第三章 問題描述與期望值最大化演算法
3.5 電腦模擬
在本節將前面所介紹的 IQI 與 PN 的效應模擬出來，而在這裡所設定的是 2 2無編碼的 MIMO-OFDM 系統，頻寬為 20 MHz 並有 64 個子載波，而一個封 包(packet)中有 10 個 MIMO-OFDM 符元，通道則為 i.i.d.的雷利衰減通道，在這 邊則是假設 IQI 與 PN 效應皆只發生在接收端的部份。
圖 3.8 為 16-QAM 受到不同振幅與相位不平衡所影響的位元錯誤率，其中可 以發現當振幅或相位錯誤愈大，位元錯誤率也就愈大，而圖 3.9 為 64-QAM 受到 不同振幅與相位不平衡所影響的位元錯誤率，由圖 3.8 與 3.9 比較，可以從中發 現當 QAM 愈大時，受到振幅與相位不平衡的影響就愈明顯，因此當需要高速傳 輸時，更需要去補償 IQI 的影響。
0 5 10 15 20 25 30
10-3 10-2 10-1 100
SNR (dB)
BER
2x2 16-QAM
(g,)=(1.1,10o) (g,)=(1.1,5o) (g,)=(1,0o)
圖 3. 10 16-QAM 在 IQI 影響下之位元錯誤率( ,g )
0 5 10 15 20 25 30 10-3
10-2 10-1 100
SNR (dB)
BER
2x2 64-QAM
(g,)=(1.1,10o) (g,)=(1.1,5o) (g,)=(1,0o)
圖 3.11 64-QAM 在 IQI 影響下之位元錯誤率( ,g )
圖 3.10 為 16-QAM 受到 PN 所影響的位元錯誤率，PN 的大小是由 3dB 頻寬 Hz 來做區分，其中 愈大位元錯誤就會愈大，而 PN 會對信號產生兩種影響，
一為 CPE，二為 ICI，而由於 CPE 為信號旋轉，因此將旋轉項補償還原即可，但 ICI 卻為載波間互相干擾，此效應會造成在高 SNR 時的錯誤率造成平滑的現象，
而此種效應也較不易補償，而圖 3.11 為 64-QAM 受到 PN 所影響的位元錯誤率，
把 3.10 與 3.11 相比，由於 PN 受 ICI 的影響較大，因此與 QAM 數的大小較無關 係。
圖 3.12 以及圖 3.13 為 16-QAM 與 64-QAM 同時受到 PN 以及 IQI 效應的影 響，可以從這兩張圖中發現，不論 PN 或 IQI 的影響大或小，此兩種效應加入後 都會使得原本信號之錯誤率變差，由其 64-QAM 中，不論 PN 與 IQI 大或小，都 會使得其錯誤率變的最差，不論 SNR 大或小，其效應皆為一樣。
0 5 10 15 20 25 30 10
-3 10-2 10
-1 100
SNR(dB)
BER
2x2 16-QAM
with PN without PN
圖 3.12 16-QAM 在 PN 影響下之位元錯誤率( 200 Hz)
0 5 10 15 20 25 30
10-3 10
-2 10
-1 100
SNR(dB)
BER
2x2 64-QAM
with PN without PN
圖 3.13 64-QAM 在 PN 影響下之位元錯誤率( 200 Hz)
3.6 小結
在本章中介紹了為何考慮 IQI 與 PN，IQI 與 PN 又是如何產生，並且說明其 中對信號所產生的影響，而由於 PN 本身有 ICI 的問題，又將兩種問題結合一起，
提高補償的困難度，因此利用 EM 演算法做補償技術，而在本節中也介紹了 EM 演算法，而在其中也提到 EM 演算法其初始值對於是否可以收斂與收斂速度皆有 影響，因此在之後章節的初始值部份，皆由 zero-forcing(ZF)的解作為初始值，而 在之後的章節將會介紹如何結合 EM 來補償 IQI 與 PN 效應。
第四章
IQ 不平衡與相位雜訊之補償
本章中在討論在 MIMO-OFDM 的系統架構下，在接收機 RF 端遇到電路不 理想狀態，也就是 IQI 以及 PN，在兩種效應的影響下如何做補償，雖然 IQI 與 PN 效應在接收端的補償方法已有廣泛的被研究與討論，但大多數的討論都為單 獨考慮 IQI 或 PN，或是在 SISO-OFDM 架構下以及假設通道已知，而在本論文 中除了研究同時補償 IQI 與 PN 效應，並加入通道效應的估計，在本章中也會對 目前所提出的研究方法做討論。本章一開始會對所參考的系統前置碼作介紹，而 後介紹本論文如何利用系統前置碼來補償 IQI 與 PN，並且討論其補償方法的系 統運算複雜度，在利用電腦模擬驗證此方法可有效的同時補償 IQI 與 PN 所造成 的效應。
4.1 系統前置碼與補償架構
為了要使系統可以同時估測並補償通道響應、IQI 以及 PN 效應，會需要一 些資料輔助(data-aided)，在本論文中的資料輔助是領航符元(pilot symbols)以及系 統前置碼(preambles)，其中利用導航符號估測 PN 中的 ICI 部份，系統前置碼則 是用於估測通道效應、IQI 以及 PN 中的 CPE 部分，而由於系統前置碼需要估測 許多的資料，因此也較需要特殊一點的設計，在本論文中所使用的前置碼則是利
