X
n=0
1 n!xn
!
=
∞
X
n=0
d dx
1 n!xn
=
∞
X
n=1
1
(n − 1)!xn−1 =
∞
X
n=0
1
n!xn= f (x), 即 f′(x) − f (x) = 0,現將等式兩邊同乘 e−x 之後得到 d
dx(e−xf (x)) = 0, 於是e−xf (x) = C,其中 C 為常數。 再將x = 0代入後得到 f (0) = C = 1, 所以 e−xf (x) = 1, 即 f (x) = P∞
n=0 1
n!xn= ex。
9.5 泰勒級數理論
前一節介紹了冪級數理論, 當中指出: 雖然冪級數是一種無窮級數, 但是它在逐點收斂的範圍內實際 上是均勻收斂的, 由於冪級數的部份和是多項式, 所以多項式所具備的特性像是連續、逐項積分、逐項 求導的操作都可以轉移到冪級數, 所以我們可以說冪級數在收斂範圍內幾乎與多項式無異, 是一種相 當好的多項式推廣。
如果一個函數 f (x) 在某個點 x = x0 的附近可以表示成一個冪級數的樣子, 那麼我們就可以透 過冪級數來研究函數在 x = x0 附近的行為。 至於要怎麼樣把函數在一個點附近改寫成冪級數的樣貌 並從中分析函數, 這就是泰勒級數理論 (Taylor series theory) 欲研究的課題。 在正式進入泰勒級數 的理論之前, 我們回想單元 9.4介紹過的三個函數:
(A) 1 1 − x
若x∈(−1,1)
=======
∞
X
n=0
xn。
(B) ln(1 + x)=======若x∈(−1,1]
∞
X
n=1
(−1)n−1 n xn。 (C) tan−1x=======若x∈[−1,1]
∞
X
n=0
(−1)n 2n + 1x2n+1。
因為這三個函數就函數的本身或是它的導函數與等比級數有關, 所以我們直接從等比級數的性質再透 過均勻收斂的理論就能很快寫出冪級數的樣貌。 而泰勒級數理論則是針對一般的函數, 當函數與等比 級數無關或是關係程度不大的時候, 要如何推得其冪級數的表達, 並分析函數與冪級數之間的關係。
這裡特別注意到剛才列出的三個函數當中, 等號的上方都加註了一些說明, 主要是提醒各位這些 等號的成立是有條件的, 雖然等式左邊函數定義域很大, 例如函數 1
1−x 只有在 x = 1 的地方沒有定 義, 函數 ln(1 + x) 在 x > −1處有定義, 函數 tan−1x 處處都有定義, 但是等式右邊有意義的範圍 只有介在 x = −1與 x = 1 之間 (頂多再加上端點的收斂)。 這個現象告訴我們: 將函數用冪級數重 新表達是一種描述函數局部的性質 (local property)的方法。
此外, 從單元 9.4的 例 15 知道, 有時我們可以用微分方程理論將冪級數的和解出明確的函數表 達。 只是這個方法與我們現在要問的問題是反向的討論; 也就是說, 現在想要研究的問題是: 給定一個 函數, 有沒有辦法將函數在一點附近改寫成冪級數的樣子?
