3. 1 傾斜直線波導介紹
圖 3.1-1 傾斜直線波導簡易示意圖
我們將對傾斜直線波導進行分析，如圖 3.1-1，此結構為二維三 層結構所構成，其中波導為傾斜的直線波導，波導高度位置隨著水平 方向增加而提升，我們假設入射場型傳播方向與波導平行，然而二維 結構的場型分析目前尚未有正解可計算出，所以，我們將原座標軸選 轉一特定角度，使得新座標軸之 z′軸與波導平行，以新座標軸( , )z x′ ′ 的
觀點來看待此傾斜直線波導，則原本隨著距離變化的傾斜波導即變為 與 水 平 距 離 無 關 且 高 度 位 置 固 定 與 座 標 軸 平 行 直 線 波 導 ， 如 圖
3.1-2，此直線波導可看成一平板波導結構，在電磁理論上，已有對平
板波導結構分析的場型正解，其場型分佈只隨著水平距離增加或減少 而改變其相位(phase)，所以，我們可由利用電磁理論求得所有區域的
x z ' x
' z
n1
n2
n2
dcore
θ
Lt
場型並與全特徵模態法所求得的結果比較。
圖 3.1-2 直線波導示意圖 x′
z′ n1
n2
n2
dcore
3. 2 傾斜直線波導理論
對於傾斜直線波導的分析，如圖 3.2-1，我們將在此作詳細說明，
其中波核與波覆折射率分別為n 、1 n ，波導橫截面寬度為W ，並在輸2 入波導底端以及輸出波導頂端，分別向下以及向下延伸W 處，加一c 電牆，初始設定入射場型為 TE極化基模，並沿著平行波導的方向入 射，並非沿著水平軸入射。
圖 3.2-1 傾斜直線波導示意圖
現在我們將原座標系統( , )z x ，以輸入波導波核中心點(0,x 為基0) 準，逆時鐘旋轉θ角度，使新產生的座標系統( , )z x′ ′ 之 z′軸與波導的 方向平行，利用新座標系統，我們可看出波導不隨著 z′座標位置變
動，而使得波導x′座標位置有所變化，波導橫截面寬度變為dcore，為 單純的平板結構，如圖3.1-2，在電磁理論裡以有對平板結構的詳細 分析以及精確場型分佈，我們可利用此精確場型分佈來推導出傾斜直
x z ' x
' z
n1
n2
n2
dcore
θ
Lt
Wc
Wc
(0,x0) (0,0)
W
線波導的精確輸出場型。
圖 3.2-3 傾斜直線波導階梯近似示意圖
inc(0, ) I(0, )
介面上，利用(3.2-1)式，可求得：
3. 3 數值模擬結果與討論
在討論一些模擬結果與結果討論之前，我們先定義等效模態角度 (equivalent mode angle) (θM)，為所取的基底群裡所對應傳播常數最小 值(βmin)與波覆傳播常數(k n0 1)的夾角，如圖 3.3-1，夾角越大則表示 所取的基底模態個數越多，反之亦然，然後我們再定義階梯近似的單 位波長切區數(Nλ×n1)，當Nλ越大時，代表階梯近似切區數越多，
我們將用上述這兩個參數，來討論同一傾斜角度所造成的模態步匹配 錯誤所產生的影響。
圖 3.3-1 基底模態角度與波覆傳播常數關係圖
我們在接下來的頁數中，展示傾斜角度10°、20°、30°、45°以 及60°的模擬結果，包括模擬場型圖、能量圖、輸入輸出能量圖、輸 出場型比較圖、階梯近似區的第一區模態係數關係圖以及切區數與所 取模態角度對模態不匹配錯誤的表格，其波導構造參數定義如表
3.3-1，由模擬結果可看出其第一區模態轉換係數大致與傾斜角的基底
βmin
k n0 1
θM
匹配錯誤的表格可得知，所取的等效模態角度對於模態不匹配錯誤影 響較大，切區數在影響效應並沒有等效模態角度明顯，如果我們取等 效模態角度為傾斜角加二十度為基準，則各傾斜角度的模態不匹配錯 誤大約在10−4 ~ 10−6數量級，表示其模擬的輸出場型與精解的輸出場 型差異性非常小，顯示全特徵模態展開法在不同輸入場型條件以及不 同座標系統下，依然可模擬出正確的場型分佈。
表 3.3-1 TE 極化基模傾斜直線波導參數定義
元件參數定義 設定值
入射波長 1.55 mμ
波核折射率n1 3.5
波覆折射率n2 1
傾斜直線波導結構長度Lt 4.65 mμ 直線波導寬度dcore 8.8 mμ
輸入波導半寬W
(
8.8 sec× θ μ)
m輸入輸出波導至邊界距離W c 15 mμ
(1)傾斜 10度模擬結果
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
10 15 20 25 30
圖 3.3-2 場型模擬圖
x-position (μm)
0 2 4
10 15 20 25 30
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x-position (μm)
Field
Input field Output field
圖 3.3-4 輸入/輸出能量分佈圖
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x-position (μm)
Field
FEMET Exact
圖 3.3-5 正解與 FEMET 模擬輸出場型圖
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Equivalent mode angle (degree)
Mode coefficient
圖 3.3-6 第一區模態係數與等效模態角度關係圖
表 3.3-2 切區/等效模態角度與模態不匹配錯誤關係
Nλ
θM 5 10 20 25
80° 1.6471e-05 9.7501e-06 5.4190e-06 4.5601e-06 70° 2.1122e-05 1.2142e-05 6.6656e-06 5.5883e-06 60° 2.4354e-05 1.5494e-05 8.7539e-06 7.3455e-06 45° 4.6197e-05 2.8367e-05 1.5936e-05 1.3409e-05 30° 1.1175e-04 6.9180e-05 4.2084e-05 3.6663e-05
(2)傾斜 20度模擬結果
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
10 15 20 25 30
圖 3.3-7 場型模擬圖
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
10 15 20 25 30
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
圖 3.3-8 能量模擬圖
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x-position (μm)
Field
Input field Output field
圖 3.3-9 輸入/輸出能量分佈圖
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x-position (μm)
