3.3 衛星姿態穩健控制之模擬
3.3.2 模擬結果
跳(chattering)現象，我們將控制律(3.9)修改為下面型式：
⎪⎪ 們用飽和函數(saturation function)來取代符號函數，其邊界寬度為 0.02。而系統 的初始狀態設為x(0)=(−0.7,−0.07,1.5,0.3,1.3,−0.2)T。
模擬的結果顯示在圖 3.1-圖 3.13，而效能的比較整理在表 3.1。我們將積分 順滑模控制的結果以 ISMC 當作標示；傳統順滑模控制的結果以 CSMC 當作標 示；另外以 LQRd 和 LQR 分別代表非線性 LQR 控制在系統有擾動和沒有擾動的 情況下所得到的結果。也就是說 LQR 是相當於積分順滑控制中的無干擾系統控
制(nominal system control)的部分。
圖 3.1-圖 3.6 分別代表狀態x1-x ，我們可以看到 ISMC 和 CSMC 在有擾動6 的情況下都可以達到穩定，而 LQRd 因為有受到擾動的影響所以無法穩定。另外 需要注意的一點是由於 ISMC 和 LQR 的狀態幾乎重合，所以狀態的圖形會看起 來只有三條線，但實際有四條線。接著圖 3.7-圖 3.9 為 ISMC 和 CSMC 的順滑 函數變化的比較；ISMC 的順滑函數一開始就為 0，此後也一直保持在 0 附近，
如此驗證了積分順滑模控制中消除了到達階段(reaching phase)的這個特性；而 CSMC 的順滑函數則都是過了一段間才達到 0。我們可以注意到當t=3的時候，
CSMC 的順滑函數s1、s2和s 差不多都已經到達 0，而 CSMC 的控制律也跟著3 在t =3的時候產生了幅度較大的變化，也影響了 CSMC 的狀態x4-x 它們的變化6 軌跡變得不平滑。這是因為當系統狀態到達順滑面時，CSMC 的控制律會隨之作 切換而產生的結果。最後圖 3.10-圖 3.13 為控制律的比較圖，值得注意的是 ISMC 和它對應的無干擾控制律 LQR 並不相同，不過 ISMC 的控制律看起來是以 LQR 的控制律做為基線的諧波振盪；這是因為 ISMC 和 LQR 的狀態軌跡十分接近，
而 ISMC 的控制律比 LQR 的只是多了一部分要抵消干擾的控制律，而造成此現 象。
表 3.1 為效能比較的整理表，主要說明了狀態穩定的情況和時間，以及一些 二次成本函數的比較。其中 LQRd 最後並沒有達到穩定，所以用 No 來表示；有 穩定的則用 Yes 來表示。而在二次成本上 LQR 都是花費最少的，再來 ISMC 在 控制力道上花費的比 CSMC 少，而狀態的部分則是比 CSMC 多；不過最後二次 成本函數的總和還是 ISMC 比 CSMC 少。而 u ∞最大的是 CSMC。收斂時間 (convergence time)這裡是訂為最後所有狀態的絕對值都小於 0.01 的時候。CSMC 在這裡是用了最多控制力道的，這也使得 CSMC 的收斂時間是最快的。
總和以上結果，首先可以驗證單靠非線性 LQR 控制律無法達到穩健性，而 其他二個方法則可以順利達到。再來就是我們可以發現 ISMC 的狀態變化會與它
所對應的無干擾系統(在此次模擬中為 LQR)是幾乎重疊的，這點我們可以從圖 3.1-圖 3.6 以及表 3.1 內狀態的積分結果觀察得知。而從圖 3.7-圖 3.9 我們可以 看到 ISMC 的順滑函數能夠從頭到尾一直保持為 0，也就是一直維持在順滑模式 之下。另一方面，雖然 ISMC 比起 LQR 需要多一部分控制律來抵消擾動的影響，
不過由於 ISMC 的狀態軌跡是幾乎與 LQR 的相同，所以在一定程度上減少了二 次成本函數的花費，我們可以將此 ISMC 的控制律作為一種次最佳化(suboptimal) 的設計方式。由最後的效能比較，我們也驗證了 ISMC 的二次成本函數會比 SMC 的花費少。
圖 3.1 狀態變數x1之時間響應比較圖
圖 3.2 狀態變數x2之時間響應比較圖
圖 3.3 狀態變數x 之時間響應比較圖 3
圖 3.5 狀態變數x 之時間響應比較圖 5
圖 3.6 狀態變數x 之時間響應比較圖 6
圖 3.7 順滑函數s1之時間響應比較圖
圖 3.9 順滑函數s 之時間響應比較圖 3
圖 3.10 控制輸入u1之時間響應比較圖
圖 3.11 控制輸入u2之時間響應比較圖
圖 3.13 控制輸入u4之時間響應比較圖
表 3.1 效能比較表 Performance index
Controller
Stable ∫ uuT ∫xTx ∫uTu+∫xTx u ∞
Convergence time
ISMC Yes 2.1259 4.6294 6.7553 2.5099 5.1730 CSMC Yes 2.4605 4.8981 7.3586 2.6305 4.6330
LQRd No X X X X X
LQR Yes 1.9517 4.6277 6.5794 2.5099 5.1570
第4章 積分順滑模控制在可靠度控制問題上之研究
由第三章的討論我們可以得知積分順滑模控制有著一些不錯的優點，像是不 受系統擾動影響的穩健性，還有可以加入非線性 LQR 的設計方式減少二次成本 函數，並且我們從模擬結果也加以驗證了這些特性。在這一章中，我們希望能將 積分順滑模控制的方法延伸到可靠度控制上面，並且仍然能夠保有原本積分順滑 模控制的特性和優點。另一方面，我們會與傳統順滑模可靠度控制以及非線性 LQR 可靠度控制的方法來做比較。在可靠度設計的議題上，主要可分為二種設 計方式；一種是被動式(passive)可靠度控制，另一種是主動式(active)可靠度控 制。被動式可靠度控制必須先劃分出不會故障和可能故障的促動器(actuator)，可 是實際上在故障發生前我們是很難得知這方面的資訊的。而主動式可靠度控制可 以依靠錯誤偵測與診斷機制(fault detection and diagnosis，FDD)來監視故障的發 生和嚴重的程度。所以在這裡我們決定以主動式的設計方式為主，下面所談到的 控制律設計都是基於主動式的控制律設計。
這一章中首先在 4.1 節我們定義所探討的系統為非線性二階系統，還有二次 成本函數的形式以及控制目的。在 4.2 節會推導如何設計積分順滑模的可靠度控 制律，以及簡述傳統順滑模可靠度控制和 LQR 的可靠度控制的控制律設計。最 後在 4.3 節我們會以衛星姿態控制做為模擬範例，討論三種設計方式的控制情 況，並驗證積分順滑模可靠度控制的一些優點。
4.1 問題描述
在主動式的設計方式裡，我們會先假設我們由錯誤偵測與診斷機制(fault detection and diagnosis，FDD)的資訊中得知故障的促動器部分。為了區分正常和 故障的促動器，我們以 H 代表正常的部分； F 代表故障的部分。參考系統動態
制來作比較，並且以二次成本函數(4.2)作為一項效能的指標。下面提到的函式為