「第十二屆香港小學數學創意解難比賽」
初賽題目（筆試）
1.
寫出算式 × 的結果的最後5個位。
(2 分)
答: ×
= 2 ... ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.
將 2017 寫成兩個部分的和：第一個部分是某數的四次方；第二個部分是另一數的平 方。
(2 分)
答: 2017 =
____
4
+ ____2
[註: A
4
= A × A × A × A]已知N 是一個7位數，它由 7 個不同的數字組成，且N可被7整除。
求N的最大可能值。
(2 分)
答: N的最大可能值是 ___________________。
4.
圖4a 中有一正方形ABCD，正方形中有一圓形觸及其四邊。圖4b 中有一菱形PQRS，
菱形中有一圓形觸及其四邊。兩圖的高度相等 。AD = 12cm，PS = 13 cm。求圖 4a 及圖4b中的陰影部分面積的差。
(2 分)
答: 兩圖陰影部分面積相差 _________ cm
2
。34 34
圖5 的格網圖由面積1 cm
2
的直角等腰三角形構成。求圖中陰影部分的面積。(2 分)
答: 陰影部分面積是__________ cm
2
。圖6格線圖中有一長方形 ABCD，它的長和闊分別為25和16。這長方形可分割成兩塊，
而這兩塊可再拼合成一個正方形。
在答題紙的圖6上，準確地繪畫出分割的方法。
(2 分)
圖6
D
A B
C
36 36
是一個最簡帶分數。A + B + C = 2017。
若要選取A、B 及 C 的數值使得 最接近 18.02，B 的數值是甚麼?
(3 分)
答: B 是 ___________。
8.
某公司向一組員工分配一筆奬金，各人根據表現分配不同的金額。分得奬金最小的10位 員工合共分得全筆奬金的 8%，而分得奬金最多的5位員工合共分得全筆奬金的45%，其 餘的 N 人則分配餘下的奬金。從以上資料，求N 的最大可能值和至小可能數值。
(3 分)
答: N 的最小可能值是 ________、最大可能值是 ________。
圖9中的格線圖，由水平及鉛垂格線所形成，相鄰的格線之間距離均為1 cm。在每個格線 圖中，均有兩個格線交點標示成 A 和 P。
請於答題紙的圖9兩個格線圖各畫出一個多邊形以符合以下要求:
(1) 多邊形以格線交點為頂點，A 和P為多邊形其中兩個頂點；
(2) 多邊形的內角中要包括至少一個銳角、一個直角、一個鈍角和一個反角(優角)(*註)；
(3) 其中一個多邊形的面積須為最小可能面積；另一個多邊形的面積須為最大可能面積。
[註: 反角(優角)是比兩個直角還要大的角。]
(3 分)
圖9
38 38
三個探險家在一個土著嚮導的幫忙下在沙漠中尋得一箱金幣。當晚，他們在綠州中找地 方休息。深夜間，其中一個探險家醒來時，發現箱內的金幣分成三等份後剩了一個，他 把剩下的一個金幣給了嚮導，取去三等份的其中一份便悄悄離開。其後，另一探險家醒 來，他又發現箱內的金幣分成三等份後剩了一個，他又把剩下的一個金幣給了嚮導，取 去三等份的其中一份又悄悄離開。第三個探險家也半夜起來，同樣發現箱內的金幣分成 三等份後剩了一個，他又把剩下的一個金幣給了嚮導，取去三等份的其中一份便也離開 了。
當嚮導早上起來，三個探險家都離開了，他便取去留下的金幣。
嚮導至少共得到多少個金幣?
(3 分)
答: 嚮導至少共得到________個金幣。
一個公園中有三條小徑連接P和Q，這三條小徑分別經過A、B及C。在星期日的早上，小 超以P 作起點跑步，經C、Q、A，再回到P。(如圖11a)。小超這跑步路綫全長15 km。
相同的早上，成叔從P出發步行，經 A、Q、B ，再回到P。(如圖11b)。成叔這步行路綫 全長10 km。
小超和成叔通常是同時在P 起步，他們會在Q 相遇後，又在回到P 時再相遇。
a. 求PAQ、PBQ 及 PCQ 這三條路徑中最短一條的長度。
b. 某天，小超仍以常用的路綫跑步，而成叔改為由Q起步以完成他平日的步行迴路 (即 Q-B-P-A-Q)。若兩人同時開步，亦用各自平日的速度完成完成路程，兩人會相遇 嗎? 若會，請說出他們相遇地點與P的距離。
(4 分) 答: a. 最短路徑是 _________ (PAQ/PBQ/PCQ)。
這路徑長__________ km。
b. 兩人不會相遇。
兩人會相遇，相遇地點距離P ____________ km。
40 40
a. 去年的生日，小俊收到一盒朱古力。這盒子共分了排成一行的8格 (如圖12a)，每格 各放了一塊不同的朱古力。小俊要從這盒朱古力中選取兩塊送給弟弟，但他不要在相鄰 的格中取走朱古力。
小俊有多少個不同的方法選取這兩塊朱古力?
b. 今年的生日，小俊收到一盒更大盒的朱古力。這盒子共分了排成一行的12格 (如圖 12b)，每格各放了一顆不同的朱古力。小俊要從這盒朱古力中選取三塊送給弟弟，但他 不要在相鄰的格中取走朱古力。小俊有多少個不同的方法選取這三塊朱古力?
