「校本驗毒計劃」中的概率應用
學校名稱：香港神託會培基書院 學生姓名：黎子婧、張顥文
級別：中四 顧問老師：黃智君
引言
青少年吸食毒品的問題日益嚴重，相關的負面新聞不斷曝光，
而吸毒地點更包括校園及公共場所。為遏止毒風在校園蔓延，政府 高姿態地提出了「校本驗毒計劃」，並選擇以大埔區作為計劃的試 點。社會各界對此反應不一，有學者認為計劃能收預防之用，可有 效地提升青少年的抗毒意識，亦有學生團體關注計劃的假陽性、私 隱及配套等問題。透過統計學的分析及概率的應用，本文正要為這 個炙手可熱的問題把脈。
ך
ा ᡍ ࢥ!
ჹόଆǼ२ԛޑෳ
၂ᔈ၀рΑȨଷ
܄ȩޑຝǼӧፄ ᡍ่݀և܄ǴᡉҢ գ٠ค֎ࢥǼ!
ᡍࢥෳ၂ό
ࢂԭϩԭྗ
ዴ༏ǻ!
若我們先排除私隱、法律、輔導等等相關的顧慮，單從統計學
P (D) = 0.01，由於所有樣本的概率總和等於一，所以學生沒有 吸毒習慣的概率 P (D′) = 1− 0.01 = 0.99。因為驗毒測試對少數 較罕見的毒品種類無效，並只能驗出學生在數天內有否吸毒，所 以本文假設若學生有吸毒習慣，而其驗毒測試結果呈陽性反應的 概率 P (T | D) = 0.95。雖然其準確率很高，但在某些特殊的情況 下，驗毒測試亦會出現偏差，例如一些曾進食罌粟籽麵包或火麻仁 油的人，卻會無辜地被驗出曾吸食毒品，現假設類似情況的概率 P (T | D′) = 0.02。
若將學生吸毒習慣及驗毒測試結果作同時考慮，我們只要將樹 形圖 (見附圖) 上兩者的概率相乘，便可以分別計算出以上四個情況 的聯合概率。現以學生有吸毒習慣，並於驗毒測試中呈陽性反應的 概率為例：
P (D∩ T ) = P (D) × P (T | D)
= 0.01× 0.95
= 0.0095
從另一個角度看，若果某學生剛完成了驗毒測試，而其結果 呈陽性反應，這學生真的有吸毒習慣的機會有多大呢？解答這個 問題需要應用到條件概率及貝氏定理。現先解釋何為條件概率，
若在已知 B 事件發生了的前題下，另一事件 A 又同時發生的概 率，即「在 B 條件下發生 A 的條件概率」，可標記成 P (A | B)，
其計算方法為 P (A | B) = P (A ∩ B) ÷ P (B)。另外，貝氏定理則 是結合事前概率及條件概率，以計算出事後概率的過程，其算式
為 P (A | B) = P (B|A)×P (A)+P (B|AP (B|A)×P (A)′)×P (A′)。在「校本驗毒計劃」的 例子中，若在已知的驗毒結果下，我們便可找出學生吸毒習慣的概 率，並可歸納成真陽性、假陰性、假陽性及真陰性四個情況，現以 P (T )及 P (D′ | T ) 的計算作說明。
驗毒測試結果呈陽性的概率
= P (T )
= P (D∩ T ) + P (D′∩ T )
= P (D)× P (T | D) + P (D′)× P (T | D′)
= 0.0095 + 0.0198
= 0.0293
假陽性的概率
=在已知陽性驗毒結果下，學生沒有吸毒習慣的概率
= P (D′| T )
= P (D′∩ T ) ÷ P (T )
= P (D′)× P (T | D′)÷ P (T )
= 0.0198÷ 0.0293
= 0.6758(取小數點後四個位)
事前概率 新的訊息 聯合概率 事後概率
已知驗毒結
毒習慣 0.01 0.3242 0.0005 學生沒有
吸毒習慣 0.99 0.6758 0.9995
P (T ) = 0.0293 T
學生比本文假設的 0.01 更少，出現假陽性的機會將會更大。在假陽 性的情況下，部分沒有吸毒的學生可能會被冤枉，但這樣的打擊又 豈是人人都能承受得到呢？為免驗毒結果呈陽性的學生被標籤，政 府必須正視學生私隱的保障及驗毒後的輔導工作等相關配套措施；
另一方面，為減少出現假陽性的機會，政府宜採用不同牌子的驗毒 工具，為首次測試呈陽性的學生，即場進行另一次的快速複驗。
本文以「校本驗毒計劃」為例，顯示了統計學及概率在日常生 活中的廣泛應用，而相關的分析能有助優化計劃的細節及相關的配 套措施。其實，政府推行「校本驗毒計劃」的目的並不是要拘捕有 吸毒習慣的學生，而是透過驗毒計劃起預防作用，以遏止毒風在校 園蔓延。另外，政府可通過驗毒計劃中所得的數據，更準確地掌握 香港學生的吸毒情況，並能探討青少年沉淪毒海的原因，繼而進一 步採取具針對性的禁毒措施。
參考資料：
1. 牛津/勤達數學系列―新世紀數學 (高中 M1B 冊)，第 23 至 25 頁。
2. 您真的被檢驗出疾病了嗎？條件機率與貝氏定理。李幸娟 (應 數博 96)。