比賽題目及參考答案 - 評判團代表的話

5. 評判團代表的話

7.6 比賽題目及參考答案

「第六屆香港中學數學創意解難比賽」

初賽題目（筆試）

題(1)

ABCDE 為一個正五邊形，用虛線畫出所有對角線，得出一個五星形。

求該五星形的內角CAD 的度數。

(2 分)

題(2)

一個等腰三角形的底邊長度是高的5 倍，把該三角形沿底邊上的高剪開，

分成兩個三角形，然後將該兩個三角形拼成一個長方形。若該長方形的面積為640，求該長方形的周界。

(2 分)

題(3)

已知

a 及 b 為正整數，且 a < 2015 及 b > 2015，求 2015(b – a) 的最

小值。

(2 分) A

題(4)

A、B、C、D 四人進行乒乓球單打比賽，互相對戰一局或兩局。結果 A 一場勝兩場敗；B 三場全勝；C 四場全敗。那麼，D 多少場勝多少場敗？

(2 分)

題(5)

已知30 個正整數之和為 2015，其中 A 為該 30 個數的最大公因數(H.C.F.)，

求A 的最大值。

(3 分)

題(6)

將 2015 個數排成一行，其中任意相鄰的三個數中，中間的數等於它前後兩數的和，若第一個數及第二個數都是1，求該 2015 個數的總和。

(3 分)

題(7)

在2015×2015 的方格紙上，將方格所在的行數及列數加起來的和，填在這個方格中，例如 x = 2 + 3 =5 及 y = 2014 + 2013 = 4027。求在該 2015×2015 的數字中奇數的數目。

(3 分)

1 2 3 4

2 0 1 3

2 0 1 4

2 0 1 5 1 2 x 3 4

2013 2014 y 2015

題(8)

已知

a、b、c 及 d 為整數，其中 0 < a < b < c < d。若 b – a = 201，d – c

= 5 及 a、b、c、d 的平均值為 307。求 d 的最大值。

(3 分)

題(9)

已知互不相等的 50 個正整數之和是 2015，若其中有 x 個奇數，求 x 的 最小值。

(3 分)

題(10)

4¹⁰⁰⁵× 5²⁰¹⁵ 是一個多少位數？

(3 分)

題(11)

今天將 2015 本書分給某補習中心全體學生。若平均分配，剛好分完；

若今天有一人缺席，則每個學生可多分 2 本書，且有剩餘。若今天有二人缺席，若每人多分5 本書，則書的數目不足；求該中心全體學生的人數。

(3 分)

題(12)

小明在球場上散步，從O 點出發向前走 10 米，然後順時針方向轉 120，

再向前走10 米，然後又順時針方向轉 120，再向前走 10 米，不斷重覆進行。當小明共行了2115 米時，求他與出發點 O 的距離。

(3 分)

題(13)

圖中的正方形圖案是由4×4 個正方形圖案組成，當中可畫出多少個正方形？

(3 分)

圖(C) 圖(B)

圖 ( A

題(14)

某班有42 人，其中 26 人愛打籃球，17 人愛打排球，19 人愛踢足球，9 人既愛打籃球又愛踢足球，4 人既愛打排球又愛踢足球。若沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好。求既愛打籃球又愛打排球的有多少人？

(3 分)

題(15)

在直角坐標系中，已知點

O 為原點，點 A 為(1, 1)，點 B 為(b, 0)，若OAB

為一等腰三角形，求

b 的值。

(4 分)

題(16)

若 x 及 2015 x² 均為正整數，求 x 的值。

(4 分)

題(17)

圖(A)為一個正方體，其中三個面上都畫有黑線。試在圖(B)及圖(C)上的某些面上畫上黑線，使得圖(B)及圖(C)分別是圖(A)正方體的展開圖。

(6 分)

題(18) 動手題

每隊桌上有一個一端開口的小封套及一小段膠紙封條。請將小封套摺成一個正四面體(如圖)，並以膠紙封條將它固定。

(過程中可將封套折曲，而摺合時紙片不可重叠，且不可將封套剪開或撕開。)

(3 分)

問題卷完 End of paper

「第六屆香港中學數學創意解難比賽」

初賽題目（筆試）

參考答案

題(1)

【36】

正五邊形內的小正五邊形外角 = 360 ÷ 5 = 72

考慮 APQ， CAD =PAQ =180  72  72 = 36。

題(2)

【112】

設等腰三角形底邊上的高為2x，則邊長度為 10x。

長方形的面積2 x 5x

 640

10x²640

x8

因此，該長方形的周界2(2x 5x) 14x

 14  8  112

題(3)

【4030】

2015(b – a) 的最小值為 2015 × (2016 – 2014) = 4030

題(4)

