漸變形錐型波導分析

4. 1 漸變形錐型波導定義

我們首先討論漸變形(adiabatic)的定義，其名詞出自於熱力學，

翻成絕熱的意思，表示為無熱交換的現象，然而在光波導元件上，代 表著平滑變化的波導，沒有模態轉換以及反射情況發生，導波模態在 輸入至輸出波導時，為一對一的對應的模態演化，現在我們再更深入 討論漸變形的數學定義，一般定義為在單位波長的傳播內，其折射率 的相對變化與相對變化的變化量遠小於1，其數學形式如(4.1-1)式與 (4.1-2)式:

(

^{( , )}

)

( , ) 1 d n x z dz

n x z ⋅λ^{ ，} (4.1-1)

( )

2

2 ( , ) ( , ) 1 d n x z dz

n x z ⋅ λ ， (4.1-2) 現在我們對於漸變形波導，再定一個新的定義，為單位波長傳播內的 傳播方向所對應的傳播常數(通常為沿著 z 軸方向)的相對變化必須遠 小於1，寫成數學表示式為:

(

^{( )}

)

( )

( )

1

n

n

d z

dz β

β ^{⋅ }λ ， (4.1-3) 所以，我們可以說當同時滿足(4.1-1)式、(4.1-2)式以及(4.1-3)式情況 的波導結構，我們可看成漸變形的波導。

4. 2 漸變形錐型波導分析介紹

圖 4.2-1 錐型波導結構示意圖

假設一錐型波導，如圖 4.2-1 所示，為上下對稱結構，波導寬度

由輸入至輸出逐漸變窄，其錐型角度為α^{，錐型波導長度為L}_t^，輸入 波導半寬為d₁，輸出波導半寬為d₂，波核與波覆折射率分別為n₁、n₂。 我們假設輸入的場型為TE極化或TM 極化單一模態入射，其模態又 可分為對稱模態(symmetric mode)，又稱為偶模(even mode)，以及反 對稱模態(anti-symmetric mode)，又稱為奇模(odd mode)，所以，當輸 入模態為反對稱模態入射，因為波導上下對稱以及輸入場型反對稱的 關係，我們可將波導對稱切割成上下半部，假如TE極化入射則在中

1

α d

d

2

EW

EW

x

z

L

1

L

_t

L

₃

n

1

n

2

W

x

d

稱的關係，映射出下半部場型。反之，入射為對稱模態時，TE 極化 入射則在中間加一磁牆，而 TM極化入射則在中間加一電牆，一樣分 析一半結構即可。

4. 3 TE 基模入射漸變形錐型波導分析

圖 4.3-1 TE 極化基模入射錐型波導示意圖

圖 4.3-2 波導設定式意圖

在此章節，我們將研究各不同錐型角度的錐型波導，TE基模入 射的情形，如圖4.3-1，錐型波導長度隨著角度增加而減少，輸入及

total

L

α3 α2

α1

x

d1

MW

α

d2

Lt

z n1

n2

角度為0.1°至5°時，基模在錐型波導內傳播時，是否激發出其他的 偶模傳播，我們將展示在錐型波導內傳播時的基模能量變化量(假設 基模總能量為1)與第二階偶模以及第三階偶模能量的關係，觀察基模 能量的變化量是否完全給予某一特定偶模，或者分散給不同階的偶 模。

我們的分析的參數如表4.3-1，模擬結果如表4.3-2至表4.3-8，包含 場型模擬圖以及在錐型波導區內傳播各模態能量分佈圖，在錐型角度 為0.1°時，其斜率為10⁻³數量級，為非常平滑變化的波導，其基模能 量的變化量與第二階偶模能量大約為10⁻⁵的數量級，為非常小的數 量，幾乎基模能量的變化量全部轉移給第二階偶模，第三階偶模能量 則只有大約10⁻⁷的數量級，幾乎可以忽略，表示基模能量幾乎不轉移 給第三階偶模，然而，隨著錐型角度的增加，則各參數數量級逐漸地 增加，增加至錐型角度為5°時，則基模能量的變化量與第二階偶模 能量已增加至大約10⁻²的數量級，第三階偶模能量已增加到10⁻³數量 級，這時我們已經不能忽略第三階偶模，表示基模能量已經有部分轉 移給第二階以及第三階偶模，產生模態轉換的情況，最後，我們藉由 分析結果發現在極小的錐型角度時，如 0.1°，此角度的錐型波導已經 可看成為漸變形錐型波導，卻依然有模態轉換的情形發生，雖然其轉 換的能量數量級為10⁻⁵，但並非理想漸變形波導的無模態轉換的情況

