2017年5月13日

十隊入圍隊伍以小組形式按題目的要求，在50分鐘內

設計一個解難策略，然後在15分鐘內向評審團匯報解

難策略，並即席接受評審團提問。

頒獎禮日期：2017年7月8日

（I）初賽獎項：

• 金獎（十六名），銀獎（三十名），銅獎（三十三名），

各得獎學生可獲獎狀乙張。

（II）決賽獎項：

•

•

•

•

•

冠軍隊伍（一名），可獲獎座乙座及價值港幣一千二百元書 券；各得獎學生可獲獎牌乙個及獎狀乙張；各指導教師可獲獎狀 乙張。

亞軍隊伍（一名），可獲獎座乙座及價值港幣八百元書券；各得 獎學生可獲獎牌乙個及獎狀乙張；各指導教師可獲獎狀乙張。

季軍隊伍（一名），可獲獎座乙座及價值港幣四百元書券；各得 獎學生可獲獎牌乙個及獎狀乙張；各指導教師可獲獎狀乙張。

殿軍隊伍（一名），可獲獎座乙座；各得獎者可獲獎狀乙張；各 指導教師可獲獎狀乙張。

優異隊伍（六名），可獲獎座乙座；各得獎者可獲獎狀乙張；各

指導教師可獲獎狀乙張。

80 80

「第八屆香港中學數學創意解難比賽」

決賽得獎名單

(排名依學校編號序)

82 82

(排名依學校編號序)

(排名依學校編號序)

84 84

(排名依學校編號序)

(排名依學校編號序)

( )

86 86

(排名依學校編號序)

(排名依學校編號序)

88 88

(排名依學校編號序)

「第八屆香港中學數學創意解難比賽」

初賽題目（筆試）

1.

於圖1中的四個方格填入不同的整數，使它們成為正確的算式。

(2分)

2.

由 2017 至 20172017 ，求所有以2017 結尾的整數之和。

(2分)

答: 這些整數的和是 _____________________。

3.

於 34

34

^{× 35}

35

^{× 38}

38

^{× 65}

65

的結果中，最後的數字會有一連串的0。

90 90

圖4中是一個一筆畫的七角星， a + b + c + d + e + f + g = ?

(2分)

答: a + b + c + d + e + f + g = _________。

5.

小明於早上九時正離家外出，他先走了一段平路，然後再往山上行，到達山頂後，稍為 休息半小時，然後他便沿原路步行回家，並於上午十一時三十分返抵家中。已知他平路 步行的平均速度為4 km/h，上山的平均速度為3 km/h，下山的平均速度為6 km/h，請 問他共走了多少km?

(2分)

答: 小明共走了 ____________ km。

6.

已知 a及b 為正整數使得 (a + b + 2010) (a – b) = –2017。求a

2

^{– b}

2

^的值。

(2分)

答: a

2

^{– b}

2

= _______________

圖7中，ACDE為一平行四邊形，B為AC的中點，AD及BE相交於F。若 ΔABF 的面積 為100 平方單位，求ΔBCD 的面積。

(2分)

答: ΔBCD 的面積 = _______________平方單位

8.

房內有五個人，他們分別講了一句說話。

A說：「我們五個人中，有一個人說謊。」

B說：「我們五個人中，有兩個人說謊。」

C說：「我們五個人中，有三個人說謊。」

D說：「我們五個人中，有四個人說謊。」

E說：「我們五個人中，全都說謊。」

(a) 有多少人說了真話？

(b) 哪(些)人說了真話？

(2分)

92 92

圖9中有一正方形紙張ABCD ，E 和 F分別為AD 和 BC 的中點。P 和 Q 為AD上的兩 點，若將這紙張沿BP及CQ 摺合，原來的頂點A 和D 會於EF上的一點G重合。 (如圖)

求圖中的角 x。(圖形並不依比例繪畫)

(3分)

答: x = __________。

圖10a中，ABCDEFGH為一個正方體，按圖示切割就可切割出一個正六邊形切面。

圖10b為這正方體的展開圖，請在圖10b中畫出這個六邊形切面所有的邊。

(3分)

