函數項級數
這一章想要研究的對象是由函數所形成的數列與級數, 除了要先判斷函數數列以及函數項級數的收斂 或發散, 後續要研究的是當函數數列具有連續、可積分、可微分等性質時, 這些性質是否會隨著極限的 運算下能夠移植收斂的函數或是收斂的級數, 而這類的問題會與均勻收斂這個概念息息相關。 此外, 我們要將均勻收斂的理論應用到冪級數, 由於冪級數在一般的四則運算還有微分與積分操 作上的便利以及大家對於多項式的理解多於其它類型的初等函數, 從冪級數理論延伸出的泰勒級數理 論將顯得更為重要, 在這一章的後半部會針對冪級數與泰勒級數理論做深入探討。9.1
均勻收斂
回想第二章我們介紹過無窮數列理論, 針對{an}∞ n=1 這串永無止盡排列的數字研究其行為, 然後到了 第八章則進一步地探討無窮級數 P∞ n=1 an理論。 現在我們想把這些數字 an 抽換成函數 fn(x), 這麼一 來就形成函數數列 {fn(x)}∞ n=1, 其中對每個自然數 n, fn: In→ R 是一個定義域為某個區間 In 對 應到實數R的函數。 給定一組依序排列的函數, 我們感興趣的是它們享有同樣定義域的地方; 也就是 說, 我們假設 ∩∞ n=1In = I 仍然是一個區間。 所以之後為了簡便起見, 我們就直接假設函數數列是長 成{fn: I → R}∞ n=1 的樣貌。 對於函數數列{fn : I → R}∞ n=1, 給定 x0 ∈ I,則 {fn(x0)}∞n=1 是一個無窮數列, 於是我們可以 問這個數列的收斂性, 若每一點都研究函數值的收斂性, 則有以下逐點收斂的定義: 定義 1. 給定函數數列 {fn : I → R}∞n=1, 若對所有 x ∈ I, 極限 lim n→∞fn(x) 存在, 將極限值記為 lim n→∞fn(x) 記 = f (x),此時稱函數數列 {fn(x)}∞n=1 在區間I 上 逐點收斂(pointwise convergent)到 函數f (x)。 若將逐點收斂這個概念用 ε-N 語言 (ε-N language)描述, 則為: 對所有 x ∈ I, 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε, x) ∈ N 使得對所有 n ≥ N 都滿足 |fn(x) − f (x)| < ε。 數學上感興趣的問題是: 對於 n ∈ N, 若函數 fn(x) 具有一些好的性質, 比方說連續、可微分、可 積分等性質, 那麼這些函數在逐點收斂的意義下得到的極限函數 f (x)是否也能繼承這些性質呢? 為 回答這個問題, 我們先研究以下幾個例子: 1例 2. 在區間 I = [0, 1]上考慮 {fn(x)}∞n=1= {xn}∞n=1, 計算 f (x)== lim定義 n→∞fn(x) = ( 0 若 0 ≤ x < 1 1 若 x = 1, 於是我們說函數數列 {fn(x)}∞n=1 在 I = [0, 1] 上逐點收斂至 f (x)。 注意到對所有 n ∈ N, 函數 fn(x) 在 [0, 1] 區間上是連續甚至是可微分的函數 (在端點處只看單側連續與單側導數), 但是 f (x) 在 x = 1 處並非左連續, 左導數f−′ (1)也不存在。 例 3. 在區間 I = (0, 1) 上考慮 {fn(x)}∞n=2, 其中 fn(x) = ( 1 若x = pq, 其中 (p, q) = 1且 q ≤ n 0 若x 是無理數, 或是x = pq, 其中 (p, q) = 1且 q > n, 計算 f (x)== lim定義 n→∞fn(x) = ( 1 若x 是有理數 0 若x 是無理數, 於是函數數列 {fn(x)}∞ n=1 在 I = (0, 1) 上逐點收斂至 f (x)。 注意到對所有 n ∈ N, 函數 fn(x)在 (0, 1) 區間上不連續點的個數只有有限個, 所以 fn(x) 在 (0, 1) 上是可積分的, 但是 f (x) 是狄立克 萊函數(Dirichlet function), 它在 (0, 1)上是不可積分的。 例 4. 在區間 I = [0, 1]上考慮 {fn(x)}∞ n=2, 其中 fn(x) = n2x 若 0 ≤ x ≤ 1 n −n2 x −n1 + n 若 1n < x ≤ 2n 0 若 2n < x ≤ 1, 若觀察函數fn(x)的圖形,它是在[0,n2]區間上長出一個高為n單位的等腰三角形之兩邊, 而在[n2, 1] 區間上函數取值為零, 所以積分值可以直接以計算三角形面積的方法得到: lim n→∞ Z 1 0 fn(x) dx = lim n→∞ 1 2· 2 n· n = limn→∞1 = 1。 另一方面, 我們想計算 lim n→∞fn(x), 現分以下情況討論: • 若 x = 0, 則 lim n→∞fn(0) = limn→∞0 = 0。 • 若 x ∈ (0, 1], 由阿基米德原理 (Archimedes Principle)得知: 存在 N ∈ N 使得 1 N < x 2, 所 以對所有 n ≥ N 都有 1 n < x 2, 即 n2 < x; 也就是說, 對於 x ∈ (0, 1], 存在 N ∈ N 使得對所 有 n ≥ N 都有fn(x) = 0, 於是 lim n→∞fn(x) = 0。 • 由上討論得到在 [0, 1] 區間上 lim n→∞fn(x) = 0。 而這個例子告知: lim n→∞ Z 1 0 fn(x) dx 6= Z 1 0 lim n→∞fn(x) dx; 也就是說: 極限與積分兩者互換之後的結果並不相等。
例 5. 在區間 I = [0, 1] 上考慮 {fn(x)}∞n=1 = {1nxn}∞n=1, 計算 f (x)== lim定義 n→∞fn(x) = 0, 於是函數數列 {fn(x)}∞ n=1 在 I = [0, 1] 上逐點收斂至 f (x)。 因為對所有 n ∈ N, 函數 fn(x) 在 [0, 1] 區間上都是可微分函數, 而且 f′ n(x) = xn−1, 所以 lim n→∞f ′ n(x) = ( 0 若0 ≤ x < 1 1 若x = 1; 另一方面, 我們知道f′(x) = 0, 所以 lim n→∞f ′ n(x) 6= f′(x)。 現將前面討論的結果整理如下: (A) 在逐點收斂的意義下, 函數的連續性與可微分性不見得被保持。 (B1) 在逐點收斂的意義下, 可積分的性質不見得被保持。 (B2) 在逐點收斂的意義下, 積分與極限的運算先後順序互換下兩者算出來的值可能不同。 (C) 在逐點收斂的意義下, 求導與極限的運算先後順序互換下兩者算出來的值可能不同。 上述的例子告訴我們: 逐點收斂的意義只是在描述每個點函數值各自的行為, 基本上這樣的收斂 性無法描述一些局部(local)或是整體(global)的現象。 回想連續、可微分與可積分的定義, 其實它們 都是在觀察或比較不同位置下函數值的差異, 所以一個函數數列光是具有逐點收斂的話取極限後的函 數不太可能會繼續保有這些性質。 若從代數的角度看這個問題, 則是在說: 定義在區間 I 上某些類型 的函數空間(像是連續函數所成的集合、可微分函數所成的集合或是可積分函數所成的集合等)在逐點 收斂的意義下不具有封閉性。 這一節的目標是想要找到一個機制以及找到可以確定這個機制成立的判別法則使得函數數列本身 具有的性質經過極限之後仍然可以保持。 以下討論的區間 I 除了某些定理會明確指出區間的屬性之 外, 其它的情況並不設限它是開區間或是閉區間或是開閉區間, 甚至有界或是無限的區間皆可。 定義 6. 考慮函數數列{fn: I → R}∞n=1, 若有一個函數f : I → R 滿足 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) ∈ N使得對所有x ∈ I 以及 n ≥ N 都有 |fn(x) − f (x)| < ε, 則稱函數數列{fn(x)}∞n=1 在區間 I 上 均勻收斂 (uniformly convergent)至f (x)。 首先注意到: 如果函數數列{fn(x)}∞ n=1 在區間 I 上均勻收斂到f (x), 那麼{fn(x)}∞n=1 在區間 I 上一定是逐點收斂到f (x)。 也就是說, 給定x0∈ I, 則{fn(x0)}∞n=1 形成一個在實數R上的數列, 而均勻收斂的條件告知極限 lim n→∞fn(x0) 存在, 由極限的唯一性告知, 這個極限值與就是逐點收斂的 那個函數值f (x0), 所以逐點收斂是均勻收斂的必要條件; 反過來說, 均勻收斂是一種比逐點收斂要求 更多的一個條件。
那到底均勻收斂與逐點收斂的差異在哪裡呢? 這裡我們把兩個定義同時列出來比較: (A) 逐點收斂: 對所有 x ∈ I, 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε, x) ∈ N使得對所有 n ≥ N 都滿足 |fn(x) − f (x)| < ε。 (B) 均勻收斂: 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) ∈ N 使得對所有 x ∈ I 以及 n ≥ N 都有 |fn(x) − f (x)| < ε。 兩相對照之下便很快地發現: 逐點收斂是在研究每一個點各自的行為, 當我們把想要研究的點 x 先 抓出來, 逐點收斂就是單純地問函數值 fn(x) 隨著 n 變化之下與 f (x) 的差距, 所以滿足 |fn(x) − f (x)| < ε這個不等式的機制 N 不僅和 ε有關,也和位置x 有關, 於是逐點收斂的定義當中, 特別用 N = N (ε, x) 強調這個自然數的存在是依賴於 ε與x。而均勻收斂要呈現的是: 給了ε > 0之後,目 標也是在研究 fn(x) 與 f (x) 的差距, 但此時希望能夠找到一體適用的 N, 所謂一體適用, 指的是這 個 N 一旦選定之後, 它適用於所有的 x ∈ I 與所有的n ≥ N 都滿足 |fn(x) − f (x)| < ε。 想必各位曾在體育課或競賽中比過百米賽跑, 比賽前大家在起跑線的地方就定位, 當哨音響起所 有人奮力向前衝到目的地。 我小時候是個體育白痴, 體育老師介紹了很多跑步的要領, 但是我那時候 要嘛聽不懂又或者學不會, 所以不管怎麼跑都跑不快, 印象中那次的比賽我是六個人當中最後一個跑 到終點。 這場百米賽跑, 每個人都依自己的能力向前跑, 這就像逐點收斂的情況一樣, 所有人都會到終 點,只是體育細胞很好的人一下就衝到終點; 但是我跑不快, 需要花比較多的時間才能抵達終點。 那什麼樣的情況可類比於均勻收斂的百米賽跑呢? 這個百米賽跑是一個 「六人七腳」 的比賽, 當 六個人排成一列時, 相鄰兩人的左、右腳必須綁起來之後再開始跑, 這時你就會發現到: 這樣的百米賽 跑就不能自顧自地跑, 這六個人彼此受到牽制,若你自己一人跑太快整隊就會跌倒, 反之你若跑得太慢 也無法順利前行。 而這六個人必須擬定作戰計畫, 可能需要推派一人當領隊, 然後在比賽的時候喊出 指令約定每個人的出腳順序; 除此以外, 還要顧慮到每個人的步伐大小, 每次跨步的差異也不能太大, 在這樣的情況下才有可能全隊順利到達目的地。 而在六人七腳的百米賽跑下, 所有人到達終點會有一 致性。 現在回到數學層面, 我們以實例討論何謂均勻收斂。 例 7. 試論函數數列 {fn(x)}∞n=1, 其中 fn(x) = 1+nx2x2 在I = R 上是否均勻收斂。 解. 首先觀察f (x)== lim定義 n→∞fn(x)的結果: • 若 x = 0, 則fn(0) = 0, 所以 lim n→∞fn(0) = limn→∞0 = 0。 • 若 x 6= 0,因為 0 ≤ x 1 + n2x2 = |x| 1 + n2x2 ≤ |x| n2|x|2 = 1 n2|x| 而 lim n→∞ 1