【三勝一敗】

因A 賽了 3 場、B 賽了 3 場、C 賽了 4 場，所以 D 賽了 4 場。

因B 全勝及 C 全敗，所以 A 及 D 都至少一勝一敗，而 A 還有一場敗於 D，

因C 四敗，所以 C 會再敗於 D，

因此，D 是三勝一敗。

題(5)

【65】

該30 個數的最大公因數也可整除 2015，是 2015 的因數。

2015 = 5 × 13 × 31

考慮 : 2015 = 31 × 65

2015 可分成 29 個 65 及 1 個 130 (即 2 × 65 ) 2015 = 29 × 65 + 130

因此，A 的最大值為 65。

題(6)

【1】

根據題意，寫出前若干個數字

1 1 0 -1 -1 0 1 1 0 -1 -1 0 1 ……

可見這數列中，每六個數節的循環，

而每6 個相連數字的和為 0，

20156  335.8

即前335×6 = 2010 個數字的和為 0，

因此，該2015 個數的總和 = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 – 1 = 1。

100

題(7)

【2030112】

奇 + 奇 偶；奇 +偶 奇；偶 + 奇 奇；偶 +偶 偶；

第1 行： 1+1, 1+3 , 1+5, …, 1+2013, 1+2015 得偶數 1+2, 1+4 , 1+6, …, 1+2014 得奇數

偶數比奇數多一個第2 行：奇數比偶數多一個第3 行：偶數比奇數多一個第4 行：奇數比偶數多一個

… … … …

第2015 行：偶數比奇數多一個

總括而言，即填入的方格的所有數字中，

偶數的數目比奇數的數目多一個，

因此，奇數的數目

2 1 -2015 2015 

 2030112

101

題(8)

【515】

a + b + c + d = 307 × 4 = 1228

要

d 為最大，a 就要為最小，b – 1 = 201， b = 202 c + d = 1228 – 1 –202 = 1025

d – c = 5

2 515 5 d 1025 

102

題(9)

【7】

試算最小的 50 個偶數的和 2550

2 ) 00 1 00 50(2

1 6 4

2  





  ,

比2015 超出了 535。

試取去最後上方數列中最大的5 至 6 個數:

首45 個偶數之和 2070 2015

2 90) 90 45(2

6 4

2       

 

首44 個偶數之和 1980 2015

2 88) 88 44(2

6 4

2       

 

2015 個數中，至多取 44 個偶數。但若取首 44 個偶數，

則其餘6 個為奇數 :

44 個偶數和 6 個奇數的和必為偶數，不可能是 2015。

若取43 個偶數，例如 2 + 4 + 6 + …+ 86 = 1980  88 = 1892 2015  1892 = 123。可選出 7 個奇數，其和為 123。

例如: 1、3、5、7、9、11 及 87。

103

題(10)

【2014】

4¹⁰⁰⁵× 5²⁰¹⁵ = 2²⁰¹⁰× 5²⁰¹⁰× 5⁵

= 10²⁰¹⁰× 5⁵ = 3125× 10²⁰¹⁰

104

題(11)

【31】

2015 = 5 × 13 ×31

1: 若全校原來的學生人數 = 5，則每人分得 403 本書

「若今天有二人缺席，若每人多分5 本書，則書數不足；」

(52) × (403 + 5) = 1224 < 2015 不合題意。

2: 若全校原來的學生人數 = 13，則每人分得 155 本書

「若今天有二人缺席，若每人多分5 本書，則書數不足；」

(132) × (155 + 5) = 1760 < 2015 不合題意。

3: 若全校原來的學生人數 = 31，則每人分得 65 本書

「若今天有一人缺席，則每個學生可多分2 本書，且有剩餘。」

(311) × (65 + 2) = 2010 < 2015 合題意。

「若今天有二人缺席，若每人多分5 本書，則書數不足；」

(312) × (65 + 5) = 2030 > 2015 合題意。

因此，全校原來的學生人數 = 31。

105

題(12)

【11】

小明的散步路線如圖由O  P  Q  O  … 的循環。

每走30 米便回到 O。

2115  30 = 70…15

2115 米後，他走至 P 和 Q 的中間點 M。

根據等腰三角形性質及畢氏定理:

OM = 10²5²  75  8.66 米

120

10 米

10 米 10 米

106

題(13)

【72】

： 4×4+3×3+2×2+1×1 = 30

： 24 + 13 + 4 + 1 = 42

題(14)

【7】

方法1:

有(26+17+19)42=20 人愛打 2 項球類；

因此，既愛打籃球又愛打排球的共有 2094=7 人

方法2:

亦可以右圖輔助:

y + R = 26  9 = 17 z + R = 17  4 = 13 y + z + R = 42  19 = 23 R = 17 + 13  23 = 7