發生，因此，我們發現在達到漸變形波導的條件下，依然有模態轉換 的情形發生，差別只在於轉換的能量數量級的大小，在小於一特定數 量級時，可看成為漸變形錐型波導。

表 4.3-1 錐型波導參數設定

元件參數定義 設定值

入射波長 1.3 mμ

波核折射率n₁ 1.5

波覆折射率n₂ 1

輸入波導半寬d₁ 1.84 mμ 輸出波導半寬d₂ 1.65 mμ 錐型波導長度L_t

(

(d1−d2) cotα μ

)

m

表 4.3-2 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =0.2^D

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

表 4.3-3 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

α =0.3^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

10^-8 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3

z-position (μm)

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =0.4^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-10

10^-8 10^-6 10^-4 10^-2

表 4.3-4 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =0.6^D

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

表 4.3-5 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

α =0.7^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

10^-8 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3

z-position (μm)

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =0.8^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-8

10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3

表 4.3-6 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

α =0.9^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2

z-position (μm)

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =1.0^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-6 -4 -2 0 2 4 6

10^-8 10^-6 10^-4 10^-2

z-position (μm)

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

表 4.3-7 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

α =2.0^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-3 -2 -1 0 1 2 3

10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2

z-position (μm)

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =3.0^D

z-position (μm)

x-position (μm)

-50 0 50

-5 0 5

-7

10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2

表 4.3-8 模擬場型圖與各模態能量分佈圖

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

α =5.0^D

1-(1st mode power conversion coefficient) 2nd mode power conversion coefficient 3rd mode power conversion coefficient

4. 4 漸變形錐型波導輻射機制

(wave equation)，如(4.4-1)式，以及馬克斯威爾方程式(Maxwell equation)，如(4.4-2)式：

( ) 2 2 2 2 件，可導出 TE極化模態特徵方程式(mode characteristic equation) [5]， 如(4.4-4)式：

可看出一些條件：

(1)0

V π2

< < 時，沒有交點，

(2) ³

2 V 2

π _{≤ ≤} π _{時，有一個交點，}

(3)^{3 5}

2π _{≤ ≤}V 2π 時，有兩個交點，以此類推，而這些交點的個數，即 是指能存在波核裡傳播的導波模態個數，這些導波模態的型態皆為反 對稱模態，依之前假設輸入場型為 TE極化第一反對稱模態，我們設 定輸入波導的歸一化頻率只支援單一個導波模態，即為第一階反對稱 模態，輸出波導歸一化頻率小於

2

π ，即為不支援任何模態傳播，所以

在這樣的設定下，當入射場型由輸入波導傳播至輸出波導時，歸一化 頻率會逐漸地變小，使得第一反對稱模態無法存活在波核裡，轉變為 其他高階模態，此高階模態即為輻射模態，形成模態突變的情況，進 而產生輻射現象，我們將討論此輻射現象中錐型角度( )α ^{與輻射角度}

(θ_R)^的關係。

4. 5 輻射模擬結果與討論

現在我們分析三種不同折射率對比的漸變形錐型波導，分別為

1.5 :1、2.5 :1以及3.5 :1，然後對這三種折射率比的錐型波導，設定

TE極化入射，並使用模態特徵方程式，如(4.4-4)式，使輸入波導寬 度只支援一個反對稱模態，即為第一反對稱模態，且使輸出寬度不支 援任何反對稱模態，另外，我們還有分析 TM極化入射，折射率比為

1.5 :1的錐型波導。

圖 4.5-1 輻射角度定義圖

我們參數設定為固定輸入與輸出波導寬度，使輸入波導只支援一

個反對稱模態，輸出波導不支援任何反對秤模態，並且皆固定輸入以 及輸出波導的歸一化頻率分別為

3

π _以及² 3

π _{，錐型角度設定為}

0.1°至 1°，以0.1°為一間格，可視為一漸變形錐型波導，錐型波導長度( )L_t 隨著錐型角度變大而縮短，輸入、輸出波導長度以及錐型波導長度總

x

z θR

的回歸直線與水平軸的夾角為直覺性定義(adhoc)的輻射角度θ_R^，如

圖4.5-1，其各對比能量模擬圖與錐型波導區中階梯近似各區第一個

模態係數分佈，其中TE極化的分析如圖4.5-3至圖 4.5-14，參數設定 如表4.5-2至表 4.5-4，TM 極化的分析如圖4.5-15 至圖4.3-18，其參