這裡我們假設函數 f (x) ∈ C∞(I);也就是說, 假設函數的任何階導函數 f(n)(x), n = 0, 1, 2, . . . 在區間 I 上存在且連續, 具有這樣性質的函數我們稱為 光滑函數 (smooth function)。 現在我們假 設這個光滑函數 f (x) 可以在 x = x0 的附近表示成冪級數的樣子, 其中 x0 ∈ I; 換言之, 假設存在 δ > 0使得對所有x ∈ (x0− δ, x0+ δ),
f (x) =
∞
X
n=0
cn(x − x0)n
等號成立, 其中 cn∈ R, n = 0, 1, 2, . . .。 首先我們可以確定每一項係數cn 的值。
引理 1. 給定一個光滑函數 f (x) ∈ C∞(I), 記 Ix0,δ = (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ I, 若在區間 Ix0,δ 上 f (x) = P∞
n=0
cn(x − x0)n, 則
cn= f(n)(x0) n! 。 證明:
(A) 將 f (x) = P∞
n=0
cn(x − x0)n 兩邊代入x = x0 之後得到f (x0) = c0, 即 c0= f (x0)。
(B) 對於 k ∈ N, 將f (x) = P∞
n=0
cn(x − x0)n 兩邊求導k次得到
f(k)(x) =
∞
X
n=k
n(n − 1) · · · (n − k + 1)cn(x − x0)n−k,
兩邊代入 x = x0 之後得到
f(k)(x0) = k(k − 1) · · · 1 · ck ⇒ ck = f(k)(x0) k! 。
上面的引理說明: 若想要將函數 f (x) 在 x = x0 為中心點, 以 δ 為半徑的開區間上表示成冪級 數的話, 那麼函數f (x)必須是以 P∞
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n 這樣的冪級數逐點收斂至 f (x)。 定義 2. 給定一個光滑函數f (x), 稱
Tx0(x)==定義
∞
X
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n
為函數 f (x)以 x = x0 為中心的泰勒級數 (Taylor series centered at x = x0)。 特別地, 函數 f (x)
以x = 0為中心的泰勒級數
M (x)==定義
∞
X
n=0
f(n)(0) n! xn 稱為函數f (x)的 馬克勞林級數 (Maclaurin series)。
這裡重新整理上述的討論: 如果函數f (x)在x = x0 的附近可以表示成以x0 為中心的冪級數的 話, 那麼這個冪級數一定是 f (x)以 x = x0 為中心的泰勒級數Tx0(x)。
特別注意到, 我們在得到泰勒級數 Tx0(x) 的討論過程中只用了 f (x) 在 x = x0 處的函數值 f (x0) 以及各階導數 f(n)(x0), n ∈ N 的資訊, 並沒有用到函數 f (x) 在其它地方的資訊; 也就是說, 泰勒級數Tx0(x)的特色是一般項係數完全由 x = x0 的資訊掌控, 而變數是由(x − x0)n 呈現。
例 3. 驗證: 函數 f (x) = 1
1−x 的馬克勞林級數是 M (x) = P∞
n=0
xn。
證明: 首先, f (0) = 1。 因為 f (x) = (1 − x)−1, 所以 f′(x) = −(1 − x)−2· (−1) = (1 − x)−2, 得 到 f′(0) = 1。 假設對於 k ∈ N, f(k)(x) = k!(1 − x)−(k+1), 則
f(k+1)(x) = −(k + 1)k!(1 − x)−(k+1)−1· (−1) = (k + 1)!(1 − x)−(k+2), 得到 f(k+1)(0) = (k + 1)!。 因此函數f (x) = 1
1−x 的馬克勞林級數為 M (x) =
∞
X
n=0
f(n)(0) n! xn=
∞
X
n=0
n!
n!xn=
∞
X
n=0
xn。
給定光滑函數 f (x)以及一點 x = x0, 則可寫出泰勒級數 Tx0(x) = P∞
n=0 f(n)(x0)
n! (x − x0)n, 這個 泰勒級數的定義域, 也就是冪級數的收斂區間必須重新檢視, 前面的討論並沒有提到有關泰勒級數的 收斂區間之任何訊息, 必須透過單元9.4的冪級數理論處理泰勒級數Tx0(x)的收斂區間。 當然,我們 希望這個泰勒級數的收斂範圍至少要包含一個區間(x0− δ, x0+ δ),否則這樣辛苦算出來的泰勒級數
Tx0(x)如果只在x = x0 收斂的話那就沒有任何價值。 以下舉出一個函數, 它的馬克勞林級數之定義
域只有 x = 0,這麼一來就說明上面描述這種很糟的情況的確會發生。
例 4. 考慮 f (x) = P∞
n=0
sin(2nx)
n! , 求函數 f (x)的馬克勞林級數 M (x)及其收斂區間。
解. 注意到 f (x) = P∞
n=0
sin(2nx)
n! 並不是一個冪級數, 它只是函數項級數, 我們必須先驗證有關 f (x) 的基本性質。
對任意 x ∈ R,因為對所有n ∈ N, n ≥ 2 都有 0 ≤
sin(2nx) n!
≤ 1
n! ≤ 1
n(n − 1), 而
∞
X
n=2
1
n(n − 1) = lim
n→∞
n
X
k=2
1 k − 1− 1
k
= lim
n→∞
1 − 1
n
= 1,
所以 P∞
n=1
sin(2nx) n!