籃

足排 9 0

x

y R

z

107

題(15)

【1, 2,  2】

考慮以 OB 為等腰三角形OAB 的底，則 B 為 (2, 0)。

以 OA 為等腰三角形OAB 的底，

則OAB 為直角等腰三角形，B 為(1, 0)。

以

AB 為等腰三角形OAB 的底，

則

OB = OA =

2，B 為( 2, 0) 或(- 2, 0)。

108

題(16)

【4】

設 2015^x²  ^y

2015

-2015

2 2



 x y

y x

(y + x) (y  x) = 2015 = 1 × 2015 = 5 × 403 = 13 × 155 = 31× 65 而

x、 y 均為正整數:

則







 1

015 2 x y

y 、











 5

403 x y

y 、











 3 1

155 x y

y 、











 31

65 x y

x y

即

  



1008 y

1007

x 、

 





204 y

199

x 、







 84 y

x 、

 





48 y

17 x

因此，x 有 4 個可能值。

109

題(17)

考慮摺成立方體時重疉的棱邊，可知與給出線段兩端

P、Q 重疊的點 P’、Q’，

再推論三角形第三頂點 R 的位置。

圖(B)

’ R

P R ’

’

圖(C)

P Q

’

’ R

110

題(18) 動手題

設封套的一面為

ABPQ，其中 AB 為封套開口的一邊。(圖 1)

M 為 AB 的中點，封套的預設長闊比例使 MPQ 形成等邊三角形，兩面各有

一個。而

AMQ 或 PMB 均為半個等邊三角形，可連同背面的另一半組成等

邊三角形。(圖 2)

只需張開開口一邊使

A、B 兩點相接，可得完整正四面體 PQMM’。

A M B

Q P

圖 1

’

P A, B

M

A B

Q P

M’

圖 2

111

「第六屆香港中學數學創意解難比賽」

決賽題目（解難實驗）- 學習改善的量度

1. 在試算表檔案*中已提供某校中一各班的入學分班試數學卷及中一期末數學考試的成績。試計算各班分班試數學卷的平均值，並按成績排列優次。(1 代表最佳，5 為最差。)

班別 1A 1B 1C 1D 1E 分班試分數平均值

排名(1-5)

2. 到學期末，中一級學生進行期末數學考試。試計算各班期末考試的平均值，

並按成績排列優次。(1 代表最佳，5 代表最差。) 班別 1A 1B 1C 1D 1E

期末試分數平均值排名(1-5)

* 有關本題的電腦檔案，請到 http://resources.edb.gov.hk/gifted/CPS「香港中學數學創意解難比賽」網頁中有關本屆的「參考題目」中下載。

112

3. 在 Excel 工作表中及本卷的附件(a)至附件(e)中的散點圖，顯示了各班的期末班試分數及分班試分數。其中1A 班的散點圖中畫有一條有「代表性」的直線，此直線的方程應可用以代表兩組分數的關係。

試形容畫出這「代表性」直線的方法。

__________________________________________________________________________________

一條直線的方程可寫成

y

= m

x

+ c, 其中 m 為斜率、而 c 為

y

軸截距。

在 1A 班的圖上，

y

軸截距

c

(即直線與

y

-軸相交之處) 約為 0.32。

而斜率 m 則可從

y

軸截距

c

及直線上選取的任何一點 (x⁰, y⁰) 以算出 :

例如: (80, 74) 為 1A 班的圖上的直線上的一點，斜率

m

的值可計算成:

因此，1A 班分數的代表直線的方程為

y

= 0.93

x

– 0.32。

𝒎 = 74 − 𝑐

80 = 74 − (−0.32) 80

≈ 0.93

113

4. 運用題(3)及上述提示，寫出各班分數的「代表性」直線的方程。

班別直線方程

y = 0.926x - 0.318

1C 1D 1E

5. Q4 的斜率有什麼意義？所有斜率的平均值有何意義？

__________________________________________________________________________________

114

6. 計算所有 Q4 斜率的平均值及所有 Y-軸截距的平均值。

M = 斜率平均值 C = Y-軸截距平均值

7. 以 Q6 所計算出的兩個答分別作為 M 及 C，定義出一條新的直線：

y = Mx + C。對應於某個 x 值所計算出來的 y 有何意義？

__________________________________________________________________________________

8. 創作一個新的指數 V，並說明它如何量度學習的「改善」。

__________________________________________________________________________________

115

9. 根據你們在 Q8 的描述，計算各班的 V 值，並排列各班學習改善情況的優次。

(1 代表最佳，5 為最差。)

Class 班別 1A 1B 1C 1D 1E V

排序(1-5)