n2|x| = 0, 由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知 lim
n→∞ x 1+n2x2 = 0。 • 由上述討論得知 lim n→∞fn(x) ≡ 0;也就是說, {fn(x)} ∞ n=1 在 R上逐點收斂到 f (x) = 0。
以下要探討這個函數數列是否均勻收斂。 在 x = 0的地方, 因為 fn(0) = f (0) = 0, 所以這一點 不論n ∈ N必然滿足|fn(0) − f (0)| < ε這個不等式。 至於x 6= 0處,利用算幾不等式
(Arithmetic-Geometric Mean Inequality) 可得以下估計: |fn(x) − f (x)| = x 1 + n2x2 − 0 = x 1 + n2x2 = |x| 1 + n2x2 ≤ |x| 2√1 · n2x2 = |x| 2n|x| = 1 2n < 1 n, 所以對任意ε > 0,取N = [[1ε]] + 1,則對所有x ∈ R−{0}以及所有n ≥ N,都有|fn(x) − f (x)| < 1 n < ε, 因此 {fn(x)}∞n=1 在R 上均勻收斂至 f (x) = 0。 至於什麼樣的函數數列 {fn(x)}∞ n=1 逐點收斂到 f (x) 但不是均勻收斂到 f (x)呢? 這裡我們將 它對應到的數學語句寫出來: 「對任意ε > 0, 存在 N ∈ N使得對所有 x ∈ I 以及n ≥ N 都有 |fn(x) − f (x)| < ε。」 不成立 ⇔「存在ε0 > 0, 對任意 N ∈ N,存在 x0 ∈ I 以及 n0 ≥ N 使得 |fn0(x0) − f (x0)| ≥ ε0。」 成立。 例 8. 試論函數數列 {fn(x)}∞ n=1, 其中 fn(x) = 1+n2nx2x2 在 I = [0, 1]上是否均勻收斂。 解. 首先算出逐點收斂的函數: f (x)== lim定義 n→∞fn(x) = limn→∞ 2nx 1 + n2x2 = limn→∞ 2x n 1 n2 + x2 = lim n→∞ 2x n lim n→∞ 1 n2 + lim n→∞x 2 = 0 0 + x2 = 0。 以下討論均勻收斂的可能性。 對任何n ∈ N, 計算 d dx(fn(x) − f (x)) = f ′ n(x) = (1 + n2x2)2n − 2nx · 2n2x (1 + n2x2)2 = 2n(1 − n2x2) (1 + n2x2)2 , 解(fn(x) − f (x))′ = 0 得到 x = n1 ∈ [0, 1], 所以 fn(x) − f (x) 在區間 I = [0, 1]上有一個臨界點 x = 1n。 因為 fn(0) − f (0) = 0, fn(n1) − f (n1) = 1, fn(1) − f (1) = 1+n2n2 = 1 − (n−1)2 1+n2 < 1, 所以 fn(x) − f (x)在 x = 1n 處有最大值1。 取ε0= 12 > 0, 對任何 N ∈ N,取 x0 = N1 與n0 = N, 那麼 |fn0(x0) − f (x0)| = 1 ≥ 1 2,所以 函數數列{fn(x) = 1+n2nx2x2}∞n=1 在I = [0, 1] 上並非均勻收斂到 f (x)。 給定一個函數數列, 要如何判定它是否均勻收斂呢? 以下給出第一個充分必要條件。 定理 9. 假設函數數列{fn: I → R}∞n=1 在區間 I 上逐點收斂至 f (x),記 kfn− f k∞ 定義 == sup x∈I|fn(x) − f (x)|, 則函數數列{fn(x)}∞ n=1 在區間 I 上均勻收斂至 f (x) 的充分必要條件是 lim
證明: (⇒) 因為函數數列 {fn(x)}∞
n=1 在區間 I 上均勻收斂至 f (x), 則對任意 ε > 0, 存在 N =
N (ε)使得對所有x ∈ I以及n ≥ N 都有|fn(x)−f (x)| < 2ε,所以對所有n ≥ N都有kfn−f k∞≤ ε
2 < ε, 因此n→∞lim kfn− f k∞= limn→∞sup x∈I|f n(x) − f (x)| = 0。 (⇐) 由 lim n→∞kfn− f k∞ = 0 的定義知: 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) 使得對所有 n ≥ N 都有 kfn− f k∞= sup x∈I|fn(x) − f (x)| < ε, 由上確界的定義知道對所有x ∈ I 都有|fn(x) − f (x)| < ε, 所以 {fn(x)}∞ n=1 在 I 上均勻收斂至 f (x)。 當我們仔細觀察 lim n→∞kfn− f k∞= 0 這個條件, 在尚未取極限之前, kfn− f k∞ 想要說明的是: 在固定了n之下 fn(x)和 f (x)之間差距的上確界(若fn(x) 與f (x)都是連續的話, 則上確界可理 解成最大值);也就是說,它是在尋找哪一個地方離終點線最遠,而最遠的距離又是多少, 只要對它有所 約束,那麼整體就有一個控制。 若用百米賽跑的比喻去想它, 則是在觀察那位跑得最慢的人, 當你研究 跑得最慢的人靠近終點的程度, 因為其他人離終點更近, 所以這就是一個對於所有跑百米賽跑的人抵 達終點的現象有一個整體的描述。 而這個檢驗法的特色在於它把均勻收斂當中對所有 x ∈ I 以及對所有n ≥ N 這種雙重約束條件 轉換成先對x ∈ I 討論, 再看 n → ∞的結果。 但它的缺點在於: 這個判別法與均勻收斂的定義一樣, 你必須先知道逐點收斂的函數f (x)是什麼,才有辦法對此檢驗。 有的時候(到下一節討論函數項級數 時)可能無法將收斂函數的明確表達式寫出, 那麼這個等價敘述在實作層面就難以派上用場。 例 10. 試論函數數列 {fn(x)}∞n=1, 其中 fn(x) = nx+11 在 I = (0, 1) 上是否均勻收斂。 解. 首先計算對所有x ∈ (0, 1), f (x)== lim定義 n→∞fn(x) = limn→∞ 1 nx + 1 = 0。 得知函數數列 {fn(x)}∞ n=1 在I = (0, 1) 上逐點收斂至f (x) ≡ 0。 再討論固定 n ∈ N, kfn− f k∞= sup x∈(0,1) 1 nx + 1 = sup x∈(0,1) 1 nx + 1 = 1, 最後一個等式成立是因為 • 對所有 x ∈ (0, 1), 1 nx+1 < 1, 所以 1是一個上界。 • 對任意 M ∈ R, M < 1,記 M = 1q 其中 q ∈ R, q > 1,取 x = q−12n , 則 1 nx + 1 = 1 n ·q−12n + 1 = q−11 2 + 1 = q+11 2 = 2 q + 1 > 2 q + q = 1 q = M, 所以 M 不再是上界。 因為 lim n→∞kfn− f k∞= 1 6= 0, 所以{fn(x)} ∞ n=1 在 (0, 1) 上不均勻收斂。
這裡我們比較一下 例 8與 例 10, 實際上兩者的討論過程都是用到 定理9 的概念。 而這裡應指 出的是: 例 8 是在有界閉區間 I = [0, 1] 上討論函數數列 {fn(x)}∞n=1 的均勻收斂性, 而且對所有
n ∈ N, fn(x)以及f (x)都是連續函數, 所以kfn−f k∞= sup
x∈I|fn(x)−f (x)| = maxx∈I |fn(x)−f (x)| 上確界的討論可改成尋找最大值。 但是 例10是在開區間I = (0, 1) 上討論函數數列{fn(x)}∞ n=1 的 均勻收斂性, 而kfn− f k∞ = sup x∈I|fn(x) − f (x)| = 1 存在, 但是它不會是函數 fn(x) − f (x)在某 一點的最大值, 所以我們必須用上確界的定義進行論述。 經前面的討論, 我們知道 定理 9 的充分必要條件可能有執行上的難點; 也就是說, 這個判別法必 須先知道收斂的函數才能繼續判斷, 以下給出另一個函數數列均勻收斂的等價條件, 它可以將這個困 難轉化。
定理 11 (均勻柯西收斂準則, Uniform Cauchy Convergence Criterion). 定義在在區間 I 上的函 數數列 {fn: I → R}∞ n=1 均勻收斂之等價敘述為: 對任意 ε > 0 存在 N = N (ε) ∈ N使得對所有 x ∈ I 以及對所有 m > n ≥ N 都有 |fm(x) − fn(x)| < ε。 證明: (⇒) 假設 {fn(x)}∞ n=1 均勻收斂至 f (x), 則對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) 使得對所有 m > n ≥ N,都有 |fm(x) − f (x)| < ε 2 以及 |fn(x) − f (x)| < ε 2, 於是 |fm(x) − fn(x)| ≤ |fm(x) − f (x)| + |f (x) − fn(x)| < ε 2+ ε 2 = ε。 (⇐) 已知對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) 使得對所有 x ∈ I 以及所有 m > n ≥ N 都有 |fm(x) − fn(x)| < ε2,則對所有x ∈ I, {fn(x)}∞n=1是一個柯西數列,所以由實數的完備性得知: limn→∞fn(x) = f (x) 存在。至此說明了函數數列 {fn(x)}∞ n=1 逐點收斂至函數 f (x)。 現在要證明 {fn(x)}∞ n=1 均勻收斂到 f (x)。 給定 ε > 0, 從上段的討論已經確定了 N = N (ε), 現考慮 n ≥ N,對於 x ∈ I,找N1∈ N且 N1> N 使得當m > N1 時, |fm(x) − f (x)| < ε2。 所以 |fn(x) − f (x)| = |fn(x) − fm(x) + fm(x) − f (x)| ≤ |fn(x) − fm(x)| + |fm(x) − f (x)| < ε 2 + ε 2 = ε, 注意到上述討論的 N1 = N1(ε, x) 和 x 有關, 但是原先選定好的 N = N (ε) 這個量是與 x 無關的, 所以函數數列{fn(x)}∞ n=1 在區間 I 上均勻收斂。 這個等價敘述和以往柯西收斂準則的原理一樣, 我們不需要知道極限函數 f (x)是什麼,直接從函 數數列{fn(x)}∞ n=1 之間的關係就可以確定函數數列是否均勻收斂, 但是要驗證|fm(x) − fn(x)| < ε 這個不等式的時候, 多了一個m的任意性需要控制, 所以必須更加仔細思量如何估計才能讓不等式成 立。
例 12. 試論函數數列 {fn(x)}∞n=1, 其中 fn(x) = n+x 2 nx 在 I = (0, 1)上是否均勻收斂。 解. 對任意 ε > 0, 取 N = [[1ε]] + 1, 則對所有m > n ≥ N, 都有 |fm(x) − fn(x)| = m + x2 mx − n + x2 nx = 1 x + x m − 1 x + x n = x m− x n = 1 n− 1 m x < 1 n− 1 m < 1 n < ε, 因此函數數列 {fn(x)}∞ n=1 在I = (0, 1) 上均勻收斂。 為了要達到均勻柯西收斂準則的條件,在進行估計|fm(x)−fn(x)|的時候,必須想辦法用一個和x 無關的量估計,而且m也要換成只和n相關的量控制, 像上面的例子得到的是|fm(x) − fn(x)| < 1n, 如此一來才有辦法證明均勻收斂。