= | sin(2x)| +
∞
P
n=2
sin(2nx) n!
收斂, 即 P∞
n=1
sin(2nx)
n! 絕對收斂。 因此 f (x) = P∞
n=1
sin(2nx)
n! 的定義域是R。
實際上, 由上面的分析以及魏爾斯特拉斯 M-判別法 (Weierstrass M -test) 得知: 級數 f (x) =
∞
P
n=0
sin(2nx)
n! 是均勻收斂的。 為了要能夠使用逐項求導定理 (Term-by-Term Differentiation Theo-rem)以求得函數f (x)的馬克勞林級數, 我們還要驗證級數先逐項求導後所成的級數之均勻收斂性。
都是均勻收斂的級數, 故由逐項求導定理 (Term-by-Term Differentiation Theorem) 得知: 對於 k = 0, 1, 2, . . .,
最後一個等式成立是因為對於 n ≥ 4, e22n+3−22n+1
(2n + 3)(2n + 2) ≥ e22n+1·3
(2n + 3n)2 ≥ (1 + 1)n
25n2 ≥ C3n
25n2 = (n − 1)(n − 2)
150n ≥ (12n)2 150n = n
600, 而 lim
n→∞
n
600 = ∞,所以 lim
n→∞
e22n+3−22n+1
(2n+3)(2n+2) · |x|2 = ∞。 因此 M (x)只在 x = 0處收斂。
再來要研究的是: 給定一個光滑函數 f (x)以及 x = x0, 由此定義了泰勒級數 Tx0(x), 假設泰勒 級數的定義域至少包含一個區間 I = (x0− δ, x0+ δ), 那麼f (x)和 Tx0(x)在區間 I 上兩者會相同 嗎? 為回答這個問題, 我們先看一個例子。
例 5. 考慮函數
f (x) =
( e−x21 若 x 6= 0 0 若 x = 0, 我們分以下幾點說明函數的特性:
(A) 函數 f (x)在 R上是連續函數。
(A1) 若 x 6= 0, f (x) 是兩個連續函數 g(x) = ex 與 h(x) = −x12 的合成函數, 即 f (x) = (g ◦ h)(x), 所以f (x)在 x 6= 0 處連續。
(A2) 若x = 0, 計算
x→0lime−x21 = lim
y→±∞e−y2 = lim
y→±∞
1
ey2 = 0 = f (0), 所以f (x) 在x = 0 處連續。
(A3) 綜合(A1)與 (A2)討論得知: 函數 f (x)在 R上是連續函數。
(B) 若 x 6= 0,對於 n ∈ N,則 f(n)(x) = Pn(y)e−y2, 其中 y = x1, 而Pn(y) 是以 y 為變數、次數 (degree)為3n 的多項式。
• 當n = 1, 計算 f′(x) = df
dx = df dy
dy
dx= e−y2(−2y) · (−y2) = 2y3e−y2 = P1(y)e−y2, 其中P1(y) = 2y3 是一個次數為 3的多項式。
• 假設在 n = k 時, 有f(k)(x)Pk(y)e−y2,其中 Pk(y) 的次數為3k。 當n = k + 1, 計算
f(k+1)(x) = dk+1f dxk+1 = d
dx dkf dxk = d
dy
dkf dxk
dy dx= d
dy
Pk(y)e−y2 (−y2)
= dPk(y)
dy e−y2+ Pk(y)e−y2(−2y)
(−y2)
=
−y2dPk(y)
dy + 2y3Pk(y)
e−y2。 令Pk+1(y) = −y2 dPk(y)
dy + 2y3Pk(y), 則 Pk+1(y) 的次數為3 + 3k = 3(k + 1)。
• 由數學歸納法(Mathematical Induction)得知: 對 x 6= 0,都有 f(n)(x) = Pn(y)e−y2, 其中 y = 1
x, 而Pn(y) 以一個以 y 變數且次數為3n 的多項式。
(C) 對所有 n ∈ N, f(n)(0) = 0。
• 若n = 1, 計算 f′(0) = lim
x→0
f (x) − f (0) x − 0 = lim
x→0
e−x21
x = lim
y→±∞
e−y2
1 y
= lim
y→±∞
y ey2
(∞∞,L′)
==== lim
y→±∞
1
2yey2 = 0。
• 假設 n = k, 都有 f(k)(0) = 0。 當n = k + 1, 計算
f(k+1)(0) = lim
x→0
f(k)(x) − f(k)(0)
x − 0 = lim
x→0
f(k)(x)
x = lim
y→±∞
Pk(y)e−y2
1 y
= lim
y→±∞
yPk(y) ey2 = 0.
