比熱測量原理

1972 年 R. Bachmann 等人設計了一套新的比熱量測方法，稱之 為「熱弛張法」(thermal relaxation method)[14]。比起絕熱比熱儀 (adiabatic calorimeter)，它所需的量測時間較短。比起交流溫度法(ac temperature method)，它能更容易地修正樣品內部熱傳導不均勻的影 響。PPMS 即是使用熱弛張法量測樣品比熱。

使用PPMS 測量樣品比熱，是將樣品放置在 platform 上，樣品與 platform 之間以導熱膠黏接。圖 3-5 為示意圖，其中 C

_x

、T

_x

分別是待 測樣品的比熱及溫度，C

_a

、

T _p

是platform 的比熱及溫度，K

₂

為導熱膠 的導熱係數，

K ₁

為platform 與 puck 之間熱導線的導熱係數，T

₀

是puck 的溫度。

圖3-5 比熱測量示意圖。[15]

熱弛張法分為升溫與降溫 cooling 兩個階段，升溫時，加熱器以

P 0

的功率加熱platform，藉由熱傳導，樣品、導熱膠與 platform 一起 升溫；降溫時，加熱器關閉，使系統自然降溫。紀錄溫度

T p

(t)對時間 t 的變化曲線圖(圖 3-6)，進而求得樣品的比熱。

圖3-6 T

p

(t)對時間 t 的變化圖(black wire)及擬合曲線(red wire)

由圖3-5，我們針對 platform 與樣品分別寫下兩個熱傳導方程式：

) (

)

( _{1 0}

2 T T K T T

dt K C dT

P  _a ^p  _x  _p  _p 

(3.2.3-1)

) (

0 _x ^x K ₂ T _x T _p dt

C dT  



_(3.2.3-2)

如果 platform 與樣品之間的導熱絕佳(即 K

2

>>K

1

)，則我們可將 platform 與樣品的溫度是為相同(即

T _x



T _p

)，所以(3.2.3-1)與(3.2.3-2) 相加可得：

dT

Platform thermometer 量得 T

p

(t)，puck thermometer 量得 T

0

，由此

以上介紹的測量模式稱為「Simple model」，適用在 platform 與樣 品之間導熱絕佳的狀況下。

相對於Simple model，PPMS 還提供另一種 model，稱為「Two-tau model」，適用於 platform 與樣品之間導熱不好的狀況。以下將對 Two-tau model 作一介紹。

x

一、 樣品：由於樣品平台(sample-mounting platform)面積大約 為 3 mm×3 mm，因此待測的樣品可用細砂紙磨至約 2.5 mm×2.5 mm 大小，厚度約為 0.5 mm~1 mm ，厚度不宜太厚 以免影響熱平衡。也由於比熱量測時platform 與樣品需要好的 熱接觸，所以樣品底面必須磨至平整光滑。

圖3-7 platform 與樣品接面示意圖，上層為樣品，下層為 platform，

中間黑色夾層為導熱膠[16]

第四章 鋁的比熱量測與討論

4.1 鋁的比熱擬合分析

在這一章，我們欲利用樣品的全溫區比熱去計算出 Debye 溫度 的大小。我們分別量測了不具磁性的標準樣品，鋁與摻鈦 0.5 %的鋁，

5 K 到 300 K 的比熱，如圖 4-1。由於在 210 K 後會量測到 grease 的 相變而影響到樣品本身的比熱數據，故我們在以下的擬合都只計算到 210 K 為止。

0 4 8 12 16 20 24 28

C ( J/mol K)

Al-Ti 0.5%

Al

由於Al 的樣品比熱可表示成：

(4.1)

其中 C

es

為電子比熱項、C

ph

為聲子比熱項。由於在樣品溫度遠小於 Debye 溫度時，比熱可寫成以下式子：

(4.2)

，其中 為電子比熱， 為聲子比熱。利用這項關係式，即可從

C/T 對 T ²

的關係圖中擬合出樣品的截距

γ

。擬合出的Al 與 Al-Ti 0.5%

電子比熱

γ

值分別為1.38 與 1.34 mJ/mol K

²

，各自代入 即可 確認電子的比熱貢獻項。接著我們去擬合鋁的聲子比熱

C ph

，令聲子 比熱來自Debye 模型的貢獻 ：

9 ^D dx  

(4.3)

其中X

D

=θ

D

/T 、θ

D

為Debye 溫度，再與已知 C

es

的合併得到：

9 ³ dx ^{x 4 e x}

e ^x 1 ²  

x _D

0

(4.4)

其中

γ

值代入1.38 mJ/mol K

²

，即可擬合求出鋁的

θ D

= 375 K。然而我

們從圖 4-2 可以看到擬合曲線與實驗數據仍不夠一致，表示光用

Debye 模型去擬合聲子的比熱貢獻或許不足，所以我們在 C

ph

多加入

了Einstein 模型項：

3 (4.5)

所以現在可以將樣品的比熱改寫為：

(4.6)

n E

為Einstein 項的比例。

γ

分別代入 1.38 與 1.34 mJ/mol K

²

，即可去 擬合出

θ D

、

θ E

與

n E

的值，列於表 4-1。可以看到加入 Einstein 項後的 擬合曲線(圖 4-3)，的確變得與數據更加一致。對照到 Robert G.

Mortimer 書中擬合得到 Al 的 θ

D

＝389 K[17]，我們的計算結果 θ

D

＝ 383 K 還算是在合理範圍。所以我們在這裡成功的用 Debye 方程式擬 合出Al 的 Debye 溫度。

γ (mJ/mol K ² ) θ _D (K)

n

_E

θ _E (K)

Al 1.38 383.1±0.35 0.063±0.004 648±25

0 40 80 120 160 200

0 50 100 150 200 250 300

在文檔中 LiCu2O2比熱研究與3He比熱儀的校正 (頁 25-35)