9.2
均勻收斂的性質
這一節的主要目的是要逐一回答函數數列的一些性質 (例如連續性、可積性、可微性等) 如何經由均勻 收斂的特性之下將這些性質過渡到取極限之後的函數。 定理 1. 若函數數列 {fn : I → R}∞ n=1 對所有 n ∈ N, fn(x) 在 x = x0 ∈ I 處連續, 而且 {fn(x)}∞n=1 在 I 上均勻收斂至 f (x),則 f (x) 在 x = x0 連續。 證明: 對任意 ε > 0, 因為 fn(x) 在區間 I 上均勻收斂至 f (x), 所以存在 N = N (ε) ∈ N 使得對 所有 x ∈ I 以及所有 n ≥ N 都有 |fn(x) − f (x)| < 3ε。 因為 fN(x) 在 x = x0 處連續, 所以存在 δ > 0使得對所有x ∈ I, |x − x0| < δ都有|fN(x) − fN(x0)| < ε3, 於是對所有x ∈ I, |x − x0| < δ 都有 |f (x) − f (x0)| ≤ |f (x) − fN(x)| + |fN(x) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)| < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, 因此 f (x)在 x = x0 處連續。 關於 定理 1, 這裡再對它進行另一個面向的解釋。 我們知道: 函數 f (x) 在 x = x0 處連續表示 lim x→x0 f (x) = f (x0), 所以我們把定理的結論寫下數學式, 則為 lim x→x0 lim n→∞fn(x) = limn→∞x→xlim0 fn(x), 於是這個定理是在描述兩個極限交換的可行性。 兩個與極限或無窮有關的操作之交換性其實是數學分 析研究的主要課題, 又或者說, 數學分析主要是在探討將 「極限」 這個概念放進數學主體的時候, 所有 數學的結構必須重新建立, 這當中的一個環節就像現在欲研究的問題: 在什麼情況下兩個極限的操作 順序互換下等式成立。定理 2. 若函數數列 {fn : I = [a, b] → R}∞n=1 對所有 n ∈ N, fn(x) 在 I = [a, b] 上是可積分的, 而且 {fn(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上均勻收斂至 f (x), 則 f (x) 在 I = [a, b] 上也是可積分的, 並且對 所有 x ∈ I = [a, b] 都有 lim n→∞ Z x a fn(t) dt = Z x a lim n→∞fn(t) dt = Z x a f (t) dt。 證明: 對任意 ε > 0, 因為 fn(x)在區間 I 上均勻收斂至 f (x), 所以存在N = N (ε) ∈ N使得對所 有x ∈ I 與所有 n ≥ N 都有 |fn(x) − f (x)| < 3(b−a)ε , 由此得到 fn(x) − ε 3(b − a) < f (x) < fn(x) + ε 3(b − a), 因為 fN(x) 在 I = [a, b] 上是可積分的, 由黎曼可積的第三充分必要條件得知: 存在分割 P : a = x0 < x1 < · · · < xm = b使得 m P i=1 ωfN i ∆xi< ε3,其中 ωfN i = sup [xi−1,xi] fN(x) − inf [xi−1,xi] fN(x) 以及 ∆xi= xi− xi−1, 由於 sup [xi−1,xi] fN(x) − ε 3(b − a) ≤ sup[xi−1,xi] f (x) ≤ sup [xi−1,xi] fN(x) + ε 3(b − a) inf [xi−1,xi] fN(x) − ε 3(b − a) ≤ inf[xi−1,xi] f (x) ≤ inf [xi−1,xi] fN(x) + ε 3(b − a), 所以對所有i = 1, 2, . . . , m都有 ωif ≤ ωfN i + 2 · ε 3(b−a),因此 m X i=1 ωfi∆xi < m X i=1 ωfN i + 2 · ε 3(b − a) ∆xi = m X i=1 ωfN i ∆xi+ m X i=1 2 · ε 3(b − a)∆xi < 1 3ε + 2 3ε = ε, 故f (x)在 I = [a, b]上是可積分的。 此外, 對所有 x ∈ [a, b],我們計算 Z x a fn(t) dt − Z x a f (t) dt = Z x a (fn(t) − f (t)) dt ≤ Z x a |f n(t) − f (t)| dt ≤ ε(x − a) 3(b − a) < ε, 所以 lim n→∞ Z x a fn(t) dt = Z x a f (t) dt = Z x a lim n→∞fn(t) dt。 這個定理是在說明: 當函數數列具有均勻收斂的性質時, 可積分的性質可經由極限過渡至極限函 數, 而且定積分的值也可以透過均勻收斂的特性下過渡至取極限後的函數之定積分。 此外, 由代數操 作的觀點來看, 定理最後的結論是告知: 在均勻收斂的情況下, 極限與積分的操作先後順序可以交換。
最後, 我們要回答函數數列的均勻收斂性質和求導之間的關係。 定理 3. 若函數數列 {fn : I = [a, b] → R}∞ n=1 對所有 n ∈ N 導函數皆連續, 而 {fn(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上逐點收斂到f (x), {f′ n(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上均勻收斂到 g(x), 則 g(x) = lim n→∞ d dxfn(x) = d dx lim n→∞fn(x) = f′(x), 而且 {fn(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上均勻收斂到 f (x)。 證明: 因為 {f′ n(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上均勻收斂至 g(x), 而且對所有 n ∈ N, fn′(x) 在 I = [a, b] 上連續, 由 定理1 得知g(x) 連續, 又由 定理 2 知道 G(x) = Z x a g(t) dt = Z x a lim n→∞f ′ n(t) dt = lim n→∞ Z x a fn′(t) dt = lim n→∞(fn(x) − fn(a)) = f (x) − f (a),
因為g(x)在[a, b]上連續, 所以由微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)得知G(x)
在 I = [a, b] 上是可微分的, 而且G′(x) = g(x) = f′(x)。
以下要證明 {fn(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上均勻收斂到 f (x)。 給定任意 ε > 0, 因為 {fn(a)}∞n=1 收斂到 f (a), 所以存在 N1 ∈ N 使得對所有 n ≥ N1 都有 |fn(a) − f (a)| < ε2, 又 {fn′(x)}∞n=1 在 I = [a, b] 上均勻收斂到 f′(x), 所以存在 N2 ∈ N 使得對所有 x ∈ I 以及 n ≥ N2 都有 |fn′(x) − f′(x)| < 2(b−a)ε 。 現取 N = max(N1, N2), 則對所有 x ∈ I 以及 n ≥ N, 因為 fn(x) = fn(a) + Rx a f ′ n(t) dt,所以 |fn(x) − f (x)| = fn(a) + Z x a fn′(t) dt − f (a) + Z x a f′(t) dt = (fn(a) − f (a)) + Z x a (fn′(t) − f′(t)) dt ≤ |fn(a) − f (a)| + Z x a |f ′ n(t) − f′(t)| dt < ε 2 + ε(x − a) 2(b − a) ≤ ε 2+ ε 2 = ε。 因此 {fn(x)}∞ n=1 在 I = [a, b]上均勻收斂到 f (x)。 這個定理欲說明在函數數列具有均勻收斂的性質下, 極限與求導兩個操作順序可以交換。 證明完這三個定理之後, 各位可以發現均勻收斂的重要性, 函數數列必須要有均勻收斂的性質時, 原本函數數列所具有的連續性、可積分性或是可微分性才能經由取極限之下過渡到極限函數。
9.3
函數項級數
前兩節介紹的是函數數列 {fn : I → R}∞ n=1 與均勻收斂之間的關係, 現在要考慮更複雜的情況, 也 就是探討 函數項級數 P∞ n=1 fn(x); 這裡應先解釋符號的意義: 對每個 x0 ∈ I, ∞ P n=1 fn(x0) 是一個無窮 級數, 我們可以從第八章無窮級數理論先行驗證這個無窮級數的收斂性。 將那些無窮級數收斂的點收集起來, 便形成函數項級數 P∞ n=1 fn(x)的定義域,這個函數項級數的定義域會是區間 I 的一個子集合, 不過這裡不妨假設函數項級數對所有區間 I 上的點都收斂, 然後繼續研究之後的問題。 從級數的理論知道, 函數項級數的本質是在觀察函數項級數的部份和函數數列之收斂性, 現將函 數項級數的部份和記為 sn(x) = n P k=1 fk(x)。 這一節的目的是想要將前兩節有關函數項數列的理論套 用到函數項級數的部份和函數數列 {sn(x)}∞n=1。 以下便將所有設定進行改寫。 定義 1. 給定函數數列{fn: I → R}∞ n=1, 記sn(x) = n P k=1 fk(x), (A) 若對所有 x ∈ I, 極限 lim n→∞sn(x) = s(x) 存在, 稱函數項級數 ∞ P n=1 fn(x) 在 I 上 逐點收斂 (pointwise convergent)到 s(x)。 (B) 若{sn(x)}∞ n=1 均勻收斂到s(x),稱級數 ∞ P n=1 fn(x)在I 上 均勻收斂(uniformly convergent) 到 s(x)。 同樣地,我們首先要問的問題是: 給了一個函數項級數, 該如何判斷它只是一般的逐點收斂還是說 它具有更好的均勻收斂之性質? 基於對函數數列均勻收斂的認識, 我們可以先得到一個函數項級數均 勻收斂的判別法。
定理 2 (均勻柯西收斂準則, Uniform Cauchy Convergence Criterion). 函數項級數 P∞