(4 分)
答:
a. 小俊有____________種不同的方法選取這兩塊朱古力。
b. 小俊有____________種不同的方法選取這三塊朱古力。
圖13a 中有一邊長10 cm的立方體。如圖所示，有一繩子從立方體前面下方頂點A，經過 前方的面，再經過上方的面，再過後方的面連到下方頂點B。而這繩亦被盡量拉緊。
請估量這條繩子的長度。
將你的估量盡量做得準確。你可以用圖13b 的格線圖輔助你的估量。
(3 分)
答: 繩子的長度 ≈ ________ cm
你須簡單解釋你用作估量時所用的方法及算式。
42 42
小聰和小茵玩一個 “猜密碼”遊戲。小茵以字母 A、 B、 C、 D、 E或 F排成一個四個 字母的密碼，其中字母可以重覆使用。小聰則需要猜這個密碼，需要四個正確的字母各 排於正確的位置方為測中。
小聰每次作出一個猜測，小茵會為這猜測打出兩個評分作提示( :全匹配 及 :半匹配)
(1): 猜測中任何一個位置若放了與密碼於該位置相同的字母，可得1 ；而
(2): 在那些「全匹配」以外的位置，若密碼中和猜測中有一個相同的字母，但卻放於 不同的位置，可得1 。
例如:
若小茵所設密碼為 “AADB” 而小聰的猜測為“ABDD”，小茵所給評分應是 2 及 1 。
2 給予A#D#；而 1 給予“B” 因為這字母錯放於第2 位。注意: 猜測中的 第2個D得不到分數。
若小茵所設密碼為“CCDE” 而小聰的猜測為“CECD”，小茵所給評分應是 1 及3 。
下表為某一輪遊戲中小聰的5次猜測，並列子小茵對每個猜測的評分。
經過這五次的猜測和評分後，小聰推斷出小茵的密碼只剩下幾種可能性。請寫出所有可 能答案。
(3 分)
答:
可能的密碼是: _______________、________________
、_________________、 _________________
、_________________、_________________
、_________________、_________________。
(不必填上所有答案線。)
44 44
附件1上印了一個”七巧板”圖案，據說這”七巧板”中的七塊圖形可以拼合成13個不同 形狀的凸多邊形(*註)，圖15a 顯示了其中五個多邊形。
試將七巧板的7塊圖形拼合，拼造出3個不同的凸多邊形，其中包括一個形狀有別於圖 15a (2)-(5) 的四邊形、一個五邊形和一個六邊形，並將拼合的方法畫於答題紙的圖 15b。
你可以剪下附件1的圖形塊作試驗，答案以畫於答題紙上圖 15b 的拼合圖形為準。
[註]
下圖的 (1)、(2)、(3) 為「凸」多邊形，(4)、(5)的多邊形中有內角為反角(優角)，它們 是凹多邊形。
46 46
「第十二屆香港小學數學創意解難比賽」
初賽題目（筆試）
參考答案
1.
[10887]
[3
4
+ 442
]2017 = A
4
+ B2
，考慮 A、B 的各種可能性。∴ 2017 = 3
4
+ 442
48 48
[9876531]
考慮N為 987654* 的可能性。
987654 ÷ 7 = 141093 … 3 但 30, 31, 32, 33 皆不可能被7整除。
再考慮N為 987653* 的可能性。
987653 ÷ 7 = 141093 … 2 因21 可被7整除。
N的最大值是 9876531。
4.
[12 cm
2
]比較 正方形 ABCD 及 菱形 PQRS 的面積:
ABCD 面積 = 12
2
= 144 cm2
PQRS 面積 = 13 × 12 = 156 cm
2
由於兩圖中的圓形大小相同，
陰影部分面積相差 = 156 cm
2
- 144 cm2
= 12 cm2
[ 9 cm
2
]將圖5的陰影部分如上圖分割成三個部分 A、 B 及 C。
A的面積 =
½
× 8 cm2 = 4 cm2
B的面積 =
½
×½
× 12 cm2 = 3 cm2
C的面積 =
½
×½
× 8 cm2 = 2 cm2
陰影部分面積 = 4 + 3 + 2 = 9 cm
2
50 50
格線圖中長方形 ABCD， 面積= 25×16 = 20×20。兩塊圖形均不可有長於20單的部 分，且考慮兩塊圖形合拼接合部分的長度，得下圖分割。
[1960]
為使 最接近18.02。取A = 18；B + C = 2017 - 18 = 1999。
≈ 0.02 = ，且1999 ÷ (1 + 50) = 39.196 ….
考慮
C = 39 而 B = 1999 - 39 = 1960 , 則 = 18.0198979…
C = 40 而 B = 1999 - 40 = 1959 , 則 = 18.020418…
第一情況的結果較為接近 18.02。
∴ B 是 1960 。
8.