用其設計已存在的前置碼，而在此系統為 IEEE 802.11a，其前置碼設計分為三個 部份，分別為短訓練序列(short training sequences)、長訓練序列(long training sequences)以及信號區塊(signal field)，如圖 4.1 所示，其中短訓練序列是由 10 個 重複的短訓練符元所組成，是用於粗調 CFO，長訓練序列則是由兩個長訓練符 元以及其 CP 所產生，是用於細調 CFO 與估計通道響應，而信號區塊中則是包 含傳訊資料的訊息，例如：封包長度、編碼速率等等，而在補償 IQI 與 PN 中，
只需考慮到長訓練序列的部份。
圖 4.1 IEEE 802.11a 前置碼架構圖
本論文所參考的資料其前置碼的設計來由是因為估測通道時，前置碼必須是 正交且為位移正交至少一個通道的長度，才是一個可可靠估測通道的前置碼，而 IQI 是在 k頻率的載波影響到k 頻率的載波所造成的效應，因此前置碼的設計就
必須使得 k 頻率與k 頻率為正交，才可估測 IQI 效應，而這些條件則可用
Walsh-Hadamard 矩陣來達成，其中 Walsh-Hadamard 矩陣的定義如下
1 1
2 1 1
1 2
m m
m m m
H H
H H H (4.15)
而H0 1、 2 1 1 1 1 1
H 2 ，而利用 Walsh-Hadamard 矩陣的特性來製造前置
碼則需要兩個不同的符元p 與1 p ，其形式如下 2 Walsh-Hadamard 矩陣。
TX 1
* *
1 2
( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )
r r
m N m N
k k k k k
D K I H K I H (4.20)
將這兩個式子經過運算後，可以得到兩個式子
1 ( ( ) ( )) / 2 1( ( ) ) ( )
m Nr
k k k k
C S D K I H (4.21)
* * 2 ( ( ) ( )) / 2 2( ( ) ) ( )
m Nr
k k k k
C S D K I H (4.22)
則可利用這兩個式子獲得一值以估計通道響應、IQI 與 PN 的 CPE， 而估測的方 式由後兩節介紹。
本論文在 MIMO-OFDM 架構下同時補償 IQI 以及 PN 效應，而補償架構如 圖 4.3 所示，首先是估計通道響應以及 IQI，則利用 4.1 節中前置碼所運算出來 的C 、1 C 中得到，使用估計得到的結果將 IQI 補償，而後利用補償後的信號將2 領航符元中的 ICI 估計得到後，利用 EM 演算法重新估計通道響應並補償 CPE 之部分，最後將 ICI 效應消除得到。
圖 4.3 IQI 與 PN 補償架構圖
4.2 IQ 不平衡之補償
本節中先只考慮 IQI 補償的部分，如圖 4.4 中所示，而在上一節中所得到之
C 、1 C ，將進一步地作運算，獲得一2 E( )k 值，以估計 IQI 與通道響應，而E( )k
* *
4.3 相位雜訊之補償
所收到的信號將 IQI 的補份補償結束後，由於通道效應以及 CPE 皆已有初 步估計，因此觀察已把 IQI 效應消除的領航符元中所受到 ICI 的影響，將此統計 的 ICI 將會在 EM 演算法後將之消除，CPE 以及通道響應之修正則由 EM 演算法 來做估計，
圖 4.5 PN 補償架構圖
如圖 4.5 所示，而 CPE 其實在 IQI 補償的部分皆已完成估計，但由於 CPE 這種效應會使得 QAM 的星座圖旋轉，會使傳送之信號離開其決定區域，對系統 的影響非常大，因此才會再利用 EM 演算法做進一步的估計，而要估計 CPE 首 先可將雜訊與 ICI 視為一個多維變量複數常態分佈，可將信號寫為
( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( )
m k m k m m k m k m k m k
n y H x n (4.30)
那麼nm N(0, )，其中 為一個Nr N 的共變異矩陣，而t n 的聯合機率密m 度函數則為
2 2
1
0 2 1 1
( | , ) exp ( ) ( )
det( )
KMNt M K
H
m m
KM m k
p n n k n k (4.31)
將 n km( ) 集 合 為 矩 陣 定 義 為
( ), ( 1), , ( 1), ( )H
( 1) ( ) ( )
本論文中使用[1]中所提出的 LSE(least square estimate)方法來比較，而 LSE 則也是利用式子 4.34 與 4.37 以估計 CPE，但 LSE 法並沒有重新估計通道響應，
而一個封包(packet)中有 10 個 MIMO-OFDM 符元，而前置法則利用本章介紹前
置法則利用本章介紹之前置法，通道則為 i.i.d.的雷利衰減通道，在這邊則是假設 IQ 不平衡與 PN 效應皆只發生在接收端。
圖 4.6 為利用 4.1 節所介紹之前置碼所估計通道而利用 4.2 節所補償之模擬 圖，其中 P 為已傳送的封包數，而由圖中可發現，再 64-QAM 的傳輸情形下，
當只有一個封包傳送過來時，其估計的值不是如此的準確會使得 IQI 補償大於其 無補償之狀態，而其中一個原因也是因為當 SNR 較小時，信號受雜訊的影響大，
因此估計值也不準確，但經過 100 次的封包平均後，其估計的 IQI 就會逼近實際 值，而可以順利的補償 IQI 所造成之影響。