94 94

以下的表格第二行的每一個格子內的數字都恰好是第一行它上面的那個數字在第二行出 現的次數。如: 在第二行中，「0」出現1次、「1」出現2次、…

試在以下的表格第二行的每一個空格內，填入一個數字，使得該數字恰好是第一行它上 面的那個數字在第二行出現的次數。

(3分)

(a)

(b)

100個學生圍成一圈 (如圖12)，並以順時針方向依次編為 1 至 100 號。從第1號的同學 開始，圍圈的同學順時針以1、2、1、2、… 的形式不停報數，凡所報之數為〝1〞的學 生便需退出圈子，若這樣循環進行到剩下最後一個學生為止，問最後剩下的這個學生的 編號是甚麼？

(3分)

答: 最後剩下的這個學生的編號是 ________________。

13.

某青年中心共有50個會員，會員必須參加一或兩球隊。若其中40人參加籃球隊，30人 參加排球隊，20人參加足球隊，10人同時參加籃球隊及足球隊，5人同時參加排球隊及 足球隊。有多少人同時參加籃球隊及排球隊？

(3分)

96 96

圖14中有一個正立方體有蓋箱子，邊長1 m。箱子內放了兩個大小相同的球體並蓋上蓋 子。求每個球體半徑的最大可能值。

(答案須為真確值或準確至最接近的0.001 m。)

(4分)

答: 球體半徑的最大可能值是 _____________ m。

15.

圖15中的圓柱體高6cm，半徑1 cm。有一繩子從底至頂將這圓柱緊緊環繞了剛好四圈，

每圈的距離相等。

求這繩子的長度。答案準確至最接近的0.1 cm。

[註: 圓形周界為 2 × 半徑 × π， 其中 π = 3.1416。]

(4分)

答: 繩子的長度是 _____________ cm。

當志明疲累的時候，他會做一個「方格填色」作休息放鬆。他會以紅、綠、藍三種顏色 筆為一排的方格填色，他每次用紅色都填一個方格、每次用綠色都填兩個連續的方格、

每次用藍色都填連續3個方格。如圖16a所見，志明有4種不同的方法為一排三個方格填 色。如圖16b所見，志明有7種不同的方法為一排四個方格填色。

志明有多少種不同方法為下列方格填色?

a. 一排5個方格;

b. 一排9個方格。

(5分)

答: a. 志明有__________種不同方法為一排5個方格填色。

b. 志明有__________種不同方法為一排9個方格填色。

R: Red (紅色), G: Green(綠色), B:Blue (藍色)

98 98

有一種四巧板 (或「T-字板」) 的拼圖遊戲據說源自中國古代。它是由四塊不同的形狀的 圖形板塊組成：一個三角形、一個短直角梯形、一個長直角梯形及一個不規則五邊形。(

如圖17)

這四塊圖形可拼合並剛好放於一個長方形盒子內，亦可拼合成一個英文大楷 「T」形狀 的圖形 (即: 一橫向矩形下加一直向矩形)。

試將四巧板的四塊圖形板塊以兩種方法拼合，分別拼造出一個長方形及一個“T”形，並 將拼合的方法分別畫於圖17(I) 和17(II) 中.

你可以剪下附件1的圖形板塊作試驗，答案以畫於答題紙上為準。

(5分)

100 100

初賽題目（筆試）

參考答案

1.

2017－ 218 = 1799

算式中的除數可以整除 1799 1799 = 7 × 257

1799 可整除 7、257 或 1799；但當除以7時，餘數不會是 218。

所以

2.

[ 20355600306 ]

[ 72 ]

34

34

^{× 35}

35

^{× 38}

38

^{× 65}

65

= 2

34

^{× 5}

35

^×2

38

^{× 5}

65

× 其餘的數均不包含2或5為因子

= 2

72

^{× 5}

100

×其餘的數均不包含2或5為因子

= 10

72

×其餘的數均不包含10為因子

∴ 共有一連串 72 個 0。

102 102

[ 540°]

方法 1

In ACEV, a + c + e + x = 360°

In BDUG, b + d + y + g = 360°

In ΔVFU, f + (180°- x) + (180°- y) = 180°

三個方程相加:

a + b + c + d + e + f + g + x + y + (180°- x) + (180°-y)

= 360°+ 360°+ 180°

a + b + c + d + e + f + g = 360°+ 180° = 540°

方法 2

七個三個形的內角總和 = 7 × 180°

以“Δ” 標示的各角的總和

= 以“ ”標示的各角的總和

= 多邊形的外角和= 360°

a + b + c + d + e + f + g

= 7 × 180°-2 × 360°= 540°

[ 8km ]

設平路有 x km，山路有 y km。

小明共走了8 km。

6.