注意到上面式子需要用到羅必達法則 (l’ Hôspital Rule)3n−1
2
次而得到極限值為0。
• 由數學歸納法(Mathematical Induction)得知: 對所有 n ∈ N, 都有f(n)(0) = 0。 (D) 因為 f (0) = 0以及對所有 n ∈ N 都有 f(n)(0) = 0, 所以函數 f (x) 對應到的馬克勞林級數
是
M (x) =
∞
X
n=0
f(n)(0)
n! xn= f (0) +f′(0)
1! x +f′′(0)
2! x2+ · · · + f(n)(0)
n! xn+ · · · ≡ 0;
也就是說, M (x)是一個處處為零的函數, 函數 M (x)的收斂區間是(−∞, ∞)。 但是在 x 6= 0 的地方, M (x) 6= f (x)。 所以函數 f (x) 無法在包含x = 0 的任一個區間 (−δ, δ) 用馬克勞林 級數 M (x)表達。
由上面的例子告知: 存在光滑函數 f (x), 即使你寫出了它的泰勒級數 Tx0(x) 或是馬克勞林級數
M (x)而且也確定這兩個級數的定義域不只是一個點, 但是函數與泰勒級數或馬克勞林級數之間除了
中心點取值一模一樣之外, 其它的地方都不同, 那麼我們花了這麼多時間計算出一個看似很漂亮的冪 級數卻完全沒有用, 無助於我們對於這個光滑函數有新的認識。
到目前為止, 這和我們心中設定的目標好像還很遙遠, 當初與等比級數有關的函數都可以立刻寫 出它的冪級數表達, 怎麼一般的函數想要寫成冪級數卻困難重重, 那到底什麼情況下函數在某個範圍 內才會與它的泰勒級數一致呢? 也就是說, 以下面等式什麼時候才會成立:
f (x)= T? x0(x)==定義
∞
X
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n= lim記
n→∞Tn,x0(x), 其中
Tn,x0(x) =
n
X
k=0
f(k)(x0)
k! (x − x0)k= f (x0) +f′(x0)
1! (x − x0) + · · · +f(n)(x0)
n! (x − x0)n。
定義 6. 給定光滑函數 f (x) ∈ C∞(I), 以及 x = x0 ∈ I, 且存在 δ > 0使得 (x0− δ, x0+ δ) ⊂ I, (A) 多項式 Tn,x0(x) 稱為 函數以 x = x0 為中心的n-次泰勒多項式 (n-th degree Taylor
poly-nomial of f (x) at x0)。
(B) 定義一個泰勒級數 Tx0(x) 的 餘項(remainder)為Rn,x0(x) = f (x) − Tn,x0(x)。 (C) 對於光滑函數 f (x)的馬克勞林級數 M (x)之餘項簡記為Rn(x)。
這裡先得到一個關於函數與其泰勒級數在一個區間內處處相等的充分必要條件。
定理 7. 一個光滑函數 f (x)在區間(x0− δ, x0+ δ) 內滿足 f (x) = Tx0(x) 的充分必要條件是對所 有 x ∈ (x0− δ, x0+ δ) 都有 lim
n→∞Rn,x0(x) = 0。 證明: (⇒)因為 f (x) = lim
n→∞Tn,x0(x), 而 Rn,x0(x) = f (x) − Tn,x0(x), 所以
n→∞lim Rn,x0(x) = lim
n→∞(f (x) − Tn,x0(x)) = f (x) − lim
n→∞Tn,x0(x) = f (x) − f (x) = 0。 (⇐) 因為 lim
n→∞Rn,x0(x) = 0以及 Tn,x0(x) = f (x) − Rn,x0(x), 所以 Tx0(x) = lim
n→∞Tn,x0(x) = lim
n→∞(f (x) − Rn,x0(x)) = f (x) − limn→∞Rn,x0(x) = f (x) − 0 = f (x)。
所以整個問題轉變成: 給定一個光滑函數 f (x) 與 x = x0, 定義了泰勒級數 Tx0(x) 以及餘項 Rn,x0(x), 要如何證明 lim
n→∞Rn,x0(x) = 0 呢? 以下定理提供一個將餘項重新改寫的方法:
定理 8. 假設 f (x) 在 x = x0 處具有直到 (n + 1)-階都是連續的導函數, 而 f (x) = Tn,x0(x) + Rn,x0(x),則
Rn,x0(x) = 1 n!