n=1 fn(x) 在 區間 I 上均勻收斂的充分必要條件是: 對任意 ε > 0,存在 N = N (ε) ∈ N 使得對所有 x ∈ I 以及所有 m > n ≥ N 都有 |sm(x) − sn(x)| = m X k=n+1 fk(x) < ε。 證明: (⇒)記函數項級數 P∞ n=1 fn(x)的部份和為sn= n P k=1 fk(x)。 假設{sn(x)}∞n=1均勻收斂至s(x), 則對任意ε > 0, 存在 N = N (ε)使得對所有 m > n ≥ N(ε), 都有 |sm(x) − s(x)| < ε 2 以及 |sn(x) − s(x)| < ε 2, 於是 |sm(x) − sn(x)| ≤ |sm(x) − s(x)| + |s(x) − sn(x)| < ε 2+ ε 2 = ε。 (⇐)已知對任意ε > 0,存在N = N (ε)使得對所有x ∈ I以及m > n ≥ N 都有|sm(x)−sn(x)| < ε 2。 對所有x ∈ I, 則{sn(x)}∞n=1 是一個柯西數列, 所以由實數的完備性得知: limn→∞sn(x) = s(x)存 在。至此說明了部份和{sn(x)}∞n=1 逐點收斂至函數 s(x)。 現在要證明{sn(x)}∞n=1 均勻收斂到s(x)。 給定ε > 0, 從上段的討論已經確定了N = N (ε), 現 考慮 n ≥ N,對於 x ∈ I, 找 N1∈ N 且N1> N 使得當 m > N1 時, |sm(x) − s(x)| < ε2。 所以 |sn(x) − s(x)| = |sn(x) − sm(x) + sm(x) − s(x)| ≤ |sn(x) − sm(x)| + |sm(x) − s(x)| < ε 2+ ε 2 = ε, 因此部份和 {sn(x)}∞n=1 在區間I 上均勻收斂;換言之, ∞ P n=1 fn(x) 在區間I 上均勻收斂。
由均勻柯西收斂準則繼續延伸, 那麼可以得到一個實用性更高的級數均勻收斂判別法。 定理 3 (魏爾斯特拉斯 M-判別法, Weierstrass M -Test). 考慮函數項級數 P∞ n=1 fn(x), 假設存在一 個無窮數列 {Mn}∞ n=1 使得對所有 x ∈ I 與n ∈ N都有 |fn(x)| ≤ Mn。 如果級數 ∞ P n=1 Mn 收斂,則 ∞ P n=1 fn(x) 在區間 I 上均勻收斂。 證明: 因為 P∞ n=1
Mn 收斂, 對任意 ε > 0, 由柯西收斂準則 (Cauchy Convergence Criterion) 得知: 存在 N ∈ N使得對任何 m > n ≥ N 都有 Pm k=n+1 Mk< ε, 於是對所有x ∈ I, 都有 m X k=n+1 fk(x) ≤ m X k=n+1 |fk(x)| ≤ m X k=n+1 Mk< ε, 因此 P∞ n=1 fn(x) 在區間 I 上均勻收斂。 魏爾斯特拉斯 M-判別法的特色在於: 原本要處理的是與 n 和 x 都有關的函數項級數之均勻收 斂性質,我們可以透過一個有效的估計,轉而去問一個無窮級數的收斂問題,由級數的收斂就可以證明 函數項級數是均勻收斂的。 例 4. 試就 p值,其中 p > 0, 討論函數項級數 P∞ n=1 xpe−nx 在 I = (0, ∞)上是否均勻收斂。 解. 令fn(x) = xpe−nx, 計算 fn′(x) = pxp−1e−nx− nxpe−nx= (p − nx)xp−1e−nx, 解 fn′(x) = 0 得到 x = np 是函數 fn(x) 在區間 I = (0, ∞) 上唯一的臨界點。 因為當 x ∈ (0,np), fn′(x) > 0;當 x ∈ (np, ∞), fn′(x) < 0, 所以函數fn(x)在 x = np 處達到局部極大值 (事實上它是達 到最大值),又對所有n ∈ N都有 fn(x) > 0,於是對所有 x ∈ (0, ∞),都有 |fn(x)| = fn(x) ≤ fn p n =p n p e−p = p pe−p np 。 記 Mn= p pe−p np 。 (A) 若 p > 1, 因為級數 P∞ n=1 Mn= ∞ P n=1 ppe−p np 收斂, 由魏爾斯特拉斯 M-判別法 (Weierstrass M -test) 得知: 函數項級數 P∞ n=1 xpe−nx在 p > 1 時均勻收斂。 (B) 若 0 < p ≤ 1,取ε0 = e−2 > 0, 對任意 N ∈ N,取 x = N1,n = N, m = 2n = 2N , 則 m X k=n+1 xpe−kx x=1 N = 2N X k=N +1 1 Npe −k N = 1 Np 2N X k=N +1 e−Nk ≥ 1 Np 2N X k=N +1 e−2 = 1 Np · N · e −2 = N1−p· e−2 ≥ e−2 = ε 0, 所以函數項級數 P∞ n=1 xpe−nx 在 0 < p ≤ 1不是均勻收斂的。
在探討級數理論時曾經介紹了阿貝爾判別法(Abel’s Test)與狄立克萊判別法(Dirichlet’s Test), 現將這兩個判別法稍加修飾, 就可以用來證明函數項級數均勻收斂的性質。 定理 5 (阿貝爾判別法, Abel’s Test). 若有函數數列 {fn: I → R}∞n=1 與 {gn: I → R}∞n=1 滿足 (A) P∞ n=1 fn(x)均勻收斂, (B) 對所有 x ∈ I, {gn(x)}∞ n=1 是單調且均勻有界; 也就是說, 存在 M > 0使得對所有 x ∈ I 以 及 n ∈ N 都滿足 |gn(x)| ≤ M。 則函數項級數 P∞ n=1 fn(x)gn(x) 在 I 上均勻收斂。 證明: 因為 P∞ n=1 fn(x) 均勻收斂, 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) ∈ N 使得對所有 x ∈ I 以及所有 m > n ≥ N 都有 |Fm,n+1(x)| 記 = m X k=n+1 fk(x) < ε。 再從阿貝爾變換 (Abel Transformation)得到 m X k=n+1 fk(x)gk(x) = Fm,n+1(x)gm(x) + m−1 X k=n+1 Fk,n+1(x)(gk(x) − gk+1(x)) ≤ |Fm,n+1(x)||gm(x)| + m−1 X k=n+1 |Fk,n+1(x)||gk(x) − gk+1(x)| ≤ ε(|gm(x)| + |gn+1(x)| + |gm(x)|) ≤ 3Mε, 所以由均勻柯西收斂準則 (Uniform Cauchy Convergence Criterion)得知 P∞
n=1 fn(x)gn(x)在 I 上 均勻收斂。 定理 6 (狄立克萊判別法, Dirichlet’s Test). 若有函數數列 {fn: I → R}∞ n=1 與 {gn : I → R}∞n=1 滿足 (A) 存在 M > 0使得對所有 n ∈ N以及 x ∈ I 都有 n P k=1 fk(x) ≤ M, (B) 對所有 x ∈ I, {gn(x)}∞ n=1 單調,並且 {gn(x)}∞n=1 均勻收斂至 g(x) = 0; 則 P∞ n=1 fn(x)gn(x) 在 I 上均勻收斂。 證明: 因為 {gn(x)}∞ n=1 均勻收斂至 g(x) = 0, 對任意 ε > 0, 存在 N = N (ε) ∈ N 使得對所有 x ∈ I 與n ≥ N 都有 |gn(x)| < ε。 此外, 對所有 m > n ≥ N,都有 |Fm,n+1(x)| 記 = m X k=n+1 fk(x) = m X k=1 fk(x) − n X k=1 fk(x) ≤ m X k=1 fk(x) + n X k=1 fk(x) ≤ 2M,
由阿貝爾變換 (Abel Transformation)得到 m X k=n+1 fk(x)gk(x) = Fm,n+1(x)gm(x) + m−1 X k=n+1 Fk,n+1(x)(gk(x) − gk+1(x)) ≤ |Fm,n+1(x)||gm(x)| + m−1 X k=n+1 |Fk,n+1(x)||gk(x) − gk+1(x)| ≤ 2M(|gm(x)| + |gn+1(x)| + |gm(x)|) < 6Mε, 故由均勻柯西收斂準則 (Uniform Cauchy Convergence Criterion)知 P∞
n=1 fn(x)gn(x) 在I 上均勻 收斂。 例 7. 試證以下兩個結果: (A) 假設{an}∞n=1 單調收斂至0, 則 ∞ P n=1 ancos nx在(0, 2π) 內部的任何一個閉區間上均勻收斂。 (B) 假設 {bn}∞ n=1 單調收斂至0, 則 ∞ P n=1 bnsin nx 在 (0, 2π)內部的任何一個閉區間上均勻收斂。 解. (A) 關於數列 {an}∞ n=1, 也可以視為是常數函數數列, 它單調收斂至 0, 對任意 0 < δ < π, 當 x ∈ [δ, 2π − δ] 時, n X k=1 cos kx = sin n + 12 x − sinx 2 2 sinx 2 ≤ 1 sinδ 2 , 由狄立克萊判別法 (Dirichlet’s Test)得知 P∞ n=1 ancos nx 在區間 [δ, 2π − δ]上均勻收斂。 (B) 關於數列 {bn}∞n=1, 也可以視為是常數函數數列, 它單調收斂至 0, 對任意 0 < δ < π, 當 x ∈ [δ, 2π − δ] 時, n X k=1 sin kx = cos n + 1 2 x − cos x 2 2 sinx 2 ≤ 1 sinδ2, 由狄立克萊判別法 (Dirichlet’s Test)得知 P∞ n=1 bnsin nx在區間 [δ, 2π − δ] 上均勻收斂。 我們在單元8.3曾經簡單地說明傅立葉級數(Fourier Series)的精神,傅立葉級數理論是希望將函 數 f (x)重新表示成三角函數的級數和之形式。 而上述的討論告知: 若三角級數的係數遞減趨近於零, 則函數在遠離2mπ, m ∈ Z這些點的閉區間上均勻收斂, 於是我們可以對於函數在遠離2mπ, m ∈ Z 的地方, 可利用三角函數重新認識一般的函數。 至於我們可以從均勻收斂的過程中認識到什麼東西? 現將上一節討論的均勻收斂之性質套用到函 數項級數的部份和, 則得到以下三個重要的定理,這三個定理是很一般的結果,當然也適用於上面討論 的傅立葉級數的情況。
定理 8. 給定函數數列 {fn : I → R}∞n=1, 若對所有 n ∈ N, fn(x) 在 x = x0 處皆連續, 而且 ∞ P n=1 fn(x)在 I 上均勻收斂至 s(x),則 s(x)在 x = x0 處連續。 證明: 記函數項級數 P∞ n=1 fn(x)的部份和為sn(x) = n P k=1 fk(x)。 對任意ε > 0, 因為sn(x) 在區間I 上均勻收斂至s(x),所以存在N = N (ε) ∈ N使得對所有x ∈ I與n ≥ N 都有|sn(x)−s(x)| < ε3。 因為對於k = 1, 2, . . . , N, 函數fk(x) 在x = x0 處連續, 所以 sN(x) = N P k=1 fk(x) 在x = x0 處連 續, 所以存在δ > 0使得對所有x ∈ I, |x − x0| < δ 都有 |sN(x) − sN(x0)| < ε3, 這麼一來, 對所有 x ∈ I, |x − x0| < δ 都有 |s(x) − s(x0)| ≤ |s(x) − sN(x)| + |sN(x) − sN(x0)| + |sN(x0) − s(x0)| ≤ ε 3+ ε 3+ ε 3 = ε, 因此 s(x) = P∞ n=1 fn(x)在 x = x0 處連續。
定理 9 (逐項積分定理, Term-by-Term Integration). 給定函數數列 {fn: I = [a, b] → R}∞n=1, 若