數與表4.5-5，與表4.5-2參數設定相同。在能量模擬圖中，圖中可分

為入射波導區、錐型波導區以及輸出波導區，其區隔線可由圖中兩垂 直線區分，另外是各區第一個模態轉換係數分佈圖是指在錐型波導區 內，第一個模態係數的變化，特別要注意的是當 z 小於零時，第一個 模態是指第一反對稱模態，為導波模態，而當 z 大於零時，則其波導 寬度不支援任何反對稱模態(導波模態)，第一反對稱模態已激發為多 個輻射模態，產生模態突變現象，所以在 z 大於零後續的點代表第一 個輻射模態的模態係數，所以在 z 大於零的第一反對稱模態係數的值 為零。

對於各對比以及不同極化的錐型角度與輻射角度的關係如表

4.5-1與圖4.5-2，我們可看出當同樣TE極化，其輻射角度會隨著折

射率對比度增大而變大，且輻射角度隨著錐型角度變大時，其輻射角 度增加量卻逐漸減少，接著我們比較同樣對比度1.5 :1，不同極化入

表 4.5-1 漸變形錐型角度與輻射角度關係

α θ_R(TE 1.5:1) θR^{(TM 1.5:1)} θR^{(TE 2.5:1)} θR^{(TE 3.5:1)}

0.1° 7.0547° 5.1794° 11.5258° 14.7631°

0.2° 9.0798° 7.0162° 14.6466° 18.5249°

0.3° 10.5931° 8.2163° 16.7547° 21.2097°

0.4° 11.7342° 8.8469° 18.1312° 22.9156°

0.5° 12.6303° 9.1645° 19.3014° 24.0629°

0.6° 13.3840° 9.4009° 20.3953° 25.1247°

0.7° 13.9821° 9.5552° 21.3976° 26.1453°

0.8° 14.4784° 9.5889° 22.3334° 27.0324°

0.9° 14.8562° 9.6148° 22.9908° 27.9165°

1.0° 15.2309° 9.6332° 23.7541° 28.7659°

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

5 10 15 20 25 30

Tapered angle (degree)

visual radiation angle (degree)

TE 1.5:1 TM 1.5:1 TE 2.5:1 TE 3.5:1

圖 4.5-2 各條件漸變形錐型角度與輻射角度關係圖

(1)折射率比 1.5 :1之TE極化漸變形錐型波導分析

表 4.5-2 漸變形錐型波導參數定義

元件參數定義 設定值

入射波長 1.3 mμ

波核折射率n₁ 1.5

波覆折射率n₂ 1

輸入波導半寬d₁ 2

0.39μm ^⎛⎜⎝V = 3π ^⎞⎟⎠

輸出波導寬度d₂ 0.19

m V π3 μ ^⎛⎜⎝ = ^⎞⎟⎠

錐型波導長度L_t

(

(d1−d2) cotα μ

)

m

錐型角度α ^{0.1° ~ 1.0°}

α =0.1^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

x-position (μm)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

10^-1 10⁰

first mode coefficient

α =0.2^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.3^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.4^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

圖 4.5-4 能量模擬圖與第一個模態係數分佈圖

α =0.5^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.6^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.7^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.8^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.9^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =1.0^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

圖 4.5-6 能量模擬圖與第一個模態係數分佈圖

(2)折射率比2.5 :1之 TE極化漸變形錐型波導分析

first mode coefficient

α =0.2^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.3^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.4^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

圖 4.5-8 能量模擬圖與第一個模態係數分佈圖

α =0.5^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.6^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.7^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.8^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.9^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =1.0^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

圖 4.5-10 能量模擬圖與第一個模態係數分佈圖

(3)折射率比3.5 :1之 TE極化漸變形錐型波導分析

表 4.5-4 漸變形錐型波導參數定義

元件參數定義 設定值

入射波長 1.3 mμ

波核折射率n₁ 1.5

波覆折射率n₂ 1

輸入波導半寬d₁ 2

0.13μm ^⎛⎜⎝V = 3π ^⎞⎟⎠

輸出波導寬度d₂ 0.06

m V π3 μ ^⎛⎜⎝ = ^⎞⎟⎠

錐型波導長度L_t

(

(d1−d2) cotα μ

)

m

錐型角度α ^{0.1° ~ 1.0°}

α =0.1^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

x-position (μm)

-15 -10 -5 0 5 10 15

0.5 1 1.5 2 2.5

10^-2 10^-1 10⁰

first mode coefficient

α =0.2^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

first mode coefficient

α =0.3^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

α =0.3^D 能量模擬圖 第一個模態係數分佈

在文檔中 漸變形錐型波導之輻射現象分析 (頁 45-91)