Z x x0
f(n+1)(t)(x − t)ndt。 證明: 因為
Rn,x0(x) = f (x) − Tn,x0(x) = f (x) −
n
X
k=0
f(k)(x0)
k! (x − x0)k, 對於 j = 1, 2, . . . , n, 將上面等式兩邊求導 j 次可得
R(j)n,x0(x) = f(j)(x) −
n
X
k=j
f(k)(x0)
(k − j)!(x − x0)k−j,
特別地,當j = n的時候為R(n)n,x0(x) = f(n)(x)−f(n)(x0);再求導一次得到R(n+1)n,x0 (x) = f(n+1)(x)。 將 x = x0 代入後得到
Rn,x0(x0) = R′n,x0(x0) = R′′n,x0(x0) = · · · = R(n)n,x0(x0) = 0,
由微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)以及分部積分 (Integration by Parts) 公 式得到
Rn,x0(x) = Rn,x0(x) − Rn,x0(x0) = Z x
x0
R′n,x0(t) dt = Z x
x0
R′n,x0(t) d(t − x)
=h
Rn,x′ 0(t)(t − x)ix x0−
Z x x0
(t − x) dR′n,x0(t) = Z x
x0
R′′n,x0(t)(x − t) dt
= −1 2!
Z x x0
R′′n,x0(t) d(t − x)2 = −1 2!
h
R′′n,x0(t)(t − x)2ix x0 −
Z x x0
(t − x)2dR′′n,x0(t)
= 1 2!
Z x x0
R′′′n,x0(t)(x − t)2dt = · · · = 1 n!
Z x x0
R(n+1)n,x0 (t)(x − t)ndt
= 1 n!
Z x x0
f(n+1)(t)(x − t)ndt。
為了後來的討論,我們還要把上述得到的餘項再進行兩種變形。 首先,利用積分第一均值定理(First Mean Value Theorem for Integrals),存在 ξ = x0+ θ(x − x0) ∈ [x0, x], 其中θ ∈ [0, 1] 使得
Rn,x0(x) = 1 n!
Z x x0
f(n+1)(t)(x − t)ndt = f(n+1)(ξ) n!
Z x x0
(x − t)ndt
= f(n+1)(x0+ θ(x − x0))
(n + 1)! (x − x0)n+1, 這樣將餘項重新表達的方法稱為 拉格朗日餘項 (Lagrange remainder)。
另一方面, 如果是把被積分函數看成是 f(n+1)(t)(x − t)n· 1, 然後利用積分第一均值定理 (First Mean Value Theorem for Integrals),存在 ξ = x0+ θ(x − x0) ∈ [x0, x], 其中θ ∈ [0, 1] 使得
Rn,x0(x) = f(n+1)(ξ)(x − ξ)n n!
