無輔助變數設計之估計結果

本節為無輔助變數設計下個體能力及群體能力參數估計效果的探討，就不同 施測題數、不同能力值間的相關以及不同估計方法等三種面向進行分析與比較。

壹、個體能力估計結果比較

一、不同施測題數間之比較 (一) 二向度

如圖 4-1 所示，上方表示能力值間的相關為 0.3、人數 4000 人、試題題數分 別為 2 題、5 題、10 題與 20 題時的結果，顯示 EAP、MLE、WLE、PV_noAV 四種估計方法在二個向度的 RMSE 都隨題數增加而減少，從 2 題增加到 20 題時，

MLE 和 WLE 降了約 0.6，EAP 和 PV_noAV 降了約 0.4。當能力值間的相關為 0.5 與 0.9 時亦有相同的結果，可知題數增加有助於降低 RMSE。

(二) 四向度

如圖 4-2 所示，上方表示能力值間的相關為 0.3、人數 4000 人、試題題數分 別為 2 題、5 題、10 題與 20 題時，顯示 EAP、MLE、WLE、PV_noAV 四種估計 方法在四個向度的 RMSE 都隨題數增加而減少，從 2 題增加到 20 題時，MLE 和 WLE 降了約 0.6，EAP 和 PV_noAV 降了約 0.4。當能力值間的相關為 0.5 與 0.9 時亦有相同的結果，可知題數增加有助於降低 RMSE。

圖 4－1 無輔助變數下個體能力在不同題數的比較（二向度）

圖 4－2 無輔助變數下個體能力在不同題數的比較（四向度）

二、不同能力值間的相關 (一) 二向度

如圖 4-3 所示，無論題數多寡，MLE 和 WLE 在能力值間的相關為 0.3、0.5 與 0.9 時的 RMSE 差距僅在 0.01 以下，而 EAP 和 PV_noAV 兩種估計方法在相關 為 0.3 和 0.5 時的差距在 0.01 左右，直到相關提高到 0.9 時的 RMSE 比 0.3 時降 了 0.07 左右。顯示能力值間的相關高低對於個體能力值的估計在 MLE 和 WLE 這兩種方法差異不大，而 EAP 和 PV_noAV 兩種方法需要在高相關 0.9 時才有較 明顯的改善。

(二) 四向度

如圖 4-4 所示，四向度的結果與二向度相同，而 EAP 和 PV_noAV 兩種估計 方法在相關提高到 0.9 時的 RMSE 比 0.3 時降了 0.1 左右。

圖 4－3 無輔助變數下個體能力在不同能力值間的相關比較（二向度）

圖 4－4 無輔助變數下個體能力在不同能力值間的相關比較（四向度）

三、不同估計方法間之比較 (一) 二向度

如圖 4-5 所示，在能力值間的相關為 0.5 時，不論試題題數為 2 題、5 題、10 題或 20 題，EAP 優於 PV_noAV，接著為 WLE，最後是 MLE。在能力值間的相 關為 0.3 與 0.9 時結果相同。

(二) 四向度

如圖 4-6 所示，能力值間的相關為 0.5 時，不論試題題數為 2 題 5 題、10 題 或 20 題，EAP 優於 PV_noAV，接著為 WLE，最後是 MLE。在能力值間的相關 為 0.5 與 0.9 時結果相同。

圖 4－5 無輔助變數下個體能力在不同估計方法的比較（二向度）

圖 4－6 無輔助變數下個體能力在不同估計方法的比較（四向度）

四、綜合討論

在無輔助變數設計下，個體能力值估計在不同施測題數之比較下，EAP、

MLE、WLE、PV_noAV 四種估計方法都隨題數增加而估計愈精準，每向度的題 數達到 20 題時，RMSE 最大能降低 0.6。

就不同能力值間的相關來看，在 MLE 和 WLE 這兩種估計方法差異不大，而 EAP 和 PV_noAV 兩種方法需要在高相關 0.9 時才有較明顯的差異，能力值間的 相關高低對於個體能力值的估計沒有很大的影響。