[ -7 ]

2017 是一個質數。

a - b = -1

a + b + 2010 = 2017，即 a + b = 7。

a = 3 and b = 4 或 a

2

^{- b}

2

= (a + b)(a - b) = -7 a

2

^{- b}

2

^{= -7}

104 104

[ 300 ]

AB : ED = 1 : 2 ， AF : FD = 1 : 2 ΔABF = 100 ， ΔBDF = 200

ΔBCD = ΔABD = ΔABF + ΔBDF = 100 + 200 =300

8.

[ (a) 1 ; (b) D ]

這五個人各人說的話都不同，若有一人說真話，其他的都不可能是真話。說真話的人最 多是1個。

若五人中沒有人說真話，則E 的話正確，生了矛盾。所以有最少一人說真話。

這人必定是D。

9.

[ 75° ]

BG = GC = BC

∴ ΔGBF 為等邊三角形，∠GBF = 60°。

ΔABP ΔGBP

∴∠APB = ∠GPB = (90°-60°) ÷ 2 = 15°

x = 180°-90°-15°= 75°

可先考慮摺立方體於摺紙圖形上的對應位置。

106 106

(a) 第二行的五個數字為0至4的整數，它們的和是5。先考慮這5個數的組合。

其中 最大數字為 4: (4, 1, 0, 0, 0)

最大數字為 3: (3, 2, 0, 0, 0)， (3, 1, 1, 0, 0) 均不可能是答案。

考慮 (2, 2, 1, 0, 0) 或 (2, 1, 1, 1, 0)

其中 (2, 2, 1, 0, 0)中，“0” 和 “2” 出現2次，”1”出現一次。

可作以下答案:

(b) 第二行的十個數字為0至9的整數，它們的和是10。

考慮最大數字為9、 8 或 7 的組合:

(9, 1, 0,… 0)， (8, 2, 0, … 0)，(8, 1, 1, 0, … 0)，(7, 3, 0, … 0)，

(7, 2, 1, 0, … 0)，(7, 1, 1, 1, 0, ... 0) 等顯然不是正確的組合。

考慮最大數字為 “6”的可能: 若6之下是1，0之下必定是6。

其中，a + b + c + d + e = 3，

因為第二行應有6個 “0”，a 、 b 、c 、 d 、 e 當中有 3 個數是0。

這10個數的組合是 (6, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)，合題意。

[ 72 ]

因此，最後剩下的學生的編號是72。

108 108

[ 25 ]

設同時參加籃球隊及排球隊的有x人。

則只參加籃球隊及只參加排球隊的人數分別為 (40-10-x)及(30-5-x)。(如圖)

不參加足球隊的人數= x + (40-10-x) + (30-5-x)

∴ x + (40-10-x) + (30-5-x) + 20 = 50

75 - x = 50

x = 25

即共有25人同時參加籃球隊及排球隊。

當兩個球體為最大可能，圖中應為一對稱設置，球體各自接觸盒子的三個面，兩個球體 亦互相接觸。

考慮圖中所設置的三個立方體，三個立方體均與盒子的方向相同 。 中間一個以兩個球體的中心為它兩個最遠的頂點。(紅色部分)

另外兩個以一個球體的中心及盒子的最近的一個頂點為它兩個最遠的頂點。

如圖，紅色立方體的邊長為 (1 – 2r)m。

用畢氏定理，這立方體一個面的對角邊長 (1 – 2r) m。

立方體的對角線長 (1 – 2r) m。

110 110

[ 25.8cm ]

以一過A點並垂直於圓柱體底部的直線剪開圓柱體的曲面，並將它展開成一長方形。

(如圖)

長方形的闊度 = 2π × 1 cm 長方形的高度 = 6 cm

繩子的長度 = 4 × (2π)2 + (6÷4)2

= 25.8 cm (準確至最接近的0.1cm)

[ 13 ]

一排兩個方格，只有兩種方法填色: RR, GG.

