第三章 最佳化設計
3.3 模擬退火法簡介
模擬退火法（Simulated Annealing Algorithm）的構想源於金屬冷卻 結晶的過程，是一種常用於求解最佳化問題的啟發式演算法。最早的想法 是由 Metropolis 等【27】於 1953 年所提出，在當時並沒有受到重視，直 到 1983 年由 Kirkpatrick 等【28】提出蒙地卡羅模擬（MonteCarlo Simulated）
概念的隨機搜尋技巧，利用此方法來求解的組合最佳化問題時，才使此演 算法受到重視。其原理流程圖如圖 3-1 所示。
圖 3-1：模擬退火法原理流程圖
模擬退火法的觀念主要來自於固體加熱至一定的溫度後，固體間的分 子結構會被打散瓦解變為液態結構，接著再對其降溫過程加以控制，當完 全冷卻能使其分子在液態結構轉變為固體結構時，重新排列成我們所預期
的穩定狀態。當目前狀況是落於區域的最佳解時，模擬退火法會藉由重新 加熱的動作，透過隨機的過程，以機率性質來接受一個暫劣解，使其演算 法能跳脫目前的區域最佳解，而有機會能達到另一個最佳解。模擬退火法 避免了傳統梯度搜尋法（Gradient Algorithm）往往陷入區域解的缺點，
而使其有機會跳脫區域解，往全域最佳解收斂。
模擬退火法採用 Metropolis 的接受法則（Accepting Rule），並用退 火程序（Annealing Schedule）的參數演算法進行，退火過程，以擾動的 機制來產生一個解，我們稱此解為擾動解，再以機率函數判斷是否接受此 進行 Metropolis 演算的次數，最直接的方式是設定一個固定長度，此外亦 可設定降溫時機為移轉接受次數已達一定值，但此一方式當溫度降至很低 時，移轉接受之機率將會很小，進而導致馬可夫鏈過長，因此必須同時限
定馬可夫鏈的長度，以免造成求解時間過長。
在 CATIA V5 的最佳化設計模組裡，可藉由調整收歛速度（Convergence Speed）來控制其降溫機制，另外可以透過調整最大求解次數（Maximum Number of Updates）、最大求解未改善次數（Consecutive Updates without Improvements）及最大時間，設定最佳化求解的終止條件，以避免求解時 Cost-function Parameters
f=Umax-Umin (un-normalized)
溝槽 1 位置 Local Algorithm for
Constraints and Priorities
797.907 14.46 14.07 17.04
Simulated Annealing
Algorithm 144.617 12.17 12.13 16.76 Gradient Algorithm
with Constraints
1093.821 15 15 15
3.4 15K 振幅放大器之最佳化設計
其中 L 為振幅放大器全長；W 為振幅放大器全寬；a 為溝漕至端面 距離；h 為溝槽寬度；n 為溝槽數目；f 為振幅放大器之共振頻率；c 為振幅放大器材料之聲速；ω為角速度（2πf）。
研究中嘗試以雙溝槽做為 15K 振幅放大器之溝槽設計，並針對溝槽位 置、長度 及 寛度進行最佳化設計試驗，詳細內容請參照附錄 B。結果顯示，
雙溝槽設計之振幅放大器輸出振幅分佈，較單溝槽的 15K 原始設計均 勻許多，振幅分佈比較如圖 3-3 所示；而溝槽在對稱且平行時，振幅 放大器有著較佳的振幅分佈。因此本研究將使用雙溝槽為此振幅放大 器的設計，參考一既有之雙溝槽振幅放大器（如圖 3-4 所示，定其名 稱為 15K-Original）進行修改與最佳化設計，使修正過之振幅放大器 能有較佳的效能。
（a）單溝槽 （b）雙溝槽 圖 3-3：單溝槽與雙溝槽振幅放大器振幅分佈比較
圖 3-4：15K-Original 實體照片
振幅放大器 15K-Original 設計尺寸如圖 3-5 所示，建立模型及網 格 如 圖 3-6 所 示 ， 有 限 元 素 分 析 之 第 一 縱 向 模 態 共 振 頻 率 為 14950.236Hz，而實驗共振頻率為 14960Hz。
圖 3-5：15K-Original 設計尺寸圖
圖 3-6：15K-Original 模型與網格
振幅放大器 15K-Original 實驗共振頻率（14960Hz）較振動系統之 基準頻率（14700Hz）高出許多，若欲在最佳化設計後得到頻率更為適當之
單位：mm
振幅放大器，首先需針對其外型做修正使共振頻率下降。振幅放大器外型 之修改並修改依據請參照附錄 B。
受限於振幅放大器 15K-Original 既有之外型，原有之溝槽只能加 長。而京華超音波股份有限公司製造之電子控制箱，有著自動追蹤系統 頻率（Auto Tuning）之功能，若振幅放大器縱向模態共振頻率在基準頻率
