模糊邏輯(Fuzzy logic)

模糊邏輯理論是對語意不清、定義含糊的命題進行推論的基礎，著重以模糊理論來 描述現實上各種事物性質的等級，改進傳統二值邏輯的不足。而模糊集合其實是傳統集 合的延伸，並且模糊值是將二值邏輯的結構模糊化而成，因此模糊是取具有無限點的『歸 屬函數』來代表一個集合，與傳統集合則是以 0 和 1 來表示一個集合有所不同，但是傳 統集合也是模糊集合的一種，屬於限定形式的模糊集合[1]。以下開始介紹模糊邏輯：

z 模糊集合

要了解模糊邏輯就先要知道什麼是“模糊集合＂，模糊集合是定義每一元素對該集 合的歸屬性，也就是對該集合的歸屬程度，由歸屬函數(Membership functions)來表示，

並且其值域是在實軸閉區間 之間，其意義就是一種程度上的象徵，不像傳統上那 樣單純的區分成是或不是。

(2.1)

其中 是模糊集合， 為此集合的成員歸屬函數，且(x, )為一有序對(Ordered pair)。當全集合的元素為“有限個＂，那麼歸屬函數為離散函數；而全集合的元素為“無 限個＂，那麼歸屬函數則為連續函數。

模糊集合其成員歸屬函數的種類有很多，在此介紹最常用的三角形(Triangular)、梯 形(Trapezoidal)以及(Sigma)三種。

I. 三角形(Triangular)：

圖 2.1：三角形歸屬函數

a a+c

0 a-b 1

(2.2)

II. 梯形(Trapezoidal)：

圖 2.2：梯形歸屬函數

(2.3)

III. (Sigma)

圖 2.3：Sigma 歸屬函數

(2.4)

以上是三種常用的歸屬函數，請選擇最適當的種類來進行你的模糊推論。

再來是運算，模糊集合的運算也和傳統集合不太相同，以下列舉幾則模糊集合的運 a-b a

0 1

a a+d

a-c 0

1

b

A. 聯集(Union)也稱(OR)

考慮兩模糊集合 和 ，其聯集運算符號為 或是 OR 。

(2.5)

對於所有的

B. 交集(Intersection)也稱(AND) 考慮兩模糊集合 和 ，其交集運算符號為 或是 AND 。

(2.6)

對於所有的

C. 補集(Complement)也稱(NOT) 考慮模糊集合 ，其交集運算符號為 或是 NOT 。

(2.7)

對於所有的

可以留意的是模糊運算中的聯集和交集，和傳統集合的不一樣，分別是取其集合中 的最大值以及最小值的運算。在知道何謂模糊集合之後，就可以此來做模糊邏輯推論系 統了。

z 模糊邏輯系統

建立模糊系統首先要先把欲解決的問題轉化成模糊推論，以模糊 的

形式來組成，並依照其五個設計步驟來完成。

甲、 推論規則( )

此規則是最可以解釋和代表整個問題的核心，也是所謂的蘊含(Implication)。其中每 一個規則都以 (稱命題部)， (稱推論部)的形式來構成，而輸入成員歸屬函數 屬於命題部，輸出成員歸屬函數則屬於推論部[11]，規則形式如下所示：

(規則 1)：

OR

(規則 n)：

其中 x 是待模糊化的明確值(Crisp value)， 和 都是模糊集合，n 為整數。

乙、 定理步驟(Principal steps) a、 (Fuzzy the inputs)

使用適合的輸入成員歸屬函數將每一個規則的純量輸入值(Scalar value)映射成 之間的模糊值，圖 2.4。

圖 2.4：模糊化

b、 (Perform any required fuzzy logical operations)

如果每一個規則命題部(即前項)是多個命題，則須依據彼此命題是 AND 或是 OR 來 做相對的運算產生單一的模糊值，圖 2.5。

圖 2.5：單一值產生

c、 (Apply an inference method)

將每一規則命題部所得的單一模糊值與此規則輸出歸屬函數作 implication 動作，即 是 AND 運算，是裁切掉大於模糊值的輸出歸屬函數，圖 2.6。

0 1

0.4

x 0

1

0.2

v AND

Single value is 0.2

x 0

1

0.4

圖 2.6：裁切

d、 (Apply an aggregation method to the fuzzy sets from step 3)

在每一個規則做完步驟 c 後，就要以 OR 運算將所有規則裁切後的輸出歸屬函數作 聚合動作，合併成一完整集合，圖 2.7。

圖 2.7：聚合

e、 (Defuzzify the final output fuzzy set)

最後，要從聚合後之集合“解模糊化＂得出明確且純量的值，其解模糊的方法有『重 心法(Center of gravity)』、『面積法(Area)』、『高度法(Height)』和『最大值平均 法(Midpoint of Maximum)』等等，在此列舉較常用的重心法方程式。

(2.8)

其中， 是表使用重心法解出的值， 為最後所有規則相對應的輸出歸屬合併 函數，K 為在 中所有可能的值的總個數。

0

1 規則 1

0 1

0

1 規則 2

聚合 0

1

0.4

x 0

1

0

輸入歸屬 1 輸出歸屬

裁切

以上即為模糊系統，而模糊邏輯是以程度上的不同來描述問題，不像是傳統上絕對 的是與不是，一切依據彼此的差距關係，決定出適當的程度來代表，所以是較為貼近現 實和更具有客觀性。