∴ 兩格有2 種方法，三格有4 種方法，四格有7 種方法。

若要為一排5格填色:

若第一格填了紅色，餘下四格有7 種方法填色。

若第一二格填了綠色，餘下三格有4 種方法填色。

若第一二三格填了綠色，餘下兩格有2 種方法填色。

2 + 4 + 7 = 13。共有13種方法。

16(b).

[ 149 ]

以(a)部相類的推論:

112 112

決賽題目（解難實驗）

預備卷

限時: 5分鐘

A. 四面體

四面體也就是三角錐體。這個多面體有4個頂點、4個面及6條稜邊。

問題 1.

以下各圖中，以 選出四面體。

114 114

錐體體積為 V = × B × H。

其中， B 為錐體的底面積，H 為錐體的高。

H 是從頂點至底的垂直距離。

例

圖中錐體(I) 的體積為 × 60 cm

2

× 8 cm = 160 cm

3

^。

圖中錐體(II) 的體積為 × 100 cm

2

× 6 cm = 200 cm

3

^。

H

B

求下列各錐體的體積。

116 116

決賽題目（解難實驗）

預備卷 答案

問題 1.

118 118

決賽題目（解難實驗）

限時: 45分鐘

甲部 白銀矩形 (8 分)

常見的矩形紙張有不同的大小和形狀。其中一種形狀為「白銀矩形」。它的性質如 下：

設矩形PQRS 為白銀矩形。 如果我們沿長邊PQ、SR的中點M、N把矩形分為兩 等份，則MNSP和QRNM均與PQRS相似。兩個得出的矩形也為白銀矩形。

一個白銀矩形 兩個較小的白銀矩形

問題1

文件套(A)中有一張白紙，試判斷這張紙的形狀是否白銀矩形。並略加解釋。

（可接受與理論少於 1%之差距。）

問題2

文件套(A)中有一張顏色紙。請從這張顏色紙剪出一個白銀鉅形。解釋你的步驟

文件套(B1)和文件套(B2)內各有數張顏色紙作乙部的探究之用。這些紙均為白銀矩形，

其中一邊長210 mm。

問題1

這一題，請用文件套 (B1) 中的矩形紙張。按以下的指示摺成四面體。

(12 分)

PQ、RS為矩形紙 PQRS 的長邊。M 和 N分別是 PQ 和 RS 的中點。

A 和B 是 PS和 QR 上的點使 AN 和 BM 分別平分角∠SNM和∠QMN。

a. 沿虛線 MN、 AM、 AN、 BM 和 BN把矩形紙摺成一個四面體，摺成的立體沒 有紙會重疊在一起。拍攝完成的四面體。(可拍多於一張圖片)

b. 四面體的總表面面積是多少？

120 120

這一題，請用文件套 (B2) 中的矩形紙張。

(12 分)

a. 老師請志明用文件夾B2的紙張以上述方法摺成一個四面體。志明未有摺起紙 張，只在算草上寫寫畫畫，便說道 : 「從這張紙摺出的四面體的體積不可能起過 272855 mm

3

^。」

你同意志明這說法嗎? 請解釋。

b. 用一張文件套(B2)中的矩形紙製作體積盡可能大的四面體。

i. 描述四面體如何製成；

ii. 解釋它的體積為何是最大；

iii. 以適當的量度或計算，找出四面體的體積。並跟（a）的結果作比較。

（可以用文字、算式、草圖、相片等輔助解說）

問題 3

一位木匠造了有一個和B部題1相同形狀大少的實木四面體。他想在一塊薄木板上開一個 能讓這四面體穿過的洞。

試在下面按真實的形狀和大小，畫出一個面積最少，又能讓這四面體穿過的洞。

請解釋你們的做法。

(6分) 假如在矩形紙的每條邊各適當地選一點，稱它們為M、A、N、B，

再加上適當的摺痕，便可用類似題B(1)的方式摺出一個四面體MANB。

在文檔中 數學創意解難比賽 資料匯編 (頁 78-142)