渐开线及其参数方程

数学实验(选学) 1课时

小结与复习 1课时

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四、教学建议􀦌

1.数学教学要体现课程改革的基本理念,在教学设计中充分考虑数学的学科特点,高 中学生的心理特点,不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用多种教学方法和手段,引导 学生积极主动地学习,掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法,发 展应用意识和创新意识,对数学有较为全面的认识,提高数学素养,形成积极的情感态度, 为未来发展和进一步学习打好基础.

2.参数方程的教学应该让学生理解使用参数方程解决问题的优越性:(1)用参数方程能 明确地揭示质点的运动规律.质点在平面上运动时,它的位置与时间有关,也就是质点的坐 标x,y 是时间t的函数:x=φ(t),

y=ψ(t).

{

(2)有时建立两个变量之间的直接联系比较困难,甚至 不可能,而利用参数建立两个变量之间的间接联系比较容易.例如教材 P30的炮弹飞行轨迹 的问题就很有代表性.(3)有时参数方程的形式比普通方程简单,而且所选择的参数的物理 意义或几何意义通常比较明确.例如,本章所涉及的平摆线和渐开线的参数方程等.

3.参数方程的教学过程中要交待各个参数的几何意义或物理意义,让学生了解参数方 程的推导过程,学习选择参数建立参数方程的方法.在具体的问题中,学生应该能够根据问 题的性质和图形的特点选择适当的参数建立参数方程.

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4.对于直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线(含抛物运动抛迹)的参数方程的教学,要注 意引导学生关注参数方程和普通方程的互化问题,应该做到如下几点:(1)掌握化参数方程 为普通方程的方法;(2)能够正确判断参数方程表示什么曲线;(3)能够画出参数方程所表示 的曲线的图形.

5.对于平摆线和圆的渐开线的教学,应借助实物或者信息技术工具展示这两类曲线的 生成过程,并引导学生关注运动过程中的不变关系,从而据此建立相应的参数方程,并体会 参数方程表示上述曲线的优越性.

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五、评价建议􀦌

1.数学学习评价,既要重视学生知识、技能的掌握和能力的提高,又要重视其情感、

态度和价值观的变化;既要重视学生学习水平的甄别,又要重视其学习过程中主观能动性的 发挥;既要重视定量的认识,又要重视定性的分析;既要重视教育者对学生的评价,又要重 视学生的自评、互评.总之,应将评价贯穿数学学习的全过程,既要发挥评价的甄别与选拔 功能,更要突出评价的激励与发展功能.

数学教学的评价应有利于营造良好的育人环境,有利于数学教与学活动过程的调控,有 利于学生和教师的共同成长.

2.美国心理学家加德纳(H.Gardner)在80年代初期提出的多元智能理论对学习的评价 产生了很大的影响.目前普遍认为人的智力是由语言智能、逻辑数学智能、空间智能、身体 动觉智能、音乐智能、人际智能、内省智能、自然观察者智能等八种智能构成的.多元智能 理论成为评价内容多元化的思考依据,它提醒人们注意学生的个体差异和发展的不均衡性, 同时强调每一个学生的独特价值,主张尽可能建构有助于促进个体价值实现的个体化评价指 标;它还从新的角度提供了设计学生评价方法的新思路,如教学中开放题的设计思路等,为 建立促进学生全面发展的评价体系提供了依据.

基于上述理论,教师在评价过程中就不能只考虑学生最终的测验成绩,而应综合考察学 生在整个学习过程中的表现及终结性评价的结果.建议期末总成绩应由测验成绩、开放式作 业成绩以及学生平时表现的成绩组成,三者各占一定的比例.例如,期末总成绩=测验成绩 (80%)+开放式作业成绩(15%)+平时表现成绩(5%).当然,上述各分项成绩的组成及百 分比可根据具体情况灵活设定.

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2.1　从抛物运动谈起

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教材线索

本 节 先 从 研 究 炮 弹 飞 行 轨 迹 问 题 入 手, 导 出 了 炮 弹 飞 行 曲 线 的 参 数 方 程 x=|v→|cosθ·t,0

y=|v→|sinθ·t-10 2gt². ì

î í ïï ïï

然后教材给出了参数方 程 的 一 般 定 义,并指出参数方程和普通方

程是曲线方程的不同形式.最后应用上述参数方程解决了一个飞机投炸弹的问题.

