第二章 文獻探討
2.1 混合實驗介紹[12]
混合實驗首先由Scheffé[19]提出，適用於產品設計牽涉到配方百分比或混合 物之情況，通常應用在化學、食品、醫藥和材料等工業領域。在傳統實驗設計中 的因子（factor）在混合實驗中稱為成份（component），在傳統實驗設計中，因 子間的水準是獨立的，和在混合實驗中，各成份間的比例則是不獨立的。Scheffé 定義混合實驗設計中各成份佔總成份比例為0 到 1 之間，且各成份比例總和等於 1，即若x1,x2,...,xq表示一種混合物的q 種成份的比例，則
0≤xi ≤1 i=1,2,...,q (2-1) x1 +x2 +...+xq =1 (2-2) 由於(2-2)式之限制，會使自變數之可行解空間降低一個維度。分別以 q=2 及 q=3 時為例，圖2-1 的(a)為傳統二因子之解空間示意圖，兩種成份設計的因子空間包 含了在線段上兩種成份的所有值，而每種成份都是介於0 與 1 之間，但是混合實 驗因多了限制式x1+ x2 =1，造成解空間降低一維度，如圖 2-1 的(b)所示。而圖 2-1 的(c)是一般傳統三因子實驗設計所產生的合理解空間，混合空間是一個三角 形，而頂點對應的是純混合（pure blends）（100％單一成份）。然而混合實驗設 計把限制式x1 +x2 +x3 =1加入後，合理解的空間轉變為圖 2-1 的(d)中立方體紅 虛線的斜三角形平面。
(2) 二次(Quadratic)模式：
∑∑
(3) 完全三次(Full Cubic)模式：
(4) 特殊三次(Special Cubic)模式：
∑∑ ∑
稱之為線性混合部份 (linear blending portion)。研究者可依實驗自身需求採用適 當之反應曲面模型來進行實驗。 質心設計(simplex centroid design)。q 種成份的
{ }
q,m 單體晶格設計包含由以下座標設定所定義的點，每種成份此設計圖如圖 2-2 所示，三個頂點(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)為純混合，而點
驗，建議加入軸點與總重心(若重心不是原設計點)，擴大一般單體設計。
由基點(base point)
x
i=0，xj=1/(q-1)，j ≠ ，延長到對面頂點i xi =1，xj =0，
i
j≠ 的直線，稱為 i 成份軸(axis of component i)。基點永遠位於頂點xi =1，
=0
xj ， j≠ 對面 q-2 維單體邊界的重心上。成份軸的長度為一單位。沿著成份i 軸，自單體重心距離∆ 處為軸點(axial point )。∆ 的最大值為(q-1)/q。建議軸點 位於單體質心與頂點之間的中點，則∆=(q-1)/2q。適配初步混合型模型時，通常 實務上都不包含軸點，然後用軸點來檢查初步模型適配的合適性，因此，有時候 軸點稱為軸檢查點(axial check blends)。
{ } 3 , 2
單體晶格設計加上軸點的圖形為圖2-4。此設計有單體內的 4 個點，總 共有10 個點。研究完整混合的反應時，擴大單體晶格設計優於單體晶格設計，即擴大單體晶格設計可以偵測與建單體內部的曲率，而單體卻是做不到的。此 外，擴大單體晶格設計也有偵測缺適性的較大檢定力。當實驗者不能確定要用的 模型，並且計畫以簡單多項模型(可能是一次模型)開始，再做模型缺適性檢定，
再擴大模型(加上高次項)，再進行新模型的缺適性檢定等逐次的建構模型時，擴 大單體晶格設計是特別有用的。
圖2. 4 擴大單體晶格設計[12]
(2/3, 1/6, 1/6)
(1/6, 1/6, 2/3) (1/6, 2/3, 1/6)
(1/3, 1/3, 1/3)
在某些混合實驗問題中，當個別成份x 之範圍並非介於[0,1]之間，而是由式i 以電腦輔助設計（Computer-Aided Design）來規劃實驗。