從不同估計方法間的比較來看，EAP 最佳，其次為 PV_noAV，接著為 WLE，

最後是 MLE，MLE 和 WLE 在題數很少的時候估計誤差顯得相當大，但四種估計 方法間的差異在題數增加為 20 題時趨於緩和。此研究結果顯示：當估計個體能 力時，EAP 仍是最佳的方法，如果將五個可能值平均代表受試者能力，將得到較 大的估計誤差。

貳、群體能力參數估計結果比較

一、不同施測題數間之比較 (一) 二向度

群體能力平均數如圖 4-7 所示，四種估計方法的 RMSE 隨題數增加僅有些微 降低，從 2 題增加到 20 題時，EAP 和 PV_noAV 降低約 0.01、MLE 和 WLE 差異 幅度小於 0.01，可見題數增加對於群體平均數的估計成效影響不大。

群體能力標準差如圖 4-8 所示，除了 MLE 在試題題數為 2 題時的 RMSE 低 於 5 題，其他三種估計方法 EAP、WLE、PV_noAV 的 RMSE 都隨題數增加而明 顯降低，在相關為 0.3、題數從 2 題增加到 20 題時，EAP 降低 0.3 左右，MLE 和 WLE 降低 0.2 左右，PV_noAV 則降低 0.02 左右。

圖 4－7 無輔助變數下群體能力平均數在不同題數的比較（二向度）

(二) 四向度

群體能力平均數如圖 4-9 所示，四種估計方法的 RMSE 隨題數增加僅有些微 降低，從 2 題增加到 20 題時，EAP 和 PV_noAV 降低約 0.01、MLE 和 WLE 差異 幅度小於 0.01，可見題數增加對於群體平均數的估計成效影響不大。

圖 4－8 無輔助變數下群體能力標準差在不同題數的比較（二向度）

群體能力標準差如圖 4-10 所示，除了 MLE 在試題題數為 2 題時的 RMSE 低 於 5 題，在相關為 0.3、題數從 2 題增加到 20 題時，EAP 降低 0.3 左右，MLE 和 WLE 降低 0.2 左右，PV_noAV 則降低 0.03 左右。

圖 4－9 無輔助變數下群體能力平均數在不同題數的比較（四向度）

圖 4－10 無輔助變數下群體能力標準差在不同題數的比較（四向度）

二、不同能力值間的相關 (一) 二向度

群體能力平均數如圖 4-11 所示，試題題數為 2 題時，EAP、PV_noAV 兩種 估計方法似乎隨能力值間相關的提高有約 0.005 的增加，差異很小。在其他題數 的情況下四種估計方法並沒有隨能力值間相關的提高而降低，差距最多僅 0.002，

顯示能力值間的相關高低對於群體能力平均數的估計影響不大。

群體能力標準差如圖 4-12 所示，無論題數多寡，MLE 和 WLE 在能力值間的 相關為 0.3、0.5 與 0.9 時的 RMSE 差距僅在 0.01 以下。EAP 隨著相關增高降低，

在 2 題時高低相關的 RMSE 差了 0.17，在 20 題時差距降為 0.04。PV_noAV 隨著 相關增高增加，在 2 題時高相關的 RMSE 比低相關多了 0.1，在 20 題時多了 0.002。

圖 4－11 無輔助變數下群體能力平均數在不同能力值間的相關比較（二向度）

圖 4－12 無輔助變數下群體能力標準差在不同能力值間的相關比較（二向度）

(二) 四向度

群體能力平均數如圖 4-13 所示，四種估計方法並沒有隨能力值間相關的提高 而降低，差距在 0.003 以下，顯示能力值間的相關高低對於群體能力平均數的估 計影響不大。

群體能力標準差如圖 4-14 所示，結果類似二向度，顯示能力值間的相關高低 在 MLE 和 WLE 這兩種估計方法差異不大，而 EAP 隨著相關增高 RMSE 降低，

