波的光學繞射原理 - 利用傅氏光學於半導體切割粗糙度之研究

2-1 電磁波性質

電磁波是由同相振盪且互相垂直的電場與磁場在空間中以波的形式移動，電磁波伴隨的電場方向，磁場方向，傳播方向三者互相垂直，因此電磁波是橫波。當其能階躍遷過輻射臨界點，便以光的形式向外輻射，此階段波體為光子，電磁波不依靠介質傳播，在真空中的傳播速度等同於光速。電磁輻射由低頻率到高頻率，

主要分為：無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X 射線和伽馬射線。電磁輻射量與溫度有關，通常高於絕對零度的物質或粒子都有電磁輻射，溫度越高輻射量越大。

可見光通常指的是人類眼睛可以見的電磁波。可見光只是電磁波譜上的某一段頻譜，一般是定義為波長介於 400 至 700 奈米（nm）之間的電磁波，也就是波長比紫外線長，比紅外線短的電磁波。1864 年，馬克士威從理論證明光是一種電磁波，不頇靠介質傳遞，波動說所謂的介質震動位移，就是光所具有的電場和磁場的強度。而電磁波在真空中的速度和光速相等。後來在 1887 年赫茲做實驗產生了電磁波進而證明光是種電磁波[2]。

圖 2-1、電磁波波形示意圖

圖 2-2、電磁波波長示意圖

從馬克士威方程組，推導出波動方程式[3]，並預測在自由空間電磁波的存在，

在自由空間裡以電場 E 和磁場 B 來表達為:

(∇ − ₂ ²₂)E = 0 (式 2-1-1) (∇ − ₂²₂) B = 0 (式 2-1-2)

這裡，C 是光速，t 是時間

電磁波若在三度空間任意傳播，電磁波方程式的正弦波解形式為常用的通解可表示為:

E⃗⃗ (r ，t) = E⃗⃗⃗⃗ cos(k⃗ ∙ r − ωt + ϕ₀ ₀) (式 2-1-3) B⃗⃗ (r ，t) = B⃗⃗⃗⃗ cos(k⃗ ∙ r − ωt + ϕ₀ ₀) (式 2-1-4) 其中 k=|𝑘⃗ |=^𝜋_𝜆稱為波數向量在傳播方向的大小， ω 為角頻率，ϕ₀為初相角，

其中波長的倒數

𝜆稱為波數(wave number)或空間頻率(spatial frequency)。

2-2 光的繞射

既然光是一種波，自然滿足波的一些基本性質，其中繞射便是波的一種現象，

凡是不能用反射、折射或散射來解釋的光偏離直線傳播的現象稱為光的繞射。光可繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區域中，並在障礙物後的觀察屏上呈現出光強的不均勻分佈。通常將觀察屏上的不均勻光強分佈稱為繞射圖樣。，所以如果一個物體存在於如圖 2-3 所示的光傳播方向上，那麼一部分光不會直線傳播到物體上。

圖 2-3、光的繞射路徑

波在穿過狹縫、小孔或圓盤之類的障礙物後會發生不同程度的彎散傳播。假設

將一個障礙物置放在光源和觀察屏之間，則會有光亮區域與陰暗區域出現於觀察屏，而且這些區域的邊界並不銳利，是一種明暗相間的複雜圖樣。如圖 2-4 上為穿過圓孔的繞射、下為穿過狹縫圖形。這是因為波的不同部分以不同的路徑傳播到觀察者的位置，發生波疊函而形成的現象。簡單來說遶射是波的一種合成效果，

是由無數多個波積分而成的結果。[3]

圖 2-4、光的圓孔及狹縫繞射圖形

最基礎的繞射理論為近場與遠場繞射[9]，孔繞射示意圖如圖 2-5 所示，S 為光源，設 a 是一孔半徑，λ表示為光源波長，z 為觀察屏距離孔徑的距離，F 是菲涅耳數，其數學式表達如下:

F =_Zλ^a² (式 (2-2-1)

圖 2-5、孔繞射示意圖

菲涅耳繞射當滿足:

F =_Zλ^a² ≥ 1 (式 2-2-2) 指的是光波在近場區域的繞射，設光波穿過於開有孔徑的不透明擋板後，則會有

繞射圖樣出現於觀察屏。

令孔徑光場分布為 U(ξ ， η)，其在距離 Z 處的觀察帄面繞射圖案為 U(x，y)

如圖 2-6，在考慮菲涅耳條件且假設孔徑尺寸小於光到成像螢幕距離下，

圖 2-6、孔徑光場與繞射圖示意帄面繞射圖案會由以下列形式形成:

U(x，y)=^e^ikz

iλz eⁱ^2z^k^(x²^+y²⁾∬ [U(ξ ， η) e_−∞^∞ ⁱ^2z^k^(ξ²^+η²⁾]e⁻ⁱ^2π^λz^(ξx+yη)dξdη (式 2-2-3) 此處，波長是λ、波數為 k= 2𝜋/λ。

式中積分部分式為入射光場U(ξ ， η)與二次相位函數eⁱ^2z^k^(ξ²^+η²⁾的乘積的傅立葉轉換，近似於透鏡成像。

夫朗和斐繞射 如果滿足式:

F =_Zλ^a² ≤ 1 (式 2-2-4) 則稱夫朗和斐繞射。在光學上，夫朗和斐繞射又稱遠場繞射，在光波通過圓孔或

狹縫時發生，導致觀測到的成像大小有所改變，成因是觀測點的遠場位置，及通過圓孔向外的繞射波有漸趨帄面波的性質，這時候可以使用帄行光束近似。此時光源、觀察屏與孔徑相距無限遠

圖 2-7、夫朗和斐繞射示意圖

如圖 2-6 一樣令孔徑光場分布為 U(ξ ， η)，遠場繞射其在距離 z 處的觀察帄

面繞射圖案為 U(x，y)若觀察屏面非常遠時，即 z 值極大時，進入遠場繞射近似的範圍，

可將 z>>^k(ξ²^+η²⁾ 帶入菲涅耳繞射方程，則帄面繞射圖案可得為下式:

U(x，y)=^e

ikz

iλz eⁱ^2z^k^(x²^+y²⁾∬ U(ξ ， η)e_−∞^∞ ⁻ⁱ^2π^λz^(ξx+yη)dξdη 其中令 x=f_x𝝀z， y= f_y𝝀z，又可改寫為

U(x，y)=^e^ikz

iλz eⁱ^2z^k^(x²^+y²⁾∬ U(ξ ， η)e_−∞^∞ ^{−i π(f}^x^ξx+f^y^η)dξdη (式 2-2-5) 式中積分部分為入射光場U(ξ ， η)的二維傅立葉轉換。

夫朗和斐圓孔繞射

當光通過小孔會發生繞射繞射圖樣是以幾何像點為中心而展開的一系列同心環[5] ，如圖 2-8 設 A 為圓孔半徑，D 為圓孔半徑，圓孔中心O 位於光軸上，圓孔任一點Q 位置(ρ， φ )與相應的直角坐標的關係為(x，y)=(ρ cosφ， ρ sinφ )，

觀察屏上任一點 P (ρ， φ)與相應的直角坐標的關係為(x，y)=(ρcosφ， ρsinφ)

圖 2-8、遠場圓孔繞射 P 點的光場複數振幅為

Ẽ(ρ， φ)= C ∫ ∫ e₀^a _o^π ^−ikρ¹^{θ os (φ}¹^−φ)ρ d ρ dφ = C ∫ 2π J_o^a ₀(kρ θ)ρ dρ

=^πa

kaθ J (kaθ) P 點的光強為

I(ρ， φ) = (πa ) |C| *^J¹_kaθ^(kaθ)+ = I₀*^J¹_ϕ^(ϕ)+ (式 2-2-6) 上式中， J 為一階 Bessel function ; ϕ= kaθ 是圓孔邊緣與中心點在同一 θ 方向上光線間的相位差，根據 Bessel function 的性質我們可畫出 I/ I₀的曲線如圖2-9

= *^J¹_ϕ^(ϕ)+ =*1 −^ϕ²₂+^ϕ⁴₄− ⋯ … +

圖 2-9、夫朗和斐圓孔繞射 I/ I₀的曲線由圖 2-9 看出第一暗紋在相位差ϕ = k a θ=^{k aρ}_f =1.22π 處，因k= ^π_𝛌

可知θ= ^{. λ}_a = 1.22 λ /D，愛里斑半徑為ρ₀=1.22 λf/D，愛里斑面積= ^{(0.6 λfπ)}

圓孔面積，

可知圓孔越小，愛里斑越大，繞射現象越明顯。由於大部分的光學器件，如透鏡、

光欄多呈圓孔狀，因此圓孔繞射非常重要，而通常一個均勻的光束我們會去除繞射的紋路部分，所以愛里般面積的大小也是取均勻光束的一個重要指標。

在文檔中利用傅氏光學於半導體切割粗糙度之研究 (頁 17-23)