教学目标

(一)知识与技能

1.掌握抛物运动轨迹的参数方程的写法.

2.了解抛物运动中的参数的意义.

(二)过程与方法

分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,能写出抛物运动轨迹的参数方程.

(三)情感、态度与价值观

通过抛物运动的例子,感受参数方程的优越性.

教材分析

1.重点:

炮弹飞行轨迹的参数方程的推导. 2.难点:

建立曲线的参数方程的方法.

图2 1 3.教材开门见山的提出问题:“炮管与地面夹角为θ,一

发炮弹以初速度v→射出,不计空气阻力,试写出平面直角坐0

标系中炮弹飞 行 轨 迹 的 方 程.”要解决上述问题,首先要对炮 弹运动的规 律 进 行 分 析.根据物理学规律可知,炮弹的运动 是一个斜抛运动,它由水平方向的匀速直线运动和竖直方向

的上抛运动合成.由于初速度向量v→可以分解成水平分量v0 ⁰x 与竖直分量v⁰y,且满足:v^0x= 5

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|v→|cosθ,v0 ^0y=|v→|sinθ,这样就得到炮弹在两个方向运动的初速度(如图2 1).再对炮0

弹作受力分析知道,炮弹在水平方向没有受力(因为不计空气阻力),由于惯性的作用继续作 匀速直线运动,而它在竖直方向受到竖直向下的重力的作用,与运动方向相反.根据上述分 析,立即可以求得炮弹在水平方向飞行的距离x(t)和它在竖直方向达到的高度y(t)满足如 下关系式:

x(t)=|v→|cosθ·t,0

y(t)=|v→|sinθ·t-10 2gt², ì

î í ïï ïï

(t 为参数).由于两个运动同时进行,所以时间t

相同.

由上述方程给定的曲线,非常清晰地表明了曲线所包含的物理意义.其中时间参数t 的 范围是:从炮弹发出t=0时刻到炮弹落地t=T 时刻中间的任意值.其中落地时刻 T 可以 通过求解方程|v→|tsinθ-10 2gt²=0得到T=2|v→|⁰

g sinθ.

由以上分析可以看出,炮弹飞行轨迹的参数方程的推导可以从物理和数学两个方面的思 路加以解决.其中物理的思路来源于运动的合成与分解,对物理的思路做出数学的解释,于 是产生了曲线的参数方程的概念,同时也得到了求曲线的参数方程的方法.

4.教材在分析了抛物运动的轨迹方程后给出了参数方程及参数的定义:一般地,在取 定的平面直角坐标系xOy 中,如果一条曲线L 上任意一点的坐标(x,y)的每个分量都是某 个变量t的函数,即x=φ(t),

y=ψ(t),

{

^而且对于t的每个允许值,由上述方程组所确定的点(x,y) 在L 上,则称它是曲线L 的参数方程.联系x 和y 之间关系的中间变量t 称为参数方程的 参变量,简称参数.

在此,教材指出上述参数方程中的参数可以取为某种物理量(例如时间),也可以取为某 种几何量(例如角度),还可以取没有什么明显含义的参数.事实上,在本章中所涉及的参数 方程中的参数,绝大多数都有着明显的几何意义或物理意义.在接下来的章节里,有些参数 方程中的参数的意义给予了明确的说明,有些则没有说明.无论哪一种情况,都有必要让学 生了解这些参数的意义,以便在解题时加以灵活运用.

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5.教材指出,参数方程与普通方程是曲线方程的不同形式,许多曲线,既可以写出它的

普通方程,也可以建立它的参数方程,两种方程可以互化.例如,本节给定的抛物运动的参数 方程

x(t)=|v→|cosθ·t,0

y(t)=|v→|sinθ·t-10 2gt², ì

î í ïï ïï

就可以化为普通方程y=- g

2|v→|0 ²cos²θx²+sinθ cosθx.

但是有的曲线可以建立它的参数方程,而不能或很难写出它的普通方程.例如本章第四 节、第五节将要讨论的平摆线和渐开线的参数方程就很难转化成普通方程.

教学建议

1.炮弹飞行轨迹的参数方程的获得是建立在对运动规律的分析的基础之上的,因此在 教学中要紧扣其物理意义,从而建立起函数关系式.在建立起参数方程之后,要分析参数方 程中参数t的取值范围.