對所有 n ∈ N, fn(x)在 I = [a, b]上是可積分的, 而且 ∞ P n=1 fn(x)在I 上均勻收斂至s(x), 則s(x) 在 I = [a, b] 上也是可積分的。 此外, 對所有 x ∈ [a, b], 都有 ∞ X n=1 Z x a fn(t) dt = Z x a ∞ X n=1 fn(t) dt = Z x a s(t) dt。 證明: 記函數項級數 P∞ n=1 fn(x)的部份和為sn(x) = n P k=1 fk(x)。 對任意ε > 0, 因為sn(x) 在區間I 上均勻收斂至 s(x), 所以存在 N = N (ε) ∈ N使得對所有 x ∈ I 與n ≥ N 都有 |sn(x) − s(x)| < ε 3(b−a), 由此得到 sn(x) − ε 3(b − a) < s(x) < sn(x) + ε 3(b − a), 因為對於k = 1, 2, . . . , N, fk(x) 在I = [a, b]上是可積分的, 所以 sN(x) = N P k=1 fk(x)在 I = [a, b] 上也是可積分的, 於是存在分割P : a = x0< x1< · · · < xm= b 使得 m P i=1 ωsN i ∆xi < ε3, 所以 m X i=1 ωis∆xi< m X i=1 ωsN i + 2 · ε 3(b − a) ∆xi = m X i=1 ωsN i ∆xi+ m X i=1 2ε 3(b − a)∆xi < 1 3ε + 2 3ε = ε, 所以s(x)在 I = [a, b] 上是可積分的。 此外, 對所有 x ∈ [a, b],我們計算 Z x a sn(t) dt − Z x a s(t) dt = Z x a (sn(t) − s(t)) dt ≤ Z x a |s n(t) − s(t)| dt ≤ ε(x − a) 3(b − a) < ε, 因此 ∞ X n=1 Z x a fn(t) dt = lim n→∞ n X k=1 Z x a fk(t) dt = lim n→∞ Z x a n X k=1 fk(t) dt = lim n→∞ Z x a sn(t) dt = Z x a s(t) dt = Z x a ∞ X n=1 fn(t) dt。
定理 10 (逐項求導定理, Term-by-Term Differentiation). 給定函數數列{fn: I = [a, b] → R}∞n=1, 若對所有 n ∈ N, fn(x) 具有連續的導函數, 而且 ∞ P n=1 fn(x) 在 I 上逐點收斂至函數 s(x)。 而 ∞ P n=1 fn′(x) 在 I 上均勻收斂至 u(x), 則 ∞ X n=1 d dxfn(x) = d dx ∞ X n=1 fn(x) ! , 而且 P∞ n=1 fn(x) 實際上在區間I 上均勻收斂至函數 s(x)。 證明: 記部份和un(x) = n P k=1 f′ k(x),因為un(x)在I上均勻收斂至u(x),而且對所有k = 1, 2, . . . , n, f′ k(x)在 I = [a, b] 上連續, 所以 u(x) 連續, 由 定理9 知道: U (x)=記 Z x a u(t) dt = Z x a lim n→∞un(t) dt = limn→∞ Z x a un(t) dt = lim n→∞ Z x a n X k=1 fk′(t) dt = lim n→∞ n X k=1 Z x a fk′(t) dt = lim n→∞ n X k=1 (fk(x) − fk(a)) = lim n→∞ n X k=1 fk(x) − n X k=1 fk(a) ! = lim n→∞ n X k=1 fk(x) − lim n→∞ n X k=1 fk(a) = s(x) − s(a),
所以由微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)知: u(x) = U′(x) = s′(x), 因此 ∞ X n=1 d dxfn(x) = d dx ∞ X n=1 fn(x) ! 。 再證 P∞ n=1 fn(x)實際上在區間 I 上均勻收斂至函數 s(x)。 給定 ε > 0, 因為 ∞ P n=1 fn(a) 收斂至 s(a), 所以存在N1 ∈ N 使得對所有n ≥ N1 都有 n P k=1 fk(a) − s(a) < ε2,而 P∞ n=1 fn′(x)在 I 上均勻收斂 至 u(x) 告知: 存在 N2∈ N 使得對所有 x ∈ I 以及 n ≥ N2 都有 n P k=1 fk′(x) − u(x) < 2(b−a)ε 。 取 N = max(N1, N2), 則對所有x ∈ I 以及 n ≥ N,都有 n X k=1 fk(x) − s(x) = n X k=1 fk(a) + Z x a fk′(t) dt − s(a) + Z x a s′(t) dt = n X k=1 fk(a) − s(a) ! + Z x a n X k=1 fk′(t) − u(t) ! dt < ε 2 + Z x a n X k=1 fk′(t) − u(t) dt = ε 2 + Z x a ε 2(b − a)dt = ε 2 + ε(x − a) 2(b − a) = ε 2+ ε 2 = ε, 所以 P∞ n=1 fn(x) 在區間 I 上均勻收斂至函數 s(x)。
9.4
冪級數
這一節將討論由多項式形成函數數列與函數項級數。 給定 x0 ∈ R 以及對於 n = 0, 1, 2, . . ., 假設 cn∈ R,形如 ∞ X n=0 cn(x − x0)n 定義 == c0+ c1(x − x0) + c2(x − x0)2+ · · · + cn(x − x0)n+ · · · (1) 的函數項級數稱為 以 x0 為中心的冪級數 (power series centered at x0), 它的部份和函數數列為{Pn(x)}∞n=1,其中 Pn(x) = n P k=0 ck(x − x0)k 是次數 (degree)為 n的多項式(polynomial),所以冪 級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n = lim n→∞Pn(x) 可以理解為多項式函數數列對於次數 n取極限而成的產物。 正 因為冪級數是一類簡單又特別的函數項級數, 所以冪級數在數學上有一些很好的性質值得探討。 這裡先注意一件事: 在冪級數的表達式中, 不論 x 為何, 我們總是約定 (x − x0)0 ≡ 1, 於是 c0(x − x0)0 ≡ c0, 這樣的約定可以將冪級數用一個很精簡的符號像是 (1)式左邊那樣的表示法。 給了冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n, 它又可以看成是一個以 x 為變數的函數, 所以此時不妨將冪級數記 成f (x)=記 P∞ n=0 cn(x − x0)n。 現在我們要了解的是這個函數的定義域為何?也就是說, 給了x ∈ R,必 須指定 f (x)是一個實數, 如此才符合函數的定義。 而這個函數的概念就等價於探討哪些 x 所形成的 級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n是收斂的。 這時, 我們先看x = x0 這個點, 將它代入冪級數後得到c0 這個數; 也就是說, lim n→∞Pn(x0) = limn→∞c0= c0。 這件事告知: 冪級數的定義域不是空集合。 至於冪級數的定義域除了 x = x0 以外還有其它的點嗎? 現在我們試著利用比值判別法 (Ratio Test)進行了解。 對於x 6= x0, 我們計算 lim n→∞ cn+1(x − x0)n+1 cn(x − x0)n = lim n→∞ cn+1 cn · |x − x0| = lim n→∞ cn+1 cn · |x − x0| 記 = L · |x − x0|。 在對上式繼續分析之前,先做一個註記: 因為x = x0 一定在冪級數的定義域內, 所以之後若用比值判 別法討論冪級數的定義域時, 我們就自然地假定這些操作總是在 x 6= x0 的情況下討論, 就不再每次 都強調x 6= x0 使得算式有意義。 由比值判別法(Ratio Test)得知: • 若 L · |x − x0| < 1, 則冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 絕對收斂。 • 若 L · |x − x0| > 1 或者是 L · |x − x0| = ∞, 則冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 發散。 現定義冪級數的 收斂半徑(radius of convergence)為 R = 0 若 L = ∞ 1 L 若 L ∈ (0, ∞) ∞ 若 L = 0, 於是我們得到以下三個結論:
(A) 若 R = 0, 它等價於 L = ∞;也就是說, 對所有 x 6= x0 都滿足 L · |x − x0| = ∞;換言之, 對 所有 x 6= x0, 冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 都發散, 所以冪級數 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 只有在 x = x0 處收斂。 這個情形完全不令人感興趣, 因為冪級數只在 x = x0 處收斂, 取值為 c0, 其它地方寫了這麼 複雜的式子但是都沒有意義, 所以沒有什麼好再研究的。 (B) 若 0 < R < ∞,它等價於 L = R1, 於是冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 |x − x0| < R 的時候絕對 收斂; 在 |x − x0| > R的時候發散。 至於冪級數在端點 x = x0± R 的收斂或發散必須根據冪 級數的性質各別檢視, 不同的冪級數在端點會有不同的收斂或發散的結果。 這個情形可以說是冪級數的重頭戲, 除了冪級數的一般性質外, 之後還要觀察冪級數在端點的 收斂與否對於函數有哪些影響, 有很多問題需要逐一澄清。 (C) 若 R = ∞,它等價於 L = 0;也就是說, 對所有 x 6= x0 都滿足 L · |x − x0| = 0 < 1;換言之, 對所有 x 6= x0, 冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 都收斂。 因為冪級數在 x = x0 處必收斂, 所以冪級 數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 對所有 x ∈ R 都收斂。 這個情形至少在逐點收斂的意義下是很好的, 因為每一點對應到的級數和都是實數, 至於這類 的冪級數還有什麼更好的性質, 原則上就和 (B)的情況一併處理。 而冪級數的 收斂區間 (interval of convergence)表示冪級數的定義域。 對於上述 (B) 的情況, 收斂 區間可能是(x0− R, x0+ R), [x0− R, x0+ R], (x0− R, x0+ R], [x0− R, x0+ R)四種情況之一。 至於 (C) 的情況, 收斂區間是(−∞, ∞)。 例 1. 試求冪級數 P∞ n=1 nnxn 的收斂區間。 解. 令an= nnxn, 計算 lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ (n + 1)n+1xn+1 nnxn = lim n→∞(n + 1) · 1 + 1 n n · |x|, 因為 lim n→∞ 1 + 1 n n = e而 lim n→∞(n + 1) = ∞,所以 n→∞lim an+1 an = ∞, 得知冪級數 ∞ P n=1 nnxn 只有 在 x = 0 處收斂。 例 2. 試求冪級數 P∞ n=0 1 n!xn 的收斂區間。 解. 令an= n!1xn, 計算 lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ xn+1 (n + 1)! · n! xn = lim n→∞ 1 n + 1· |x| = 0, 所以冪級數 P∞ n=0 1 n!xn的收斂區間是 (−∞, ∞)。