Z x x0
1 dt = f(n+1)(ξ)(x − ξ)n
n! · (x − x0), 因為
f(n+1)(ξ)(x − ξ)n
ξ=x0+θ(x−x0)= f(n+1)(x0+ θ(x − x0)) (x − (x0+ θ(x − x0)))n
= f(n+1)(x0+ θ(x − x0)) ((1 − θ)(x − x0))n
= f(n+1)(x0+ θ(x − x0))(1 − θ)n(x − x0)n, 所以
Rn,x0(x) = f(n+1)(x0+ θ(x − x0))
n! (1 − θ)n(x − x0)n+1, 這樣的表達式稱為 柯西餘項 (Cauchy remainder)。
這裡或許多觀察一下拉格朗日餘項與柯西餘項的表達。 拉格朗日餘項在結構上是比較漂亮的, 不 論是函數求導的次數, 分母階乘的次數, 或是最後的冪次, 全部都是 n + 1 次; 至於柯西餘項, 函數求 導的次數是f(n+1), 而分母放的是 n!, 另外兩個量的冪次也不同, 一個是 n, 另一個是 n + 1。
以下要建立四個重要函數的馬克勞林級數: ex, sin x, cos x, (1 + x)m, m ∈ R, 並驗證兩者相同的 範圍。
例 9. 試證: 對所有 x ∈ R, ex = P∞ 的逐項求導定理 (Term-by-Term Differentiation Theorem for Power Series), 兩邊對 x 求導之後 即得 cos x = P∞
n=0 (−1)n
(2n)! x2n。
最後, 我們要探討的是函數 (1 + x)m, 其中m ∈ R。
例 12. 給定m ∈ R,試求函數f (x) = (1 + x)m 的馬克勞林級數。
解. 計算
• 因為 f (0) = 1m= 1, 所以c0 = f (0) = 1。
• 對於 n ∈ N, 因為 f(n)(x) = m(m − 1) · · · (m − n + 1)(1 + x)m−n, 得到 f(n)(0) = m(m − 1) · · · (m − n + 1), 於是cn= m(m−1)···(m−n+1)
n! 。
於是f (x) = (1 + x)m 的馬克勞林級數是 M (x) = 1 + m
1!x +m(m − 1)
2! x2+ · · · + m(m − 1) · · · (m − n + 1)
n! xn+ · · ·。
定義 13. 給定 m ∈ R, 而 n 為非負整數, 定義 組合數 (combination number) 或 二項式係數 (binomial coefficient)為
Cnm =
( m(m−1)···(m−n+1)
n! 若 n ∈ N
1 若 n = 0。
於是關於 (1 + x)m 的馬克勞林級數可以寫成 M (x) = P∞
n=0
Cnmxn, 稱為 二項式級數 (binomial series)。
這裡解釋 Cnm 的記號。 在中學的時候各位學到的組合數是針對 m為自然數的情況, 即 Cnm= m!
n!(m − n)! = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)
n! ,
關於中間的記號 n!(m−n)!m! , 因為階乘的記號專門用在非負整數的情況, 而這個式子經過化簡後得到右 式的寫法就不需要限定 m是非負整數了, 故以右式重新定義組合數以將此概念推廣至一般實數 m。
從 f (x) = (1 + x)m 得到了馬克勞林級數 M (x) =
∞
P
n=0
Cnmxn, 現在要觀察的是 M (x)的定義 域。 由比值判別法(Ratio Test)得知:
n→∞lim
Cn+1m xn+1 Cnmxn
= lim
n→∞
m(m − 1) · · · (m − n)
(n + 1)! · n!
m(m − 1) · · · (m − n + 1) · |x|
= lim
n→∞
m − n n + 1
· |x| = limn→∞
m n − 1 1 +n1
· |x| = |x|,
若 |x| < 1,則 M (x) = P∞
n=0
Cnmxn 絕對收斂;若 |x| > 1,則 M (x) = P∞
n=0
Cnmxn 發散。
以下將討論二項式級數在端點的收斂性。 端點的收斂性與m 有關, 分成以下幾種情況討論:
(A) 若 m ≤ −1,則
由交錯級數判別法 (Alternating Series Test)得知級數 P∞
n=0
Cnmxn 收斂。
(C) 若 m > 0, 則
n→∞lim n
an
an+1 − 1
= lim
n→∞n
Cnm Cn+1m
− 1
= lim
n→∞n
m(m−1)···(m−n+1) n!
m(m−1)···(m−n) (n+1)!
