0.00919. -0.06699. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.08413. -0.03068. -0.36178. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.055041. -0.02169. -0.31596. 政治大. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 立. ‧ 國. 學. 例三十一：. io. sit. y. Nat. al. n. 0.9920 -10.880  、  5.4160  0.4138 3.9202 3.4093  、  5.9453  -3.2920. er. MLE. ‧. 以 1  1 、 2  4 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. Ch. engchi. 0.6847 12.026   -4.1707 3.7011 取 =0.9920、. =3.9202、. =0.6847. MPLE. 71. i n U. v.

(73) 1.0628 -6.2788  、  19.580  0.6927 3.8075 5.1833  、  9.4341  -5.2571 0.4655 6.8992   -18.880 3.9213. 治政  0.7 表三十一   1 、   4 、 大立. 取 =1.0628、. =3.8075、. =0.4655 1. 2. 12. 2. MLE 與真實值之相對誤差. -0.00798. -0.01995. -0.0219. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.062827. -0.04812. -0.33493. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.07138. -0.02874. ‧. -0.32004. n. er. io. al. sit. y. Nat. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例三十二：. 12. 學. ‧ 國. 1. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  1 、 2  4 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 0.9462 -14.294  、  6.1561  0.4136 4.1468 3.6653  、  6.4676  -4.0722. 72.

(74) 1.0215 15.609   -4.7443 4.4943 取 =0.9462、. =4.1468、. =1.0215. MPLE. 1.0304 -7.7192  、  22.813 0.6911 3.9856 5.5996  、  9.9850 -6.5415. Nat. io. 2. n. al. 1. MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. -0.05384. er. 表三十二 1  1 、 2  4 、 12  1. i n U. v. 0.036701. e n g c h i -0.0036. 0.030436 0.089067. -0.03888. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 73. y. =0.6940. sit. ‧ 國. =3.9856、. ‧. 取 =1.0304、. 立. 學. 0.6940 8.3862   -22.075 4.8180. 政治大. 12 0.021509 -0.30596 -0.32057.

(75) MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. 政治大. 圖八 1  1 、 2  4 時， 12 估計值之相對誤差. 立. ‧ 國. 學. 例三十三：. 以 1  1 、 2  5 、 12  0.2 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE. y. sit er. al. n. 取 =1.0113、. io. 4.9196 4.3714  、  6.4361 -2.2309 0.2012 10.390   -4.1366 2.5203. Nat. 1.0113 -9.4318  、  5.1533 0.2993. ‧. MLE. =4.9196、. Ch. engchi. =0.2012. MPLE. 74. i n U. v.

(76) 1.0499 -4.0819  、  26.312  0.5134 4.8818 6.2825  、  10.784  -3.6735 0.1352 4.7607   -25.557 2.6061. 治政  0.2 表三十三   1 、   5 、 大立. 取 =1.0499、. =4.8818、. =0.1352 1. 12. 2. 2. MLE 與真實值之相對誤差. 0.011292. -0.01607. 0.005907. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.049923. -0.02365. -0.32391. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.0382. -0.0077. ‧. -0.32788. n. er. io. al. sit. y. Nat. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例三十四：. 12. 學. ‧ 國. 1. Ch. engchi. i n U. v. 以 1  1 、 2  5 、 12  0.5 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 1.0114 0.3534  、  5.8638  -11.167 4.9039 -2.8111  、  6.8380  4.3456. 75.

(77) 0.4836 3.1599   -4.6730 12.286 取 =1.0114、. =4.9039、. =0.4836. MPLE. 1.0800 -5.3459  、  26.022 0.5984 4.8072 6.3620  、  11.155 -4.6116 0.3341 6.0708   -25.218 3.2937. =0.3341. Nat. 2. n MLE 與真實值之相對誤差. MPLE 與真實值之相對誤差 MLE 與 MPLE 之相對誤差. Ch. 0.011396. er. io. al. 1. sit. 表三十四 1  1 、 2  5 、 12  0.5. i n U. v. -0.01922. e n g c h i -0.03856. 0.079998 0.067829. y. =4.8072、. ‧. ‧ 國. 學. 取 =1.0800、. 立. 政治大. -0.01972. 12 -0.03285 -0.33177 -0.30907. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 例三十五：以 1  1 、 2  5 、 12  0.7 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 76.

(78) 1.0259 -14.300  、  6.1220  0.3790 4.9815 4.4052  、  6.9955  -3.2735 0.6634 15.538   -4.8057 3.6544 取 =1.0259、. =4.9815、. MPLE. 立. y. sit. n. al. er. io. 取 =1.1134、. Nat. 4.8629 6.5722  、  11.134 -5.3569 0.4545 7.2413   -27.148 3.8428. ‧. ‧ 國. 學. 1.1134 -6.4695  、  27.998 0.6403. 政治大. =0.6634. =4.8629、. Ch. engchi. i n U. v. =0.4545. 表三十五 1  1 、 2  5 、 12  0.7. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. 0.025938. -0.0037. -0.05228. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.113391. -0.02742. -0.35073. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.085242. -0.0238. -0.31492. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE 77.

(79) 例三十六：以 1  1 、 2  5 、 12  1 模擬 4000 筆資料後，計算 MLE 及 MPLE MLE. 0.9871 -16.103  、  7.1143 0.3933 5.1858 4.6474  、  7.6729 -3.9842. y. sit er. al. n. 取 =1.0859、. io. 4.9995 6.9093  、  12.039 -6.5501 0.6972 8.3848   -29.443 4.6532. =1.0029. Nat. 1.0859 -7.5653  、  30.338 0.6597. =5.1858、. ‧. MPLE. ‧ 國. 取 =0.9871、. 立. 政治大. 學. 1.0029 17.514   -5.6214 4.3881. =4.9995、. Ch. engchi. =0.6972. 78. i n U. v.

(80) 表三十六 1  1 、 2  5 、 12  1. 1. 2. 12. MLE 與真實值之相對誤差. -0.01286. 0.037155. 0.002933. MPLE 與真實值之相對誤差. 0.085929. -0.0001. -0.30284. MLE 與 MPLE 之相對誤差. 0.100081. -0.03592. -0.30488. 註：MPLE 與 MLE 之相對誤差=（MPLE-MLE）/MLE. 立. 政治大. ‧ 國. 學. MLE 與真實值之相對誤差 MPLE 與真實值之相對誤差. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. 圖九 1  1 、 2  5 時， 12 估計值之相對誤差. Ch. engchi. 79.