2.对于常见的参数方程,必须让学生了解其参数的几何意义(或物理意义).事实上, 可以借助信息技术工具(例如 Z+Z超级画板、几何画板等)清晰地展示其几何意义(特别是 本章所涉及的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程中的参数的几何意义).

3.教学中应注意将参数方程化为普通方程的几种方法.在将参数方程x=φ(t), y=ψ(t)

{

^(t为参

数)化为普通方程时,常采用如下方法进行转化:

(1)代入消参法.把参数方程中的一个函数关系式x=φ(t)(或y=ψ(t))化为t=φ^-1(x) (或t=ψ^-1(y)),然后把它代入另一个函数关系式y=ψ(t)(或x=φ(t))中,就能消去参数 t.例如教材中的炮弹飞行轨迹的参数方程就是通过代入消参法化为普通方程的.

(2)分步消参法.参数方程经过几次处理后,变成参数的一次函数,然后再用代入消参 法.例如把参数方程

x=a·1-t² 1+t², y=at·1-t²

1+t² ì

î í ï ïï ï ï

(t为参数)化为普通方程时可将两式相除,得y

x =t,再

代入x=a·1-t²

1+t²,得到它的普通方程为y²=x²·a-xa+x(x≠-a).

(3)比较消参法.把参数方程中的两个函数关系,各化成同一个参数函数式,比较后消 去参数,化为普通方程.例如:把参数方程

x=1+12t,

y=3 2t-5 ì

î í ï ïï ï ïï

(t 为参数)化为普通方程时,可在

两个式子中分别解出t,得t=2(x-1)和t=2 33 (y+5),从而得到2(x-1)=2 33 (y+5), 即y= 3(x-1)-5.

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(4)综合消参法.综合运用有关代数知识和三角知识,把参数方程中的参数t消去.

例题解析

例 一架轰炸机在距地面 H 的高空匀速水平飞行,飞行速度为v0,试建立从此飞机上 投下的炸弹的运动方程,且从中计算出炸弹落地的时间和落点.(解答见教材 P32)

分析:如图2 2,飞机在水平方向的速度是v0,则投下的炸弹的水平速度也是v0,即 炸弹以v0的速度沿水平方向做匀速直线运动,同时它又做自由落体运动(也就是它沿着竖直 向下的方向做匀加速直线运动,加速度为g),因此,在建立坐标系时,本着最简便的原则, 可以取投弹时飞机所在的点为坐标原点O,以飞机飞行的方向为x 轴的正方向,以竖直向 下的方向为y 轴的正方向建立坐标系xOy(这不同于学生常见的坐标系中x 轴的正向为水平 向右,而y 轴的正向为竖直向上).这样建立的坐标系将使得本题中的曲线方程具有最简单 的形式.由此可进一步说明建立适当的坐标系的重要性.

图2 2 利用时 间 作 为 参 数, 教 材 建 立 了 炸 弹 运 动 的 参 数 方 程

x(t)=v0t, y(t)=12gt². ì

î í ïï ïï

这实际 上 是 炸 弹 在 不 同 方 向(水 平 向 左 和 竖 直 向

下)的运动过程中,时间与位移之间的关系,也就是分别列出炸 弹在水平方向的位移与时间的关系式x(t)=v0t,以及炸弹在竖

直方向的位移与时间的关系式y(t)=12gt²,由于两种运动同时进行,时间t 相同,因此将 它们并在一起组成一个方程组,即得到参数为t的抛物运动方程.这种方法可以运用在其他 类似的情境中.

由于飞机与地面的高度H 已经给定,相当于炸弹在竖直向下的方向上运动的位移已经 确定,从而就可以根据关系式 H=12gt²,求出炸弹落地的时间t= 2Hg ,从而代入x(t)=

v0t得到炸弹在水平方向运动的位移x=v0 2H

g ,即炸弹的落点为 v0 2H g ,H æ

è

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ø

÷.

在参数方程

x(t)=v0t, y(t)=12gt² ì

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中,消去参数t,即可得到炸弹在t∈ 0, 2Hg é

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úú 的 任 意 时 刻

内,水平 方 向 的 位 移 x 与 竖 直 方 向 的 位 移y 之 间 的 关 系 式 为y = g2v²0x², 其 中 x ∈ 0,v⁰ 2H

g é

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ù û úú .

此题在最后实际上给出了化参数方程为普通方程的一种方法,即直接用代入法消去参数 t,从而将参数方程化为普通方程.

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在文檔中 目 录 (頁 35-65)