圖 4.6 IQI 利用封包平均後之補償({ , }1 2 { 3 , 3 },{ , }g g1 2 {1.1, 0.9})
0 5 10 15 20 25 30
10
-3
10
-2
10-1 100
SNR(dB)
BER
2x2 64-QAM
IQ compensation P = 1 IQ compensation P = 50 IQ compensation P = 100 no compensation-ZF without phase noise-ZF
IQ-ZF
0 5 10 15 20 25 30 10-3
10-2 10-1 100
SNR(dB)
BER
2x2 64-QAM
no compensation no. of iterative = 1 no. of iterative = 2 no. of iterative = 3 without impairments-ML
圖 4.7 PN 利用 EM 演算法補償之模擬圖( 400Hz)
圖 4.7 為在 64-QAM 的情形下，當 400Hz時，利用 EM 演算法補償 PN 不理想效應之模擬圖，由於 64-QAM 的情形下，信號同時受到 CPE 的影響造成 旋轉而又受到 ICI 的干擾使得錯誤率嚴重上升，但由其模擬圖可看出 PN 之效應 會隨著疊代的次數而改進，則顯示當疊代數增加時，其利用 EM 估計得到的值就 會越精準，而也隨著疊代次數的增加，會越來越逼近 ML 值，但是當 SNR 愈來 愈大時，也會受到 ICI 的影響較深，因此在 SNR 高時便會產生有平緩的現象產 生。
圖 4.8 為經過 EM 演算法估計的 CPE 經過不同次的疊代所計算出的均方差 (mean square error, MSE)，由圖中可以了解其疊代次數愈多，其均方差愈小，但 隨著疊代次數的增加，其下降幅度也會減少，而圖 4.9 經過 EM 演算法估計的通
道響應經過不同次的疊代所計算出的 MSE，由圖中也可了解隨著疊代次數增
加，其均方差也就愈小，且通道響應唯一龐大矩陣，其估計誤差值也較大，而也 由兩圖中發現，當疊代次數超過 3 次時，其下降幅度會相對平緩，而為了減少計
算次數，因此將之後的模擬的疊代次數皆設為三次，以免過多的繁複計算。
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
-3
10
-2
10
-1
number of iterations
MSE
SNR = 10 dB SNR = 20 dB SNR = 30 dB
圖 4.8 CPE 經不同次數疊代之均方差
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10-3 10-2 10-1 100
number of iterations
MSE
SNR = 10 dB SNR = 20 dB SNR = 30 dB
圖 4.9 通道經不同次數疊代之均方差
圖 4.10 與 4.11 為本論文所提出之方法的模擬圖，在 PN 為 200Hz，IQI 的相位不平衡與振幅不平衡為分別為{ , }1 2 { 3 , 3 }與{ , }g g1 2 {1.05, 0.95}
之情形下，16-QAM 與 64-QAM 下的補償效應，其中 f 為其回饋次數，而可以從 圖中了解本論文所提出之方法較 LSE 的方法好，而且甚至比無 IQI 與 PN 影響時 利用 ZF 好，這是由於論文中是利用 EM 演算法，而讓其結果逼近 MLE 法，且 經過疊代的方法將使通道響應與 CPE 的估計值更為精準，並也利用一次回饋使 信號重新估計，因此比 ZF 的結果好，但當 SNR 愈大時，還是些許的被 ICI 所限 制。而圖 4.11 與 4.12 則是當 PN 為 400Hz，IQI 的相位不平衡與振幅不平衡 為分別為{ , }1 2 { 5 ,5 }與{ , }g g1 2 {1.1, 0.9}之情形下，雖然受到之影響很 大，但也是還是但從圖中也可了解利用本論文之方法，可以將原本受到 IQI 與 PN 之效應的信號有效地補償。
0 5 10 15 20 25 30
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
SNR(dB)
BER
2x2 16-QAM
no compensation LSE
proposed method, f=0 without impairments-ZF proposed method, f=1 without impairments-ML
圖 4.10 16-QAM 下 MIMO-OFDM 補償 IQI 與 PN 之效能
1 2 1 2
({ , } { 3 , 3 },{ , }g g {1.05, 0.95}, 200Hz)
0 5 10 15 20 25 30
proposed method, f=0 without impairments-ZF proposed method, f=1 without impairments-ML
proposed method, f=0 without impairments-ZF
proposed method, f=0 without impairments-ZF