PV_noAV 隨著相關增高 RMSE 增加，但兩者都會因題數增加減緩趨勢。

圖 4－13 無輔助變數下群體能力平均數在不同能力值間的相關比較（四向度）

圖 4－14 無輔助變數下群體能力標準差在不同能力值間的相關比較（四向度）

三、不同估計方法間之比較 (一) 二向度

群體能力平均數如圖 4-15 所示，當能力值間的相關為 0.5，除了試題題數為 2 題時， EAP、PV_noAV 兩種估計方法的 RMSE 比 MLE、WLE 多了 0.005，在 其他題數的情況下，四種估計方法的 RMSE 差距在 0.003 左右，顯示四種估計方 法在群體能力平均數上差異不大。而在能力值間的相關為 0.3 與 0.9 時得到相同 結果。

群體能力標準差如圖 4-16 所示，當能力值間的相關為 0.5 時，除了試題題數 為 2 題時，EAP 的 RMSE 比 MLE 與 WLE 多約 0.07，在其他情況下，四種估計 方法在群體能力標準差的優劣依序為 PV_noAV、EAP、WLE、MLE，而 PV_noAV 明顯優於其他三種估計方法。

圖 4－15 無輔助變數下群體能力平均數在不同估計方法的比較（二向度）

圖 4－16 無輔助變數下群體能力標準差在不同估計方法的比較（二向度）

(二) 四向度

群體能力平均數如圖 4-17 所示，當能力值間的相關為 0.5，除了試題題數為 2 題時，EAP、PV_noAV 兩種估計方法的 RMSE 比 MLE、WLE 多了 0.005 左右，

在其他題數的情況下，四種估計方法的 RMSE 差距在 0.003 左右，結果差異不大。

在能力值間的相關為 0.3 與 0.9 時得到相同結果。

群體能力標準差如圖 4-18 所示，在能力值間的相關為 0.5 時，，四種估計方 法在群體能力標準差的優劣依序為 PV_noAV、EAP、WLE、MLE，而 PV_noAV 明顯優於其他三種估計方法。在相關為 0.3 與 0.9 時亦是 PV_noAV 有最好的估計 結果。

圖 4－17 無輔助變數下群體能力平均數在不同估計方法的比較（四向度）

圖 4－18 無輔助變數下群體能力標準差在不同估計方法的比較（四向度）

四、綜合討論

在無輔助變數設計下，群體能力平均數估計在不同施測題數之比較下，

EAP、MLE、WLE、PV_noAV 四種估計方法的 RMSE 隨題數增加僅有些微降低，

顯示題數增加對於群體平均數的估計成效影響不大。就不同能力值間的相關來 看，能力值間相關的提高對於估計沒有很大的影響，RMSE 的差距最多僅 0.002。

從不同估計方法間的比較來看，四種估計方法在群體能力平均數的 RMSE 差異不 大，值得注意的是，對於推估個體能力較佳的 EAP 方法，在推估群體參數時，

並未顯著優於其他方法。

就群體能力標準差而言，除了 MLE 在試題題數為 2 題時的 RMSE 低於 5 題，

其他三種估計方法的 RMSE 都隨題數增加而明顯降低，顯示隨著受試題數的增 加，估計愈精準。就不同能力值間的相關來看，MLE 和 WLE 的 RMSE 沒有隨相 關提高而明顯降低，差距都在 0.01 以下。EAP 隨著相關增高 RMSE 降低，PV_noAV 則隨著相關增高 RMSE 增加，但兩者都會因題數增加而減緩趨勢。從不同估計方 法間的比較來看，四種估計方法在群體能力標準差的優劣依序為 PV_noAV、

EAP、WLE、MLE，而 PV_noAV 明顯優於其他三種估計方法，故在推估群體參 數，如標準差時，即使未納入輔助變數，使用可能值方法仍然可以得到較佳的估 計結果。