例 3. 試求冪級數 P∞ n=1 (2n)! (n!)2(x − 1)2n−1 的收斂區間。 解. 令an= (2n)!(n!)2(x − 1)2n−1, 計算 lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ (2(n + 1))!(x − 1)2(n+1)−1 ((n + 1)!)2 · (n!)2 (2n)!(x − 1)2n−1 = lim n→∞ (2n + 2)(2n + 1) (n + 1)2 · (x − 1) 2 = lim n→∞ 2(2n + 1) (n + 1) · |x − 1| 2 = lim n→∞ 2(2 +n1) (1 +n1) · |x − 1| 2 = 4|x − 1|2, 若 4|x − 1|2 < 1, 也就是 |x − 1| < 1 2, 或者說 x ∈ (12,32), 冪級數 ∞ P n=1 (2n)! (n!)2(x − 1)2n−1 收斂。 以下 要討論冪級數在端點的收斂性: (A) 若 x = 32, 則級數為 P∞ n=1 (2n)! (n!)222n−1, 令 an= (2n)! (n!)222n−1, 則 lim n→∞n an an+1 − 1 = lim n→∞n 4(n + 1) 2(2n + 1)− 1 = lim n→∞n 2n + 2 − (2n + 1) 2n + 1 = lim n→∞ n 2n + 1 = limn→∞ 1 2 + 1n = 1 2, 由拉比判別法 (Raabe’s Test) 得知: 級數 P∞ n=1 (2n)! (n!)2(x − 1)2n−1 在x = 32 處發散。 (B) 若 x = 12,則級數為 P∞ n=1 (2n)! (n!)2 −12 2n−1 = P∞ n=1− (2n)! (n!)222n−1, 其收斂或發散的結果與(A)相同, 故級數 P∞ n=1 (2n)! (n!)2(x − 1)2n−1 在x = 1 2 處發散。 由上述的討論得知: 冪級數 P∞ n=1 (2n)! (n!)2(x − 1)2n−1 的收斂區間是(12,32)。 這裡我們不妨再從等級 (order)的原理來看冪級數的收斂範圍。 以下是幾個常見的等級列表: c ≪ ln n ≪ np(p > 0) ≪ an(a > 1) ≪ n! ≪ nn 當n → ∞, 關於冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n, 它的一般項是由指數 (x − x0)n 與係數 cn 搭配而成, 因為冪級數一定 帶有指數的等級, 而我們知道 P∞ n=0 xn 視為公比為x 的等比級數, 所以收斂的範圍是 |x| < 1,於是關 於指數(x − x0)n的部份,它會貢獻出一個有限的收斂範圍|x − x 0| < 1。 再來就要研究係數對於冪級 數收斂的影響是什麼,如果係數帶有比指數更高等級的量,那麼係數就會主宰冪級數的收斂區間; 若係 數是比指數等級還要低的量則不會影響冪級數的收斂區間; 若係數也是一個和指數等級相當的量, 那 麼它會將收斂的範圍放大或縮小一個倍數。 在 例 1 的情況, 冪級數 P∞ n=1 nnxn 的一般項係數是 nn, 它的等級比指數高, 而且它是位在分子, 所以一般項很快就會趨近於無限大, 於是冪級數 P∞ n=1 nnxn 在x = x 0 以外的點都不收斂。 在 例2 的
情況, 冪級數 P∞ n=0 1 n!xn 前方的係數帶有比指數等級還要高的 n!, 而且它是放在分母, 所以 n!1 強勢於 指數之下跑到零的速度會很快使得冪級數處處收斂。 至於 例3,各位在初看冪級數 P∞ n=1 (2n)! (n!)2(x − 1)2n−1 的時候, 會以為前方的係數帶有n! 是一個等 級比指數高的量然後可能過於草率地預判其收斂或發散。 要注意的是, 帶有階乘的量在分子與分母都 出現的話, 兩者必須先做比較之後再進行判斷; 也就是說, 當分子與分母都帶有階乘的時候, 兩者相除 可能會把階乘的等級消除。 以這個例子來說, 我們大致上可以這麼看: (2n)! (n!)2 = (2n)(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 n! · (2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1 n! , 對於第一個部份來說, 分子的每一項都可以提出 2, 所以它可以完全整理成 (2n)(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 n! = 2n· n · (n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 n! = 2n· n! n! = 2 n, 至於後者, 雖然它不能完全消掉, 但是以等級來看, 它也是在分子分母逐項相比之下, 將貢獻出2n,所 以整體來說, 係數會是以 22n 之等級呈現。 最後再和冪級數的主體一起看, 因為當 n 增加 1 的時候, 主體增加了(x − 1)2, 所以在看公比的時候, 冪級數的後項比前項就會變成 r2= 22· (x − 1)2。 最後, 在要求|r| < 1之下, 就可以解得收斂的範圍會是 |x − 1| < 12。 以上討論是利用等級的原理對冪級數 的收斂半徑進行預判, 至於冪級數在端點的收斂性就必須逐一檢查。 這裡我們再花一點時間觀察(2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1與2n(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 兩者之間的差異程度, 考慮 an= (2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1 2n(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 , 計算 lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ (2n + 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1 (2n + 2)(2n)(2n − 2) · · · 4 · 2 · 2n(2n − 2) · · · 4 · 2 (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1 = lim n→∞ 2n + 1 2n + 2 = limn→∞ 2 +1n 2 +2n = 2 2 = 1, 以及 lim n→∞n an an+1 − 1 = lim n→∞n 2n + 2 2n + 1 − 1 = lim n→∞n 2n + 2 − (2n + 1) 2n + 1 = lim n→∞ n 2n + 1 = limn→∞ 1 2 +n1 = 1 2, 所以我們可以看出: 當n → ∞時,(2n −1)(2n−3)(2n−5)·· · · ·3·1與2n(2n −2)(2n−4)·· · · ·4·2 兩者除了都有n! 與 2n 的等級之外, 從拉比判別法 (Raabe’s Test)對於等級的精神可以看出: 分母 2n(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 會比分子(2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1還要多出n12 的等級。 此外, 如果各位對這些數字與階乘很敏感的話, 應該會發現到 an 這個量在第七章的時候討論過, 那時是在計算 Im= Rπ2 0 sinmx dx的積分, 而那個地方得到的結果也可以再次印證上述現象。
尋找冪級數的收斂區間, 除了是在了解冪級數的定義域, 實際上它意味著冪級數逐點收斂的範圍。 在這一章前三節的經驗發現: 若只知道一個冪級數在範圍內是逐點收斂其實意義不大, 因為逐點收斂 無法保證多項式的各種性質能夠順利移植到冪級數, 也基於此其實我們更想知道的是冪級數在收斂區 間內是否均勻收斂; 換言之, 若能確定冪級數在哪些範圍是均勻收斂的的話,因為冪級數的部份和是多 項式,而多項式不僅連續, 甚至可以積分也可以求導,所以在那個範圍內連續、可積分、可微分的性質就 可以完全過渡到取極限之後的冪級數。 在闡明冪級數的均勻收斂性質之前, 我們先將前面關於冪級數絕對收斂的結果寫成以下定理:
定理 4 (阿貝爾第一定理, First Abel’s Theorem). (A) 若冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 x = ξ 收斂, 則它在 |x − x0| < |ξ − x0|的地方絕對收斂。 (B) 若冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 x = ξ 發散, 則它在 |x − x0| > |ξ − x0|也發散。 證明: (A) 因為冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 x = ξ 收斂, 若 x 滿足 |x − x0| < |ξ − x0|, 則 x ∈ (x0− R, x0+ R), 其中 R 為冪級數的收斂半徑, 得到 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 是絕對收斂的。 (B) 因為冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 x = ξ 發散, 若 x 滿足 |x − x0| > |ξ − x0|, 則 x /∈ [x0− R, x0+ R], 其中R 為冪級數的收斂半徑, 得到 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 發散。
定理 5 (阿貝爾第二定理, Second Abel’s Theorem). 考慮冪級數 P∞
n=0 cn(x − x0)n, 若冪級數的收 斂半徑為 R,其中 R > 0, 則 (A) 冪級數在 (x0− R, x0+ R) 內的任何一個閉區間 [a, b] 上均勻收斂。 (B) 若冪級數在 x = x0+ R 收斂, 則冪級數在 [a, x0+ R] 上均勻收斂, 其中 a > x0− R。 (C) 若冪級數在 x = x0− R 收斂, 則冪級數在 [x0− R, b] 上均勻收斂, 其中 b < x0+ R。 證明:
(A) 任取閉區間[a, b] ⊂ (x0− R, x0+ R),記η = max{|a − x0|, |b − x0|},對所有x ∈ [a, b],以及
n = 0, 1, 2, . . .,都有0 ≤ |cn(x − x0)n| ≤ |c nηn| = |cn|ηn, 因為η < R,所以級數 ∞ P n=0|cn|η n 收斂, 由魏爾斯特拉斯 M-判別法 (Weierstrass M -Test) 得知: 冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 [a, b] 上均勻收斂。