− 1
= lim
n→∞n
n + 1
|m − n|− 1
= lim
n→∞n n + 1 n − m − 1
= lim
n→∞
n(1 + m) n − m
= lim
n→∞
1 + m 1 − mn
= (1 + m) > 1,
故由拉比判別法 (Raabe’s Test) 得知: 級數 P∞
n=0
Cnmxn 收斂。
現將M (x) = P∞
n=0
Cnmxn 的收斂區間做一個結論: (A) 若 m ≤ −1,則收斂區間為 (−1, 1)。 (B) 若 −1 < m < 0,則收斂區間為 (−1, 1]。
(C) 若 m ≥ 0, m 6∈ N,則收斂區間為 [−1, 1];若 m ∈ N, 則 M (x)是一個多項式, 所以 M (x) 在 R 上有定義。
最後, 我們還要證明餘項極限為零。 考慮柯西餘項(Cauchy remainder) Rn(x) = f(n+1)(θx)
n! (1 − θ)nxn+1
= m(m − 1) · · · (m − n + 1)(m − n)(1 + θx)m−n−1
n! (1 − θ)nxn+1
= (n + 1)Cn+1m xn+1 1 − θ 1 + θx
n
(1 + θx)m−1, 其中 0 ≤ θ ≤ 1 (或是− 1 ≤ θ ≤ 0), 由於冪級數 P∞
n=0
(n + 1)Cn+1m xn+1 的收斂半徑為1, 所以當 x ∈ (−1, 1)時, 它的一般項趨近於零, 即 對所有x ∈ (−1, 1),
n→∞lim(n + 1)Cn+1m xn+1 = 0, 又因為0 ≤ θ ≤ 1,且 −1 < x < 1, 所以
0 ≤ 1 − θ 1 + θx
≤ 1 且 0 < (1 + θx)m−1≤ max((1 + |x|)m−1, (1 − |x|)m−1), 由此得到: 若 x ∈ (−1, 1),則
n→∞lim Rn(x) = 0, 於是
(1 + x)m=
∞
X
n=0
Cnmxn, x ∈ (−1, 1)。
最後, 再利用阿貝爾第二定理 (Second Abel’s Theorem) 得知, 對於 m ∈ R, 若二項式級數在端點 x = 1 或是 x = −1收斂的話, 那麼 P∞
n=0
Cnm = 2m 或 P∞
n=0
Cnm(−1)n= 0 成立。
定義 14. 設f : I → R,其中 I 為開區間, 以及 x0 ∈ I, (A) 若存在 δ > 0以及一個冪級數 P∞
n=0
cn(x − x0)n 使得對所有x ∈ (x0− δ, x0+ δ) ⊂ I 都有
f (x) =
∞
X
n=0
cn(x − x0)n,
則稱函數 f (x) 在x = x0 處 解析(analytic at x = x0)。
(B) 若函數 f (x) 在區間 I 上的每個點都解析, 則稱 f (x) 在 I 上是一個 解析函數 (analytic function on I)。
由上面的討論, 我們可以總結以下結果:
(1) 多項式 (polynomials) p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 在R 上是解析函數。
(2) 有理函數 (rational functions) r(x) = p(x)q(x), 其中 p(x), q(x) 為多項式, 在其定義域上是解析 函數。
(3) 指數函數(exponential functions) f (x) = ax, a > 0, a 6= 1在 R上是解析函數。
(4) 對數函數(logarithmic functions) f (x) = logax, a > 0, a 6= 1 在(0, ∞) 上是解析函數。
(5) 正弦函數f (x) = sin x 與餘弦函數f (x) = cos x在R 上是解析函數。
(6) 冪函數 (power functions) f (x) = xα, α ∈ R在其定義域上是解析函數。
這裡補充說明冪函數的解析性質。 給定x0 是 f (x) = xα 的定義域中的一點, 因為 xα= (x0+ (x − x0))α = (x0)α
1 + x − x0
x0
α
,
由前面對於 (1 + x)m, m ∈ R在 |x| < 1上是解析函數知道: f (x) = xα 在 |x − x0| < |x0| 上是解析函數。
以下列出解析函數具有的運算性質:
(A) 假設 f (x), g(x) 在 x = x0 處解析, 而 c ∈ R,則 f (x) + g(x), f (x) − g(x), cf (x), f (x)g(x) 也在 x = x0 處解析; 若 g(x0) 6= 0,則 f(x)
g(x) 也在 x = x0 處解析。
(B) 假設 f (x), g(x) 在 x = x0 處解析, 而且函數 fg(x)(x) 在 x = x0 的極限存在, 則 f(x)
g(x) 的定義域 可以擴大至包含 x = x0 這個點, 而且函數 fg(x)(x) 在x = x0 處解析。
(C) 假設 f (x) 在 x = x0 處解析, 而函數 g(y) 在 y = f (x0) 處解析, 則 g ◦ f (x) = g(f (x))在 x = x0 處解析。
關於解析函數與冪級數的操作還有很多故事, 但這裡就先暫時打住, 各位可以回想當初微積分的時候
關於解析函數與冪級數的操作還有很多故事, 但這裡就先暫時打住, 各位可以回想當初微積分的時候