演算模式

2-1 二維漫地流淹水模式

2-1-1 基本方程式

對於一般廣闊平坦的洪氾平原而言，變量流方程式中加速項之大 小級次（order of magnitude）通常遠小於重力項與摩擦項。假設洪水 歷線上升平緩，且忽略科氏力、風力、垂直方向速度分量及加速項之

^z： 地表高程[m]； 況，本文採用交替方向顯式差分法（Alternating Direction Explicit Method，簡稱 ADE）以建立模式。依標示網格（Marker And Cell，

簡稱MAC）差分觀念，若將(2.1)、(2.2)及(2.3)式中任意變量以^f 表示，

為時間指標；i 、^j分別為沿^x、^y之空間指標。

( ) ( )

開放邊界，分別說明如下:

(1)閉合邊界:

任何阻擋水流穿越之障礙物，如堤防線、擋水牆或模擬區域之周 圍高地等皆可視為閉合邊界。因水流無法穿越堤防，故垂直於堤防線 之流速可令其為零，即為模式之閉合邊界條件。本文中，模擬區內各 排水路流入八掌溪之出口處，亦假設為閉合邊界，即假設其流速為 零。在海岸排水系統出口處，於模式中視出口情況予以設定，若海岸 之潮位高於地表淹水位則假設閘門關閉，即零流速之閉合邊界；若海 岸之潮位低於地表淹水位則閘門開啟，並假設使用堰流公式計算排入 外海之流量。

(2)開放邊界:

此為模擬區域內水流進出之邊界處，如堤防缺口位置或模擬區抽 水站設置處等。開放邊界條件可給予流量歷線、水位歷線、流速歷線 等。若欲精確計算入流量體積，必須採用流量歷線作為數值模擬之開 放邊界條件;本文中，細格網模擬區之邊界給予粗網格在其交疊邊界 上之入流量歷線，作為模式中之開放邊界條件。

(2.1)至(2.3)式中的側流量 q，代表單位面積進出地表面的水量，

通常包括降雨量、入滲量，本文中忽略入滲與蒸發之影響即假設降雨 損失為零，本研究將地表淹水計算網格之平均降雨強度

I

_eff 換算成單 位面積之側流量輸入二維漫地流淹水模式中，以模擬地表之流況。因 此，(2.5)至(2.10)中的側流量 q 可寫成：

q = I

eff *C （2.12）

式中，I_eff : 地表淹水計算網格之平均降雨強度[mm/hr]；(詳見 3-4 節) C：單位換算因子（C = 1/3600000）。

2-2 多重格網之銜接

本文使用二維漫地流淹水模式進行模擬，並完成全模擬區大尺度 格網內部結合局部區域小尺度格網進行同步演算工作(模式架構流程 圖請參見附錄 A)，可望在模擬精度及模擬時間上取得更有效率之搭 配結果。以下就多重格網之演算時距及邊界銜接部分逐步做一說明。

2-2-1 數值模式之穩定性

數值模式之穩定性(stability)是指數值解的誤差不隨著時間的增 加而增加的性質，它應該是逐步消失或保持有界(bound)，而不會不 斷持續的擴大，以致發散。數學表示式如下:

n K

n ≤

∞

→

ε

lim （2.13）

式中，ε為數值解與正確解之間的誤差，有限常數

K 跟時階數 n 之

間是獨立的。此穩定條件對任何形式的誤差皆成立。

一個不穩定的數值模式會產生隨時間增加之擾動(perturbation)，

此一擾動來自於數值解之誤差。不穩定的數值模式大部分擾動的增幅 呈指數增加，導致數值模式演算結果發散的情形，所以不穩定的數值 模式是不能用的。對於數值模式的穩定性常取決一重要參數，即可蘭 數(Courant number);已知，