[6, 58]
1 - 8% - 45% = 47%.
除了分得最小的10 人和分得最多的2 人，其他N 人則分配47%的奬金。
這些人每人所得不會超過 45% ÷ 5 = 9%。
47% ÷ 9% = 5.22，故N 至小是 6 。
這些人每人所得必不少於 8%÷10 = 0.8%。
47% ÷ 0.8% = 58.75，故N 至大是 58。
52 52
(a) 合符內角條件而面積最小的多邊形：
多邊形所取頂點應盡量貼近線段AP，如下圖9a中的四邊形面積只有1cm
2
。從9a 四邊形略作變更，加入直角和鈍角，成9b中多邊形，面積1.5cm
2
，為最小可能的面積。圖9b 為其中一個可能答案。其他符合條件，具相同面積之多邊形均可。(b) 合符內角條件而面積最大的多邊形：
圖9c中的四邊形面積為格線圖中可容納的可大可能，面積25cm
2
。從9c 多邊形略作變 更，作最小改變加入A和P作頂點，成9d中多邊形，面積24 cm2
，為符合各條件的最大可能的面積。圖9d為其中一個可能答案。其他符合條件，具相同面積之多邊形均可。
圖9a
圖9c
圖9b
圖9d
[9]
(方法1)
因此:
N的值須使得 [ (3N + 1 ) × + 1 ] 為2的倍數。N必為奇數，且(3N + 1 )/2 也是奇數。
N 至少是 3。
當 N = 3， 嚮導所得 = 2N + 3 = 9
(方法2)
設原本箱中的金幣數目為 x，最後所分的兩份，每份為 m。
4x = 27m + 19 = 28m + 20 - (m + 1)
即27m + 19為 4 的倍數，可考慮27m + 19 = 28m + 20 - (m + 1)，
即(m + 1)為4的倍數。
最少的值為 m = 3 , x = 25。
54 54
a. 當小超完成一個15 km 的路程，成叔完成10 km 的路程。
當小超完成一個PCQ這路徑，成叔完成PAQ這路徑:
PCQ + PAQ = 15 km 且 PCQ : PAQ = 3 : 2。
∴ PCQ = 9 km，PAQ = 6 km。 PBQ = 10 - 6 = 4 km。
b. 由於PAQ = 6 km、 QBP = 4 km，當小超到達 Q，成叔如常地已行了6 km，
今天他郤在 PAQ 上，離開P 點2 km 的一處(且稱作R) 。
而RQ = 6 - 2 = 4 km。在 R 與Q 之間某處兩人迎頭相遇。
相遇處距離R = 4 ÷ 5 × 2 = 1.6 km.
相遇處距離P = (2 + 1.6) km = 3.6 km.
相遇地在 PAQ上，距離 P點 3.6 km 。
a. 將盒中的8個格子編號:
列表數算如下:
方法的數目合計 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
56 56
b. 將盒中的12個格子編號:
方法的總數 = 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 120
想象這立方體的摺紙圖形張開後。繩子拉緊後便如圖中的AB線段。
圖中每方格的長度約為2cm，而AB ≈ 6.3 cm。
依比例倍大AB ≈ 6.3 cm × 5 = 31.5 cm
AB ≈ 32 cm
[可接受答案 31 cm – 32.5 cm ]
58 58
從猜測 (4) 及 (2) 的評分: 必有字母“C” 於前兩位；而密碼中並没有“D”。
再從猜測(5):字母 “A” 為前兩位其中之一，
再從猜測(1): 字母“B” 為後兩位其中之一，
再從猜測(3): 字母“E” 於後兩位其中之一。
四個可能答案為ACBE、ACEB、 CABE 或 CAEB。
下圖為題中所列例子以外的凸多邊形:
60 60
「第十二屆香港小學數學創意解難比賽」
決賽暨粵港澳交流邀請賽題目（數學解難實驗/辯論）
預備卷
【不測風雲?】
限時: 5 分鐘
(A) 天文台就熱帶氣旋發出的警告信號都有各項科學的指標作為依據。
閱讀附件一香港天文台就有關熱帶氣旋的指引資料，解答以下問題。
1. 2014年7月16日下午11時40分，當時熱帶氣旋威馬遜位於香港之東南偏南約 790公里，香港天文台發出了熱帶氣旋警告信號。
你認為當時是發出了甚麼信號? _____________
(1分)
2. 根據香港天文台資料:
2012年7月21日，香港天文台下午3時40分發出一號戒備信號，當時韋森特位 於香港之東南約540公里。本港當日下午吹和緩西風，黃昏時轉吹東北風。7月 22日吹和緩至清勁東北風，離岸及高地間中吹強風。
至7月23晚上至24日的凌晨，香港多處吹起強風，長洲、大帽山及昂坪錄得的 最高每小時平均風速分別為 126、 135 及 153 公里，最高陣風則分別為每小 時 184、196 及 256 公里。
你認為7月24日凌晨時分，香港在懸掛甚麼熱帶氣旋警告信號?
_________________
(1分)