±50Hz 範圍內能有較良好的效能，頻率偏差過多容易造成電子控制箱過載
（Over Load）之問題，因此設定振幅放大器設計之共振頻率可在基準頻率
±50Hz 範圍內，使共振時電子控制箱能有較好的效率。因產品之需求，振幅 放大器的設計目標為輸出端面全面積（70mm × 131mm）之振幅均勻度在 10%
以內。根據上述限制條件，針對振幅放大器其溝槽位置進行最佳化設計。
設計變數為：
溝槽位置 y 坐標（y1、y2、y3、y4） 設計變數示意圖如圖 3-7 所示。
圖 3-7：15K 振幅放大器設計變數示意圖
單位：mm
設計變數邊界條件為：
10mm≦y1＝y3≦60mm （式 3-8）
124mm≦y2＝y4≦145mm （式 3-9）
限制條件為：
14640Hz≦frequency≦14740Hz （式 3-10）
（Umax-Umin）／|Umax|≦10% （式 3-11）
（頻率之限制條件原應為 14700Hz ± 50Hz，差-10Hz 為實驗共振頻 率與模擬之修正補償。）
目標函數為：
minimize（Umax-Umin）
（式 3-12）
15K 振幅放大器最佳化設計之結果如表 3-2 所示，最佳化收歛曲線 如圖 3-8 所示。最佳化設計後振幅放大器外型如圖 3-9 所示。
表 3-2：15K 振幅放大器振幅均勻度最佳化結果
雙溝槽原設計 最佳化初始值 最佳化設計
y1(mm) 60 30.262
y2(mm) 124 132.454 目標函數(Umax-Umin) 186.003 131.268 29.976
振幅均勻度 24.967% 17.193% 3.758%
共振頻率(Hz) 14950.236 14620.972 14727.913
圖 3-8：15K 振幅放大器最佳化設計收歛曲線
圖 3-9：15K 振幅放大器最佳化後外型
3.5 35K 振幅放大器之最佳化設計
原本業者設計的此型振幅放大器在使用時，刀刃有振幅不均勻之現象，
造成振幅放大器刀刃易發生疲勞破壞，壽命也因此減低，所以針對振幅放 大器刀刃的縱向振幅（均勻度）與側向振幅（偏擺率）做最佳化設計，藉 由較均勻之振幅分佈延長刀具的壽命。此型振幅放大器因質量不大，若移
0 20 40 60 80 100 120 140
0 100 200 300 400 500 600
cost-function (un-normalized)
number of steps
15K振幅放大器最佳化收歛曲線
除鑽孔及倒角，在模擬時會影響到共振頻率以及振幅分佈，因此模型只簡
23、30、31】。而又以指數型、懸垂曲線型、拋物線型最為常見，其公式如 下：
圖 3-10：超音波複合刀具
圖 3-11：曲線型振幅放大器示意圖
現今在曲線型振幅放大器的應用上，多以軸對稱外型居多，曲線刀具 振幅放大器則沒有相關文獻探討。使用上述三種曲線公式，藉由調整曲線 公式係數以符合振幅放大器 35K 原始設計之輸入端寬度（22mm）及總長度
（82mm），描繪出三種曲線刀具外型如圖 3-12 至圖 3-14 所示。使用曲線公 式描繪之外型在刀刃部分都有過細的問題，刀刃前 20mm 之厚度都在 2mm 以 內，在切斷時易造成刀具的彎曲（Bending），因此設計時不適合直接使用 曲線公式做外型之設計。
圖 3-12：指數曲線公式刀具外型
-15 -10 -5 0 5 10 15
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
單位：mm
圖 3-13：懸垂曲線公式刀具外型
溝槽位置（HP）
溝槽寬度（HW）
溝槽長度（HL）
設計變數示意圖如圖 3-15 所示，刀具側面之曲線為左右對稱，溝 槽位置亦為左右對稱。建構曲線之五點，其起點為固定點，終點坐標 為 DEG、B 及 L 之函數，其他三點之 y 值分別設定為預定變數：8mm、
20mm、34mm，固定刀刃半寬為 0.05mm。設計變數之初始值則是調整設 計變數值，使其外型趨近振幅放大器 35K 始原設計之輪廓，做為最佳化 設計初始值。
因 35K 原始設計之刀刃偏擺率較刀刃均勻度小，所以設定目標函數為 刀刃均勻度，而將偏擺率設定為限制條件。振幅放大器設計之共振頻率為 基準頻率±50Hz 範圍內，使共振時電子控制箱能有較好的效率。
圖 3-15：35K 振幅放大器設計變數示意圖
單位：mm
設計變數邊界條件為：
表 3-3：35K 振幅放大器刀刃均勻度最佳化結果
放大器頻率(Hz) 35665.336 35603.246 34988.473
圖 3-16：35K 振幅放大器最佳化設計收歛曲線
cost-function (%)
number of steps
35K振幅放大器最佳化收歛曲線
圖 3-17：35K 振幅放大器最佳化後外型