次級量尺分數估計方法

j

jv b d

b = − 為試題 j 第 v 個試題的步驟參數（item step parameter）或類 別閾參數（category intersection parameter），隨著類別界線（category boundary）而變，相鄰在兩類別間，就有一個b 參數，_jv −∞<bjv <∞；

b 為試題座標參數（item location parameter）j ； d 為閾參數（threshold parameter）v ；

d 為同一試題內的第k k 類和其他類別的相對難度；

a 為試題 j 的斜率參數（slope parameter）j ，同一試題在各類別選項有相 同的斜率參數，但不同的試題有不同斜率。

第二節 次級量尺分數估計方法

一些相關研究論文提出準確的估計觀察分數（observed score）且可信賴之估 計方法（Yen, 1987；Yen, Sykes, Ito, & Julian, 1997；Bock, Thissen, & Zimowski, 1997；Pommerich, Nicewander, & Hanson, 1999；Wainer, Vevea, Camacho, Reeve, Rosa, Nelson, Swygert, & Thissen, 2000；Gessaroli, 2004；Kahraman & Kamata, 2004；Tate, 2004；Shin, Ansley, Tsai, & Mao, 2005；Shin, 2006），這些方法是使用 測驗資料在不同次級量尺之間的附屬訊息，以進行次級量尺分數之估計。在此將 詳述三種次級量尺分數計算之方法，包含 Bock 方法（Bock method）、目標表現 指標方法（objective performance index method, OPI method）及回歸分數方法

（regressed score method, REG method）與正確率分數方法（proportion-correct method, PC method）。

壹、Bock 方法

因此，以 GPCM 估計時，則

（prior information），可能是受試者在學校的成績或是其他測驗的表現。在此定 義 OPI 方法之次級量尺 j 測驗分數為OPI T_j，以下介紹 OPI 方法（Yen, 1987）：

Fitzpatrick, 2007）：

j

根據式子（2.11）與（2.12）可知給定x 時，_j T 之後驗分布（posterior distribution）_j 為：

β ，故平均數及變異數能表達如下式（Novick & Jackson, 1974, p. 113）：

j

由於T 為_j θ 的單調轉化（monotonic transformation），得下式：

)

其中， (1 )

因此，若為建構式反應的試題，根據式子（2.9）可算出（Yen, Sykes, Ito, & Julian, 1997；Shin, 2006），

[ ]

∑ ∑

beta 後驗分布（posterior beta distribution）參數值能由 IRT 參數觀點表示如下：

p_j =Tˆ_jn^*_j +x_j （2.35）

必須注意的是，先驗估計的標準誤「式子（2.32）的開根號」趨近於 0 時，w 幾_j

乎會一致；反之，若n^*_j =0，則不給予先驗估計之權重。

3. 檢驗一致性

若εij^'(θ)能用來描述試題反應，即使 IRT 模式能精確地描述受試者在試題上 的表現，受試者在次級量尺之試題反應可能是多向度的（multidimensional）。舉 例來說，一個特殊的受試者可以答對困難的題目，但是卻答錯簡單的題目；在這 個例子中，以先驗估計Tˆ 及_j x /_j n_j表示之並不適當。在 OPI 方法的計算程序中，

可利用下式來判斷受試者在各次級量尺中之先驗分布是否符合預期（Yen, 1987；

Yen, Sykes, Ito, & Julian, 1997）。

∑

= −

−

= ^J

j j j

j j j j

T T

n T n x Q

1

2

ˆ ) 1 ˆ (

ˆ ) (

（2.40）

根據 Yen(1987, p. 7)，若Q≤χ²(J,. 10)，指沒有落入拒絕區，表示Tˆ 與_j x /_j n_j 是適配的，則利用式子（2.35）至式子（2.37）來計算 OPI 方法；反之，若

) 10 . ,

2( J

Q>χ ，表示Tˆ 與_j x /_j n_j是不適配的，因此假設式子（2.35）、（2.36）與（2.37）

之n^*j =0來計算 OPI 方法。

參、回歸分數方法

回歸分數通常是使用原始分數來估計真實分數，Kelley 回歸分數（Kelley, 1927；1947)，表示如下式：

τˆ =ρ x+(1−ρ)µ =µ +ρ(x−µ) （2.41）

其中，τˆ 為受試者真實分數； ρ 為群體受試者的測驗信度；

x 為受試者的觀察分數；µ 為群體受試者的平均分數。

而 Kelley’s 回歸分數在估計真實分數時，可以表示如下式：

.) ( ˆ =x.+r x−x

τ （2.42）

其中， r 取代式子（2.41）的ρ ； x.取代式子（2.41）的 µ ；

在此定義回歸分數方法（REG 方法）之次級量尺分數為REG ，則式子（2.42）T 以向量形式表達，可以表示如下式（Wainer, Vevea, Camacho, Reeve, Rosa, Nelson, Swygert, & Thissen, 2000；Shin, 2006；Shin, Ansley, Tsai, & Mao, 2005）：

.) ( ˆ=x.+B x−x

=τ T

REG （2.43）

其中，x 為次級量尺的測驗觀察分數；x. 為群體受試者的平均觀察分數；B 為 用來估計測驗信度之多變量矩陣。

矩陣 B 可視為一種權重，包含結合真實分數τ 與觀察分數 x 之關係，若B=I， 則代表觀察分數是完全可信的，即觀察分數 x 為真實分數的估計；若B=0，則代 表所有真實分數均可用平均分數 x. 表示之。

根據式子（2.43）可知，若欲求真實分數的估計值，須先取得 B 值，定義S^obs 為不同次級量尺觀察分數的共變異矩陣（the observed covariance matrix），其對角 元素為各次級量尺觀察分數的變異數；S^true為不同次級量尺真實分數的共變異矩 陣。

Strue非對角元素為不同次級量尺成對真實分數的共變異數，由於誤差和真實

分數無關，則可知 _{' '}

jv jv

jv jv

σ

x x

σ

_{τ τ}

=

。S^true對角元素為真實分數的變異數，σ ；_τ² S^obs

對角元素為觀察分數的變異數，σ 。因此，可知_x² S^true = S^obs×(σ_τ² /σ_x²)，其中

2 2 /σ_x

σ_τ 為次級量尺的信度。根據此關係，能夠估計真分數的共變異矩陣，S^true。 如下式：

obs vv true

vv s

s ' = ' for v≠v^' （2.44）

obs 係數（Cronbach's coefficient alpha）來計算次級量尺的信度。計算式子如下式

（Wainer, Vevea, Camacho, Reeve, Rosa, Nelson, Swygert, & Thissen, 2000）：

σ α

y （Johnson & Wichern, 2007）。 （2.48）

因此，在給定y 下，變數₂ y 可以表示如下式： ₁

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

正確率為在所有作答反應下答對次數的比例（Gummerman, 1972；Shin, 2006）。在此定義正確率分數（PC 方法）之次級量尺 j 測驗分數為PC T_j。計算

在文檔中 次級量尺分數估計法應用於大型教育測驗情境之模擬研究 (頁 15-26)