(B) 首先證明 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在[x0, x0+ R]上均勻收斂。 先將冪級數拆解成 ∞ X n=0 cn(x − x0)n= ∞ X n=0 cnRn· x − x0 R n = ∞ X n=0 fn(x)gn(x), 因為 P∞ n=0 cnRn 收斂, 而 fn(x) = cnRn 在 [x0, x0 + R] 上視為常數函數, 所以 ∞ P n=0 fn(x) 在 [x0, x0 + R] 上是均勻收斂的。 此外, gn(x) = x−xR0 n 在 x ∈ [x0, x0 + R] 上遞減, 且 0 ≤ (x−x0 R ) n ≤ 1,這表示 (x−x0 R ) n 在 [x 0, x0+ R] 上均勻有界, 所以由阿貝爾判別法 (Abel Test) 得知: P∞ n=0 cn(x − x0)n在 [x0, x0+ R]上均勻收斂。 若 a ≥ x0,上述的討論得知冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在[a, x0+ R]上均勻收斂; 若x0− R < a < x0, 由(A)得知冪級數 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 在 [a, x0+ R]上均勻收斂。 (C) 首先證明 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在[x0− R, x0]上均勻收斂。 先將冪級數拆解成 ∞ X n=0 cn(x − x0)n= ∞ X n=0 cn(−R)n· x0− x R n = ∞ X n=0 fn(x)gn(x), 因為 P∞ n=0 cn(−R)n 收斂, 而 fn(x) = cn(−R)n 在 [x0 − R, x0] 上視為常數函數, 所以 ∞ P n=0 fn(x) 在 [x0 − R, x0] 上是均勻收斂的。 此外, gn(x) = x0R−x n 在 x ∈ [x0 − R, x0] 上遞減, 且 0 ≤ (x0−x R )n ≤ 1, 這表示 ( x0−x R )n 在 [x0− R, x0] 上均勻有界, 所以由阿貝爾判 別法 (Abel Test)得知: 冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在[x0− R, x0]上均勻收斂。 若b ≤ x0,上述的討論得知冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 在[x0− R, x0]上均勻收斂; 若x0 < b < x0+ R, 由 (A)得知 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 在[x0− R, b]上均勻收斂。 這裡應細細體會阿貝爾第二定理關於(B)與(C)的特色:只要確定冪級數在端點的收斂性,那麼至 少可以確定冪級數在從中心到該端點所成的閉區間上是均勻收斂。 而冪級數厲害的地方也在於此, 當 我們觀察冪級數 P∞ n=0 cn(x − x0)n的樣貌, 視冪級數為函數的時候, 函數的變數x只出現在(x − x0)n 的地方, 而且 n 增加之下, 這個量就是指數的概念。 回想這一章最一開始的許多例子, 逐點收斂的函 數數列不見得會是均勻收斂, 但是阿貝爾第二定理則是說: 只要確定一個點 x 的級數收斂, 就可以確 定冪級數在一整段區間 (這個區間甚至包含這個級數收斂的點) 具有均勻收斂的性質。 我們接下來就要將前一節的定理應用到冪級數, 在阿貝爾第二定理的建立後, 多項式的性質就能 完全轉移到冪級數上。 特別地, 阿貝爾第二定理的(B)與(C)結果可以進一步推論到那些性質在端點 處也成立。
定理 6. 冪級數在收斂區間上是連續函數。
證明: 在收斂區間上任取一點 x0, 取一個包含 x0 且在收斂區間內的一個閉區間 I, 因為冪級數的一 般項是多項式, 多項式在區間 I 上是連續函數, 由阿貝爾第二定理 (Second Abel’s Theorem)得知
∞ P n=0 cn(x − x0)n 在區間 I 上是均勻收斂的, 所以 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 在區間 I 上是連續函數。 因此冪 級數在整個收斂區間上是連續函數。
定理 7 (冪級數逐項積分定理, Term-by-Term Integration Theorem for Power Series). 若冪級數 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 的收斂半徑為R, 其中 R > 0, 則在收斂區間中的任意一點 x 都有 Z x x0 ∞ X n=0 cn(t − x0)n ! dt = ∞ X n=0 Z x x0 cn(t − x0)ndt 。 (2) 此外, 逐項積分後所得的冪級數與原來的冪級數具有相同的收斂半徑 R。
證明: 在冪級數的收斂區間上取一點 x, 由阿貝爾第二定理 (Second Abel’s Theorem)得知: 部份和 n P k=0 ck(x − x0)k 在 [x0, x](或 [x, x0]) 上均勻收斂到 ∞ P n=0 cn(x − x0)n, 由均勻收斂的函數項級數之 逐項積分定理(Term-by-Term Integration Theorem)得知 (2)式成立。
對於先進行逐項積分所形成的冪級數 ∞ X n=0 Z x x0 cn(t − x0)ndt = ∞ X n=0 Z x x0 cn(t − x0)nd(t − x0) = ∞ X n=0 cn n + 1(t − x0) n+1 t=x t=x0 = ∞ X n=0 cn n + 1(x − x0) n+1, 現計算其收斂範圍: lim n→∞ cn+1(x − x0)n+2 n + 2 · n + 1 cn(x − x0)n+1 = lim n→∞ n + 1 n + 2· cn+1 cn · |x − x0| = lim n→∞ 1 +1n 1 +2n · cn+1 cn · |x − x0| = limn→∞ cn+1 cn · |x − x0| , 所以級數 P∞ n=0 cn n+1(x − x0)n+1 與 ∞ P n=0 cn(x − x0)n具有相同的收斂半徑 R。
定理 8 (冪級數逐項求導定理, Term-by-Term Differentiation Theorem for Power Series). 若冪級 數 P∞ n=0 cn(x − x0)n 的收斂半徑為 R,則在 (x0− R, x0+ R) 當中的任一點 x 都有 d dx ∞ X n=0 cn(x − x0)n ! = ∞ X n=0 d dxcn(x − x0) n 。 此外, 逐項求導後所得的冪級數與原來的冪級數具有相同的收斂半徑 R。
證明: 關於先逐項求導後所成的冪級數可寫成 ∞ X n=0 d dxcn(x − x0) n= ∞ X n=1 ncn(x − x0)n−1= ∞ X n=0 (n + 1)cn+1(x − x0)n。 在往下討論之前, 先註記一件事: 左式在 n = 0 時是常數函數對於 x 求導, 其值為 0, 故中間的式子 在求和的時候, 指標從 n = 1開始寫起; 而最右式則是進行指標的重新設定。 現計算 lim n→∞ (n + 1)cn+1(x − x0)n ncn(x − x0)n−1 = lim n→∞ n + 1 n · cn+1 cn · (x − x0 ) = lim n→∞ 1 +n1 1 · cn+1 cn · |x − x0| = lim n→∞ cn+1 cn · |x − x0|, 所以級數 P∞ n=1 ncn(x − x0)n−1 與 ∞ P n=0 cn(x − x0)n 具有相同的收斂半徑 R。 因為 P∞ n=0
cn(x −x0)n在(x0−R, x0+ R)上收斂,由阿貝爾第二定理(Second Abel’s Theorem) 知: P∞ n=0 cn(x − x0)n 在 (x0 − R, x0 + R) 上均勻收斂; 因為 ∞ P n=0 (n + 1)cn+1(x − x0)n 在 (x0 −
R, x0+ R) 上收斂, 由阿貝爾第二定理 (Second Abel’s Theorem) 知: ∞ P n=0 (n + 1)cn+1(x − x0)n 在 (x0 − R, x0+ R) 上均勻收斂; 由函數項級數的逐項求導定理 (Term-by-Term Differentiation Theorem) 即得冪級數的逐項求導定理。 關於冪級數的逐項積分與逐項求導定理, 我們只能確定它們的收斂半徑相同, 至於收斂區間, 也就 是端點的收斂性是無法確定的; 也就是說, 端點的收斂性可能會因為逐項求導或逐項積分後而有所改 變,必須重新檢視。 以下舉例說明此現象。 例 9. 考慮 f (x) = P∞ n=1 1 n2xn, 探討f (x), f′(x), f′′(x) 的收斂區間。 解. (A) 先求 f (x) = ∞ P n=1 1 n2xn的收斂區間。 計算 lim n→∞ xn+1 (n + 1)2 · n2 xn = lim n→∞ n n + 1 2 · |x| = limn→∞ 1 1 + 1n !2 · |x| = |x|, 得到若 |x| < 1, P∞ n=1 1 n2xn 絕對收斂;若 |x| > 1, ∞ P n=1 1 n2xn 發散。 現分析冪級數 ∞ P n=1 1 n2xn 在 端點 x = ±1的收斂性: • 若x = 1, 則 f (1) = P∞ n=1 1 n2, 它是收斂的p-級數, 其中 p = 2。 • 若x = −1, 則f (−1) = P∞ n=1 (−1)n n2 。 令bn= n12,因為數列{bn}∞n=1 遞減,且 lim n→∞bn=
0, 由交錯級數判別法 (Alternating Series Test)得知級數收斂。 由上討論得知: f (x) = P∞
n=1 1
(B) 由冪級數的逐項求導定理 (Term-by-Term Differentiation Theorem for Power Series)知道: 在 (−1, 1)區間上f′(x) = ∞ P n=1 1 nxn−1 = ∞ P n=0 1 n+1xn。 計算 lim n→∞ xn+1 n + 2 · n + 1 xn = lim n→∞ n + 1 n + 2 · |x| = limn→∞ 1 +1n 1 +2n · |x| = |x|, 得到若|x| < 1, P∞ n=0 1 n+1xn絕對收斂;若|x| > 1, ∞ P n=0 1 n+1xn發散。 以下分析冪級數 ∞ P n=0 1 n+1xn 在端點x = ±1 的收斂性: • 若x = 1, 則f′(1) = P∞ n=0 1 n+1, 它是發散的p-級數, 其中 p = 1。 • 若 x = −1, 則 f′(−1) = ∞ P n=0 (−1)n n+1 。 令 bn = 1 n+1, 因為數列 {bn}∞n=1 遞減, 且 lim
n→∞bn= 0, 由交錯級數判別法 (Alternating Series Test)得知級數收斂。 由上討論得知: f′(x) = P∞
n=0 1
n+1xn的收斂區間是 [−1, 1)。
(C) 由冪級數的逐項求導定理 (Term-by-Term Differentiation Theorem for Power Series)知道:
在 (−1, 1)區間上f′′(x) = P∞ n=1 n n+1xn−1= ∞ P n=0 n+1 n+2xn。計算 lim n→∞ (n + 2)xn+1 n + 3 · n + 2 (n + 1)xn = lim n→∞ (n + 2)2 (n + 3)(n + 1) · |x| = lim n→∞ (1 +n2)2 (1 + 3n)(1 + 1n) · |x| = |x|, 得到若|x| < 1, P∞ n=0 n+1 n+2xn絕對收斂;若|x| > 1, ∞ P n=0 n+1 n+2xn發散。 以下分析冪級數 ∞ P n=0 n+1 n+2xn 在端點x = ±1 的收斂性: • 若 x = 1, 則 f′′(1) = P∞ n=0 n+1 n+2, 令 an = n+1n+2。 因為 lim n→∞ n+1 n+2 = limn→∞ 1+1 n 1+2 n = 1 6= 0, 由發散判別法(Test of Divergence) 得知級數 P∞ n=0 n+1 n+2 發散。 • 若 x = −1, 則 f′′(−1) = P∞ n=0 (−1)n(n+1) n+2 。 令 an = (−1)n(n+1) n+2 , 因為 n→∞lim a2n = (−1)2n(2n+1) 2n+2 = limn→∞2n+12n+2 = limn→∞ 1+ 1 2n 1+1 n = 1 6= 0, 得到 lim n→∞an 6= 0, 由發散判別法 (Test of Divergence)可知級數 P∞ n=0 (−1)n(n+1) n+2 發散。 由上討論得知: f (x) = P∞ n=0 n+1 n+2xn 的收斂區間是 (−1, 1)。 (D) 綜合 (A) (B) (C)的結果知道f (x), f′(x), f′′(x)三者的收斂區間皆不同。 若以f′(x)為主體, 則 f (x)可視為 f′(x)逐項積分後的結果。 而f′′(x)則是將 f′(x)逐項求導後的結果。 如此一 來就說明了冪級數經逐項積分或逐項求導後在端點的收斂性可能會不同。
以下要介紹三個重要函數, 它們在一個範圍內可以表達成冪級數的樣子。 例 10. 考慮函數f (x) = 1−x1 , 我們可以把它理解成公比為x的等比級數和的公式, 所以將它改寫成 f (x) = 1 1 − x 在|x|<1 ===== 1 + x + x2+ · · · + xn+ · · · = ∞ X n=0 xn。 例 11. 考慮函數f (x) = ln(1 + x), 因為 f′(x) = 1 1 + x = 1 1 − (−x) 在|x|<1 ===== ∞ X n=0 (−x)n = ∞ X n=0 (−1)nxn,
由冪級數逐項積分定理 (Term-by-Term Integration Theorem for Power Series)得到
f (x) = f (0) + Z x 0 ∞ X n=0 (−1)ntndt = ∞ X n=0 Z x 0 (−1) ntndt = ∞ X n=0 (−1)n n + 1t n+1 x 0 = ∞ X n=0 (−1)n n + 1x n+1。 由於上面的討論用到了冪級數逐項積分定理, 所以端點的收斂性必須重新檢視。 (A) 若 x = 1, 則級數為 P∞ n=0 (−1)n n+1 。記bn= n+11 , 因為{bn}∞n=1 遞減且n→∞lim bn= 0, 由交錯級數 判別法 (Alternating Series Test)得知 P∞
n=0 (−1)n n+1 收斂。 (B) 若 x = −1, 則級數為 P∞ n=0 (−1)n n+1 (−1)n+1 = ∞ P n=0 −1 n+1 = ∞ P n=1− 1 n, 它是發散的 p-級數, 其中 p = 1。 (C) 由上述討論得知: 冪級數 P∞ n=0 (−1)n n+1 xn+1 的收斂區間是 (−1, 1]。 因為冪級數 P∞ n=0 (−1)n
n+1 xn+1 的收斂區間是(−1, 1],由阿貝爾第二定理(Second Abel’s Theorem) 得知 P∞ n=0 (−1)n n+1 xn+1 在 (−1, 1]上均勻收斂至 ln(1 + x)。 例 12. 證明: ∞ P n=0 (−1)n n+1 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4+ · · · + (−1)n n+1 + · · · = ln 2。 證明: 因為 P∞ n=0 (−1)n n+1 xn+1在 (−1, 1]上均勻收斂至ln(1 + x),所以在 x = 1 的地方, 級數和與函數 值相同, 於是我們得到交錯級數的和 P∞ n=0 (−1)n n+1 = ln 2。 關於 ln(1 + x)在 (−1, 1]上冪級數的表達, 有時候我們會重新選用指標, 得到 ln(1 + x) = ∞ X n=0 (−1)n n + 1x n+1= ∞ X n=1 (−1)n−1 n x n= ∞ X n=1 (−1)n+1 n x n 的樣子, 這些表達式完全通用。
例 13. 考慮函數f (x) = tan−1x, 因為 f′(x) = 1 1 + x2 = 1 1 − (−x2) 在|x|<1 ===== ∞ X n=0 −x2n = ∞ X n=0 (−1)nx2n,
由冪級數逐項積分定理 (Term-by-Term Integration Theorem for Power Series)得到
f (x) = f (0) + Z x 0 ∞ X n=0 (−1)nt2ndt = ∞ X n=0 Z x 0 (−1) nt2ndt = ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1t 2n+1 x 0 = ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1x 2n+1。 由於上面的討論有用到逐項積分定理, 所以端點的收斂性必須重新檢視。 (A) 若 x = 1, 則級數為 P∞ n=0 (−1)n 2n+1。 記bn = 2n+11 , 因為 {bn}∞n=1 遞減且 n→∞lim bn = 0, 由交錯級 數判別法 (Alternating Series Test)得知 P∞
n=0 (−1)n 2n+1 收斂。 (B) 若 x = −1, 則級數為 P∞ n=0 (−1)n 2n+1(−1)2n+1 = ∞ P n=0 (−1)n+1 2n+1 = ∞ P n=0− (−1)n 2n+1, 由 (A) 知級數 ∞ P n=0 (−1)n 2n+1(−1)2n+1 收斂, 而且 ∞ P n=0 (−1)n 2n+1(−1)2n+1 = − ∞ P n=0 (−1)n 2n+1。 (C) 由上述討論得知: 級數 P∞ n=0 (−1)n 2n+1x2n+1 的收斂區間是[−1, 1],而且 ∞ P n=0 (−1)n 2n+1x2n+1 在[−1, 1] 上均勻收斂至 tan−1x。 因為冪級數 P∞ n=0 (−1)n
2n+1x2n+1的收斂區間是[−1, 1],由阿貝爾第二定理(Second Abel’s Theorem) 得知 P∞ n=0 (−1)n 2n+1x2n+1 在[−1, 1] 上均勻收斂至 tan−1x。 例 14. 證明: ∞ P n=0(−1) n ·2n+14 = π。 證明: 因為冪級數 P∞ n=0 (−1)n 2n+1x2n+1 在 [−1, 1] 上均勻收斂至 tan−1x。 所以在 x = 1 的地方級數和 等於函數值, 於是 π 4 = ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1 ⇒ ∞ X n=0 (−1)n 4 2n + 1 = π。 至此,我們得到三個常用函數的冪級數表達式, 至於其它函數是否可以寫出其冪級數表達式, 又該 如何找到它對應的冪級數, 這將是下一節泰勒級數理論所要探討的事情。 在這一單元的最後想要討論 的是: 有些冪級數我們可以觀察它的規律, 得到級數滿足某個微分方程式, 利用微分方程式的理論解 出冪級數的函數表達。
例 15. 求冪級數 P∞ n=0 1 n!xn 的和。 解. 我們在 例2已經證明了冪級數f (x)=記 P∞ n=0 1 n!xn 的收斂範圍是(−∞, ∞),而且從冪級數的逐項 求導定理(Term-by-Term Differentiation Theorem for Power Series),得到
f′(x) = d dx ∞ X n=0 1 n!x n ! = ∞ X n=0 d dx 1 n!x n = ∞ X n=1 1 (n − 1)!x n−1 = ∞ X n=0 1 n!x n = f (x), 即 f′(x) − f (x) = 0,現將等式兩邊同乘 e−x 之後得到 d dx(e−xf (x)) = 0, 於是e−xf (x) = C,其中 C 為常數。 再將x = 0代入後得到 f (0) = C = 1, 所以 e−xf (x) = 1, 即 f (x) = P∞ n=0 1 n!xn= ex。
9.5
泰勒級數理論
前一節介紹了冪級數理論, 當中指出: 雖然冪級數是一種無窮級數, 但是它在逐點收斂的範圍內實際 上是均勻收斂的, 由於冪級數的部份和是多項式, 所以多項式所具備的特性像是連續、逐項積分、逐項 求導的操作都可以轉移到冪級數, 所以我們可以說冪級數在收斂範圍內幾乎與多項式無異, 是一種相 當好的多項式推廣。 如果一個函數 f (x) 在某個點 x = x0 的附近可以表示成一個冪級數的樣子, 那麼我們就可以透 過冪級數來研究函數在 x = x0 附近的行為。 至於要怎麼樣把函數在一個點附近改寫成冪級數的樣貌並從中分析函數, 這就是泰勒級數理論 (Taylor series theory) 欲研究的課題。 在正式進入泰勒級數 的理論之前, 我們回想單元 9.4介紹過的三個函數: (A) 1 1 − x 若x∈(−1,1) ======= ∞ X n=0 xn。 (B) ln(1 + x)=======若x∈(−1,1] ∞ X n=1 (−1)n−1 n x n。 (C) tan−1x=======若x∈[−1,1] ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1x 2n+1。 因為這三個函數就函數的本身或是它的導函數與等比級數有關, 所以我們直接從等比級數的性質再透 過均勻收斂的理論就能很快寫出冪級數的樣貌。 而泰勒級數理論則是針對一般的函數, 當函數與等比 級數無關或是關係程度不大的時候, 要如何推得其冪級數的表達, 並分析函數與冪級數之間的關係。 這裡特別注意到剛才列出的三個函數當中, 等號的上方都加註了一些說明, 主要是提醒各位這些 等號的成立是有條件的, 雖然等式左邊函數定義域很大, 例如函數 1 1−x 只有在 x = 1 的地方沒有定 義, 函數 ln(1 + x) 在 x > −1處有定義, 函數 tan−1x 處處都有定義, 但是等式右邊有意義的範圍 只有介在 x = −1與 x = 1 之間 (頂多再加上端點的收斂)。 這個現象告訴我們: 將函數用冪級數重 新表達是一種描述函數局部的性質 (local property)的方法。 此外, 從單元 9.4的 例 15 知道, 有時我們可以用微分方程理論將冪級數的和解出明確的函數表 達。 只是這個方法與我們現在要問的問題是反向的討論; 也就是說, 現在想要研究的問題是: 給定一個 函數, 有沒有辦法將函數在一點附近改寫成冪級數的樣子?