可蘭數

C

_r=U*Δt/Δx （2.14）

式中，U為數值模式計算格網平均流速[m/sec]；Δt 為演算時距[sec] ; Δx

為計算格網尺度[m]。

穩定的數值模式可以分為以下兩種:一種是有條件性的穩定 (conditionally stable)，例如顯示差分法，需可蘭數小於 1 時才穩定;

另一種則是無條件性的穩定(unconditionally stable)，例如隱式差分 法，理論上可允許任意的演算時距。在使用顯示差分法數值模式時，

若要得到穩定的情形，需要使可蘭數小於 1，此即所謂”可蘭條件”

(Courant-Friedrichs-Lewy,CFL)。

由於可蘭數的選取不當會造成計算的誤差，因此數值解之穩定條 件要求:0＜C_r≦1，這個條件限制了格網尺度 Δx 和演算時距 Δt 的範 圍，若

Δx 變小，Δt 也必須隨之變小。

2-2-2 多重格網之演算時距

若所使用之粗格網為解析度a×a 的計算格網，局部細化格網採用 解析度b×b 的淹水計算格網(即粗格網尺度的 b/a 倍)，因此細格網演 算時距的設定亦為粗格網演算時距的b/a 倍，以符合可蘭條件。首先，

令粗格網的演算時距為Δtc 秒、細格網的演算時距為Δtf 秒，則Δ

t

c=a/b*Δtf，而模擬時間設定為24 小時(即 86,400 秒)，因此粗格網之 演算次數

step

c為 86,400/Δtc，細格網之演算次數

step

f為86,400/Δtf， 則可知

step

_f =a/b*step^c。多重格網的個別演算次數在模式中必須互相 配合(多重格網演算時距關係示意圖如圖 2-1 所示)，所以在模式中設 定，當粗格網進行

t 時刻時的一次演算後，隨即進行細格網連續 a/b

次的演算，待細格網完成其a/b 次演算後，再回到粗格網演算步驟中，

進行粗格網

t+Δt

_c時刻的一次演算，以此類推達到同步演算之效果至 模擬結束。

2-2-3 多重格網之邊界銜接

多重格網在模式中搭配模擬時，細格網所涵蓋之模擬區域包含於 粗格網所模擬之區域範圍中，則細格網之模擬區域邊界乃屬於粗格網 模擬區域之內部;因此，細格網模擬區域之邊界條件須由粗格網模擬 結果而得(多重格網邊界銜接關係示意圖如圖 2-2 所示)。在細格網的 邊界條件上，本文將粗格網在細格網的邊界交疊上之入流量歷線平均 分配做為細格網模擬區之開放邊界條件。於模式中，每一格網上皆有 其專屬之

x、y 方向編號(i,j)，首先將淹水深度 d 乘上格網寬度 Δx 則

可獲得通水斷面積

A;再將通水斷面積 A 乘上通過此斷面之速度 U

，則 可求得每一格網邊界上個別之流量

Q (示意圖請參見圖 2-3)。令單一

粗格網

c 與細格網接觸邊界上之流量為 Q

c，而每一粗格網邊界等分 為

l 個細格網，則在接觸邊界上，可求得單一細格網所接受之邊界入

流量

q

f,=1/ l*Qc(示意圖請參見圖 2-4)。遂將上述關係式如下表示:

Q

_c = d_c*Δx*U_c （2.15）

q

f

= 1/ l* Q

c （2.16）

式中，Q_c :細格網所對應至粗格網上單一粗格網之流量[m³

/sec]。

q_f:單一細格網邊界上之入流量[m³

/sec]。

d_c:細格網所對應至粗格網上之粗格網水深[m]。

Δx:細格網所對應至粗格網上之粗格網尺度[m]。

U_c

:細格網所對應至粗格網上之粗格網速度[m/sec]，可分為

x 方向速度 u 及 y 方向速度 v。

l:粗格網流量均分至細格網上之細格網個數。

在文檔中 流域格網局部細化之淹水模擬 (頁 18-26)