10. 據 Q8 校長有意嘉許有最佳學習「改善」的一班的數學科老師。然而以這個指數 V 作為量度學習的「改善」的方法，有什麼局限？

__________________________________________________________________________________

11. Q10 中的老師為人謙虛，他說能有如此佳績，是學生過去一年的努力成果。

你認為他的說法在數學上是否合理？

__________________________________________________________________________________

116

12. 哪一班的老師較能有效提升數學能力弱的學生？為什麼？

__________________________________________________________________________________

13. 假設你的數學成績理想，你會選哪一班的老師做你的數學老師？為什麼？

__________________________________________________________________________________

[全卷完]

117

「第六屆香港中學數學創意解難比賽」

決賽答寀（解難實驗）-學習改善的量度

1. 在試算表檔案中已提供某校中一各班的入學分班試數學卷及中一期末數學考試的成績。試計算各班分班試數學卷的平均值，並按成績排列優次。(1 代表最佳，5 為最差。)

班別 1A 1B 1C 1D 1E

分班試分數平均值

79.7 [1A]

66.3 [1A]

48.9 [1A]

43.7 [1A]

61.5 [1A]

排名(1-5)

1 2 4 5 3

**** 正確次序 [2A]

2. 到學期末，中一級學生進行期末數學考試。試計算各班期末考試的平均值，

並按成績排列優次。(1 代表最佳，5 代表最差。)

班別 1A 1B 1C 1D 1E

期末試分數平均值

73.5 [1A]

58.5 [1A]

53.0 [1A]

52.0 [1A]

58.9 [1A]

排名(1-5)

1 3 4 5 2

**** 正確次序 [2A]

118

試形容畫出這「代表性」直線的方法。

 例如直綫回歸

 在直綫上點的數量應等於直綫下點的數量 [3A]

 (或其他合理答案)

一條直線的方程可寫成

y

= m

x

+ c, 其中 m 為斜率、而 c 為

y

軸截距。

在 1A 班的圖上，

y

軸截距

c

(即直線與

y

-軸相交之處) 約為 0.32。

而斜率 m 則可從

y

軸截距

c

及直線上選取的任何一點 (x⁰, y⁰) 以算出 :

例如: (80, 74) 為 1A 班的圖上的直線上的一點，斜率

m

的值可計算成:

因此，1A 班分數的代表直線的方程為

y

= 0.93

x

– 0.32。

𝒎 = 74 − 𝑐

80 = 74 − (−0.32) 80

≈ 0.93

119

4. 運用題(3)及上述提示，寫出各班分數的「代表性」直線的方程。

班別直線方程

y = 0.926x - 0.318

y = 0.923x – 2.639 [2A]

y = 0.893x + 9.343 [2A]

y = 0.752x + 19.16 [2A]

y = 0.996x – 2.322 [2A]

5. Q4 的斜率有什麼意義？所有斜率的平均值有何意義？

 斜率：就個別班別，期末數學考試的成績與入學分班試數學成績的比。 [2A]

 所有斜率的平均值：五個班別的斜率的平均值。 [2A]

6. 計算所有 Q4 斜率的平均值及所有 Y-軸截距的平均值。

M = 斜率平均值

0.898 [1A]

C = Y - 軸截距平均值

4.632 [1A]

120

7. 以 Q6 所計算出的兩個答分別作為 M 及 C，定義出一條新的直線：

y = Mx + C。對應於某個 x 值所計算出來的 y 有何意義？

 平均來說，學生在某個 x 值的入學分班試數學成績大約會獲得某個 y 值的期末數學考試的成績。 [2A]

8. 創作一個新的指數 V，並說明它如何量度學習的「改善」。

 V = F

- (MS

+ C)

當中 V 是增值的分數

而 i = A, B, C, D, E 班

F

是指 i 班別在期末數學考試的平均成績

S

是指 i 班別在入學分班試數學的平均成績

[5M]

121

9. 根據你們在 Q8 的描述，計算各班的 V 值，並排列各班學習改善情況的優次。

(1 代表最佳，5 為最差。)

班別 1A 1B 1C 1D 1E

-2.74

[1A]

-5.64 [1A]

4.46 [1A]

8.13 [1A]

-0.95 [1A]

排序(1-5)

4 5 2 1 3

**** 正確次序 [2A]

10. 據 Q8 校長有意嘉許有最佳學習「改善」的一班的數學科老師。然而以這個指數 V 作為量度學習的「改善」的方法，有什麼局限？

 V 是指整體的學生學習改善。當中包含了教師的教學投入（V

）、學生的努力付出（V

）、額外的補習（V

）、家長的支援（V

）等，

即是説，V = V

+ V

 如果班上的學生人數過少，計算 V 時所得出的數值便未必可信。

[2A] (或其他合理答案)

 這是一綫性模型。

在文檔中資優教育 (頁 91-124)