Field
FEMET Exact
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Equivalent mode angle (degree)
Mode coefficient
圖 3.3-11 第一區模態係數與等效模態角度關係圖
表 3.3-3 切區/等效模態角度與模態不匹配錯誤關係
Nλ
θM 5 10 20 25
80° 3.7758e-05 2.4264e-05 1.4750e-05 1.2683e-05 70° 4.9976e-05 3.0725e-05 1.8359e-05 1.5722e-05 60° 5.8152e-05 3.8109e-05 2.3201e-05 1.9907e-05 45° 1.5423e-04 9.5909e-05 6.2664e-05 5.5689e-05 30° 8.1324e-04 6.7664e-04 5.9976e-04 5.8377e-04
(3)傾斜 30度模擬結果
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
10 15 20 25 30
圖 3.3-12 場型模擬圖
x-position (μm)
0 2 4
10 15 20 25 30
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x-position (μm)
Field
Input field Output field
圖 3.3-14 輸入/輸出能量分佈圖
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x-position (μm)
Field
FEMET Exact
圖 3.3-15 正解與 FEMET 模擬輸出場型圖
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Equivalent mode angle (degree)
Mode coefficient
圖 3.3-16 第一區模態係數與等效模態角度關係圖
表 3.3-4 切區/等效模態角度與模態不匹配錯誤關係
Nλ
θM 5 10 20 25
80° 6.7876e-05 4.4822e-05 2.9135e-05 2.5799e-05 70° 7.7308e-05 5.1783e-05 3.3740e-05 2.9859e-05 60° 1.2774e-04 8.7783e-05 5.8172e-05 5.1801e-05 45° 5.7025e-04 4.1784e-04 3.2921e-04 3.1102e-04 35° 8.5090e-03 7.8832e-03 7.4033e-03 7.2949e-03
(4)傾斜 45度模擬結果
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
15 20 25 30 35
圖 3.3-17 場型模擬圖
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
15 20 25 30 35
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
圖 3.3-18 能量模擬圖
0 10 20 30 40 50 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x-position (μm)
Field
Input field Output field
圖 3.3-19 輸入/輸出能量分佈圖
0 10 20 30 40 50
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x-position (μm)
Field
FEMET Exact
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Equivalent mode angle (degree)
Mode coefficient
圖 3.3-21 第一區模態係數與等效模態角度關係圖
表 3.3-5 切區/等效模態角度與模態不匹配錯誤關係
Nλ
θM 5 10 20 25
90° 1.7332e-04 1.2361e-04 8.8486e-05 8.0793e-05 80° 2.2105e-04 1.5527e-04 1.0995e-04 1.0017e-04 70° 2.8004e-04 2.1276e-04 1.5523e-04 1.4225e-04 60° 7.4662e-04 5.9860e-04 4.7234e-04 4.4352e-04 50° 1.1448e-02 1.0992e-02 1.0577e-02 1.0477e-02
(5)傾斜 60度模擬結果
z-position (μm)
x-position (μm)
0 2 4
15 20 25 30 35 40
圖 3.3-22 場型模擬圖
x-position (μm)
0 2 4
15 20 25 30 35 40
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 10 20 30 40 50 60 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x-position (μm)
Field
Input field Output field
圖 3.3-24 輸入/輸出能量分佈圖
0 10 20 30 40 50 60
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x-position (μm)
Field
FEMET Exact
圖 3.3-25 正解與 FEMET 模擬輸出場型圖
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Equivalent mode angle (degree)
Mode coefficient
圖 3.3-26 第一區模態係數與等效模態角度關係圖
表 3.3-6 切區/等效模態角度與模態不匹配錯誤關係
Nλ
θM 5 10 20 25
90° 6.5346e-04 5.1822e-04 4.0792e-04 3.8326e-04 80° 8.3953e-04 6.4855e-04 5.2577e-04 4.9948e-04 75° 1.3423e-03 1.0873e-03 9.2639e-04 8.9189e-04 70° 3.2002e-03 2.8375e-03 2.6219e-03 2.5771e-03 65° 1.4273e-02 1.4047e-02 1.3936e-02 1.3916e-02